簡易邏輯(課堂)課件

第三節(jié)簡易邏輯第三節(jié)簡易邏輯三年10考高考指數(shù):★★★1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2.理解四種命題及其相互關(guān)系.3.掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.三年10考高考指數(shù):★★★1.四種命題及命題的真假,充要條件的判斷是考查重點.2.常以其他數(shù)學(xué)知識為載體考查.3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).1.四種命題及命題的真假,充要條件的判斷是考查重點.1.命題的有關(guān)概念名稱定義命題可以判斷真假的語句真命題判斷為真的語句假命題判斷為假的語句1.命題的有關(guān)概念名稱定義命題可以判斷真假的語句真命題判【即時應(yīng)用】(1)判斷下列命題的真假.(請在括號內(nèi)填“真”或“假”)①若則x=y()②若x2=1,則x=1()③若x=y,則()④若x＜y,則x2＜y2()【即時應(yīng)用】(2)對于任意實數(shù)a,b,c,判斷下列命題的真假.(請在括號內(nèi)填“真”或“假”)①若a＞b,c≠0,則ac＞bc()②若a＞b,則ac2＞bc2()③若ac2＞bc2,則a＞b()④若ac2≤bc2,則a≤b()⑤若a≤b,則ac2≤bc2()(2)對于任意實數(shù)a,b,c,判斷下列命題的真假.(請在括號【解析】(1)由得x=y,故命題①為真;由x2=1得x=±1,故命題②為假;由x=y，不一定有意義，故命題③為假;x＜y＜0時，得不到x2＜y2,故命題④為假.(2)當(dāng)c＜0時，①不正確；當(dāng)c=0時，②④不正確;ac2＞bc2?a＞b,③正確.a≤b,c2≥0?ac2≤bc2,⑤正確.答案：(1)①真②假③假④假(2)①假②假③真④假⑤真【解析】(1)由得x=y,故命題①為真;由x2=2.邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有_______、_______、________；(2)簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；復(fù)合命題：由___________與_____________構(gòu)成的命題.復(fù)合命題分為三類：________，________，________.“或”“且”“非”簡單命題邏輯聯(lián)結(jié)詞p或qp且q非p2.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”簡單命題邏輯聯(lián)結(jié)詞p或qp且(1)思考：如何判斷復(fù)合命題的真假呢？提示:復(fù)合命題的真假可通過真值表來加以判斷pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(1)思考：如何判斷復(fù)合命題的真假呢？pq非pp或qp且q真(2)對于命題p和q,若p且q為真命題,則下列四個命題:①p或q是真命題;②p且q是真命題;③p且q是假命題;④p或q是假命題,其中真命題是_______(填上序號即可)【解析】∵p且q為真命題,∴p、q都是真命題,p和q都是假命題.∴命題①、③均為真命題,而命題②、④均為假命題.答案：①③(2)對于命題p和q,若p且q為真命題,則下列四個命題:①p3.四種命題及關(guān)系(1)四種命題原命題：若p則q；逆命題：__________；否命題：___________；逆否命題：_____________.(2)四種命題之間的相互關(guān)系若q則p若p則q若q則p3.四種命題及關(guān)系若q則p若p則q若q則p原命題若p則q互逆互逆互否互否互為逆否互為逆否否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p逆命題若q則p原命題互逆互逆互否互否互為逆否互為【即時應(yīng)用】(1)已知命題“對任意a,b∈R,如果ab＞0,則a＞0”,則它的否命題是______.(2)命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是__________.(3)有下列命題:①“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題②“相似三角形的周長相等”的否命題【即時應(yīng)用】③“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”的逆否命題④“若A∪B=B,則AB”的逆否命題其中真命題的序號是__________.【解析】(1)任意a,b∈R是大前提,在否命題中也不變,又因為ab＞0,a＞0的否定分別為ab≤0,a≤0,故原命題的否命題是:“對任意a,b∈R,如果ab≤0,則a≤0”.(2)“都是”的否定是“不都是”,故其逆否命題是:“若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)”.③“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”的逆否命(3)①，逆命題為:若x,y互為倒數(shù),則xy=1,是真命題;②，否命題:不相似的三角形的周長不相等,是假命題;對③,若方程x2-2bx+b2+b=0有實根,則Δ=4b2-4(b2+b)≥0,∴b≤0,故命題“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”是真命題,其逆否命題也為真命題.對④,∵若A∪B=B,則A?B,∴命題“若A∪B=B,則AB”是假命題,其逆否命題也是假命題.答案：(1)對任意a,b∈R,如果ab≤0,則a≤0(2)若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)(3)①③(3)①，逆命題為:若x,y互為倒數(shù),則xy=1,是真命題;4.充要條件定義從集合角度若p?q,則p是q的_________若p是q的充分條件,則_____若q?p,則p是q的_________若p是q的必要條件,則_____若p?q且q?p,則p是q的______________若p是q的充分必要條件,則_____充分條件必要條件充分必要條件4.充要條件定義從集合角度若p?q,則p是q的_____【即時應(yīng)用】(1)“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的______條件.(2)若集合A={x|2＜x＜3},B={x|(x+2)(x-a)＜0},則“a=1”是“A∩B=”的_______條件.(3)已知p是r的充分條件而不是必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,現(xiàn)有下列命題:①s是q的充要條件;②p是q的充分條件而不是必要條件;③r是q的必要條件而不是充分條件;【即時應(yīng)用】④p是s的必要條件而不是充分條件;⑤r是s的充分條件而不是必要條件.則正確命題的序號是_____________.(4)設(shè)n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有正數(shù)根的充要條件是n=___.【解析】(1)由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x(x-3)＜0得0＜x＜3,所以“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的必要不充分條件.(2)當(dāng)a=1時,B={x|-2＜x＜1},滿足A∩B=;反之,若A∩B=,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=”的充分不必要條件.④p是s的必要條件而不是充分條件;(3)由題意知,∴s?q,①正確;p?r?s?q,∴p?q,但qp,②正確;同理判斷③⑤不正確,④正確.(4)由于x2-4x+n=(x-2)2+n-4,對稱軸x=2,所以，只要判別式Δ≥0，方程x2-4x+n=0就有正根.因此，所求的充要條件是16-4n≥0,即n≤4.又由于n∈N+,所以n=1,2,3,4答案：(1)必要不充分(2)充分不必要(3)①②④(4)1,2,3,4(3)由題意知,5.反證法從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)矛盾(歸謬)，從而否定假設(shè)，證明原命題(結(jié)論)成立，這樣的證明方法叫做反證法.5.反證法【即時應(yīng)用】(1)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，判斷下列假設(shè)是否正確(請在括號中填寫“√”或“×”).