淺議線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化課件

淺議線性代數(shù)中的

數(shù)學(xué)文化游宏淺議線性代數(shù)中的

數(shù)學(xué)文化游宏

引言提起數(shù)學(xué)文化這四個(gè)字，我總是感到有些茫然，因?yàn)閿?shù)學(xué)文化這個(gè)概念的內(nèi)函及外延實(shí)在博大，而且很難說(shuō)清這一概念的確切定義。首先，文化的定義就不下二百種，比較流行的看法是認(rèn)為文化是人類(lèi)精神財(cái)富的總和（但也有的認(rèn)為應(yīng)包含物資財(cái)富），但數(shù)學(xué)是什么？盡管在座的都是數(shù)學(xué)工作者，對(duì)數(shù)學(xué)感受很深，但高度概括的給出數(shù)學(xué)的定義實(shí)在難以做到，甚至一些著名學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)的定義是矛盾的。比如，英國(guó)的羅素認(rèn)為：數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)

引言提起數(shù)學(xué)文化這四個(gè)字，我總是感到有些茫然，什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科。但法國(guó)的E.波萊爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)是我們確切知道我們?cè)谡f(shuō)什么，并肯定我們說(shuō)的是否對(duì)的唯一的一門(mén)科學(xué)。

上訴兩種觀點(diǎn)顯然針?shù)h相對(duì)，但都有一定的道理，是從不同的角度看數(shù)學(xué)得出的結(jié)論。在人類(lèi)文明發(fā)展的幾千年歷史過(guò)程中，人們從哲學(xué)、科學(xué)、應(yīng)用、邏輯學(xué)、美學(xué)、結(jié)構(gòu)學(xué)等不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)給出多種定義與多種理解，有興趣的同行可見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。既然人們對(duì)“文化”、“數(shù)學(xué)”的定義與認(rèn)識(shí)不統(tǒng)一，當(dāng)然對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解更是“仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智”，但這并不影響我們今天將數(shù)學(xué)文化作為大學(xué)生素質(zhì)教育的一門(mén)課程走進(jìn)大學(xué)的講堂，也不影響我們把數(shù)學(xué)文化作為一種文化進(jìn)行鼓吹，更不影響我們探什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科。討數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、外延、精神與意義（這是很有意義的工作）。事實(shí)上，我們遇到的許多概念都沒(méi)有十分精確的定義，即使是數(shù)學(xué)概念。比如，點(diǎn)是數(shù)學(xué)（幾何學(xué)）中最基本的概念，在歐幾里得幾何學(xué)中是這樣定義點(diǎn)的：點(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西，這個(gè)定義顯然不具數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，它是哲學(xué)觀念下的定義。但是，我們不僅可以理解點(diǎn)是什么，而且在此基礎(chǔ)上建立起整個(gè)幾何學(xué)，乃至數(shù)學(xué)。雖然我們對(duì)數(shù)學(xué)文化這一概念很難得到統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，但對(duì)其內(nèi)涵、外延、精神與意義還是有不少基本的共識(shí)。一般講，數(shù)學(xué)文化應(yīng)包含：數(shù)學(xué)自身

、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的應(yīng)用（工具性）、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)藝討數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、外延、精神與意義（這是很有意藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)的社會(huì)效應(yīng)等。近年，國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)文化的討論日益深入，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍、論文紛紛問(wèn)世。大多數(shù)數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍都是從宏觀的角度談?wù)摂?shù)學(xué)文化，幾乎涉及前面提到的數(shù)學(xué)文化的各個(gè)方面。大多數(shù)著作共同的寫(xiě)作特點(diǎn)是：通過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史、已有的成果來(lái)論述數(shù)學(xué)文化的某些特征（或方面）。比如，談數(shù)學(xué)的美，和諧美就舉黃金分割，0.618的例子；對(duì)稱(chēng)美舉二項(xiàng)式定理或“群”，等等

。也有些文章和書(shū)籍以數(shù)學(xué)故事，名人軼事感染讀者。無(wú)疑，這些

著作在普及與推廣數(shù)學(xué)文化，使更多的人認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

，啟蒙中學(xué)生和大學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，及一定的數(shù)學(xué)思維方式方面起到很好的藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)的社會(huì)效應(yīng)等。作用。特別是，有些為文科大學(xué)生寫(xiě)的數(shù)學(xué)教材，如[2]，減少了具體的數(shù)學(xué)概念、定理與公式，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的思想、方法與應(yīng)用的介紹，為文科數(shù)學(xué)教學(xué)走出了一條新路。

