結構動力學習題解答三四章

=0;=0;=0;=0;第三章多自由度系統(tǒng)試求圖3-10試求圖3-10所示系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動的振動方程。//////圖3—I0解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標圖示系統(tǒng)自由度N=2,選XI、X2和X3為廣義坐標；（2）系統(tǒng)運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)運動微分方程如下：”7]丘1=-KiX]-KnCXj—人2）;叫X）=-^2（^2--vj-KjCaS -^6^2；/唄3=~心（才3一*2）-K??；整理如卞易+(Kj+K?)-V|—f^2^2=0；〃?2左2一K?"+(K2+K3+K5+Ke)七—K3X3=0 ;〃?3上3—K'X?+(心+ )X3=0;00?A?（心+心）_心0?F00叫0■+-心（心+心+心+心）-K,AS*='000&?0-K、（心+心）.?小?0寫成矩陣形式；（1）（3）系統(tǒng)特征方程設“=4]sin（ty/+e）,X2=生sin（初+e）,X3=4,sin（（y/+0代入系統(tǒng)運動微分方程（1）得系統(tǒng)特征方程(K1+Kr~~ )-K,0'A'0-心(心+Kj+Kj+心-叫/)_心生?=?00一K,(Kj+K、—W'ty")A.0；⑵（4）系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)特征方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零,即(K]+Kr—WW) —Kr 0-K? (K2+K3+K5+K6-叫 —心0 —K3 (K3+K4—血展開得系統(tǒng)頻率方程((K]+KJ)—加]"")((Kr+Kj+K5+Kg)—”人?*)((X5+K— )—K；((K3+K」)一)—Kj((K]+Kr)— )=0;進一步計算得((K]+KJ)—〃[]"■)((Kr+K,+K5+Kg)—〃Tr<y?)((Kj+K」)■加’e")—K[((Kj+AT^)—WjC?")—Kj((K]+KJ—=((K]+Kj)(Kr+Kj+Kj+Ke)—〃[￡"■(K■?+K3+K5+^6)—加?>(K】+KJct)"+山]加、0^')((?3+K」)一"SGJ.)—K；((Kj+K」)一加s".)—K[((K]+t)—=(心+心)(心+心)(心+心+心+心)-(匕+心)(心+心+心+心)"3—(Kj+KjXKr+Kj+K5+K&)〃]]"■+(K7+^3+/^5+-""(K]+KjXKj+Kjjty，+(Ki+ +(Kj+KjJwMNfk/—Wi"hw,<v"—Km(Kj+Kjl+K；加s"*—K亍(K]+Kr)+K亍=-"“wstyO+((K]+KJ叫性+(?3+KJh屮“2+(?2+K、+K5+ ++(KT+K亍加]〃y—"??>(KI+K丁)(KJ+K4)■(KI+Kr)(KJ+K3+K5+K^)>u^ ++(心+心)(心+心)(心+心+心+心)-席(心+心)-燈(心+心)?6血G +</,^y"+a^=0;=0;其中?6=—心叫"13； ?」=(K]+心)叫加、+(^3+K」),《]〃*：+(A^2+Kj+Ks+K6)叫川、;=K# —Wr(K】+Kj)(K3+K」)—(K】+Kr)(Kr+K3+K5+K&)"?3；

么0=（0+心）（心+心）（心+心+心+心）-席（心+心）-燈（0+心）;(4)(5)求解方程（3）得系統(tǒng)固有頻率(4)(5)?=fi（“q, ,"h,K},Kj,K3，K4，K5，K6）,（f=1,2,3）；（5）系統(tǒng)固有振型 將系統(tǒng)固有頻率代入系統(tǒng)特征方程（2）得系統(tǒng)固有振型,即各階振型之比：7F沖〕沖〕沖］AS-=*?sing沖〕沖〕沖］AS-=*?sing/+%)+，sin(<5?2/+少：)+<?■（6）系統(tǒng)振動方程sm(A>3/+卩3)=r■ r■硏■sing/+?)+?sinSm/+處)+，??k >在方程（6）中含有6個待定常數(shù)J州⑴、九⑴、九⑴、5、0,和卩嚴sing/+03)(6)它們由初始條件“（0）、丘1（0）、也（0）、鳥（0）、x,（0）和父,（0）確定。若3.1題中mi=m3=m,m2=2m「K尸K^K,?二K尸2K,K產(chǎn)心與匕求該系統(tǒng)的固有頻率和固

