實(shí)際問題與二次函數(shù)-教學(xué)課件

實(shí)際問題與二次函數(shù)第一課時實(shí)際問題與二次函數(shù)（1）對于任意一個二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）

，可以利用配方把它化為頂點(diǎn)式

，進(jìn)而寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）和對稱軸x=h。（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)，即令y=0即可；其與x軸交點(diǎn)即為（x1，0）、（x2，0）；

求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸的交點(diǎn)，即令x=0即可；其與y軸交點(diǎn)即為（0，c）。（3）將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式

來求二次函數(shù)最值，當(dāng)x=h時，y取最值為k。（1）對于任意一個二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠請你畫一個周長為24厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學(xué)比比，發(fā)現(xiàn)了什么？誰的面積最大？探究一：最大面積活動1創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題。重點(diǎn)知識★畫周長一定的矩形時，我們會發(fā)現(xiàn)矩形長、寬、面積不確定。要求其面積的最大值，我們需要用二次函數(shù)的知識去解決。請你畫一個周長為24厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學(xué)例1.李老師計(jì)劃用長為24米的籬笆，圍成長方形花圃，他想請同學(xué)們幫他思考一下如何圍才能使圍成的花圃面積最大，最大值是多少？設(shè)矩形寬為x厘米，則長為

厘米。當(dāng)x=6時，S取最大值為36。探究一：最大面積活動2師生共研，探索解法。重點(diǎn)知識★例1.李老師計(jì)劃用長為24米的籬笆，圍成長方形花圃，他想請同練習(xí)1.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化。當(dāng)l為多少米時，場地的面積S最大？【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵。解：設(shè)矩形一邊長l，則長為

厘米。當(dāng)l=15時，S取最大值為225。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★練習(xí)1.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米的墻可以靠，則他怎樣圍可以使花圃的面積最大？最大面積是多少？

探究一：最大面積活動3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識★解：設(shè)矩形長為x（x≤8）厘米，則寬為

厘米。∴當(dāng)x=8時，S取最大值為64。例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米的墻可例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米墻可以靠，則他怎樣圍可以使花圃的面積最大？最大面積是多少？

【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵。考慮實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯點(diǎn)，最值不是由頂點(diǎn)處取到，學(xué)會區(qū)間求最值。探究一：最大面積活動3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識★例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米墻可以練習(xí)2.如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式時考慮實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯點(diǎn)。解：與墻垂直的一邊為x米，則

∵0≤60-2x≤32。

∴14≤x≤30

當(dāng)x=15時，S取最大值為450。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★練習(xí)2.如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形小結(jié)：在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題，不一定都取圖象頂點(diǎn)處，要根據(jù)自變量的取值范圍來確定。通過前面問題的對比，希望你們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系，以及何時取頂點(diǎn)處、何時取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際的最值。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★小結(jié)：在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題，不一定都取圖象頂點(diǎn)例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長

25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，

另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D）。設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2。（1）求

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)

x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動1基礎(chǔ)性例題解：（1）

，

自變量x的取值范圍是0＜x≤25；

例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長2例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長

25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，

另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D）。設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2。（1）求

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)

x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動1基礎(chǔ)性例題（2）

∵20＜25，

∴

當(dāng)x=20時，y有最大值200，

即當(dāng)x=20時，滿足條件的綠化帶面積最大。解：例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長2【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示，要充分利用幾何關(guān)系；要注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在自變量x的取值范圍內(nèi)。練習(xí)：某窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長為15m（圖中所有線條長度之和），當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多？此時，窗戶的面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m）探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示，要充分利用幾何關(guān)系；解：由題意可知

，化簡得

，設(shè)窗戶的面積為Sm2，則

，∵

，∴S有最大值?！喈?dāng)x＝1.25m時，S最大值≈4.69（m2），即當(dāng)x＝1.25m時，窗戶通過的光線最多。此時，窗戶的面積是4.69m2。練習(xí)：某窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長為15m（圖中所有線條長度之和），當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多？此時，窗戶的面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m）探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解：由題意可知例2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，P是BC上的一動點(diǎn)，動點(diǎn)Q僅在PC或其延長線上，且BP＝PQ，以PQ為一邊作正方形PQRS，點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿射線BC方向運(yùn)動，設(shè)BP＝xcm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2，試分別寫出0≤x≤2和2≤x≤4時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動2提升型例題【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目題意畫出相關(guān)的圖形，充分利用幾何關(guān)系來求解同時寫出自變量x的取值范圍內(nèi)。例2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm解：如圖，陰影部分的重疊部分的面積為y當(dāng)0≤x≤2時，如下面的左邊的圖形所示，PQ=BP=x，此時y=PQ2=x2，其中0≤x≤2；當(dāng)2≤x≤4時，如下面的右邊的圖形所示，

