高中三年級(jí)總復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)與題型歸納總結(jié)

..高三總復(fù)習(xí)----數(shù)列一、數(shù)列的概念〔1數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)〔或首項(xiàng),在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng),……,序號(hào)為的項(xiàng)叫第項(xiàng)〔也叫通項(xiàng)記作；數(shù)列的一般形式：,,,……,,……,簡(jiǎn)記作。例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列〔1a,-3,-1,1,b,5,7,9;<2>20XX各省參加高考的考生人數(shù)?！?通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：①：1,2,3,4,5,…②：…數(shù)列①的通項(xiàng)公式是=〔7,,數(shù)列②的通項(xiàng)公式是=〔。說明：①表示數(shù)列,表示數(shù)列中的第項(xiàng),=表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；②③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,……〔3數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號(hào)：123456項(xiàng)：456789上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集〔或它的有限子集的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……,,……．通常用來代替,其圖象是一群孤立點(diǎn)。例：畫出數(shù)列的圖像.〔4數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列〔遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？〔11,2,3,4,5,6,…<2>10,9,8,7,6,5,…<3>1,0,1,0,1,0,…<4>a,a,a,a,a,…〔5數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：例：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)：1．根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng),寫出它的通項(xiàng)公式：〔11,3,5,7……；〔2,,,；〔3,,,。〔49,99,999,9999…〔57,77,777,7777,…<6>8,88,888,8888…2．?dāng)?shù)列中,已知〔1寫出,,,,；〔2是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是,是第幾項(xiàng)？3．〔2003京春理14,文15在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中,自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白〔_____內(nèi)。4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù),在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù),寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.〔1〔1〔4〔7〔〔5.觀察下列各圖,并閱讀下面的文字,像這樣,10條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是〔,其通項(xiàng)公式為.2條直線相交,最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交,最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交,最多有6個(gè)交點(diǎn)A．40個(gè)B．452條直線相交,最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交,最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交,最多有6個(gè)交點(diǎn)二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。例：等差數(shù)列,題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列〔通?？煞Q為數(shù)列的單調(diào)性：為遞增數(shù)列,為常數(shù)列,為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中,等于〔A．15B．30C．31D．642.是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,如果,則序號(hào)等于〔A667〔B668〔C669〔D6703.等差數(shù)列,則為為〔填"遞增數(shù)列"或"遞減數(shù)列"題型三、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果,,成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中,,成等差數(shù)列即：〔例：1．〔14全國(guó)I設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若,,則〔A．B．C．D．2.設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是〔A．1B.2C.4D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：〔1在等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；〔2在等差數(shù)列中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；〔3在等差數(shù)列中,對(duì)任意,,,；〔4在等差數(shù)列中,若,,,且,則；題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式：。<是等差數(shù)列>遞推公式：例：1.如果等差數(shù)列中,,那么〔A14〔B21〔C28〔D352.〔2015XX卷文設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則等于<>A．13B．35C．49D．633.〔2015全國(guó)卷Ⅰ理設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則=4.〔2015XX文〔2在等差數(shù)列中,,則的值為〔〔A5〔B6〔C8〔D105.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有〔A.13項(xiàng) B.12項(xiàng) C.11項(xiàng) D.10項(xiàng)6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若7.〔2014全國(guó)卷Ⅱ理設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若則8．〔2014全國(guó)已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.〔Ⅰ求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn；9.已知數(shù)列是等差數(shù)列,,其前10項(xiàng)的和,則其公差等于<>C.D.10.〔2015XX卷文設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則11．〔2013全國(guó)設(shè)｛an｝為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,已知S7＝7,S15＝75,Tn為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和,求Tn。12.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為,已知=1\*GB3①求通項(xiàng)；=2\*GB3②若=242,求13.在等差數(shù)列中,〔1已知；〔2已知；<3>已知題型六.對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：〔1若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有項(xiàng),則①偶奇；②；〔2若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),設(shè)共有項(xiàng),則①奇偶；②。題型七.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列,仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為〔A.130 B.170 C.210 D.2602.一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為。3．已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,=5．〔2015全國(guó)II設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和,若＝,則＝A．B．C．D．題型八．判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列的通項(xiàng)為,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷4.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5.已知一個(gè)數(shù)列滿足,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷6.數(shù)列滿足=8,〔=1\*GB3①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7．〔14天津理,2設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=n2,則{an}是〔A.等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列,而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列題型九.