有振型。解：?rmi=m3=m?m2=2m,,Ki=K4=K>K2=K3=2K,K5=K6=3K??4=(K]+K2)叫叫+(心+Kj"叫+(心+心+心+心)〃屮”3=2加2(K+2K)+2",(2K+K)+”,(2K+2K+3K+3K)=6"/K+6"rK+10"/K=22"/k；dr=K；W3+K屮n、—Wr(Kj+Kr)(K、+K」)—(Kj+KJ(KJ+K3+K5+K6)m、=4K~m^4K~nr-iSK~m-3QK~m=4K~nr—44mK~5=(心+心)(心+心)(心+心+心+心)-席(心+忑)-/：孑^]+心)=(K+2K)(2K+K)(2K+2K+3K+3K)-4K2(2K+K)-4K2(K+2K)=90K3-12K3-i2K3=66“；系統(tǒng)頻率方程（3）成為+22/n"Ard>'*+(4/f"w"-44K~m)ci>~+66K^=0;化簡-{2K-nr-22K-m)ia--33K'=0;求圖3-11所示的三垂擺作微振動的固有頻率和固有振型。解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標XmLCm圖3-1I圖3-11所示的三垂擺系統(tǒng)自由度N=3,廣義坐標取/////6、久和&3；XmLCm圖3-1I（2）系統(tǒng)中A、B、C三質點的坐標=Lsinq=Leos%;以8=Lsinq+Lsin&工;=Lcosd、+Lcos^2；Xc=Esinq+厶sin+Lsin03；）匕=厶cos^H-Lcos^^+Lcos0、;（2）系統(tǒng)中A、B、C三質點的速度=L0\cos&i;必=—Ld\sinq;文ff=L(acosq+dcos%);jg=sinq+02sine2)；=乙(Q]COS&i+02cos^2+°3COS&3)；?c=—L(0isin0]+dsin冬+dsin&3);(3)系統(tǒng)中A、B、C三質點的動能Tb=—”心；+y?)=—wL"(&cos^i+Orcos8j'+(&sin①+幺sin&、)'；2 2 *■ ' - -JCOS&]+02COS&2+0、cos&J+(&COS&]+02COS&2+0、cos&J+(&sinq+*sin&<+玄sin。彳)'；sinqQq,sin8三&：,sin83總8、、cos8ix1,cos^2恥hcosq總1;T=才也0；+—+ +才也(q+Q,+4)-；(4)系統(tǒng)中A、B、C三質點的勢能=-fngL(3cosq+2cosft+cosQ)；⑸L=T-V;根據(jù)拉格朗口定理:倂昱、df.昭,00得:‘321'q〕300、■、q0、0221-七020q?=?0、111,????、001,A.0??L(1)求固有頻率和固有振型:‘321>300)-gtL221+g020J11丿、00ij=0：解得固有頻率:①=0.6448任d=1.5147任g=2.5O8og固有振型:

w='1"1.2921■1■03529'1'-1.64501.6308-239810.7669兩端由彈簧支撐的剛性均質桿，質量均為沒，在B處用較鏈連接，如圖3?12所示，如選取B點的豎直位移y和兩桿繞B點的轉角q,2為廣義坐標，試從特征方程出發(fā)，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。圖3-12（1）AB桿的動能:AB桿的勢能:（2）BC桿的動能:BC桿的勢能:嚴m(xù)gy--^2；、/}(3)三根彈簧的勢能：V嚴-k(y_/q『+(y+/q)'+y2,2L -（4） L=7；+7；-（V；+匕+匕）;由拉格朗口方程可得:2in2mlml2ml-[3k-kiknki-ml-??ftklkl-2tnmlml1ml2ml-[3k2mlml-kl-2fng--兩kllkPkP由K-cctM=0^2=—6k^2=—6k人=上雲(yún)府=（3一間士解得:人=空邑，閔=（3+羽）丄固有頻率:①=1.126oJ^,馬=1.7321(^,03=2.1753』^；固有振型:]3+7J/]3-11■■]3+7J/]3-11■■0113-11b廠=-/血-+—人力系統(tǒng)的勢能：圖3-13UpK回+刁心（2-幼+，《3（2-0）-：圖3-13L=T-V：由拉格朗口方程得：A0O'q-K,0■■、qO'0A0<>+-K,K*-K、>=?000A.??qjb?0-K,K-JV?0??（2）當人=厶=人=人心=兀=瓦=/^時可得固有頻率:①=0.4450聘?=1.2471耳?=1.8019提固有振型:w=■1■1.802W=■1■0.445W=■1■-1.2472.247-0.8020.555圖344所示的兩均質桿是等長的，但具有不同的質量，試求系統(tǒng)作微振動的振動方程，若叫=用2=叫&=k：=k,試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型（設選取兩桿的轉角q和E為廣義坐標,其中q以順時針方向為正，久以逆時針方向為正）。解：（1）系統(tǒng)的動能:出發(fā)，左乘 利用正交關系證明出發(fā)，左乘 利用正交關系證明出發(fā)，左乘 利用正交關系證明出發(fā)，左乘 利用正交關系證明T=尹亍叫迓+辦E叫廠+W叫廠哮(2)系統(tǒng)的勢能:v=-k,二/q-二/q+-k,-/q4?(3)建立系統(tǒng)的運動微分方程:12由拉格朗口方程一昱=0=><1八人3,,(3,C=><1八人3,,(3,C3“—13.——/&3 4 ，?7 2 3,/314 43護J遲-沙h他-才勺+才厲盲叫48- -474\gl=0由條件“=加&=他=k,將上述方程整理得:16丄疔1616丄疔16?=4>kJ7咖14J41616從系統(tǒng)的特征方程解得固有頻率6?=0.6505J—6?=0.6505J—VW鳥=2.6145點:固有振型{沙=■■{沙=■■1- Ar■■10.7492{?}「=-3.0508試從矩陣方程時｝=對M]{0)X44X44X44X44{0}（[k][M{0}（[k][M「）[K]{xS}=0其中n為系統(tǒng)自由度數(shù)。解：由式1=1*2, , n]K]{0）}=妨[M]{0）}可得：[m『[k]{N）}=?f{0）}；h-i（[K][町）"[K]{M}=（[K][町口[K][町）[口{占}h-ih-l=（[K][M「T（[K]耐{繃訶（[K][M「門口{少}=?'〃[K]{d/）}h-l{0}pK][M「yiK]{W卜甲沖竝呼}由正交關系可知：0叭丿）門K]{J）}=Om）

卜⑴}愉]網(wǎng)7）丘]{占卜00叭丿）門結論得證?圖3-15中簡支梁有三個置于它的四分之一點處的質量。試以微小的平動開』、，兒作為位移坐標，梁的自重忽略不計，其彎曲剛度為EL假設in,=/M,=m,=m＞求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，對振型規(guī)范化并畫出各階振型。4 Z圖3-157/'dx11尸3P兀256E/(2)以各小豎向位移)1兒，兒為廣義坐標，建立系統(tǒng)的運動微分方程:')\=-久毗-見叫y：-見用攜兒=-&的片-7/'dx11尸3P兀256E/(2)以各小豎向位移)1兒，兒為廣義坐標，建立系統(tǒng)的運動微分方程:')\=-久毗-見叫y：-見用攜兒=-&的片-比人-①,仙％?兒=-①1“％-5,2〃叨廠無“月整理成矩陣形式:3卩11P7廠256EI768E/768曰IlfP11廠76SE/48￡/768曰7PIIP3P768&768￡7256E1■100「?n\?■■+010兒嘰001_兒_=0：固有頻率:?=49330捧，2=19.5959傷 =41.606礙固有振型:w=■1'1.4142{0'=10w='1'-1.41421-11M=｛砂估｛硏‘正規(guī)化:解:(1)為表示在加/點作用單位力而在M點產(chǎn)生的撓度。利用圖乘法可得:34—XX—XIEI3P256EI同理:11/'768￡7