①假設(shè)至少有一個鈍角()②假設(shè)一個鈍角也沒有()③假設(shè)至少有兩個鈍角()④假設(shè)一個鈍角也沒有或至少有兩個鈍角()【即時應(yīng)用】(2)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列5個條件，判斷下列說法是否能推出：“a,b中至少有一個大于1”(請在括號中填“是”或“否”).①a+b＞1()②a+b=2()③a+b＞2()④a2+b2＞2()⑤ab＞1()(2)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列5個條件，判斷下列說法是否【解析】(1)三角形的內(nèi)角分類有鈍角0個、1個、2個、3個四種情況，“至多一個鈍角”包含了0個和1個兩種，故反設(shè)應(yīng)恰好包含2個和3個兩種.①中“至少有一個鈍角”包含了1個、2個、3個，②中“一個也沒有”包含了0個，④中“一個也沒有或者至少有兩個”包含了0個、2個、3個，均不符合題意.③中“至少有兩個”恰好包含了2個和3個，故正確.(2)若a=b=則a+b＞1,但a＜1,b＜1,故①推不出；【解析】(1)三角形的內(nèi)角分類有鈍角0個、1個、2個、3個四若a=b=1,則a+b=2,故②推不出；若a=-2,b=-3，則a2+b2＞2,故④推不出;若a=-2,b=-3，則ab＞1,故⑤推不出;對于③,即a+b＞2，則a,b中至少有一個大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b＞2矛盾,因此假設(shè)不成立，即a,b中至少有一個大于1.答案：(1)①×②×③√④×(2)①否②否③是④否⑤否若a=b=1,則a+b=2,故②推不出；含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【方法點睛】1.判斷復(fù)合命題“p或q”、“p且q”、“p”真假的步驟(1)確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;(2)判斷其中簡單命題p、q的真假;(3)根據(jù)真值表確定“p或q”、“p且q”、“p”形式的復(fù)合命題的真假.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假2.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假,可利用真值表轉(zhuǎn)化為一些簡單命題的真假進(jìn)行判斷.已知命題p、q,只要有一個命題為假,p且q就為假;只要有一個為真,p或q就為真;p與p真假相反.2.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假,可利用真值表轉(zhuǎn)化【例1】(2012·金華模擬)指出下列命題的真假:(1)命題“不等式|x+2|≤0沒有實數(shù)解”;(2)命題“-1是偶數(shù)或奇數(shù)”;(3)命題“屬于集合Q,也屬于集合R”;(4)命題“AA∪B”.【解題指南】先判斷命題的形式,再由真值表判斷真假.【例1】(2012·金華模擬)指出下列命題的真假:【規(guī)范解答】(1)此命題是“p”的形式,其中p:“不等式|x+2|≤0有實數(shù)解”,因為x=-2是該不等式的一個解,所以p是真命題,即p是假命題,所以此命題是假命題.(2)此命題是“p或q”的形式,其中p:“-1是偶數(shù)”,q:“-1是奇數(shù)”,因為p為假命題,q為真命題,所以p或q是真命題,故此命題是真命題.【規(guī)范解答】(1)此命題是“p”的形式,其中p:“不等式(3)此命題是“p且q”的形式,其中p:“屬于集合Q”,q:“屬于集合R”,因為p為假命題,q為真命題,所以p且q是假命題,故此命題是假命題.(4)此命題是“p”的形式,其中p:“A?A∪B”,因為p為真命題,所以p為假命題,故此命題是假命題.(3)此命題是“p且q”的形式,其中p:“屬于集合Q”【反思·感悟】1.判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題的方法：判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題時,不能只從字面上看有沒有“或”、“且”、“非”,如“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”,此命題字面上無“且”,但可改成“等腰三角形的頂角平分線既是底邊上的中線又是底邊上的高線”,所以它是復(fù)合命題.又例如“5的倍數(shù)的末位數(shù)字不是0就是5”,此命題字面上無“或”,但它也是復(fù)合命題.【反思·感悟】1.判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題的方法：2.判斷命題的真假,即是看能否從命題中的已知條件得出命題中的結(jié)論.有時需要將命題分解為簡單命題來幫助思考,也可以利用舉反例的方法進(jìn)行判斷.2.判斷命題的真假,即是看能否從命題中的已知條件得出命題中的【變式訓(xùn)練】1.命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立,則()(A)p是假命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足≥1(B)p是假命題,p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立(C)p是真命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足＞1(D)p是真命題,p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立【變式訓(xùn)練】1.命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32【解析】選C.∵0＜log32＜1,∴當(dāng)x≥0時,(log32)x≤1,∴命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立是真命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足＞1.【解析】選C.∵0＜log32＜1,2.已知命題p:方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根;命題q:方程4x2+4(m-2)x+m2=0無實根.若“p或q”為真,“p且q”為假,則下列結(jié)論:①p、q都為真;②p、q都為假;③p、q一真一假;④p、q中至少有一個為真;⑤p、q中至少有一個為假.其中正確結(jié)論的序號是______,m的取值范圍是_______.2.已知命題p:方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根;命【解析】命題p中方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根,當(dāng)且僅Δ=m2-4＞0當(dāng)x1+x2=m＞0,即m＞2;命題q中方程4x2+4(m-2)x+m2=0x1x2=1＞0無實根,當(dāng)且僅當(dāng)Δ=16［(m-2)2-m2］＜0,即m＞1.“p或q”為真當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少一個為真,“p且q”為假當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少一個為假,故結(jié)論①②④⑤都錯誤，只有結(jié)論③正確,若m＞2m≤2m≤1m＞1解得1＜m≤2,即m的取值范圍為(1,2］.答案：③(1,2］p真q假，則,此時無解；若p假q真，則,【解析】命題p中方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根,當(dāng)【變式備選】1.給出命題p:3≥3,q:函數(shù)f(x)=在R上圖象是連續(xù)的,則在下列三個復(fù)合命題:“p且q”,“p或q”,“非p”中,真命題的個數(shù)為()(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個【解析】選B.要判斷三個復(fù)合命題的真假,先必須判斷p與q的真假,再結(jié)合復(fù)合命題的真值表作出判斷.p:3≥3為真命題,而q:f(x)=在R上圖象是連續(xù)的，是假命題,則p或q為真,p且q為假,p為假命題.【變式備選】1.給出命題p:3≥3,q:函數(shù)f(x)=2.已知命題p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù),p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù),則在命題q1:p1或p2,q2:p1且p2,q3:(p1)或p2和q4:p1且(p2)中,真命題是()(A)q1,q3 (B)q2,q3 (C)q1,q4 (D)q2,q4【解析】選C.