PQ=BP=x，此時PC=BC-BP=4-x，其中2≤x≤4；，其中2≤x≤4；綜上所述：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解：如圖，陰影部分的重疊部分的面積為y，其中2≤x≤4；綜上練習(xí)：如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E，過E點(diǎn)剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？為什么？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形之間的關(guān)系，表示出兩個正方形的邊長，進(jìn)而表示出兩個正方形的面積之和，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。解：令DE=x，AD=a，則AE=a-x，所以面積之和

，所以當(dāng)

時，面積最小，即E應(yīng)選在AD的中點(diǎn)。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E，過E點(diǎn)剪下兩個例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；（2）當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；（2）當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；（1）橫向甬道的面積為：

（2）依題意：

整理得：解得：x1=5，x2

=150，（舍去）

故甬道的寬為5米。解：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。

則：

當(dāng)

時，y的值最小。

∵

根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，

∴

當(dāng)x=6米時，總費(fèi)用最少。即最少費(fèi)用為238.44萬元。例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？解：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形。解答拋物線形實(shí)際問題的一般思路：1.把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；3.求拋物線的解析式。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形。探究練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4m，當(dāng)水渠深x為_______時，橫斷面面積最大，最大面積是____________?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題目中給定的角度，求出兩腰和下底之間的關(guān)系式，進(jìn)而列式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4m，當(dāng)水渠深x為_______時，橫斷面面積最大，最大面積是____________。兩腰與下底的和為4得到：下底為解：底角為120°，則高和腰之間的夾角為30°，水渠深度為

x，則得到：

，腰長所以上底為設(shè)橫斷面的面積為S，則∴當(dāng)

時，橫斷面面積最大為

。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（1）運(yùn)動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米？（2）設(shè)運(yùn)動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）t為何值時S最?。壳蟪鯯的最小值。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（1）運(yùn)動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題解：（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8，則AP=x，QB=2x，∴PB=6﹣x?！?/p>

×（6﹣x）2x=8，解得x1=2，x2

=4，所以2秒或4秒后△PBQ的面積等于8。例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（2）設(shè)運(yùn)動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題解：（2）第t秒鐘時，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，故例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（3）

t為何值時S最??？求出S的最小值。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題∴

當(dāng)t=3秒時，S取最小值為63。解：（3）例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從練習(xí)：曾經(jīng)有這樣一道題：

有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6m，如何設(shè)計(jì)這個窗戶，使透光面積最大？（該題答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m2）我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：（1）若AB為1m，求此時窗戶的透光面積？（2）與該例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大？請通過計(jì)算說明。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：曾經(jīng)有這樣一道題：

有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半解：（1）由已知可以得到：此時窗戶的透光面積（2）設(shè)AB=x，則設(shè)窗戶的面積為S，由已知可以得到當(dāng)

時，與前面的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值變大。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解：（1）由已知可以得到：此時窗戶的透光面積（2）設(shè)AB=x知識梳理1.二次函數(shù)的三種形式：一般式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式2.二次函數(shù)的三種形式之間的相互轉(zhuǎn)化：一般式可以利用配方化為頂點(diǎn)式

，進(jìn)而可以得到頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

，對稱軸

。交點(diǎn)式可以先化為一般式再配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，有時也可以利用交點(diǎn)式快速的求對稱軸

。3.利用二次函數(shù)求矩形周長一定的情況下，矩形面積的最大值，在求解的過程中需要標(biāo)注自變量x的取值范圍，求解的過程中注意是頂點(diǎn)最值還是區(qū)間最值，這里往往難度較大。知識梳理1.二次函數(shù)的三種形式：一般式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式2.二次函重難點(diǎn)歸納1.利用二次函數(shù)的一般式求最值，有兩種思路，第一可以先通過配方第二可以直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