［奸［M］［小0.16440000,005200［奸［M］［小0.16440000,00520000.0023{昨為{0j{列{◎『=13.9{亦{◎}'=20?89}'各階振型圖:一輕型飛行器的水平穩(wěn)定器被簡化為3個集中質量系統(tǒng)的模型，見圖3-16.其剛度、質量矩陣和固有頻率及模態(tài)形狀已經(jīng)求出。若飛行器遇到一突然的陣風，其產(chǎn)生的階躍力為'500'p(f)=<100■/(/)100其中/(”是單位階躍力，如圖3-16o(1)確定模態(tài)響應<(f)表達式，假設v(o)=v(o)=o：(2)確定響應的表達式，并指出個模態(tài)的貢獻。其中0.0656[k]=-0.15380.1220-0.15380.4797-0.58434.00.1220-0.5843L2593X10'6.0&0X 386久=599000-=1330000=84000008031[切=4.081.10-4.965.363.801.70-4355.711 JV2V3P2P3V1Plff(t)圖3-16解：（1）進行坐標變換:1 00 10 00.060001.33570008.40xlO?「、4673廣[訶p(f)=<-1564983［戸｛空｝=｛劭=0=><勺⑴=0.0779[l-cos(244.74f)]

^,(Z)=-0.00117[i-cos(1153.3z/

§3(f)=0.000117[i-cos(2898.3zf=><(2)%=is學(1-cos㈣)”；%%f=lr=iKj021■=0需;06(l-cos(244.74f))(8.31x500+4.08x100+1.10x100)N=\+_Z^；^^(l-cos(11533Z))(-4.96x500+536xl00+3.80xl00)+8；7；06(l-cos(2898.3f))(1.70x500-4.35xl00+5.71xl00)=0.6472(l-cos(244.74Z))N=1+0.0058(l-cos(1153.3f))+1.995x107(l-cos(2898.3/))一棟三層樓房，如圖3-17＞其剛度、質量矩陣和固有頻率及振型如下:

■800-8000■■10■0w=-8002400-1600[呵=0200-160040000020-=1200.02548.9研=251.1LOOOOOLOOOOO0.31386[<p\=0.68614-0.50000一0.68614031386-0.50000LOOOOOmi=lki=800013=2k2=1600k3=2400///////////////////圖LOOOOOLOOOOO0.31386[<p\=0.68614-0.50000一0.68614031386-0.50000LOOOOOmi=lki=800013=2k2=1600k3=2400///////////////////圖3-17(1)確定模態(tài)質量、模態(tài)剛度矩陣M,K：(2)(3)確定穩(wěn)定響應§「的表達式;(2)(3)確定穩(wěn)定響應§「的表達式;若p(z)=[100100loofcos(Qr),確定模態(tài)力Fj(4)(4)用模態(tài)位移法確定?的響應，并指出各階模態(tài)對響應的貢獻，并列出當激振頻率分別為G=O,G=O?5?,G=±(?+0)時，血的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格。解：(1)=[0口呵[解：(1)2.13862.003.040153724007748.9(2)巴=|＞丫P（f）(2)200cos(QZ)62.772(3)fr200COS(Qz)/=i537-2.1386Q-Ocos(QZ)/= =0-2400-2.00Q'62.772cos(d)R7748.9-3.0401Q'(4)3 ]血=佈勺2qjp⑴一若萬評諾;=(2?29167+l?04167+0?41667)xl(r'xl00cos(QZ)Q-200cos(Qz)+251.1X537-2.1386。'Q- 031386x62772cos(QZ)HQ-200cos(Qz)+251.1X537-2.1386。'Q- 031386x62772cos(QZ)H X2548.97748.9-3.0401G劉亠珈叫0?686際叫。.沁6x100）83）+麗B（ii5）xK）（）gsg）031386"^1200^^"^1200^^"^1200^^"^1200^^200cos(nr) V537-2.1386G：—_.二.1,N=\537-2.1386G：19.7010cos(QZ)7748.9-3.040IQ-階數(shù)

