上海市華師大第一附屬中學(xué)2023屆高一上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．可以化簡成（）A. B.C. D.2．棱長分別為1、、2的長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的體積為A. B.C. D.3．已知集合，則A B.C. D.4．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)α是（）A.1 B.4C.1或4 D.2或45．已知函數(shù)，則A.0 B.1C. D.26．已知，且，則的最小值為（）A.3 B.4C.6 D.97．棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A. B.C. D.8．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則A. B.C.1 D.9．冪函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B.C. D.10．下列各組函數(shù)與的圖象相同的是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則的最大值為（）A. B.C. D.12．用反證法證明命題：“已知.，若不能被7整除，則與都不能被7整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為A.,都能被7整除 B.,不能被7整除C.,至少有一個(gè)能被7整除 D.,至多有一個(gè)能被7整除二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則=____.14．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中"方田"章給出了計(jì)算弧田面積時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積（弦×矢+矢2），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長與圓心到弦的距離之差），現(xiàn)有圓心角為2，半徑為1米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是_________平方米.（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：，）15．設(shè)則__________.16．函數(shù)的最大值為__________三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求所在直線的方程.18．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式.19．如圖,在圓錐中,已知,圓的直徑,是弧的中點(diǎn),為的中點(diǎn).（1）求異面直線和所成的角的正切值；（2）求直線和平面所成角的正弦值.20．設(shè)函數(shù)f(x)=k?2x-（1）求k的值；（2）若不等式f(x)>a?2x-1（3）設(shè)g(x)=4x+4-x-4f(x)，求21．已知函數(shù).（1）證明為奇函數(shù)；（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程：在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.22．已知函數(shù)（其中）的圖象過點(diǎn)，且其相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（1）求實(shí)數(shù)的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可【詳解】解：，故選：B2、A【解析】球的直徑為長方體的體對角線，又體對角線的長度為，故體積為，選A.3、C【解析】分析：先解指數(shù)不等式得集合A，再根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)得集合B，最后根據(jù)補(bǔ)集以及交集定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋砸虼?，選C.點(diǎn)睛：合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖4、C【解析】根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，由扇形的周長是6，面積是2，可得，解得或，又由弧長公式，可得，即，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，故選：C.5、B【解析】,選B.6、A【解析】將變形為，再將變形為，整理后利用基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)?，故，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.7、A【解析】先求出該球面的半徑，由此能求出該球面的表面積【詳解】棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，該球面的半徑，該球面的表面積為故選A【點(diǎn)睛】本題考查球面的表面積的求法，考查正方體的外接球、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題8、C【解析】由題意，故選C9、D【解析】設(shè)，由點(diǎn)冪函數(shù)上求出參數(shù)n，即可得函數(shù)解析式，進(jìn)而求.【詳解】設(shè)，又在圖象上，則，可得，所以，則.故選：D10、B【解析】根據(jù)相等函數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】若函數(shù)與的圖象相同則與表示同一個(gè)函數(shù)，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，故B正確；C：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故排除C；D：與的解析式不相同，故排除D.故選：B11、D【解析】令，可得出，令，證明出函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即為所求.【詳解】令，則，則，令，下面證明函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，任取、且，則，，則，，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，同理可證函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，，.因此，函數(shù)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的基本步驟如下：（1）判斷或證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在區(qū)間上的最值.12、C【解析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟和方法，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立而命題“與都不能被7整除”的否定為“至少有一個(gè)能被7整除”，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的關(guān)鍵.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、2【解析】根據(jù)冪函數(shù)過點(diǎn)，求出解析式，再有解析式求值即可.【詳解】設(shè)，則，所以，故，所以.故答案為：14、【解析】由題設(shè)可得“弦”為，“矢”為，結(jié)合弧田面積公式求面積即可.【詳解】由題設(shè)，“弦”為，“矢”為，所以所得弧田面積是.故答案為：.15、【解析】先求，再求的值.【詳解】由分段函數(shù)可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】利用二倍角余弦公式，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的最值問題.【詳解】，又，∴函數(shù)的最大值為.故答案為：.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)AC和BH的垂直關(guān)系可得到直線的方程為，再代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得到直線的方程為，聯(lián)立CM直線可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，將兩個(gè)點(diǎn)分別帶入BH和CM即可求出，結(jié)合第一問得到BC的方程解析：（1）因?yàn)椋姆匠虨?，不妨設(shè)直線的方程為，將代入得，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立直線的方程，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，點(diǎn)在上，所以，解得，所以,所以直線的方程為，整理得.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）利用單調(diào)性的定義即證；（2）當(dāng)時(shí)，可得，再利用函數(shù)的奇偶性即得.【小問1詳解】，且，則，∵，且，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，∴，即當(dāng)時(shí)，.19、（1）2；（2）【解析】（1）由三角形中位線定理可得∥，則可得是異面直線和所成的角，然后在中求解即可，（2）直線與平面所成的角，應(yīng)先作出直線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影所成的角即為所求．過點(diǎn)O向平面PAC作垂線，則可證得即為直線與平面所成的角，進(jìn)而求出其正弦值【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)所以∥，所以異面直線和所成的角為，在中，,是弧的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗裕?）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面，在平面中，過作于，則平面，連結(jié)，則是在平面上的射影，所以是直線和平面所成的角在中，在中，20、（1）1；（2）a<54；（3）最小值-2，此時(shí)x=【解析】（1）根據(jù)題意可得f0=0，即可求得（2）f(x)>a?2x-1（3）由題意g(x)=4x+4-x-42x-【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=k?2x-所以f0=0，所以k-1=0，解得所以f(x)=2當(dāng)k=1時(shí)，f(-x)=2所以fx為奇函數(shù)，故k=1（2）f(x)>a?2x-1所以只需a<-因?yàn)?12x所以a<5（3）因?yàn)間(x)=4x+可令t=2x-2-x，可得函數(shù)t則t2=4x+由ht為開口向上，對稱軸為t=2>所以t=2時(shí)，ht取得最小值-2此時(shí)2=2x-所以gx在1,+∞上的最小值為-2，此時(shí)【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，處理存在性問題時(shí)，若a<m(x)，只需a<m(x)max，若a>m(x)，只需a>m(x)min，處理恒成立問題時(shí)，若a<m(x)，只需a<m(x)21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)的關(guān)系可證明奇偶性；（2）根據(jù)單調(diào)性及奇函數(shù)性質(zhì)，有，再通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過區(qū)間分類討論可求解.【小問1詳解】對任意的，，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴，故函?shù)為奇函數(shù)；【小問2詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)且在上的單調(diào)函數(shù)，∴由可得，其中，設(shè)，則，則.∵則，若關(guān)于的方程在上只有一個(gè)實(shí)根，則或.所以，令，其中.所以，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增.①若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)無零點(diǎn).則，解得；②若為函