隨著數(shù)學(xué)文化開(kāi)展的深入，我們對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)及數(shù)學(xué)文化的教育應(yīng)邁向更高的層次。例如，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)將數(shù)學(xué)文化教育與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)教育結(jié)合起來(lái)，具體講，在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中如何突出所學(xué)概念、定理、公式歷史存在的因由、它們隱含的思想、方法及應(yīng)用，因?yàn)檫@對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)大有益處。在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、方法和應(yīng)作用。用的教育并非新鮮事物，是我們歷來(lái)提倡的做法，今天老調(diào)重彈只是強(qiáng)調(diào)它的重要性，希望在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中多下功夫，不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要力求講出所授內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化。真正做到這一點(diǎn)，并非易事，對(duì)教師的自身素質(zhì)和教學(xué)熱情都將有較高的要求。開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)文化專(zhuān)門(mén)課程和在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化教育是數(shù)學(xué)文化教育的兩個(gè)方面。前者，宏觀特性強(qiáng)一些，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的宏觀歷史，與其他人文科學(xué)、自然科學(xué)的關(guān)系，數(shù)學(xué)在人類(lèi)社會(huì)中的意義等；后者，微觀特性強(qiáng)一些，使學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容的精神實(shí)質(zhì)、思想方法，有助于提高思維與創(chuàng)新能力。這兩個(gè)方面實(shí)際上相輔相成，都不可欠缺。用的教育并非新鮮事物，是我們歷來(lái)提倡的做法，今天為什么要談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍在論述數(shù)學(xué)的精神、思想、方法和它對(duì)其他文化的影響時(shí)較少以線性代數(shù)（行列式、矩陣）為例，這可能是受到M。Kline的“古今數(shù)學(xué)思想”的影響[3]，在“古今數(shù)學(xué)思想”卷三中Kline有這樣一段話：行列式和矩陣卻完全是語(yǔ)言上的改革，對(duì)于已經(jīng)以較擴(kuò)張的形式存在的概念，它們是速記的表達(dá)式，它們本身不能直接說(shuō)出方程或變換所沒(méi)有說(shuō)出的任何東西，當(dāng)然，方程和變換的表達(dá)方式是爻長(zhǎng)的，盡管行列式和矩陣用作緊湊的表達(dá)式，為什么要談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的書(shū)盡管矩陣在領(lǐng)悟群論的的定理方面具有作為具體的群的啟發(fā)作用，但它們都沒(méi)有深刻地影響數(shù)學(xué)的進(jìn)展。然而已經(jīng)證明這兩個(gè)概念是完全有用的工具，現(xiàn)在是數(shù)學(xué)器具的一部分。這段話意思很明確，行列式、矩陣對(duì)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展影響不大，但是非常有用的工具。因而在談?wù)摂?shù)學(xué)的思想時(shí)較少涉及線性代數(shù)，但在談及數(shù)學(xué)文化的結(jié)構(gòu)說(shuō)、符號(hào)說(shuō)時(shí)則以行列式、矩陣為例（見(jiàn)﹝1﹞）。的確，就代數(shù)學(xué)而言，行列式、矩陣對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)展的影響不如一元多項(xiàng)式求根（Galois理論）和群。但這并不意味圍繞行列式、矩陣這兩個(gè)概念，提煉不出數(shù)學(xué)的思想、方法及外延的文化。事實(shí)上，即使按上面所說(shuō)，