因為y=2x為增函數(shù),y=2-x為減函數(shù),易知p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)是真命題,p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題.故q1,q4為真命題.2.已知命題p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù),p2:四種命題以及它們之間的關(guān)系【方法點睛】1.判斷四種命題之間的關(guān)系在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”、“否命題”、“逆否命題”；要判定命題為假命題時只需舉反例.四種命題以及它們之間的2.正確區(qū)別“命題的否定”與“否命題”“命題的否定”與“否命題”是兩個完全不同的概念.“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”只是否定命題p的結(jié)論.具體地說，如果原命題是“若p，則q”,那么原命題的否定是“若p，則q”，原命題的否命題是“若p,則q”.【提醒】命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系.2.正確區(qū)別“命題的否定”與“否命題”【例2】(1)命題“若∠C=90°，則△ＡＢＣ是直角三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，假命題的個數(shù)是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)判斷命題“已知a,x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假.【例2】(1)命題“若∠C=90°，則△ＡＢＣ是直角三角形”【解題指南】(1)先判斷原命題的真假，再根據(jù)命題之間的關(guān)系判斷逆否命題的真假.然后寫出逆命題并判斷真假，最后判斷否命題的真假.(2)解決本題應(yīng)先寫出逆否命題，要判斷其真假，可根據(jù)定義直接判斷；也可利用原命題與其逆否命題的等價關(guān)系求解.【規(guī)范解答】(1)選C.原命題為真命題，則逆否命題也為真命題，逆命題“若△ABC是直角三角形，則∠C=90°”，是假命題，也可能是∠B=90°或∠A=90°，則否命題也是假命題.【解題指南】(1)先判斷原命題的真假，再根據(jù)命題之間的關(guān)系判(2)方法一：直接由原命題寫出其逆否命題，然后判斷逆否命題的真假.原命題：已知a,x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，則a≥1.逆否命題：已知a,x為實數(shù)，如果a＜1，則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集.判斷如下：拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2開口向上，(2)方法一：直接由原命題寫出其逆否命題，然后判斷逆否命題的判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a＜1,∴4a-7＜0,即拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點.∴關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集.故逆否命題為真.方法二：根據(jù)命題之間的關(guān)系，原命題與其逆否命題同真同假，只需判斷原命題的真假即可.判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a,x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為非空，∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥∵a≥≥1,∴原命題為真命題.又因為原命題與其逆否命題同真同假，所以逆否命題為真.∵a,x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+【反思·感悟】1.對四種命題的結(jié)構(gòu)不明確是導(dǎo)致判斷錯誤的主要原因之一.可以根據(jù)“逆命題”、“否命題”、“逆否命題”和“命題的否定”的概念逐一得出命題后，再進(jìn)行真假判斷.也可以利用逆否命題來判斷原命題的真假，確定一個命題是假命題時可以靈活運用特殊值方法.2.一個命題的真假與其他三個命題的真假關(guān)系:(1)原命題為真，它的逆命題不一定為真.(2)原命題為真，它的否命題不一定為真.(3)原命題為真，它的逆否命題一定為真.(4)逆命題與否命題同真同假.【反思·感悟】1.對四種命題的結(jié)構(gòu)不明確是導(dǎo)致判斷錯誤的主要【變式訓(xùn)練】(2012·宿州模擬)下列命題：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題；②“全等三角形面積相等”的逆命題；③“若a＞1，則ax2-2ax+a+3＞0的解集為R”的逆否命題；④“若x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題.其中正確的命題是()(A)③④ (B)①③ (C)①② (D)②④【變式訓(xùn)練】(2012·宿州模擬)下列命題：【解析】選A.對于①，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對于②，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題；對于③，當(dāng)a＞1時，Δ=-12a＜0,原命題正確，從而其逆否命題正確，故③正確；對于④，原命題正確，從而其逆否命題正確，故④正確，故選A.【解析】選A.對于①，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為【變式備選】1.(2012·威海模擬)下列命題：①“若ab=0,則a=0”的否命題；②“正三角形的三個角均為60°”的逆否命題.其中真命題的序號是_____(把所有真命題的序號填在橫線上).【解析】①“若ab=0,則a=0”的否命題為“若ab≠0,則a≠0”,而由ab≠0可得a,b都不為零，故a≠0，所以該命題是真命題;②由于原命題“正三角形的三個角均為60°”是一個真命題，故其逆否命題也是真命題.故填①②.答案：①②【變式備選】1.(2012·威海模擬)下列命題：2.若a、b、c∈R,寫出命題“若ac＜0,則ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假.2.若a、b、c∈R,寫出命題“若ac＜0,則ax2+bx+【解析】逆命題“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)有兩個不相等的實數(shù)根，則ac＜0”.是假命題，如當(dāng)a=1,b=-3,c=2時，方程x2-3x+2=0有兩個不等實根x1=1,x2=2,但ac=2＞0.否命題“若ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題.逆否命題“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根，則ac≥0”是真命題.因為原命題是真命題，它與原命題等價.【解析】逆命題“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)有兩充分條件與必要條件的判定【方法點睛】判斷命題的充分、必要條件的方法(1)定義法：判斷p是q的什么條件，實際上就是判斷p?q或q?p是否成立，只要把題目中所給條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可.充分條件與必要條件的判(2)等價法：當(dāng)所給命題的充分性、必要性不易判定時，可對命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，即利用A?B與B?A，B?A與A?B，A?B與B?A的等價關(guān)系進(jìn)行判斷.對于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運用等價法.(3)集合法：當(dāng)所給命題的充分性、必要性不易判定時，有時可從集合的角度來考慮.記條件p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則有以下結(jié)論:(2)等價法：當(dāng)所給命題的充分性、必要性不易判定時，可對若A?B，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A=B，則p是q的充要條件.