功和能機(jī)械能守恒

關(guān)于功和能機(jī)械能守恒第一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日一、力的功1.恒力的功力對(duì)物體做功：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功：如果恒力F作用在物體上，使物體運(yùn)動(dòng)了一段位移如果與位移有一定夾角時(shí)：第二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日變力推動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（位移）做功？2.變力的功方法：將曲線(xiàn)分割成許多小段。每段位移為：每段質(zhì)點(diǎn)受力近似看成恒力：每段恒力做功為：將每段功相加，得力做功的近似值：?。毫睿玫剑骸兞ψ龅墓Φ扔诹ρ厍€(xiàn)的線(xiàn)積分！第三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日①.功是過(guò)程量，與力和路徑有關(guān)。②.功為標(biāo)量，沒(méi)有方向，但有正負(fù)。功的微分形式（元功）：說(shuō)明③.力與參照系無(wú)關(guān)，但位移與參照系有關(guān)，故力做功

與參照系有關(guān)。

④.合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。第四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日⑤.直角坐標(biāo)系⑥.自然坐標(biāo)系元功：a→b的功：元功：a→b的功：⑦.平均功率：瞬時(shí)功率：——瞬時(shí)功率等于力與物體速度的標(biāo)積!第五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：一人從10m深的水井把10kg的水勻速提上來(lái)，由于桶漏水，每升高1m漏0.2kg，問(wèn)把水提到井口需做功多少？（不計(jì)桶重）解：建立如右圖所示的坐標(biāo)系。則力做的功：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的變化：m=10-0.2y（kg）拉力：F=mg=(10-0.2y)g（N）第六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日yo例：勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直放置，下端掛一質(zhì)量為m的小球。開(kāi)始時(shí)使彈簧為原長(zhǎng)而小球剛好與地面接觸，今將彈簧上端緩慢提起至小球剛能脫離地面為止，求此過(guò)程中外力做功。解：以手開(kāi)始提的位置為原點(diǎn)建立豎直向上的坐標(biāo)系oy。拉力做功為：得：小球脫離地面時(shí)提升距離h為：第七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日解：⑴沿x軸由(0,0)→(2,0)，此時(shí)y=0，dy=0，則：例：質(zhì)點(diǎn)所受力，求質(zhì)點(diǎn)由(0,0)→(2,4)點(diǎn)的過(guò)程中力做功：⑴先沿x軸由(0,0)→(2,0)點(diǎn)，再平行y軸由(2,0)→(2,4)點(diǎn)；⑵沿連接(0,0)、(2,4)的直線(xiàn)；⑶沿拋物線(xiàn)y=x2由(0,0)→(2,4)點(diǎn)。（單位為國(guó)際單位）⑵由原點(diǎn)至(2,4)的直線(xiàn)方程為y=2x，則：⑶因y=x2，則：由(2,0)→(2,4)：第八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日解：⑴小球在力的作用下作圓周運(yùn)動(dòng)。在自然坐標(biāo)系中：例：小球在水平變力作用下緩慢移動(dòng)，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成角。求：⑴的功，⑵重力的功。ml第九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日BA二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理在a→b過(guò)程總功：→對(duì)物體做功→速度變化外力作用→功與速度變化的聯(lián)系？動(dòng)能定理：外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。在自然坐標(biāo)系中第十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日區(qū)別：功為過(guò)程量，動(dòng)能是狀態(tài)量。⑤.動(dòng)能定理提供了一種計(jì)算功的簡(jiǎn)便方法。

②.功與動(dòng)能跟參考系有關(guān)，具有相對(duì)性。說(shuō)明：①.功與動(dòng)能的區(qū)別和聯(lián)系：聯(lián)系：功是動(dòng)能變化的量度。③.動(dòng)能定理適用于慣性系。④.動(dòng)能定理的微分形式：功率：第十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日解：以釘為對(duì)象，以木板上界面為原點(diǎn)建立如圖oy坐標(biāo)系。例：用鐵錘釘釘子，設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入深度成正比。第一次擊打釘子釘入的深度為1.0cm，第二次擊打力度與第一次相同。問(wèn)第二次釘子進(jìn)木板的深度？釘所受阻力為：f=-ky（k為比例系數(shù)）錘兩次擊打力度相同，對(duì)釘做功相同：阻力對(duì)釘做功：設(shè)第二次釘釘子的深度為h，對(duì)兩過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：第十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日k為正常數(shù)，為質(zhì)點(diǎn)的位矢。該質(zhì)點(diǎn)從處被釋放，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求它到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的速率。例：一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，僅受到力作用，式中解：設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處質(zhì)點(diǎn)的速率為V，根據(jù)動(dòng)能定理，有：第十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：如圖，初始時(shí)按住質(zhì)量為M的繩子，使之靜止垂在桌外的長(zhǎng)度為b，繩子總長(zhǎng)度為L(zhǎng)。當(dāng)松手后繩子下滑，求繩全部離開(kāi)光滑桌面時(shí)的瞬時(shí)速率。由動(dòng)能定理得：解：方法1——?jiǎng)幽芏ɡ?。以桌面為原點(diǎn)建立oy坐標(biāo)系。設(shè)t時(shí)刻繩下垂長(zhǎng)為y，該段繩的質(zhì)量為m，繩速為v，繩全部離開(kāi)桌面時(shí)的速率為vL。下滑過(guò)程重力做功：而：重力所做元功：第十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日方法2——牛頓定律由牛頓定律得：第十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日M三、保守力做功與勢(shì)能萬(wàn)有引力、重力、彈性力等做功表達(dá)式？1.萬(wàn)有引力做功以M處為原點(diǎn)o，t時(shí)刻引力做元功為：A→B引力做功：AB物體由。o有心力第十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日力做功不滿(mǎn)足上式：非保守力（耗散力）