來求解。利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的最值，一般是快速的利用對稱軸的方程

來求對稱軸，進(jìn)而求解。把一般式化為頂點(diǎn)式，再利用頂點(diǎn)式求函數(shù)的最值；2.實(shí)際問題中已知矩形的周長來求解面積最大，此時需要結(jié)合題意求解相關(guān)的邊長，列出方程或是等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，但需要注意實(shí)際問題中往往需要注明自變量x的取值范圍。重難點(diǎn)歸納1.利用二次函數(shù)的一般式求最值，有兩種思路，第一可3.強(qiáng)化利用二次函數(shù)求面積時，應(yīng)該用一個變量來表示另一個變量，進(jìn)而表示出面積，寫出自變量的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法來求解，在求解的過程中應(yīng)該注意是頂點(diǎn)最值還是區(qū)間最值，最后還需檢驗(yàn)解的合理性。4.數(shù)形結(jié)合思想特別重要，在思考的過程中需要結(jié)合題意畫出滿足條件的圖形，尤其是動態(tài)問題中畫出圖形是解題的關(guān)鍵。重難點(diǎn)歸納3.強(qiáng)化利用二次函數(shù)求面積時，應(yīng)該用一個變量來表示另一個變量謝謝謝謝實(shí)際問題與二次函數(shù)第一課時實(shí)際問題與二次函數(shù)（1）對于任意一個二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）

，可以利用配方把它化為頂點(diǎn)式

，進(jìn)而寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）和對稱軸x=h。（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)，即令y=0即可；其與x軸交點(diǎn)即為（x1，0）、（x2，0）；

求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸的交點(diǎn)，即令x=0即可；其與y軸交點(diǎn)即為（0，c）。（3）將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式

來求二次函數(shù)最值，當(dāng)x=h時，y取最值為k。（1）對于任意一個二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠請你畫一個周長為24厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學(xué)比比，發(fā)現(xiàn)了什么？誰的面積最大？探究一：最大面積活動1創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題。重點(diǎn)知識★畫周長一定的矩形時，我們會發(fā)現(xiàn)矩形長、寬、面積不確定。要求其面積的最大值，我們需要用二次函數(shù)的知識去解決。請你畫一個周長為24厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學(xué)例1.李老師計(jì)劃用長為24米的籬笆，圍成長方形花圃，他想請同學(xué)們幫他思考一下如何圍才能使圍成的花圃面積最大，最大值是多少？設(shè)矩形寬為x厘米，則長為

厘米。當(dāng)x=6時，S取最大值為36。探究一：最大面積活動2師生共研，探索解法。重點(diǎn)知識★例1.李老師計(jì)劃用長為24米的籬笆，圍成長方形花圃，他想請同練習(xí)1.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化。當(dāng)l為多少米時，場地的面積S最大？【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵。解：設(shè)矩形一邊長l，則長為

厘米。當(dāng)l=15時，S取最大值為225。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★練習(xí)1.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米的墻可以靠，則他怎樣圍可以使花圃的面積最大？最大面積是多少？

探究一：最大面積活動3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識★解：設(shè)矩形長為x（x≤8）厘米，則寬為

厘米?！喈?dāng)x=8時，S取最大值為64。例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米的墻可例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米墻可以靠，則他怎樣圍可以使花圃的面積最大？最大面積是多少？

【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵?？紤]實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯點(diǎn)，最值不是由頂點(diǎn)處取到，學(xué)會區(qū)間求最值。探究一：最大面積活動3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識★例2.（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米墻可以練習(xí)2.如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式時考慮實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯點(diǎn)。解：與墻垂直的一邊為x米，則

∵0≤60-2x≤32。

∴14≤x≤30

當(dāng)x=15時，S取最大值為450。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★練習(xí)2.如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形小結(jié)：在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題，不一定都取圖象頂點(diǎn)處，要根據(jù)自變量的取值范圍來確定。通過前面問題的對比，希望你們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系，以及何時取頂點(diǎn)處、何時取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際的最值。探究一：最大面積重點(diǎn)知識★小結(jié)：在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題，不一定都取圖象頂點(diǎn)例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長

