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實(shí)際問題與二次函數(shù)第一課時(shí)實(shí)際問題與二次函數(shù)(1)對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)
,可以利用配方把它化為頂點(diǎn)式
,進(jìn)而寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)和對(duì)稱軸x=h。(2)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點(diǎn),即令y=0即可;其與x軸交點(diǎn)即為(x1,0)、(x2,0);
求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸的交點(diǎn),即令x=0即可;其與y軸交點(diǎn)即為(0,c)。(3)將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式
來求二次函數(shù)最值,當(dāng)x=h時(shí),y取最值為k。(1)對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠請(qǐng)你畫一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的矩形,算算它的面積是多少?再和同學(xué)比比,發(fā)現(xiàn)了什么?誰的面積最大?探究一:最大面積活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問題。重點(diǎn)知識(shí)★畫周長(zhǎng)一定的矩形時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)矩形長(zhǎng)、寬、面積不確定。要求其面積的最大值,我們需要用二次函數(shù)的知識(shí)去解決。請(qǐng)你畫一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的矩形,算算它的面積是多少?再和同學(xué)例1.李老師計(jì)劃用長(zhǎng)為24米的籬笆,圍成長(zhǎng)方形花圃,他想請(qǐng)同學(xué)們幫他思考一下如何圍才能使圍成的花圃面積最大,最大值是多少?設(shè)矩形寬為x厘米,則長(zhǎng)為
厘米。當(dāng)x=6時(shí),S取最大值為36。探究一:最大面積活動(dòng)2師生共研,探索解法。重點(diǎn)知識(shí)★例1.李老師計(jì)劃用長(zhǎng)為24米的籬笆,圍成長(zhǎng)方形花圃,他想請(qǐng)同練習(xí)1.用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地,矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化。當(dāng)l為多少米時(shí),場(chǎng)地的面積S最大?【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵。解:設(shè)矩形一邊長(zhǎng)l,則長(zhǎng)為
厘米。當(dāng)l=15時(shí),S取最大值為225。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★練習(xí)1.用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地,矩形面積S隨矩形一例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米的墻可以靠,則他怎樣圍可以使花圃的面積最大?最大面積是多少?
探究一:最大面積活動(dòng)3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)★解:設(shè)矩形長(zhǎng)為x(x≤8)厘米,則寬為
厘米。∴當(dāng)x=8時(shí),S取最大值為64。例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米的墻可例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米墻可以靠,則他怎樣圍可以使花圃的面積最大?最大面積是多少?
【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵??紤]實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯(cuò)點(diǎn),最值不是由頂點(diǎn)處取到,學(xué)會(huì)區(qū)間求最值。探究一:最大面積活動(dòng)3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)★例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米墻可以練習(xí)2.如圖,用一段長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)32m,這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式時(shí)考慮實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯(cuò)點(diǎn)。解:與墻垂直的一邊為x米,則
∵0≤60-2x≤32。
∴14≤x≤30
當(dāng)x=15時(shí),S取最大值為450。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★練習(xí)2.如圖,用一段長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形小結(jié):在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題,不一定都取圖象頂點(diǎn)處,要根據(jù)自變量的取值范圍來確定。通過前面問題的對(duì)比,希望你們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系,以及何時(shí)取頂點(diǎn)處、何時(shí)取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際的最值。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★小結(jié):在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題,不一定都取圖象頂點(diǎn)例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)
25m)的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻,
另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍住(如下圖)。設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm,綠化帶的面積為ym2。(1)求
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。
(2)當(dāng)
x為何值時(shí),滿足條件的綠化帶的面積最大?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題解:(1)
,
自變量x的取值范圍是0<x≤25;
例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)2例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)
25m)的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻,
另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍住(如下圖)。設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm,綠化帶的面積為ym2。(1)求
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。
(2)當(dāng)
x為何值時(shí),滿足條件的綠化帶的面積最大?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題(2)
∵20<25,
∴
當(dāng)x=20時(shí),y有最大值200,