只與始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)！重力功：引力功：彈力功：保守力：——?jiǎng)菽芎瘮?shù)——保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值！第十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日令，則：處勢(shì)能等于保守力從該處沿任意路徑到零勢(shì)能點(diǎn)做的功！要人為選取零勢(shì)能點(diǎn)，勢(shì)函數(shù)才能唯一地表示各點(diǎn)勢(shì)能！將r1改寫(xiě)成r0，r2改寫(xiě)為r，則任意位置r處的勢(shì)能為：重力勢(shì)能（地面為零勢(shì)能點(diǎn)）：彈性勢(shì)能（彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)）：引力勢(shì)能（無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）：第十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日——在保守力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化。保守力作正功時(shí)（A>0）：保守力作負(fù)功時(shí)（A<0）：A→B過(guò)程保守力做功2.物體在某一位置的勢(shì)能只有相對(duì)意義，隨零勢(shì)能點(diǎn)位置的不同而不同。兩個(gè)位置的勢(shì)能之差有絕對(duì)意義。1.勢(shì)能是屬于以保守力相互作用的物體系統(tǒng)共有的能量，是相互作用能。

3.保守力做功與勢(shì)能關(guān)系的微分形式：說(shuō)明：第十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：質(zhì)量為m的物體處在距地面2R處。求地面為零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)的勢(shì)能。（R為地球半徑）得：距地面2R處的勢(shì)能：另法：以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)的引力勢(shì)能：取Ep(R)=0，得：解：由，引力勢(shì)：第二十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)的彈性勢(shì)能：解：以平衡位置為原點(diǎn)o建立ox坐標(biāo)系，設(shè)平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量設(shè)為x0。有：例：如圖，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下掛質(zhì)量為m的物體。求勢(shì)能零點(diǎn)位于平衡位置o處時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能。xmoox0Px則x處的系統(tǒng)總勢(shì)能：取Ep(x0)=0，得：第二十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日四、保守力與勢(shì)能的關(guān)系功與勢(shì)能的微分關(guān)系：在直角坐標(biāo)系：梯度算符：第二十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日1.質(zhì)點(diǎn)在軌道上任一位置時(shí)，曲線(xiàn)顯示出系統(tǒng)所具有的勢(shì)能值；2.勢(shì)能曲線(xiàn)上任一位置處的斜率的負(fù)值，即為質(zhì)點(diǎn)在該處所受的保守力；如：一保守系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)沿x方向作一維運(yùn)動(dòng)，則有：3.勢(shì)能曲線(xiàn)有極值時(shí)，即曲線(xiàn)斜率為零處，其受力為零；4.受力為零的位置稱(chēng)為平衡位置。——?jiǎng)菽芮€(xiàn)有極大值的位置點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡位置；——?jiǎng)菽芮€(xiàn)有極小值的位置點(diǎn)是穩(wěn)定平衡位置。勢(shì)能曲線(xiàn)*彈性勢(shì)能：彈性勢(shì)能曲線(xiàn)第二十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日五、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系{mi}，各質(zhì)點(diǎn)速度為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能：第i質(zhì)點(diǎn)受力為：外力

第i質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理有：內(nèi)力

總外力功總內(nèi)力功總動(dòng)能增量——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理注意：先求每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的功，再求總功。不能先求合力再求功。因各質(zhì)點(diǎn)的元位移不同，不能作為公因子提到求和符號(hào)之外。第二十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日即：一般內(nèi)力做功總和