【提醒】判斷命題的充要條件時需注意：一要分清命題的條件與結(jié)論；二要注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，通常把一個正面較難判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題進(jìn)行判斷；三要注意判斷多個命題之間的關(guān)系時，常用圖示法.若A?B，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要【例3】(1)(2012·紹興模擬)已知集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x＜a},則“A?B”是“a＞5”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(2)對于下面說法：①若A是B的必要不充分條件，則(B)也是(A)的必要不充分條件；【例3】(1)(2012·紹興模擬)已知集合A={x||x|②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件；④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分條件.其中正確說法的序號是_______.②“”是“一元二次不等式ax2(3)(2012·衡水模擬)指出下列說法中,p是q的什么條件(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).①在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;②對于實數(shù)x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;③非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;④已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0(3)(2012·衡水模擬)指出下列說法中,p是q的什么條件【解題指南】要判斷p是q的什么條件一般要從兩個方面考慮，一是若p成立是否q成立，二是若q成立是否p成立.【規(guī)范解答】(1)選B.A={x|-4≤x≤4},若A?B,則a＞4,a＞4a＞5,但a＞5?a＞4.故“A?B”是“a＞5”的必要不充分條件.(2)∵A

B,∴A?B，故①正確;“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R”的充要條件是【解題指南】要判斷p是q的什么條件一般要從兩個方面考慮，一是“”，故②正確；“x≠1”不能得出“x2≠1”，例如x=-1，故③錯誤；∵“x+|x|＞0?x≠0”,但x≠0不能推出x+|x|＞0，故④正確.答案：①②④“”，故②正確；“x≠1”不能得(3)①在△ABC中,∠A=∠B?sinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因為A與B不可能互補(三角形三個內(nèi)角和為180°),所以只有A=B,故p是q的充要條件.②易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,顯然q?p,但pq,即q是p的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.(3)①在△ABC中,∠A=∠B?sinA=sinB,反之,③顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.④p:x=1且y=2,q:x=1或y=2,所以p?q但qp,故p是q的充分不必要條件.③顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所【互動探究】本例(3)已知條件不變,那么q是p的什么條件?【解析】由(3)的解析知①q是p的充要條件;②q是p的必要不充分條件;③q是p的充分不必要條件;④q是p的必要不充分條件.【互動探究】本例(3)已知條件不變,那么q是p的什么條件?【反思·感悟】1.充分、必要條件顛倒是常見的導(dǎo)致錯誤的原因之一.當(dāng)判斷p與q之間的關(guān)系時,要注意方向性,充分條件與必要條件方向正好相反;要理清推理順序,然后根據(jù)要求作答,不要混淆.2.充分、必要條件的判斷或探求(1)要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A；(2)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明；【反思·感悟】1.充分、必要條件顛倒是常見的導(dǎo)致錯誤的原因之(3)以下說法所表達(dá)的意義相同：①命題“若p則q”為真;②p?q;③p是q的充分條件;④q是p的必要條件.(4)要證明命題的條件是充要的，既要證明原命題成立、又要證明它的逆命題成立，證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性.(3)以下說法所表達(dá)的意義相同：【變式備選】1.設(shè)0＜x＜則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件【變式備選】1.設(shè)0＜x＜則“xsin2x＜1”是“x【解析】選B.因為0＜x＜所以0＜sinx＜1,不等式xsinx＜1兩邊同乘sinx可得:xsin2x＜sinx,所以有xsin2x＜sinx＜1,即xsinx＜1?xsin2x＜1;不等式xsin2x＜1兩邊同除以sinx可得:xsinx＜而由0＜sinx＜1知＞1,故xsinx＜1不一定成立,即xsin2x＜1xsinx＜1.由以上可知,“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分條件.【解析】選B.因為0＜x＜所以0＜sinx＜1,2.記實數(shù)x1,x2,…，xn中的最大數(shù)為max{x1,x2,…，xn}，最小數(shù)為min{x1,x2，…，xn}.已知△ABC的三邊邊長為a,b,c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l=max{}·min{},則“l(fā)=1”是“△ABC為等邊三角形”的()(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件2.記實數(shù)x1,x2,…，xn中的最大數(shù)為max{x1,x2【解析】選B.若△ABC為等邊三角形，即a=b=c,則max{}=1=min{}，則l=1;若△ABC為等腰三角形,如a=2,b=2,c=3時,則max{}=min{}=此時l=1仍成立，但△ABC不為等邊三角形,所以B正確.【解析】選B.若△ABC為等邊三角形，即a=b=c,則max借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)取值范圍【方法點睛】利用簡易邏輯求參數(shù)取值范圍的方法(1)以命題為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時,首先要對簡單命題進(jìn)行化簡,然后依據(jù)新命題的真假,列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.(2)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成復(fù)合命題的(一個或兩個)簡單命題的真假,求出此時參數(shù)成立的條件,再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參【例4】(2012·黃岡模擬)已知a＞0,且a≠1,設(shè)p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減;q:函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在(+∞)上為增函數(shù),若“p且q”為假,“p或q”為真,求實數(shù)a的取值范圍.【解題指南】先按p、q為真時,分別求出相應(yīng)的a的范圍;再用補集的思想,求出p、q分別對應(yīng)的a的范圍;最后根據(jù)“p且q”為假、“p或q”為真,確定p、q的真假,進(jìn)而求出a的范圍.【例4】(2012·黃岡模擬)已知a＞0,且a≠1,設(shè)p:函【規(guī)范解答】∵函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,∴0＜a＜1.即p:0＜a＜1,∵a＞0且a≠1,∴p:a＞1.又∵f(x)=x2-2ax+1在(+∞)上為增函數(shù),∴a≤∵a＞0且a≠1,∴q:0＜a≤∴q:a＞且a≠1,又∵“p或q”為真,“p且q”為假,∴p真q假或p假q真.