即當(dāng)x=20時(shí),滿足條件的綠化帶面積最大。解:例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)2【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示,要充分利用幾何關(guān)系;要注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在自變量x的取值范圍內(nèi)。練習(xí):某窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)為15m(圖中所有線條長(zhǎng)度之和),當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?(結(jié)果精確到0.01m)探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示,要充分利用幾何關(guān)系;解:由題意可知
,化簡(jiǎn)得
,設(shè)窗戶的面積為Sm2,則
,∵
,∴S有最大值。∴當(dāng)x=1.25m時(shí),S最大值≈4.69(m2),即當(dāng)x=1.25m時(shí),窗戶通過的光線最多。此時(shí),窗戶的面積是4.69m2。練習(xí):某窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)為15m(圖中所有線條長(zhǎng)度之和),當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?(結(jié)果精確到0.01m)探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解:由題意可知例2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,P是BC上的一動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q僅在PC或其延長(zhǎng)線上,且BP=PQ,以PQ為一邊作正方形PQRS,點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿射線BC方向運(yùn)動(dòng),設(shè)BP=xcm,正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2,試分別寫出0≤x≤2和2≤x≤4時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)2提升型例題【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目題意畫出相關(guān)的圖形,充分利用幾何關(guān)系來求解同時(shí)寫出自變量x的取值范圍內(nèi)。例2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm解:如圖,陰影部分的重疊部分的面積為y當(dāng)0≤x≤2時(shí),如下面的左邊的圖形所示,PQ=BP=x,此時(shí)y=PQ2=x2,其中0≤x≤2;當(dāng)2≤x≤4時(shí),如下面的右邊的圖形所示,
PQ=BP=x,此時(shí)PC=BC-BP=4-x,其中2≤x≤4;,其中2≤x≤4;綜上所述:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解:如圖,陰影部分的重疊部分的面積為y,其中2≤x≤4;綜上練習(xí):如圖,從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E,過E點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形,它們的邊長(zhǎng)分別是AE,DE,要使剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小,點(diǎn)E應(yīng)選在何處?為什么?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形之間的關(guān)系,表示出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng),進(jìn)而表示出兩個(gè)正方形的面積之和,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。解:令DE=x,AD=a,則AE=a-x,所以面積之和
,所以當(dāng)
時(shí),面積最小,即E應(yīng)選在AD的中點(diǎn)。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E,過E點(diǎn)剪下兩個(gè)例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積;(2)當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時(shí),求甬道的寬;(3)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,如果修建甬道的總費(fèi)用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元,那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí),所建花壇的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積;(2)當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時(shí),求甬道的寬;(1)橫向甬道的面積為:
(2)依題意:
整理得:解得:x1=5,x2
=150,(舍去)
故甬道的寬為5米。解:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下(3)設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。
則:
當(dāng)
時(shí),y的值最小。
∵
根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,
∴
當(dāng)x=6米時(shí),總費(fèi)用最少。即最少費(fèi)用為238.44萬元。例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(3)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,如果修建甬道的總費(fèi)用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元,那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí),所建花壇的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?解:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練(3)設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個(gè)小梯形。解答拋物線形實(shí)際問題的一般思路:1.把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;2.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo);3.求拋物線的解析式。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個(gè)小梯形。探究練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與下底的和為4m,當(dāng)水渠深x為_______時(shí),橫斷面面積最大,最大面積是____________?!舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題目中給定的角度,求出兩腰和下底之間的關(guān)系式,進(jìn)而列式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與下底的和為4m,當(dāng)水渠深x為_______時(shí),橫斷面面積最大,最大面積是____________。兩腰與下底的和為4得到:下底為解:底角為120°,則高和腰之間的夾角為30°,水渠深度為
x,則得到:
,腰長(zhǎng)所以上底為設(shè)橫斷面的面積為S,則∴當(dāng)