激振頻率N=1N=2N=3G=0Q=0.5?Q=-(?+2當題中的柔度矩陣為2.291671.041670.416671.04167L041670.41667xlO"'0.416670.416670.41667(1)用模態(tài)加速度法，確定響應的表達式;(2)像3?10題一樣，列出當激勵頻率分別為G=O,G=O?50C=-(ei+d)時的冷的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格，并對結果加以分析。r=lr=l=(2.29167+1.04167+0.41667)xl0"'xl00cos(Qz)Q- 200cos(QZ)"^251.1^537-2.13860-Q- 200cos(QZ)"^251.1^537-2.13860-Q-0.31386X62.772cos(QZ)*254&9X 774&9-3.0401Q-=0.37500cos(QZ)r0?7965cos(Qz)+Q'X 537-2.1386Q-+0r0.0077cos(nz)+X7748.9-3.O4OQ（2）坷的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格階數(shù)

激振頻率N=1N=2N=3階數(shù)

激振頻率N=1N=2N=3G=0Q=0.5?0=尹+冬）和上一題所得結果比較可以看出：(1)(2)(1)(2)例如當Q=0時，用位移法各階模態(tài)相加才收斂到，而用加速度法第一項就收斂到。第四章連續(xù)彈性體的振動一端固定，一端自由的均勻桿，在自由端有一彈簧常數(shù)為k的軸向彈簧支承(圖4-23),試推導縱向振動的頻率方程，并對兩種極端情形：(1)R=0,(2)Rtoo,進行討論。W W解： "(兀t)=[A^sin(—X)+B'cos(—%)]sin(曲+<P)a其邊界條件為:m,EAX=0處，w(o,r)=0：\\\\圖4一23B'=0：d3udcjZ心.col

EA =EA cos( )=ksm( )去 a a a得到縱向振動頻率方程為EA空gsdsd)aa acosA=0a0=伙龍+y)y ("=1,2,3…)當時,(戒、aEAC

taii(—)—=—=0

acolKc=〃龍? (打=1,2,3…)一均質桿，兩端都是自由端，開始時在端部用相等的力壓縮，若將力突然移去，求其縱向振動。解：it(x,t)=[A'siu(—X)+B*cos(—%)]sin(6yf+<p)a無外力作用時，邊界條件為：x=0時，有翌=0；axX=/時，有=0ax將它們代入振型函數(shù)U(x)=[A'siu(—x)+B^cos(—x)]a a4'=0："■1"■1得各階固有頻率為a3“=nK—；各階主振動的表達式為叫（兒/）=歹cos（—X）Sin（?/+<Pn）

a在一般情況下，振動可以表示為各階主振動的疊加，即X H兀0心昇)=^B/cos(〒切sin(?r+%)n=i /當/=0時，有PU=--^X:EA

也=0

dtX ..—將初始條件代入n(x,Z)=^B/cos(—x)siu(a>/+^Jn=i *“(X,0)=￡耳'cos{—X)sill0,=-77

ji=i 1 匕A竽予監(jiān)畔心嚴。由于上式要得到滿足，必須有cos%,=0,這樣導致sm%=l,或（-1）,代入得X冊cos(節(jié)x)=_￡x為了求出JV，上式兩邊均乘以cos（罕X）,5?=1,2…）得到4IP*9嚴亦--13,…= X^^COS(^X)cos(^Z)EAtT-n*.礦 I /圖4?24為一端固定，一端自由的圓等直桿。在自由端作用有扭矩在t=0時突然釋放,求桿自由端的振幅。TOC\o"1-5"\h\zW IV解：3(x,t)=(Asin—x+Bcos—x)sin(wt+0) a=a a無外力作用時,圖示桿的邊界條件為:Jodx將其分被代入振型函數(shù)得:B=0;w,