數(shù)列最值〔1,時(shí),有最大值；,時(shí),有最小值；〔2最值的求法：①若已知,的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法〔；②或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng),即：若已知,則最值時(shí)的值〔可如下確定或。例：1．等差數(shù)列中,,則前項(xiàng)的和最大。2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知=1\*GB3①求出公差的范圍,=2\*GB3②指出中哪一個(gè)值最大,并說明理由。3．〔12上海設(shè)｛an｝〔n∈N*是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5＜S6,S6＝S7＞S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是〔A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4．已知數(shù)列的通項(xiàng)〔,則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是5.已知是等差數(shù)列,其中,公差。〔1數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？〔2求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值．6.已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,其中,公差,若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值．7.在等差數(shù)列中,,,求的最大值．題型十.利用求通項(xiàng)．1.數(shù)列的前項(xiàng)和．〔1試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；〔2數(shù)列是等差數(shù)列嗎？〔3你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和則3.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.已知數(shù)列中,前和=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB3②求數(shù)列的通項(xiàng)公式5.〔2015XX文設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為〔〔A15<B>16<C>49〔D64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示,即：：。一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式在等比數(shù)列中,,則在等比數(shù)列中,,則3.〔2014XX文在等比數(shù)列{an}中,a2＝8,a1＝64,,則公比q為〔〔A2 〔B3 〔C4 〔D84.在等比數(shù)列中,,,則=5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為21,則〔A33B72C84D189二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則稱為的等比中項(xiàng),且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為<>2.〔2013XX卷文設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=〔A． B． C． D．三、等比數(shù)列的基本性質(zhì),1.〔1〔2〔3為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.〔4既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1．在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則<>2.在等比數(shù)列,已知,,則=3.在等比數(shù)列中,=1\*GB3①求=2\*GB3②若4.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且〔A．12B．10C．8D．2+5.〔2014XX卷理已知等比數(shù)列滿足,且,則當(dāng)時(shí),〔A.B.C.D.2.前項(xiàng)和公式例：1.已知等比數(shù)列的首相,公比,則其前n項(xiàng)和2.已知等比數(shù)列的首相,公比,當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近與無窮大時(shí),其前n項(xiàng)和3.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已,求和4．〔2015年北京卷設(shè),則等于〔A． B．C．D．5．〔2014全國(guó)文,21設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S3＋S6＝2S9,求數(shù)列的公比q；6．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則q的值為.3.若數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)的和,,那么,,成等比數(shù)列.例：1.〔2014XX卷理設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,若=3,則=A.2B.C.D.32.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為〔A．83B．108C．75D．633.已知數(shù)列是等比數(shù)列,且4.等比數(shù)列的判定法〔1定義法：為等比數(shù)列；〔2中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；〔3通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；〔4前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列的通項(xiàng)為,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為〔A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5.利用求通項(xiàng)．例：1.〔2015北京卷數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2.〔2015XX卷已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為,且,證明數(shù)列是等比數(shù)列．四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法〔1．公式法〔定義法根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足：,求；已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.數(shù)列滿足=8,〔,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列滿足且,求的通項(xiàng)公式已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足〔,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足且〔,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足且〔,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；12.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)公式=〔2累加法1、累加法適用于：若,則兩邊分別相加得例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔3累乘法適用于：若,則兩邊分別相乘得,例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,,求。3.已知,,求。待定系數(shù)法適用于解題基本步驟：確定設(shè)等比數(shù)列,公比為列出關(guān)系式比較系數(shù)求,解得數(shù)列的通項(xiàng)公式解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例：1.已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?015,XX,文,14在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)_______________3.〔2014.XX.理22.本小題滿分14分已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)5.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)6.已知數(shù)列中,,,求7.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)8.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。遞推公式為〔其中p,q均為常數(shù)。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s,t滿足9.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?遞推公式中既有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解。〔2015北京卷數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2.〔2015XX卷已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為,且,證明數(shù)列是等比數(shù)列．3．已知數(shù)列中,前和=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB3②求數(shù)列的通項(xiàng)公式4.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且前n項(xiàng)和滿足,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項(xiàng)例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?對(duì)無窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第與項(xiàng)的關(guān)系例：1.〔20XX全國(guó)I第15題,原題是填空題已知數(shù)列滿足,求的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列滿足,．求數(shù)列的通項(xiàng)；五、數(shù)列求和1．