時(shí),橫斷面面積最大為
。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí),△PBQ的面積等于8平方厘米?(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí),五邊形APQCD的面積為S平方厘米,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;(3)t為何值時(shí)S最???求出S的最小值。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí),△PBQ的面積等于8平方厘米?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題解:(1)設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8,則AP=x,QB=2x,∴PB=6﹣x?!?/p>
×(6﹣x)2x=8,解得x1=2,x2
=4,所以2秒或4秒后△PBQ的面積等于8。例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí),五邊形APQCD的面積為S平方厘米,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題解:(2)第t秒鐘時(shí),AP=tcm,故PB=(6-t)cm,BQ=2tcm,故例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(3)
t為何值時(shí)S最小?求出S的最小值。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題∴
當(dāng)t=3秒時(shí),S取最小值為63。解:(3)例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從練習(xí):曾經(jīng)有這樣一道題:
有一個(gè)窗戶形狀如圖1,上部是一個(gè)半圓,下部是一個(gè)矩形,如果制作窗框的材料總長(zhǎng)為6m,如何設(shè)計(jì)這個(gè)窗戶,使透光面積最大?(該題答案是:當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時(shí),透光面積最大值約為1.05m2)我們?nèi)绻淖冞@個(gè)窗戶的形狀,上部改為由兩個(gè)正方形組成的矩形,如圖2,材料總長(zhǎng)仍為6m,利用圖3,解答下列問題:(1)若AB為1m,求此時(shí)窗戶的透光面積?(2)與該例題比較,改變窗戶形狀后,窗戶透光面積的最大值有沒有變大?請(qǐng)通過計(jì)算說明。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):曾經(jīng)有這樣一道題:
有一個(gè)窗戶形狀如圖1,上部是一個(gè)半解:(1)由已知可以得到:此時(shí)窗戶的透光面積(2)設(shè)AB=x,則設(shè)窗戶的面積為S,由已知可以得到當(dāng)
時(shí),與前面的例題比較,改變窗戶形狀后,窗戶透光面積的最大值變大。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解:(1)由已知可以得到:此時(shí)窗戶的透光面積(2)設(shè)AB=x知識(shí)梳理1.二次函數(shù)的三種形式:一般式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式2.二次函數(shù)的三種形式之間的相互轉(zhuǎn)化:一般式可以利用配方化為頂點(diǎn)式
,進(jìn)而可以得到頂點(diǎn)坐標(biāo)公式
,對(duì)稱軸
。交點(diǎn)式可以先化為一般式再配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,有時(shí)也可以利用交點(diǎn)式快速的求對(duì)稱軸
。3.利用二次函數(shù)求矩形周長(zhǎng)一定的情況下,矩形面積的最大值,在求解的過程中需要標(biāo)注自變量x的取值范圍,求解的過程中注意是頂點(diǎn)最值還是區(qū)間最值,這里往往難度較大。知識(shí)梳理1.二次函數(shù)的三種形式:一般式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式2.二次函重難點(diǎn)歸納1.利用二次函數(shù)的一般式求最值,有兩種思路,第一可以先通過配方第二可以直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式
來求解。利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的最值,一般是快速的利用對(duì)稱軸的方程
來求對(duì)稱軸,進(jìn)而求解。把一般式化為頂點(diǎn)式,再利用頂點(diǎn)式求函數(shù)的最值;2.實(shí)際問題中已知矩形的周長(zhǎng)來求解面積最大,此時(shí)需要結(jié)合題意求解相關(guān)的邊長(zhǎng),列出方程或是等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式,但需要注意實(shí)際問題中往往需要注明自變量x的取值范圍。重難點(diǎn)歸納1.利用二次函數(shù)的一般式求最值,有兩種思路,第一可3.強(qiáng)化利用二次函數(shù)求面積時(shí),應(yīng)該用一個(gè)變量來表示另一個(gè)變量,進(jìn)而表示出面積,寫出自變量的取值范圍,再結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法來求解,在求解的過程中應(yīng)該注意是頂點(diǎn)最值還是區(qū)間最值,最后還需檢驗(yàn)解的合理性。4.數(shù)形結(jié)合思想特別重要,在思考的過程中需要結(jié)合題意畫出滿足條件的圖形,尤其是動(dòng)態(tài)問題中畫出圖形是解題的關(guān)鍵。重難點(diǎn)歸納3.強(qiáng)化利用二次函數(shù)求面積時(shí),應(yīng)該用一個(gè)變量來表示另一個(gè)變量謝謝謝謝實(shí)際問題與二次函數(shù)第一課時(shí)實(shí)際問題與二次函數(shù)(1)對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)
,可以利用配方把它化為頂點(diǎn)式
,進(jìn)而寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)和對(duì)稱軸x=h。(2)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點(diǎn),即令y=0即可;其與x軸交點(diǎn)即為(x1,0)、(x2,0);
求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸的交點(diǎn),即令x=0即可;其與y軸交點(diǎn)即為(0,c)。(3)將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式
來求二次函數(shù)最值,當(dāng)x=h時(shí),y取最值為k。(1)對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠請(qǐng)你畫一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的矩形,算算它的面積是多少?再和同學(xué)比比,發(fā)現(xiàn)了什么?誰的面積最大?探究一:最大面積活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問題。重點(diǎn)知識(shí)★畫周長(zhǎng)一定的矩形時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)矩形長(zhǎng)、寬、面積不確定。要求其面積的最大值,我們需要用二次函數(shù)的知識(shí)去解決。請(qǐng)你畫一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的矩形,算算它的面積是多少?再和同學(xué)例1.李老師計(jì)劃用長(zhǎng)為24米的籬笆,圍成長(zhǎng)方形花圃,他想請(qǐng)同學(xué)們幫他思考一下如何圍才能使圍成的花圃面積最大,最大值是多少?設(shè)矩形寬為x厘米,則長(zhǎng)為