盡管矩陣在領(lǐng)悟群論的的定理方面具有作為具體的群這兩個(gè)概念只是語(yǔ)言、工具，但速記，即符號(hào)，工具都是很重要的數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)的符號(hào)說(shuō)，結(jié)構(gòu)說(shuō)，工具說(shuō)）。特別是近代信息與計(jì)算機(jī)技術(shù)技術(shù)的發(fā)展，使得線性代數(shù)成為現(xiàn)代科技世界的復(fù)雜的多變量控制系統(tǒng)和計(jì)算的數(shù)學(xué)[4]。今天，計(jì)算數(shù)學(xué)中的一切方法無(wú)例外地都以線性代數(shù)為基礎(chǔ)（Γ.N.MapЧУK），這必將影響其他科學(xué)的發(fā)展，難道不是文化嗎？不僅如此，簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉（Laplace對(duì)行列式、矩陣的評(píng)述）。隨著線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，行列式已不僅是一個(gè)符號(hào)，它有著更深刻的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的K1理論是處理非交換對(duì)象的一系統(tǒng)方法。行列式從十七世紀(jì)后期(1683—1693)隱現(xiàn)于Leibniz和這兩個(gè)概念只是語(yǔ)言、工具，但速記，即符號(hào)，工具關(guān)孝和的含3或4個(gè)未知量的線性方程組的求解中到Vandermonde,Laplace(1771—1773)對(duì)行列式理論作出連貫的邏輯的闡述經(jīng)歷了近一個(gè)世紀(jì)的過(guò)程。線性代數(shù)發(fā)展史上一個(gè)奇怪的現(xiàn)象，即線性方程組的求解直接導(dǎo)致的是行列式的誕生，而非矩陣概念；求解一般線線性方程組最有效的Gauss消元法出現(xiàn)的比行列式方法晚得多，與Gauss消元變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣（初等變換）在近代代數(shù)學(xué)中作用與意義，對(duì)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的描述則要借助向量空間的理論，矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型研究的意義等都與人類(lèi)的認(rèn)知，數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支的關(guān)聯(lián)及與其他科學(xué)發(fā)展（關(guān)系說(shuō)）有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，這些都是數(shù)關(guān)孝和的含3或4個(gè)未知量的線性方程組的求解中到學(xué)文化中原始而生動(dòng)的內(nèi)容，了解與分析這些歷史資料與歷史過(guò)程對(duì)我們今天理解數(shù)學(xué)的思想、發(fā)展和啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、思維能力都是大有幫助的。

線性代數(shù)作為一門(mén)獨(dú)立的課程（特別是對(duì)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生）比較晚，大約在二次世界大戰(zhàn)之后，在我國(guó)，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生開(kāi)設(shè)線性代數(shù)是在上世紀(jì)八十年代，因而線性代數(shù)的課程教學(xué)遠(yuǎn)不如微積分成熟，教學(xué)內(nèi)容、教材建設(shè)、一些基本概念的定義方式也存在爭(zhēng)議。數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的組成部分，結(jié)合線性代數(shù)教學(xué)談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化是今天我談這個(gè)問(wèn)題的始因。學(xué)文化中原始而生動(dòng)的內(nèi)容，了解與分析這些歷史資主要對(duì)象的歷史與文化

一.行列式

行列式的雛形出現(xiàn)于萊布尼茨用指標(biāo)數(shù)的系統(tǒng)集合來(lái)表示有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組的系數(shù)。他從三個(gè)方程的系統(tǒng)中消去了兩個(gè)未知量后得到一個(gè)行列式（現(xiàn)在稱(chēng)為結(jié)式）。這個(gè)行列式不等于零，就意味著有一組解同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)方程。由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數(shù)對(duì)來(lái)表示：ij代表第i

行第j

列。下面就是他寫(xiě)下的方程組[5]主要對(duì)象的歷史與文化10+11x+12y=0

20+21x+22y=0

30+31x+32y=0當(dāng)10.21.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30時(shí)，方程組有解，這里，數(shù)字10、12等代表的是a10、a12等。差不多同一時(shí)代，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中首次引進(jìn)了行列式的概念。書(shū)中出現(xiàn)了3×3、4×4乃至5×5的行列式，用來(lái)求解高次方程組。用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是Maclaurin（1730年）開(kāi)創(chuàng)的，發(fā)表在他的遺作《論代數(shù)》中，1750年Cramer首先在他的《代數(shù)曲線分析引論》給出了n

元一次方程組求解的法則，用于確定經(jīng)過(guò)五個(gè)點(diǎn)的一般二次曲線的系數(shù)，但并沒(méi)有給出證明。他的10+11x+行列式和現(xiàn)在的定義差不多，是一些乘積的和，乘積是在每一行和每一列中取一個(gè)且僅取一個(gè)元素組成，乘積符號(hào)的確定也是依據(jù)排列的奇偶性，只不過(guò)他的敘述比較復(fù)雜。稍后，數(shù)學(xué)家Bezout（1730-1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。范德蒙