cos—/=0;a???得各階固有頻率為:XiiTra2121n=13/5.各階主振動的表達式為:q()=人sin(罟X)sin(H；/+0J在一般情況下,振動可以表示為各階主振動的疊加，即在一般情況下,振動可以表示為各階主振動的疊加，即由（2）式可得"&仁=由（2）式可得"&仁=XA”"Sm號；VCOS0=OdtCOS0=0&(x，/)=XA,sin(—x)siu(vv,/+<z>J；=|\... Z!當/=0時，有G/p&|網(wǎng)=牛兀=XA,sin寫xsm0

心… 2/G/p(3)???sin0=±l(3)將（3）式代入（1）得:Mo FX "兀GIp—x=\Asin——X厶“ 7/GIp：|勺...為了求出&’，上式兩邊均乘以S1U等為正整數(shù)）,-2Mnr.fiTTx, 81Mb/.、“代=7式Psm亍*嬴T蔭5,5,???自由端的振幅是/r?川冗 / 、3111(—%)COS(H；Z)XEp/=l,3r/f-i/(-1)乂/r一均質梁，一端固定，一端簡支,表達式。試導出梁彎曲振動的頻率方程，并寫出固有振型的解:y(x,t)=X{x)Y{t)El圖示梁的邊界條件為:X(l)=Qdx\X\、Ky[r=o=0=>x(o)=0d^yIc護XIcko=0nL"=0dx ox而:X(X)=Asinkx+Bcoskx+Cshkx+Dchkx"X⑴=AAcoskx-Bksinkx+Ckchkx+DkshkxaxX(X)=-Ak~sinkx-Bk~coskx+Ck~shh:+k"Dchkx代入邊界條件得：3+0=0;由(1).(2)式得-B+D=QAsmkI+Bcoskl+Cshkl+Dchkl=0Akcoskl—Bksillkl+Ckchkl+Dkshkl=0B=D=0；⑵⑶(4)由(3),(4)式得Asinkl+Cshkl=0Akcoskl+Ckcbkl=0sinklshkicosklchki=0=> 頻率方程Jsmkichki-shklcoskl=07—% 7—% J%—?I7—% 7—% J%—?I一均勻懸臂梁，在自由端附有一質量為M的重物（圖4-25）,設重物的尺寸遠小于梁長I,試推導該系統(tǒng)彎曲振動的頻率方程并討論加時的基本頻率。解：對于圖示懸臂梁的邊界條件為：xw=^=o；M,EJMX 1 ?*/Zzy(xj)=X(x)y(t)=(Asinkx+Bcoskx+Cshkx+Dchkx)siii(vt7+0)?xw=^=o；M,EJMX 1 ?*/Zzy(xj)=X(x)y(t)=(Asinkx+Bcoskx+Cshkx+Dchkx)siii(vt7+0)???由邊界條件得:B+D=0A+C=Q-Asinkx-Bcoskx+Cshkx+Dchkx=0EJk^{-Acosfd+Bsiiikl+CchkI+Dshld)sin(財+0)=-Mw'(4sinkl+BcosId+Cshkl+Dehkl)siu(ivz+0)整理得頻率方程：Mw'_R31+chklcosklEJ chklsinkl-shklcoskl1+chklcosklm kchklsinkl-shklcoskl???頻率方程為查書表4-1得其前五階固有頻率: coinchklsinR/-shkicoskl=0=x>7.069：Wr=—-—a10.210-旳= —a 16.493’=—-——a13352- I-%=—-—a一均勻簡支梁，中央作用一橫向力P（如圖）產(chǎn)生撓曲，試確定荷載突然卸除后梁得自由振動。解：對于簡支梁，其自由振動的解為：X flTT)?』)=S (丁x)s