高考排列組合典型例題

2020/3/272020/3/27如本題(2)中，若先排歌唱節(jié)目有A5,再排舞蹈節(jié)目有A64,這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例題四例4某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1：6六門課總的排法是A；,其中不符合要求的可分為：體育排在第一書(shū)55有A5種排法，如圖中I；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有 A5種排法，如圖中n；但這兩種排法，都包括體育排在第一書(shū)數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中出，這種情況有 A4種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：A2A5A504(種).分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為 4種情況：(1)體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有 AA：種；(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法 A：A：種；(3)體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法 A：A：種；(4)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法A這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：A2A：A：A：A：A：504(種).分析與解法3:根據(jù)要求，課表安排還可分下述 4種情況：(1)體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開(kāi)頭一節(jié)，有A12種排法；(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有 4種排法；(3)體育在最后一書(shū)，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有 4種排法；(4)數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有 1種排法.上述21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A：,故總排法數(shù)為21A：504(種).下面再提出一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答.問(wèn)題：有6個(gè)人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問(wèn)并肩多少種不同的排法.請(qǐng)讀者完成此題.說(shuō)明：解答排列、組合問(wèn)題要注意一題多解的練習(xí)， 不僅能提高解題能力，而且是檢驗(yàn)所解答問(wèn)題正確與否的行之有效的方法.典型例題五例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員.問(wèn)車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種分析：可以把3輛車看成排了順序的三個(gè)空： rm,然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入.因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問(wèn)題.解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A36種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有A36種安排方法.故搭配方案共有A3A36種.說(shuō)明：許多復(fù)雜的排列問(wèn)題，不可能一步就能完成.而應(yīng)分解開(kāi)來(lái)考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理原理去解決.在分類或分步時(shí)， 要盡量把整個(gè)事件的安排過(guò)程考慮清楚，防止分類或分步的混亂.典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有 4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇. 若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)， 同一學(xué)校的專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法學(xué)校專業(yè)112212312分析：填寫學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問(wèn)題；同一學(xué)校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè).因此這是一個(gè)排列問(wèn)題.解：填表過(guò)程可分兩步.第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在 4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有A3種不同的排法；第二步，從每所院校的 3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有 A2AA2種.綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有： A3A；A2麓5184種.說(shuō)明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)， 有時(shí)題中并未直接點(diǎn)明， 需要根據(jù)實(shí)際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要. “選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無(wú)順序要求）的是組合.另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開(kāi)考慮.典型例題七例57名同學(xué)排隊(duì)照相.(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A3種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A4種排法，故一共有AA4A7種排法.事實(shí)上排兩排與排成一排一樣，只不過(guò)把第4~7個(gè)位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是 A；,相當(dāng)于7個(gè)人的全排列.(2)優(yōu)先安排甲、乙.(3)用“捆綁法”.(4)用“插空法”.解：(1)AA44A5040種.(2)第一步安排甲，有A；種排法；第二步安排乙，有A：種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個(gè)位置上，有A5種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有A3A4a51440種.(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余 4個(gè)元素排成一排，即看成5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有 A3種排法.由分步計(jì)數(shù)原理得，共有A5A3720種排法.(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將 3名女生插入4名男生之間的5個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有 A53種插入方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有： A4A1440種.說(shuō)明：(1)相鄰問(wèn)題用“捆綁法”，即把若干個(gè)相鄰的特殊元素 “捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列.(2)不相鄰問(wèn)題用“插空法”，即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.典型例題八例8從2、&4、5、6五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和.

分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來(lái)分析，例如“2\當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形如的數(shù)共有A個(gè)(從3、4、5、6四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空) ，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”所產(chǎn)生的和是A：2.當(dāng)2位于十位時(shí)，即形如困2困的數(shù)也有A4,那么當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是席210.當(dāng)2位于面位時(shí)，可同理分析.然后再依次分析&4、5、6的情況.解:形如的數(shù)共有A42解:形如的數(shù)共有A42個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí),由“2”產(chǎn)生的和是A22;形如亞固的數(shù)也有A個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2”產(chǎn)生的和是a2210；形如EE困的數(shù)也有A2個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A422100.這樣在所有三位數(shù)的和中， 由“2”產(chǎn)生的和是人2111.同理由a4、5、6產(chǎn)生的和分別是收3111,A24111,A25111,A：6111,因此所有三位數(shù)的和是A2111(23456)26640.說(shuō)明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問(wèn)題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來(lái)解決.如