(A-T.Vandermonde）第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，并把行列式理論與線性方程組求解分離。他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門(mén)理論的奠基人。他也使行列式從線性方程組理論

行列式和現(xiàn)在的定義差不多，是一些乘積的和，乘積中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)形成一門(mén)理論。1772年，Laplace在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。之后（1815年），

Cauchy在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；改進(jìn)了Laplace的行列式展開(kāi)定理并給出一個(gè)證明。至此，經(jīng)典行列式的概念及理論基本形成。

復(fù)雜的行列式的定義是怎樣想到的？是一個(gè)有意思的問(wèn)題，也為我們今天采用何種行列式定義留下了空間。由于Cramer并沒(méi)有給出其法則的證明，也沒(méi)有見(jiàn)到他的原文，只好從萊布尼茨、Cramer、Bezout及他們那個(gè)時(shí)代的某些數(shù)學(xué)家關(guān)于求兩個(gè)高次的一元多項(xiàng)式的

中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)形成一門(mén)理論。1772年，Laplace公共點(diǎn)和求解含2到5個(gè)未知量的線性方程組的方法中分析領(lǐng)悟。含三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立方程的線性方程組

將第一個(gè)方程兩邊乘以a22a33—a23a32，第二個(gè)方程兩邊乘以-(a12a33—a13a32)，第三個(gè)方程兩邊乘a12a23—a13a22，然后三式相加，消去x2，x3，求得x1。這種方法稱(chēng)為“析配”，也用于判定兩個(gè)一元多項(xiàng)式是否有公根（結(jié)式）。

顯然，“析配”的計(jì)算十分復(fù)雜（特別對(duì)于未知量公共點(diǎn)和求解含2到5個(gè)未知量的線性方程組的方法中多的方程組），式子也十分爻長(zhǎng)，用一個(gè)符號(hào)簡(jiǎn)記爻長(zhǎng)的式子無(wú)疑是最佳的選擇。但這一符號(hào)含義的確定卻經(jīng)歷了一百多年的時(shí)間。首先，將系數(shù)與方程組分離與寫(xiě)出能表達(dá)系數(shù)信息（位置）的符號(hào)就需要一長(zhǎng)期的認(rèn)識(shí)與思考過(guò)程（到Cauchy時(shí)代，才采用與現(xiàn)在相同的符號(hào)aij），要從具體事物中“抽象”出與該問(wèn)題相關(guān)的最本質(zhì)的屬性。所以，符號(hào)的提出與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)展起到極大的推動(dòng)作用，否則就不會(huì)有數(shù)學(xué)的符號(hào)說(shuō)。再者，經(jīng)典行列式定義中各項(xiàng)符號(hào)（正、負(fù)號(hào)）如何描述也非易事，Cramer的描述雖然和近代差不多，但一般認(rèn)為并不很清楚，直至Bezout、Vandermonde、Cauchy才給出它的近代的處理，這與置換（群）的研究密切相關(guān)。今天我們知道，Cramer法則的證明依賴(lài)于行列式的依多的方程組），式子也十分爻長(zhǎng)，用一個(gè)符號(hào)簡(jiǎn)記爻行展開(kāi)的結(jié)論（Laplace定理），實(shí)際上，從符號(hào)的角度來(lái)看，

Laplace展開(kāi)徹底地刻畫(huà)了行列式，它表明在規(guī)定了二階行列式的計(jì)算之后就可以遞歸定義n階行列式；同時(shí)也使Cramer法則的證明非常自然。當(dāng)然，還可以從其它角度來(lái)理解行列式，從幾何的角度，行列式可理解為多面體的有向體積；從代數(shù)的角度，行列式是外積（外代數(shù)）的特殊形式。因在線性代數(shù)教學(xué)中，行列式都是定義在矩陣上，我們只探究與矩陣相關(guān)的行列式定義。后面我們還會(huì)再議行列式。行展開(kāi)的結(jié)論（Laplace定理），實(shí)際上，從符號(hào)的角二、矩陣及運(yùn)算