厘米。當(dāng)x=6時(shí),S取最大值為36。探究一:最大面積活動(dòng)2師生共研,探索解法。重點(diǎn)知識(shí)★例1.李老師計(jì)劃用長(zhǎng)為24米的籬笆,圍成長(zhǎng)方形花圃,他想請(qǐng)同練習(xí)1.用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地,矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化。當(dāng)l為多少米時(shí),場(chǎng)地的面積S最大?【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵。解:設(shè)矩形一邊長(zhǎng)l,則長(zhǎng)為
厘米。當(dāng)l=15時(shí),S取最大值為225。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★練習(xí)1.用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地,矩形面積S隨矩形一例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米的墻可以靠,則他怎樣圍可以使花圃的面積最大?最大面積是多少?
探究一:最大面積活動(dòng)3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)★解:設(shè)矩形長(zhǎng)為x(x≤8)厘米,則寬為
厘米?!喈?dāng)x=8時(shí),S取最大值為64。例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米的墻可例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米墻可以靠,則他怎樣圍可以使花圃的面積最大?最大面積是多少?
【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵??紤]實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯(cuò)點(diǎn),最值不是由頂點(diǎn)處取到,學(xué)會(huì)區(qū)間求最值。探究一:最大面積活動(dòng)3變式應(yīng)用重點(diǎn)知識(shí)★例2.(例1變式)后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長(zhǎng)度為8米墻可以練習(xí)2.如圖,用一段長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)32m,這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?【思路點(diǎn)撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個(gè)量,列出面積的關(guān)系式時(shí)考慮實(shí)際問題中靠墻所造成的易錯(cuò)點(diǎn)。解:與墻垂直的一邊為x米,則
∵0≤60-2x≤32。
∴14≤x≤30
當(dāng)x=15時(shí),S取最大值為450。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★練習(xí)2.如圖,用一段長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形小結(jié):在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題,不一定都取圖象頂點(diǎn)處,要根據(jù)自變量的取值范圍來確定。通過前面問題的對(duì)比,希望你們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系,以及何時(shí)取頂點(diǎn)處、何時(shí)取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際的最值。探究一:最大面積重點(diǎn)知識(shí)★小結(jié):在實(shí)際問題中求解二次函數(shù)的最值問題,不一定都取圖象頂點(diǎn)例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)
25m)的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻,
另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D)。設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm,綠化帶的面積為ym2。(1)求
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。
(2)當(dāng)
x為何值時(shí),滿足條件的綠化帶的面積最大?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題解:(1)
,
自變量x的取值范圍是0<x≤25;
例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)2例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)
25m)的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻,
另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D)。設(shè)綠化帶的BC邊長(zhǎng)為xm,綠化帶的面積為ym2。(1)求
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。
(2)當(dāng)
x為何值時(shí),滿足條件的綠化帶的面積最大?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題(2)
∵20<25,
∴
當(dāng)x=20時(shí),y有最大值200,
即當(dāng)x=20時(shí),滿足條件的綠化帶面積最大。解:例1.為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)2【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示,要充分利用幾何關(guān)系;要注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在自變量x的取值范圍內(nèi)。練習(xí):某窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)為15m(圖中所有線條長(zhǎng)度之和),當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?(結(jié)果精確到0.01m)探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】中間線段用x的代數(shù)式來表示,要充分利用幾何關(guān)系;解:由題意可知
,化簡(jiǎn)得
,設(shè)窗戶的面積為Sm2,則
,∵
,∴S有最大值?!喈?dāng)x=1.25m時(shí),S最大值≈4.69(m2),即當(dāng)x=1.25m時(shí),窗戶通過的光線最多。此時(shí),窗戶的面積是4.69m2。練習(xí):某窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)為15m(圖中所有線條長(zhǎng)度之和),當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?(結(jié)果精確到0.01m)探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解:由題意可知例2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,P是BC上的一動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q僅在PC或其延長(zhǎng)線上,且BP=PQ,以PQ為一邊作正方形PQRS,點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿射線BC方向運(yùn)動(dòng),設(shè)BP=xcm,正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2,試分別寫出0≤x≤2和2≤x≤4時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)2提升型例題【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目題意畫出相關(guān)的圖形,充分利用幾何關(guān)系來求解同時(shí)寫出自變量x的取值范圍內(nèi)。例2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm解:如圖,陰影部分的重疊部分的面積為y當(dāng)0≤x≤2時(shí),如下面的左邊的圖形所示,PQ=BP=x,此時(shí)y=PQ2=x2,其中0≤x≤2;當(dāng)2≤x≤4時(shí),如下面的右邊的圖形所示,