25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，

另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D）。設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2。（1）求

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)

x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動1基礎(chǔ)性例題解：（1）

，

自變量x的取值范圍是0＜x≤25；

例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長2例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長

25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，

另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如下圖）。設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2。（1）求

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)

x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動1基礎(chǔ)性例題（2）

∵20＜25，

∴

當(dāng)x=20時，y有最大值200，

即當(dāng)x=20時，滿足條件的綠化帶面積最大。解：例1.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長2【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示，要充分利用幾何關(guān)系；要注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在自變量x的取值范圍內(nèi)。練習(xí)：某窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長為15m（圖中所有線條長度之和），當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多？此時，窗戶的面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m）探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示，要充分利用幾何關(guān)系；解：由題意可知

，化簡得

，設(shè)窗戶的面積為Sm2，則

，∵

，∴S有最大值。∴當(dāng)x＝1.25m時，S最大值≈4.69（m2），即當(dāng)x＝1.25m時，窗戶通過的光線最多。此時，窗戶的面積是4.69m2。練習(xí)：某窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長為15m（圖中所有線條長度之和），當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多？此時，窗戶的面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m）探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解：由題意可知例2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，P是BC上的一動點(diǎn)，動點(diǎn)Q僅在PC或其延長線上，且BP＝PQ，以PQ為一邊作正方形PQRS，點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿射線BC方向運(yùn)動，設(shè)BP＝xcm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2，試分別寫出0≤x≤2和2≤x≤4時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動2提升型例題【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目題意畫出相關(guān)的圖形，充分利用幾何關(guān)系來求解同時寫出自變量x的取值范圍內(nèi)。例2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm解：如圖，陰影部分的重疊部分的面積為y當(dāng)0≤x≤2時，如下面的左邊的圖形所示，PQ=BP=x，此時y=PQ2=x2，其中0≤x≤2；當(dāng)2≤x≤4時，如下面的右邊的圖形所示，

PQ=BP=x，此時PC=BC-BP=4-x，其中2≤x≤4；，其中2≤x≤4；綜上所述：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解：如圖，陰影部分的重疊部分的面積為y，其中2≤x≤4；綜上練習(xí)：如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E，過E點(diǎn)剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？為什么？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形之間的關(guān)系，表示出兩個正方形的邊長，進(jìn)而表示出兩個正方形的面積之和，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。解：令DE=x，AD=a，則AE=a-x，所以面積之和

，所以當(dāng)

時，面積最小，即E應(yīng)選在AD的中點(diǎn)。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E，過E點(diǎn)剪下兩個例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；（2）當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；（2）當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；（1）橫向甬道的面積為：

（2）依題意：

整理得：解得：x1=5，x2

=150，（舍去）

故甬道的寬為5米。解：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。

則：

當(dāng)

時，y的值最小。

∵

根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，

∴

當(dāng)x=6米時，總費(fèi)用最少。即最少費(fèi)用為238.44萬元。例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費(fèi)用（萬元）與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？解：探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。例3.如圖，要設(shè)計(jì)一個等腰【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形。解答拋物線形實(shí)際問題的一般思路：1.把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；3.求拋物線的解析式。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形。探究練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4m，當(dāng)水渠深x為_______時，橫斷面面積最大，最大面積是____________。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中給定的角度，求出兩腰和下底之間的關(guān)系式，進(jìn)而列式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4m，當(dāng)水渠深x為_______時，橫斷面面積最大，最大面積是____________。兩腰與下底的和為4得到：下底為解：底角為120°，則高和腰之間的夾角為30°，水渠深度為

x，則得到：

，腰長所以上底為設(shè)橫斷面的面積為S，則∴當(dāng)

時，橫斷面面積最大為

。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí)：如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（1）運(yùn)動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米？（2）設(shè)運(yùn)動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）t為何值時S最小？求出S的最小值。探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（1）運(yùn)動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米？探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型例題解：（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8，則AP=x，QB=2x，∴PB=6﹣x。∴

×（6﹣x）2x=8，解得x1=2，x2

=4，所以2秒或4秒后△PBQ的面積等于8。例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（2）設(shè)運(yùn)動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；探究二：利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動3探究型