【規(guī)范解答】∵函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,①當(dāng)p真,q假時,{a|0＜a＜1}∩{a|a＞且a≠1}={a|＜a＜1}.②當(dāng)p假,q真時,{a|a＞1}∩{a|0＜a≤}=.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是{a|＜a＜1}.①當(dāng)p真,q假時,{a|0＜a＜1}∩{a|a＞且a≠1【反思·感悟】1.解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個條件所對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來,然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補的基本運算.2.借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)范圍問題的一般方法步驟:第一步:求命題p、q對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.第二步:求命題p、q對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.第三步:根據(jù)已知條件構(gòu)造新命題,如本題構(gòu)造新命題“p真q假”“p假q真”.第四步:根據(jù)新命題,確定參數(shù)的范圍.第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范.【反思·感悟】1.解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個條件所對應(yīng)【變式訓(xùn)練】1.(2012·桂林模擬)已知命題p:對任意x∈［1,2］,都有x2-a≥0,命題q:存在x∈R,使得x2+2ax+2-a=0,若“p且q”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是()(A)a=1或a≤-2 (B)a≤-2或1≤a≤2(C)a≥1 (D)-2≤a≤1【變式訓(xùn)練】【解析】選A.由“p且q”為真命題,知p,q都是真命題.p:x2≥a在［1,2］上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命題p:a≤1;q:設(shè)f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0?a≥1或a≤-2.所以命題q:a≥1或a≤-2.由得a=1或a≤-2,∴實數(shù)a的取值范圍是a=1或a≤-2,故選A.【解析】選A.由“p且q”為真命題,知p,q都是真命題.2.(2012·南寧模擬)已知命題p:方程2x2+ax-a2=0在［-1,1］上有解;命題q:只有一個實數(shù)x0滿足不等式x02+2ax0+2a≤0,若命題“p或q”是假命題,求a的取值范圍.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴x=或x=-a,∴當(dāng)命題p為真命題時||≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2.2.(2012·南寧模擬)已知命題p:方程2x2+ax-a2又“只有一個實數(shù)x0滿足x02+2ax0+2a≤0”,即拋物線y=x2+2ax+2a與x軸只有一個交點,∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.∴當(dāng)命題q為真命題時,a=0或a=2,∵命題“p或q”為假命題,∴a＞2或a＜-2,即a的取值范圍為{a|a＞2或a＜-2}.又“只有一個實數(shù)x0滿足x02+2ax0+2a≤0”,【變式備選】(2012·日照模擬)已知命題p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的兩個實根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|對任意實數(shù)m∈［-1,1］恒成立;命題q:不等式ax2+2x-1＞0有解,若命題p是真命題、命題q是假命題,求a的取值范圍.【解析】∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的兩個實根,x1+x2=mx1x2=-2,∴|x1-x2|=∴當(dāng)m∈［-1,1］時,|x1-x2|max=3.∴【變式備選】(2012·日照模擬)已知命題p:x1和x2是方由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|對任意實數(shù)m∈［-1,1］恒成立,可得:a2-5a-3≥3.∴a≥6或a≤-1,∴命題p為真命題時a≥6或a≤-1.命題q:不等式ax2+2x-1＞0有解,①當(dāng)a＞0時,顯然有解.②當(dāng)a=0時,2x-1＞0有解.③當(dāng)a＜0時,∵ax2+2x-1＞0有解,由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|對任意實數(shù)m∈［-1,∴Δ=4+4a＞0,∴-1＜a＜0.從而命題q:不等式ax2+2x-1＞0有解即a＞-1，又命題q是假命題,∴a≤-1.故命題p是真命題且命題q是假命題時，a的取值范圍為(-∞,-1］.∴Δ=4+4a＞0,∴-1＜a＜0.【滿分指導(dǎo)】充要條件問題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·重慶模擬)已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m＞0),且p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.【滿分指導(dǎo)】充要條件問題的規(guī)范解答【解題指南】可以先寫出p和q,然后由q?p,但pq來求m的取值范圍；也可以利用逆否命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化,搞清楚命題中條件與結(jié)論的關(guān)系,再去解不等式,找解集間的包含關(guān)系,進(jìn)而使問題解決.【解題指南】可以先寫出p和q,然后由q?p,【規(guī)范解答】方法一:由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m…………2分則q:A={x|x＞1+m或x＜1-m,m＞0}.………………4分由|1-|≤2,得-2≤x≤10,………6分則p:B={x|x＞10或x＜-2}.………8分∵p是q的必要不充分條件,【規(guī)范解答】方法一:由x2-2x+1-m2≤0,m＞0m＞0∴AB?1-m≤-2或1-m＜-2,…10分1+m＞101+m≥10解得m≥9.…………………12分m＞0m＞0方法二：∵p是q的必要不充分條件，∴q?p，且pq.…………2分∴p?q,且qp,即p是q的充分不必要條件.………4分∵p:C={x|-2≤x≤10},………………6分q:D={x|1-m≤x≤1+m,m＞0}.………8分1+m≥10m＞0∴m＞0或1+m＞10………………10分1-m＜-21-m≤-2∴m≥9.∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}.……………12分∴CD,方法二：∵p是q的必要不充分條件，∴CD,【閱卷人點撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時,有兩點容易造成失分:(1)在解不等式(組)時,由于粗心對已知條件中的不等式(組)求解時出錯誤,導(dǎo)致最終的結(jié)果不正確.(2)將命題間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系后,分不清集合間的包含關(guān)系.

【閱卷人點撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警備考建議解決應(yīng)用充要條件的題目時,還有以下幾點容易造成失分,在備考時要高度關(guān)注:(1)一般地,在涉及到求字母參數(shù)的取值范圍的充要條件問題時,常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮.(2)對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外,還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性,轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題.