“由1,4,5,x四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， 若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288,求數(shù)x”.本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了A4424次，故有24(145x)288,得x2.典型例題九例9例9計(jì)算下列各題：⑴A25； (2) A6；m1nmAn1AnmAn1An11 2 3⑷1!22!33!nn!⑸一一，2!3!4!解：(1)Aj1514210；(2)A6!654321720；(3)原式(n1)原式(n1)![n1(m1)!]m)!1(n1)!一(nm)!」(nm)! (n1)!(4)原式(2!1)(3!2!)(4!3!)(4)原式(2!1)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!](n1)!1；(5)n1 1 1(5)n1 1 1n!(n1)!n!_2 3_ nJ2!3!4!n!1111111!2!2!3!3!41111111!2!2!3!3!41 1,1 1—.(n1)!n!n!1(n1)!1 ,, .r1(n1)!1 ,, .r —;使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、快捷.n!n1n!n(n1)!；nn!(n1)!n!； n!典型例題十例10a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊(duì)，限定a要排在b的前面(a與b可以相鄰，也可以不相鄰)，求共有幾種排法.對(duì)這個(gè)題目， A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一 一 1，種算式：A的算式是5A6； B的算式是(A1A2 A3 A4 a5) A：； C的算式是A4；2 .4 D的算式是C6A4.上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說(shuō)明理由.解：A中很顯然，"a在b前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“ b在a前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和.這表明： A的算式正確.B中把六人排隊(duì)這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段， 然后用乘法求出總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，b占位方法數(shù)是A；；當(dāng)a占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是a4；……；當(dāng)a占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是A1,當(dāng)a,b占位后，再排其他四人，他們有A：種排法，可見(jiàn)B的算式是正確的.C中A4可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓c,d,e,f占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后順序應(yīng)是a,b的.因此C的算式也正確.2 .D中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù)C6,這兩個(gè)位置讓a,b占據(jù)，顯然，a,b占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種( a要在b的前面)，這時(shí)，再排其余四人，又有A4種排法，可見(jiàn)D的算式是對(duì)的.說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí) D的解法.典型例題十一例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下” 、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：A2a2a，a：a：a58640（種）.解法2:采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是A1A7?在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法. ”這個(gè)數(shù)目是a4c2A3A4A5.其中第一個(gè)因數(shù)A1表示甲坐在第一排的方法數(shù)， c2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)， A1表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè) A：則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，點(diǎn)就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為a：a7a：c2a3a：A58640（種）.說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí).典型例題十二例12計(jì)劃在某畫(huà)廊展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起， 并且不彩畫(huà)不放在兩端，那么不同陳列方式有（）.a. A44 a5 b. A33 a： a5 c. c3 a： a5 d.a a： a5解：將同一品種的畫(huà)“捆”在一起，注意到水彩畫(huà)不放在兩端，共有 A2種排列.但4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)本身還有排列順序要求.所以共有 AA：A種陳列方式.，應(yīng)選D.說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁” ，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列.本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題.典型例題十三例13由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)， 其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（ ）.A.210 B.300 C.464 D.600解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有5a5種，所以其中1個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有 15A5300個(gè).2解法2：（間接法）：取0,1,,5個(gè)數(shù)字排列有A：,而0作為十萬(wàn)位的排列有A5,所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有 1（A6A5）300（個(gè)）.2「?應(yīng)選B.說(shuō)明：（1）直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩， 這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解.“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半， 同類問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法.典型例題十四例14用1,2,3,4,5，這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）.A.24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷.解法1：分類計(jì)算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類.一類是 2作個(gè)位數(shù)，共有簿個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，2 2 2也有A4個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有AA24個(gè).解法2：分步計(jì)算.先排個(gè)位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有A42種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有A2A2 24個(gè).解法3:按概率算.用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有 A360個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的

2「 2—.因此三位偶數(shù)共有60-24個(gè).5 5解法4:利用選擇項(xiàng)判斷.用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有 A；60個(gè).其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有 A符合條件.，應(yīng)選A.典型例題十五例15(1)計(jì)算A12A223A3 8A8.(2)求Sn1!2!3!n!(n10)的個(gè)位數(shù)字.分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算， 在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮.在(1)中，項(xiàng)可抽象為n n n nn1nnAn(n11)An(n1)AnnAn An1An , (2)中，項(xiàng)為n!n(n1)(n2)321,當(dāng)n5時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2,積的個(gè)位數(shù)為0,在加法運(yùn)算中可不考慮.解：(1)由nAn(n1)!n!???原式2!1!3!2! 9!8!9!1!362879.(2)當(dāng)n5時(shí)，n!n(n1)(n2)321的個(gè)位數(shù)為0,??Sn1!2!3!n!(n10)的個(gè)位數(shù)字與1!2!3!4!的個(gè)位數(shù)字相同.而1!2!3!4!33,，Sn的個(gè)位數(shù)字為3.說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，比如：求證:n 1一一，，，2! 3! 4! 1 ,我們首先可抓等式右邊的(n1)!(n1)!2! 3! 4!nn11n1 1(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!1 1n!(n1)!，左邊1」」2! 2!3!nn11n1 1(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!1 1n!(n1)!，左邊1」」2! 2!3!1 1n!(n1)!(n1)!右邊.典型例題十六例16用0、1、2、3、4、5共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)， （1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被 3整除的三位數(shù)分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是 0,由于個(gè)位用或者不用數(shù)字0,對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用0或者用2、4進(jìn)行分類.一個(gè)自然數(shù)能被3整除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類.解：（1）就個(gè)位用0還是用2、4分成兩類，個(gè)位用0,其它兩位從1、2、3、4中任取兩數(shù)排列，共有A4212（個(gè)），個(gè)位用2或4,再確定首位，最后確定十位，共有24432（個(gè)），所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：123244（個(gè)）.（2）從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：（012）、（015）、（024）、（045）、（123）、（135）、（234）、（345）,前四組中有0,后四組中沒(méi)有0,用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有42A16（個(gè)），如果用后3四組，共有4A24（個(gè)），所