從邏輯上講，求解線性方程組應(yīng)導(dǎo)致矩陣概念的誕生，但歷史似乎開(kāi)了個(gè)玩笑，求解線性方程組首先導(dǎo)致行列式誕生。矩陣概念為何誕生如此之晚，難點(diǎn)在矩陣乘法。矩陣概念是1847(1851)年由Sylevester提出的，事實(shí)上，在定義行列式的過(guò)程中已有了陣的理念，只不過(guò)沒(méi)有成為一個(gè)數(shù)學(xué)概念。1858年Cayley發(fā)表了重要文章《矩陣的研究報(bào)告》，其中定義了矩陣的相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣運(yùn)算、性質(zhì)、逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣，以及特征矩陣和特征根等；給出矩陣運(yùn)算的一些性質(zhì)。

矩陣乘法是由Cayley給出的，乘法規(guī)則的確定是依據(jù)兩個(gè)線性變換的合成。給定變換（見(jiàn)[4]）：二、矩陣及運(yùn)算從邏輯上講，求解線性方程組應(yīng)導(dǎo)致矩

T1:

x‘=ax+by

T2:

x''=αx'+βy'

y‘=cx+dy

y''=γx'+δy'他認(rèn)為執(zhí)行T1，再執(zhí)行T2，得到變換

T2T1:

x"=(αa+βc)x+(αb+βd)y y''=(γa+δc)x+(γb+δd)y復(fù)合變換T2T1的系數(shù)就是是矩陣T2乘以矩陣T1的積。從矩陣代數(shù)和行列式的關(guān)聯(lián)很快就得出det(AB)=det(A)det(B)（

Cauchy之前已得到這一等式）。這表明任何新的數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)算規(guī)則的確定必須與已有事物的運(yùn)算（或規(guī)律）相容，在許多情形下它的運(yùn)算規(guī)則產(chǎn)生于已有事物的運(yùn)算規(guī)則之中。今天，在線性代數(shù)的教學(xué)中，矩陣乘法運(yùn)算仍然是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，我們是否做到讓學(xué)生明了為何矩陣乘法要這樣規(guī)定？T1:x‘=ax+by矩陣的重要性隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展已無(wú)需多言，事實(shí)上，在矩陣概念發(fā)展的同一時(shí)期，集的代數(shù)運(yùn)(Boole代數(shù))也同時(shí)產(chǎn)生與發(fā)展，符號(hào)被用作命題和抽象要素是這一時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，為今后計(jì)算機(jī)與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。Cayley似乎已經(jīng)意識(shí)到矩陣代數(shù)發(fā)展將壓倒行列式理論。他寫(xiě)道,“關(guān)于這一矩陣代數(shù)的理論，會(huì)有許多

問(wèn)題要討論，在我看來(lái)，它們應(yīng)先于行列式理論”。

矩陣誕生的歷史為我們今天的教學(xué)能留下什么？矩陣的重要性隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展已無(wú)需多言，事

三、Gausss消元法與初等矩陣

消元法解線性方程組是1800年左右Gausss用于解決天體計(jì)算和后來(lái)大地測(cè)量計(jì)算中的最小平方問(wèn)題時(shí)提出的（中國(guó)九章算術(shù)中有消元解3×3的線性方程組），消去法的重要意義在于，它不僅可以作為線性方程組的普通求解方法，還可以簡(jiǎn)短的迭代來(lái)表達(dá)整個(gè)求解過(guò)程,是現(xiàn)代計(jì)算方法中一個(gè)基本的演算法,完全可用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理?？梢哉J(rèn)為消元法是計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)[6]。高斯消去法用矩陣表示相當(dāng)于初等矩陣作用給定矩陣將它化為階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形,這是應(yīng)用矩陣語(yǔ)言對(duì)線性方程組解法的進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

三、Gausss消元法

不過(guò)，早期求解線性方程組用的是行列式而非消元法，也是值得思考的問(wèn)題。

（1）消法變換是否保持線性方程組的解不變？

（2）對(duì)解不唯一的線性方程組的疑惑。消法變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣做成的群稱(chēng)為初等群，在近代數(shù)學(xué)中占有重要地位。現(xiàn)在，我們?cè)僮h一下行列式，即行列式的現(xiàn)代定義。在非交換的代數(shù)體系（如除環(huán)）上定義方陣的行列式早在十九世紀(jì)中后期就開(kāi)始考慮，Cayley（1845），Heyting（1926），Ore（1931）都對(duì)不少非交換環(huán)上方陣考慮定義行列式，但最成功的定義當(dāng)屬Diedonne（1944）。他將除環(huán)D上可逆方陣（不可逆方陣的行列式為0）的行列式定義在商群D*/[D*,D*]上，而不是在D*（D中非零元做成的群）中。由群同構(gòu)的理論，