備解決應(yīng)用充要條件的題目時,還有以下幾點容易造成失分,在備考1.(2012·中山模擬)已知a,b,c,d為實數(shù),且c＞d.則“a＞b”是“a-c＞b-d”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件1.(2012·中山模擬)已知a,b,c,d為實數(shù),且c＞d【解析】選B.方法一:a＞b推不出a-c＞b-d,但a-c＞b-d?a＞b+c-d＞b,故選B.方法二:令a=2,b=1,c=3,d=-5,則a-c=-1＜b-d=1-(-5)=6;由a-c＞b-d可得,a＞b+(c-d)，因為c＞d,則c-d＞0,所以a＞b.故“a＞b”是“a-c＞b-d”的必要而不充分條件.【解析】選B.方法一:a＞b推不出a-c＞b-d,但a-c＞2.(2012·臨沂模擬)命題p:“x＞1”是“|x|＞”的充要條件；命題q:|x2-8x+16|≤x-4的解集為［4,5］，那么()(A)“p或q”為假 (B)“p且q”為真(C)“p且q”為真 (D)“p且q”為真2.(2012·臨沂模擬)命題p:“x＞1”是“|x|＞【解析】選D.∵|x|＞?x＞1或x＜0,∴p假，則p真，又|x2-8x+16|≤x-4,即-(x-4)≤x2-8x+16≤x-4,解得4≤x≤5,∴q為真.∴“p或q”為真，“p且q”為假，“p且q”為假，“p且q”為真.【解析】選D.∵|x|＞?x＞1或x＜0,3.(2012·駐馬店模擬)已知條件p:(1-x)(x+1)＞0，條件q:lg有意義，則p是q的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解題指南】化簡條件p、q，求出p與q后根據(jù)集合間的關(guān)系判斷.3.(2012·駐馬店模擬)已知條件p:(1-x)(x+1)【解析】選B.由(1-x)(x+1)＞0，得-1＜x＜1，即條件p:-1＜x＜1，則p:x≤-1或x≥1.1+x≥0由1-x2≥0，得-1＜x≤1.＞0即條件q:-1＜x≤1，則q:x≤-1或x＞1.∴pq，但q?p.∴p是q的必要不充分條件，故選B.【解析】選B.由(1-x)(x+1)＞0，得-1＜x＜1，4.(2011·福建高考)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]={5n+k｜n∈Z}，k=0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.(2011·福建高考)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的【解析】選C.對于①：2011＝5×402+1，∴2011∈[1],故①正確；對于②：-3=5×(-1)+2，∴-3∈[2]，故②不正確；對于③:∵整數(shù)集Z被5除，所得余數(shù)共分為五類.∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正確；【解析】選C.對于①：2011＝5×402+1，對于④：若整數(shù)a,b屬于同一“類”，則a=5n1+k，b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-(5n2+k)=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0]，若a-b∈[0],則a-b=5n,即a=b+5n,故a與b被5除的余數(shù)為同一個數(shù).∴a與b屬于同一“類”，所以“整數(shù)a,b屬于同一‘類’”的充要條件是“a-b∈[0]”，故④正確，∴正確結(jié)論的個數(shù)是3.對于④：若整數(shù)a,b屬于同一“類”，5.(2012·長沙模擬)下列結(jié)論:①若命題p:存在x∈R,使得tanx=1;命題q:對任意x∈R,都有x2-x+1＞0.則命題“p且q”是假命題；②已知直線l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,則l1⊥l2的充要條件是③命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為:“若x≠1,則x2-3x+2≠0”.其中正確結(jié)論的序號為________.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)5.(2012·長沙模擬)下列結(jié)論:【解析】①中命題p為真命題,命題q為真命題,所以p且q為假命題,故①正確;②當(dāng)b=a=0時,有l(wèi)1⊥l2,故②不正確;③正確,所以正確結(jié)論的序號為①③.答案：①③【解析】①中命題p為真命題,命題q為真命題,所以p且q為簡易邏輯(課堂)課件簡易邏輯(課堂)課件第三節(jié)簡易邏輯第三節(jié)簡易邏輯三年10考高考指數(shù):★★★1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2.理解四種命題及其相互關(guān)系.3.掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.三年10考高考指數(shù):★★★1.四種命題及命題的真假,充要條件的判斷是考查重點.2.常以其他數(shù)學(xué)知識為載體考查.3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).1.四種命題及命題的真假,充要條件的判斷是考查重點.1.命題的有關(guān)概念名稱定義命題可以判斷真假的語句真命題判斷為真的語句假命題判斷為假的語句1.命題的有關(guān)概念名稱定義命題可以判斷真假的語句真命題判【即時應(yīng)用】(1)判斷下列命題的真假.(請在括號內(nèi)填“真”或“假”)①若則x=y()②若x2=1,則x=1()③若x=y,則()④若x＜y,則x2＜y2()【即時應(yīng)用】(2)對于任意實數(shù)a,b,c,判斷下列命題的真假.(請在括號內(nèi)填“真”或“假”)①若a＞b,c≠0,則ac＞bc()②若a＞b,則ac2＞bc2()③若ac2＞bc2,則a＞b()④若ac2≤bc2,則a≤b()⑤若a≤b,則ac2≤bc2()(2)對于任意實數(shù)a,b,c,判斷下列命題的真假.(請在括號【解析】(1)由得x=y,故命題①為真;由x2=1得x=±1,故命題②為假;由x=y，不一定有意義，故命題③為假;x＜y＜0時，得不到x2＜y2,故命題④為假.(2)當(dāng)c＜0時，①不正確；當(dāng)c=0時，②④不正確;ac2＞bc2?a＞b,③正確.a≤b,c2≥0?ac2≤bc2,⑤正確.答案：(1)①真②假③假④假(2)①假②假③真④假⑤真【解析】(1)由得x=y,故命題①為真;由x2=2.邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有_______、_______、________；(2)簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；復(fù)合命題：由___________與_____________構(gòu)成的命題.復(fù)合命題分為三類：________，________，________.“或”“且”“非”簡單命題邏輯聯(lián)結(jié)詞p或qp且q非p2.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”簡單命題邏輯聯(lián)結(jié)詞p或qp且(1)思考：如何判斷復(fù)合命題的真假呢？提示:復(fù)合命題的真假可通過真值表來加以判斷pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(1)思考：如何判斷復(fù)合命題的真假呢？pq非pp或qp且q真(2)對于命題p和q,若p且q為真命題,則下列四個命題:①p或q是真命題;②p且q是真命題;③p且q是假命題;④p或q是假命題,其中真命題是_______(填上序號即可)【解析】∵p且q為真命題,∴p、q都是真命題,p和q都是假命題.∴命題①、③均為真命題,而命題②、④均為假命題.答案：①③(2)對于命題p和q,若p且q為真命題,則下列四個命題:①p3.四種命題及關(guān)系(1)四種命題原命題：若p則q；逆命題：__________；否命題：___________；逆否命題：_____________.(2)四種命題之間的相互關(guān)系若q則p若p則q若q則p3.四種命題及關(guān)系若q則p若p則q若q則p原命題若p則q互逆互逆互否互否互為逆否互為逆否否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p逆命題若q則p原命題互逆互逆互否互否互為逆否互為【即時應(yīng)用】(1)已知命題“對任意a,b∈R,如果ab＞0,則a＞0”,則它的否命題是______.(2)命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是__________.