注意：一對(duì)內(nèi)力所做功之和等于力與相對(duì)位移的標(biāo)積，

不一定等于零。一對(duì)內(nèi)力有：兩質(zhì)點(diǎn)間元功之和為：相對(duì)位移第二十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日即有：將內(nèi)力做功分為保守內(nèi)力做功與非保守內(nèi)力做功，即：非保守內(nèi)力功保守內(nèi)力功六、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理既然：系統(tǒng)的機(jī)械能:表明：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力的功之和?！|(zhì)點(diǎn)系的功能原理第二十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日七、機(jī)械能守恒定律能量轉(zhuǎn)換與守恒定律對(duì)于功能原理：若：則：——系統(tǒng)的機(jī)械能守恒或：——孤立系統(tǒng)中非保守內(nèi)力不做功時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能可以彼此轉(zhuǎn)化，各質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能也可以相互交換，但系統(tǒng)的總機(jī)械能為恒量?！潜Ｊ貎?nèi)力做功會(huì)使系統(tǒng)的機(jī)械能發(fā)生變化！

孤立系統(tǒng)中機(jī)械能增加或減少時(shí)，就有等量的非機(jī)械能減少或增加，從而保持系統(tǒng)的總能量（機(jī)械能與非機(jī)械之和）不變。四、能量轉(zhuǎn)換和守恒定律對(duì)于孤立系統(tǒng)：則功能原理為：——能量轉(zhuǎn)換和守恒定律第二十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日摩擦內(nèi)力做功：例：如圖，質(zhì)量為M的卡車(chē)載質(zhì)量為m的木箱以速率v沿平直路面行駛，因故緊急剎車(chē)車(chē)輪立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，卡車(chē)滑行距離L后靜止，木箱相對(duì)卡車(chē)滑行了l距離。已知木箱與卡車(chē)、車(chē)輪與地面間的摩擦系數(shù)分別為1、2。求L和l。解：視卡車(chē)與木箱看作質(zhì)點(diǎn)系。據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，有：外力F做功：對(duì)木箱應(yīng)用動(dòng)能定理：第二十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：如圖，質(zhì)量為M的滑塊置于斜面底端A處，斜面傾角

高度為h。今有質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入滑塊并留在其中，且使滑塊沿斜面滑動(dòng)，摩擦系數(shù)為。求

滑塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解：子彈與滑塊撞擊過(guò)程沿斜面的動(dòng)量守恒，設(shè)滑塊得到的初速度為v1有：令滑塊滑出頂端時(shí)的速度為v2，取A點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，由功能原理有：聯(lián)立上式得：第二十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：打樁機(jī)錘的質(zhì)量m，將長(zhǎng)L、質(zhì)量M、半徑r的樁打入地下，其側(cè)面單位面積受泥土阻力為k。求：⑴樁由于自重下沉深度h1；⑵在樁穩(wěn)定后，將錘升至距樁頂端h處讓其自由下落擊樁，若錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞，第一錘使樁下沉深度h2；⑶若樁已下沉l時(shí)，錘再一次下落擊樁后反彈起h，此時(shí)已非完全非彈性碰撞，樁的下沉深度h3。解：⑴取樁和地球?yàn)橄到y(tǒng)，樁初始位置的質(zhì)心為勢(shì)能零點(diǎn)，由功能原理：樁下沉距離：錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞后樁的速率設(shè)為v，由動(dòng)量守恒定律有：⑵錘下落的末速設(shè)為v0：第三十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日聯(lián)立上式得樁再次下沉的深度：第一錘能使樁下沉深度設(shè)為h2，下沉過(guò)程由功能原理：聯(lián)立上式得樁下沉深度：⑶再次擊樁時(shí)的碰撞是一般非彈性的，碰后錘的速率v1為：對(duì)樁下沉過(guò)程中再次應(yīng)用功能原理，得：樁的速率設(shè)v，由動(dòng)量守恒有：第三十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例：如圖，質(zhì)量m長(zhǎng)l的繩放在水平桌面上，繩與桌面間摩擦系數(shù)為。求：⑴繩下垂段l0至少多長(zhǎng)時(shí)，繩開(kāi)始下滑；⑵當(dāng)繩全部離開(kāi)桌面時(shí)繩的速率v。解：⑴繩下垂部分的重力大于桌面的靜摩擦力，繩開(kāi)始下滑：⑵當(dāng)下垂繩長(zhǎng)為y時(shí)，桌面對(duì)繩的摩擦力為：以桌面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，由功能原理有：摩擦力做功：第三十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日解：取A＋B＋彈簧+地球?yàn)橄到y(tǒng)。彈簧原長(zhǎng)為l，取原長(zhǎng)時(shí)A位置為原點(diǎn)建立ox系，此處為重力與彈力勢(shì)能零點(diǎn)。A的平衡位置為x