2023學年陜西省西安工業(yè)大學附屬補習學校高三最后一卷數(shù)學試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點，若曲線在點，處的切線重合，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．12．集合，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．4．幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3，……，這個數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．50505．黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．6．已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．37．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．8．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．459．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．10．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．48 B．36 C．24 D．1212．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__14．定義，已知，，若恰好有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.15．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，，，構成等差數(shù)列，則_______．16．已知向量，，，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，當時，都有恒成立，求最大的整數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導數(shù)相等，證明：；（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側）.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.21．（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據(jù)統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)為61人，預測2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系樹，從而得出，令函數(shù)，結合導數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【題目詳解】解：當時，，則;當時，則.設為函數(shù)圖像上的兩點，當或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設則，由可得則當時，的最大值為.則在上單調(diào)遞減，則.故選:B.【答案點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關系式.本題的易錯點是計算.2．D【答案解析】

利用交集的定義直接計算即可.【題目詳解】，故，故選：D.【答案點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.3．C【答案解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【題目詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當時，.故選:C.【答案點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應用,難度一般.4．C【答案解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【題目詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【答案點睛】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.5．D【答案解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．6．C【答案解析】

設切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【題目詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【答案點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．7．B【答案解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關系和特點，求得點橫坐標的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【題目詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【答案點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應用，圓的幾何性質(zhì)應用，屬于中檔題.8．B【答案解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【題目詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【答案點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.9．C【答案解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【題目詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結構是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【答案點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結構求出其體積.10．B【答案解析】

構造長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當?shù)倪x取直線為m，n即可進行判斷．【題目詳解】如圖，取長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令AD1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【答案點睛】本題考點有兩個：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？兩方面進行判斷；②是空間的垂直關系，一般利用長方體為載體進行分析．11．C【答案解析】

由開始，按照框圖，依次求出s，進行判斷?！绢}目詳解】，故選C.【答案點睛】框圖問題，依據(jù)框圖結構，依次準確求出數(shù)值，進行判斷，是解題關鍵。12．C【答案解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點：平面的基本性質(zhì)及推論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【答案解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【題目詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【答案點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎題．14．【答案解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，再分當，兩種情況討論求解.【題目詳解】由題意得：當時，在軸上方，且為增函數(shù)，無零點，至多有兩個零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，如圖所示：當時，即時，要有3個零點，則，解得；當時，即時，要有3個零點，則，令，，所以在是減函數(shù)，又，要使，則須，所以.綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【答案點睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.15．0【答案解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【題目詳解】由，，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0【答案點睛】本題考查了等差中項的應用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.16．3【答案解析】

由題意得，，再代入中，計算即可得答案.【題目詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【答案點睛】本題考查向量模的計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）見解析【答案解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構造函數(shù)，利用導數(shù)，推出，即可證明不等式.【題目詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調(diào)遞減，∴，即，則在單調(diào)遞減∴，∴，∴.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論和構造新函數(shù)，通過導數(shù)證明不等式，考查轉化思想和計算能力.18．（1）（2）2【答案解析】

（1）先求得切點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.（2）對分成，兩種情況進行分類討論.當時，將不等式轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值（設為）的取值范圍，由的得在上恒成立，結合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】（1）已知函數(shù)，則處即為，又，，可知函數(shù)過點的切線為，即.（2）注意到，不等式中，當時，顯然成立；當時，不等式可化為令，則，，所以存在，使.由于在上遞增，在上遞減，所以是的唯一零點.且在區(qū)間上，遞減，在區(qū)間上，遞增，即的最小值為，令，則，將的最小值設為，則，因此原式需滿足，即在上恒成立，又，可知判別式即可，即，且可以取到的最大整數(shù)為2.【答案點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.19．（1）；（2）見解析；（3）見解析【答案解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問題轉化為證明有唯一實數(shù)解，對求導，判斷其單調(diào)性，結合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【題目詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；當時，；當時，；即對于任意實數(shù)，一定有解；；當時，有兩個極值點；函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又；只需，在時恒成立；只需；令，其中一個正解是；，；單調(diào)遞增，，（1）；；；綜上得證．【答案點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)證明不等式，考查了轉化思想、不等式的放縮，屬難題．20．（1）（2）見解析【答案解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設，，當時，，即可求得答案.【題目詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設，，當時，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任意恒成立.【答案點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.21．（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【答案解析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關于的線性回歸方程；（2）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分