(3)有下列命題:①“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題②“相似三角形的周長相等”的否命題【即時應(yīng)用】③“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”的逆否命題④“若A∪B=B,則AB”的逆否命題其中真命題的序號是__________.【解析】(1)任意a,b∈R是大前提,在否命題中也不變,又因為ab＞0,a＞0的否定分別為ab≤0,a≤0,故原命題的否命題是:“對任意a,b∈R,如果ab≤0,則a≤0”.(2)“都是”的否定是“不都是”,故其逆否命題是:“若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)”.③“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”的逆否命(3)①，逆命題為:若x,y互為倒數(shù),則xy=1,是真命題;②，否命題:不相似的三角形的周長不相等,是假命題;對③,若方程x2-2bx+b2+b=0有實根,則Δ=4b2-4(b2+b)≥0,∴b≤0,故命題“若b≤-1,則x2-2bx+b2+b=0有實根”是真命題,其逆否命題也為真命題.對④,∵若A∪B=B,則A?B,∴命題“若A∪B=B,則AB”是假命題,其逆否命題也是假命題.答案：(1)對任意a,b∈R,如果ab≤0,則a≤0(2)若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)(3)①③(3)①，逆命題為:若x,y互為倒數(shù),則xy=1,是真命題;4.充要條件定義從集合角度若p?q,則p是q的_________若p是q的充分條件,則_____若q?p,則p是q的_________若p是q的必要條件,則_____若p?q且q?p,則p是q的______________若p是q的充分必要條件,則_____充分條件必要條件充分必要條件4.充要條件定義從集合角度若p?q,則p是q的_____【即時應(yīng)用】(1)“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的______條件.(2)若集合A={x|2＜x＜3},B={x|(x+2)(x-a)＜0},則“a=1”是“A∩B=”的_______條件.(3)已知p是r的充分條件而不是必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,現(xiàn)有下列命題:①s是q的充要條件;②p是q的充分條件而不是必要條件;③r是q的必要條件而不是充分條件;【即時應(yīng)用】④p是s的必要條件而不是充分條件;⑤r是s的充分條件而不是必要條件.則正確命題的序號是_____________.(4)設(shè)n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有正數(shù)根的充要條件是n=___.【解析】(1)由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x(x-3)＜0得0＜x＜3,所以“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的必要不充分條件.(2)當(dāng)a=1時,B={x|-2＜x＜1},滿足A∩B=;反之,若A∩B=,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=”的充分不必要條件.④p是s的必要條件而不是充分條件;(3)由題意知,∴s?q,①正確;p?r?s?q,∴p?q,但qp,②正確;同理判斷③⑤不正確,④正確.(4)由于x2-4x+n=(x-2)2+n-4,對稱軸x=2,所以，只要判別式Δ≥0，方程x2-4x+n=0就有正根.因此，所求的充要條件是16-4n≥0,即n≤4.又由于n∈N+,所以n=1,2,3,4答案：(1)必要不充分(2)充分不必要(3)①②④(4)1,2,3,4(3)由題意知,5.反證法從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)矛盾(歸謬)，從而否定假設(shè)，證明原命題(結(jié)論)成立，這樣的證明方法叫做反證法.5.反證法【即時應(yīng)用】(1)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，判斷下列假設(shè)是否正確(請在括號中填寫“√”或“×”).①假設(shè)至少有一個鈍角()②假設(shè)一個鈍角也沒有()③假設(shè)至少有兩個鈍角()④假設(shè)一個鈍角也沒有或至少有兩個鈍角()【即時應(yīng)用】(2)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列5個條件，判斷下列說法是否能推出：“a,b中至少有一個大于1”(請在括號中填“是”或“否”).①a+b＞1()②a+b=2()③a+b＞2()④a2+b2＞2()⑤ab＞1()(2)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列5個條件，判斷下列說法是否【解析】(1)三角形的內(nèi)角分類有鈍角0個、1個、2個、3個四種情況，“至多一個鈍角”包含了0個和1個兩種，故反設(shè)應(yīng)恰好包含2個和3個兩種.①中“至少有一個鈍角”包含了1個、2個、3個，②中“一個也沒有”包含了0個，④中“一個也沒有或者至少有兩個”包含了0個、2個、3個，均不符合題意.③中“至少有兩個”恰好包含了2個和3個，故正確.(2)若a=b=則a+b＞1,但a＜1,b＜1,故①推不出；【解析】(1)三角形的內(nèi)角分類有鈍角0個、1個、2個、3個四若a=b=1,則a+b=2,故②推不出；若a=-2,b=-3，則a2+b2＞2,故④推不出;若a=-2,b=-3，則ab＞1,故⑤推不出;對于③,即a+b＞2，則a,b中至少有一個大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b＞2矛盾,因此假設(shè)不成立，即a,b中至少有一個大于1.答案：(1)①×②×③√④×(2)①否②否③是④否⑤否若a=b=1,則a+b=2,故②推不出；含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【方法點睛】1.判斷復(fù)合命題“p或q”、“p且q”、“p”真假的步驟(1)確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;(2)判斷其中簡單命題p、q的真假;(3)根據(jù)真值表確定“p或q”、“p且q”、“p”形式的復(fù)合命題的真假.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假2.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假,可利用真值表轉(zhuǎn)化為一些簡單命題的真假進(jìn)行判斷.已知命題p、q,只要有一個命題為假,p且q就為假;只要有一個為真,p或q就為真;p與p真假相反.2.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假,可利用真值表轉(zhuǎn)化【例1】(2012·金華模擬)指出下列命題的真假:(1)命題“不等式|x+2|≤0沒有實數(shù)解”;(2)命題“-1是偶數(shù)或奇數(shù)”;(3)命題“屬于集合Q,也屬于集合R”;(4)命題“AA∪B”.【解題指南】先判斷命題的形式,再由真值表判斷真假.【例1】(2012·金華模擬)指出下列命題的真假:【規(guī)范解答】(1)此命題是“p”的形式,其中p:“不等式|x+2|≤0有實數(shù)解”,因為x=-2是該不等式的一個解,所以p是真命題,即p是假命題,所以此命題是假命題.(2)此命題是“p或q”的形式,其中p:“-1是偶數(shù)”,q:“-1是奇數(shù)”,因為p為假命題,q為真命題,所以p或q是真命題,故此命題是真命題.【規(guī)范解答】(1)此命題是“p”的形式,其中p:“不等式(3)此命題是“p且q”的形式,其中p:“屬于集合Q”,q:“屬于集合R”,因為p為假命題,q為真命題,所以p且q是假命題,故此命題是假命題.(4)此命題是“p”的形式,其中p:“A?A∪B”,因為p為真命題,所以p為假命題,故此命題是假命題.(3)此命題是“p且q”的形式,其中p:“屬于集合Q”【反思·感悟】1.判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題的方法：判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題時,不能只從字面上看有沒有“或”、“且”、“非”,如“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”,此命題字面上無“且”,但可改成“等腰三角形的頂角平分線既是底邊上的中線又是底邊上的高線”,所以它是復(fù)合命題.