PQ=BP=x,此時(shí)PC=BC-BP=4-x,其中2≤x≤4;,其中2≤x≤4;綜上所述:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練解:如圖,陰影部分的重疊部分的面積為y,其中2≤x≤4;綜上練習(xí):如圖,從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E,過E點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形,它們的邊長(zhǎng)分別是AE,DE,要使剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小,點(diǎn)E應(yīng)選在何處?為什么?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形之間的關(guān)系,表示出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng),進(jìn)而表示出兩個(gè)正方形的面積之和,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。解:令DE=x,AD=a,則AE=a-x,所以面積之和
,所以當(dāng)
時(shí),面積最小,即E應(yīng)選在AD的中點(diǎn)。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn)E,過E點(diǎn)剪下兩個(gè)例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積;(2)當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時(shí),求甬道的寬;(3)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,如果修建甬道的總費(fèi)用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元,那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí),所建花壇的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積;(2)當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時(shí),求甬道的寬;(1)橫向甬道的面積為:
(2)依題意:
整理得:解得:x1=5,x2
=150,(舍去)
故甬道的寬為5米。解:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下(3)設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。
則:
當(dāng)
時(shí),y的值最小。
∵
根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,
∴
當(dāng)x=6米時(shí),總費(fèi)用最少。即最少費(fèi)用為238.44萬元。例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇,花壇上底長(zhǎng)120米,下底長(zhǎng)180米,上下底相距80米,在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道,上下底之間有兩條縱向甬道,各甬道的寬度相等,設(shè)甬道的寬為x米。(3)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求,甬道的寬不能超過6米,如果修建甬道的總費(fèi)用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元,那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí),所建花壇的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?解:探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練(3)設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元。例3.如圖,要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個(gè)小梯形。解答拋物線形實(shí)際問題的一般思路:1.把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;2.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo);3.求拋物線的解析式。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練【思路點(diǎn)撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個(gè)小梯形。探究練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與下底的和為4m,當(dāng)水渠深x為_______時(shí),橫斷面面積最大,最大面積是____________?!舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題目中給定的角度,求出兩腰和下底之間的關(guān)系式,進(jìn)而列式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與下底的和為4m,當(dāng)水渠深x為_______時(shí),橫斷面面積最大,最大面積是____________。兩腰與下底的和為4得到:下底為解:底角為120°,則高和腰之間的夾角為30°,水渠深度為
x,則得到:
,腰長(zhǎng)所以上底為設(shè)橫斷面的面積為S,則∴當(dāng)
時(shí),橫斷面面積最大為
。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練練習(xí):如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,底角為120°,兩腰與例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí),△PBQ的面積等于8平方厘米?(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí),五邊形APQCD的面積為S平方厘米,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;(3)t為何值時(shí)S最???求出S的最小值。探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(1)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí),△PBQ的面積等于8平方厘米?探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型例題解:(1)設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8,則AP=x,QB=2x,∴PB=6﹣x?!?/p>
×(6﹣x)2x=8,解得x1=2,x2
=4,所以2秒或4秒后△PBQ的面積等于8。例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng),回答下列問題:(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí),五邊形APQCD的面積為S平方厘米,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;探究二:利用二次函數(shù)求幾何最值的訓(xùn)練活動(dòng)3探究型
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