又例如“5的倍數(shù)的末位數(shù)字不是0就是5”,此命題字面上無“或”,但它也是復(fù)合命題.【反思·感悟】1.判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題的方法：2.判斷命題的真假,即是看能否從命題中的已知條件得出命題中的結(jié)論.有時需要將命題分解為簡單命題來幫助思考,也可以利用舉反例的方法進(jìn)行判斷.2.判斷命題的真假,即是看能否從命題中的已知條件得出命題中的【變式訓(xùn)練】1.命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立,則()(A)p是假命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足≥1(B)p是假命題,p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立(C)p是真命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足＞1(D)p是真命題,p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立【變式訓(xùn)練】1.命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32【解析】選C.∵0＜log32＜1,∴當(dāng)x≥0時,(log32)x≤1,∴命題p:對任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立是真命題,p:存在x0∈［0,+∞),滿足＞1.【解析】選C.∵0＜log32＜1,2.已知命題p:方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根;命題q:方程4x2+4(m-2)x+m2=0無實根.若“p或q”為真,“p且q”為假,則下列結(jié)論:①p、q都為真;②p、q都為假;③p、q一真一假;④p、q中至少有一個為真;⑤p、q中至少有一個為假.其中正確結(jié)論的序號是______,m的取值范圍是_______.2.已知命題p:方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根;命【解析】命題p中方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根,當(dāng)且僅Δ=m2-4＞0當(dāng)x1+x2=m＞0,即m＞2;命題q中方程4x2+4(m-2)x+m2=0x1x2=1＞0無實根,當(dāng)且僅當(dāng)Δ=16［(m-2)2-m2］＜0,即m＞1.“p或q”為真當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少一個為真,“p且q”為假當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少一個為假,故結(jié)論①②④⑤都錯誤，只有結(jié)論③正確,若m＞2m≤2m≤1m＞1解得1＜m≤2,即m的取值范圍為(1,2］.答案：③(1,2］p真q假，則,此時無解；若p假q真，則,【解析】命題p中方程x2-mx+1=0有兩個不等的正實根,當(dāng)【變式備選】1.給出命題p:3≥3,q:函數(shù)f(x)=在R上圖象是連續(xù)的,則在下列三個復(fù)合命題:“p且q”,“p或q”,“非p”中,真命題的個數(shù)為()(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個【解析】選B.要判斷三個復(fù)合命題的真假,先必須判斷p與q的真假,再結(jié)合復(fù)合命題的真值表作出判斷.p:3≥3為真命題,而q:f(x)=在R上圖象是連續(xù)的，是假命題,則p或q為真,p且q為假,p為假命題.【變式備選】1.給出命題p:3≥3,q:函數(shù)f(x)=2.已知命題p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù),p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù),則在命題q1:p1或p2,q2:p1且p2,q3:(p1)或p2和q4:p1且(p2)中,真命題是()(A)q1,q3 (B)q2,q3 (C)q1,q4 (D)q2,q4【解析】選C.因為y=2x為增函數(shù),y=2-x為減函數(shù),易知p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)是真命題,p2:函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題.故q1,q4為真命題.2.已知命題p1:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù),p2:四種命題以及它們之間的關(guān)系【方法點睛】1.判斷四種命題之間的關(guān)系在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”、“否命題”、“逆否命題”；要判定命題為假命題時只需舉反例.四種命題以及它們之間的2.正確區(qū)別“命題的否定”與“否命題”“命題的否定”與“否命題”是兩個完全不同的概念.“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”只是否定命題p的結(jié)論.具體地說，如果原命題是“若p，則q”,那么原命題的否定是“若p，則q”，原命題的否命題是“若p,則q”.【提醒】命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系.2.正確區(qū)別“命題的否定”與“否命題”【例2】(1)命題“若∠C=90°，則△ＡＢＣ是直角三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，假命題的個數(shù)是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)判斷命題“已知a,x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假.【例2】(1)命題“若∠C=90°，則△ＡＢＣ是直角三角形”【解題指南】(1)先判斷原命題的真假，再根據(jù)命題之間的關(guān)系判斷逆否命題的真假.然后寫出逆命題并判斷真假，最后判斷否命題的真假.(2)解決本題應(yīng)先寫出逆否命題，要判斷其真假，可根據(jù)定義直接判斷；也可利用原命題與其逆否命題的等價關(guān)系求解.【規(guī)范解答】(1)選C.原命題為真命題，則逆否命題也為真命題，逆命題“若△ABC是直角三角形，則∠C=90°”，是假命題，也可能是∠B=90°或∠A=90°，則否命題也是假命題.【解題指南】(1)先判斷原命題的真假，再根據(jù)命題之間的關(guān)系判(2)方法一：直接由原命題寫出其逆否命題，然后判斷逆否命題的真假.原命題：已知a,x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，則a≥1.逆否命題：已知a,x為實數(shù)，如果a＜1，則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集.判斷如下：拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2開口向上，(2)方法一：直接由原命題寫出其逆否命題，然后判斷逆否命題的判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a＜1,∴4a-7＜0,即拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點.∴關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集.故逆否命題為真.方法二：根據(jù)命題之間的關(guān)系，原命題與其逆否命題同真同假，只需判斷原命題的真假即可.判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a,x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為非空，∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥∵a≥≥1,∴原命題為真命題.又因為原命題與其逆否命題同真同假，所以逆否命題為真.∵a,x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+【反思·感悟】1.對四種命題的結(jié)構(gòu)不明確是導(dǎo)致判斷錯誤的主要原因之一.可以根據(jù)“逆命題”、“否命題”、“逆否命題”和“命題的否定”的概念逐一得出命題后，再進(jìn)行真假判