不過(guò)，早期求解線性方程組用的是行列式而非消元法

D上n階可逆方陣做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所得商群GLn(D)/En(D)同構(gòu)于D*/[D*,D*]。這表明初等群En(D)恰是GLn(D)到商群D*/[D*,D*]上自然同態(tài)的核。Diedonne

行列式孕育著對(duì)運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律的數(shù)學(xué)對(duì)象（矩陣）如何研究它的可換或是線性的不變量，二十世紀(jì)中葉興起的代數(shù)K-理論

就是試圖處理它們的一種系統(tǒng)的方法，而Diedonne

行列式就是它的雛形?？紤]將n階方陣A對(duì)角嵌入到n+1階方陣diag(A,1)中，對(duì)鏈：

GLn（R）<

GLn+1（R）<

GLn+2（R）<…取正向極限，得到一穩(wěn)定線性群GL(R)，同樣做出一穩(wěn)定初等群E(R)，

K_1函子就定義為GL（R）/E（R），這是一交換群。它的意義在于把兩個(gè)不可換的n階可逆矩陣A和B放在不同塊的正交位置上，在模去E(R)后它們就可換了，D上n階可逆方陣做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所因?yàn)樵谝粋€(gè)大的空間里，我們可以隨意移動(dòng)體．于是在某些近似情況下，這樣做是很有好處（見(jiàn)[7]）。

K1函子可以認(rèn)為是行列式的推廣。從上面的敘述中可以看出初等矩陣及初等群在近代理論數(shù)學(xué)中的重要地位。

當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展使得認(rèn)為行列式、矩陣在語(yǔ)言上、技術(shù)上為數(shù)學(xué)提供的貢獻(xiàn)大于它們?cè)谒枷肷蠟閿?shù)學(xué)作出的啟示的看法值得商榷。

Diedonne

行列式事實(shí)上也給出域上行列式的另一定義方式：用消法變換將方陣化成上（下）三角矩陣，其主對(duì)角線上元素的積即為該矩陣的行列式。這一定義把行列式定義與計(jì)算統(tǒng)一起來(lái)，在不探究理論上合理性的前提下是最簡(jiǎn)易的定義方式。從計(jì)算速度的角度來(lái)看，用經(jīng)典的行列式定義算行列因?yàn)樵谝粋€(gè)大的空間里，我們可以隨意移動(dòng)體．于行列式（n!項(xiàng)代數(shù)和）幾乎是不可行的，今天的數(shù)學(xué)軟件計(jì)算行列式全是用消法變換。四、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

Euler曾注意到未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同的線性方程組的解不惟一的現(xiàn)象，但解釋不了。Frobenius試圖研究方程組解集的特征,但未能如愿。

H.Smith和L.Dodgson（1870左右）繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的概念，后者證明了方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代線性方程組理論中的重要結(jié)果之一。Smith指出非齊次線性方程組：AX=b,b≠0,的全部解為y+X，這里y為非齊次線性方程組的一個(gè)特解,X為

。

行列式（n!項(xiàng)代數(shù)和）幾乎是不可行的，今天的數(shù)學(xué)軟對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的全部解。Frobenius

1879年在他們的基礎(chǔ)上徹底理解了獨(dú)立方程和相容性概念,將獨(dú)立概念定義為n元陣列的線性無(wú)關(guān)，並給出了秩的概念,相容性即為有解的,並用行列式的語(yǔ)言對(duì)它們作了描述。至此，線性方程組解的存在理論得以完善，但齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的完美描述要借助線性空間。齊次線性方程組的解，不過(guò)是一組已知向量間的線性組合,或更近一步，它們表達(dá)了線性空間子空間間的某種關(guān)系,從而也認(rèn)清了齊次線性方程組的本質(zhì)特征。直到19世紀(jì)末

Peano建立了公理化的空間定義，線性代數(shù)的公理化結(jié)構(gòu)的構(gòu)建才基本完成。線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論是線性代數(shù)中最精彩的內(nèi)容

對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的全部解。之一，它實(shí)際上深刻刻畫(huà)了線性變換，也把線性關(guān)系（相關(guān)、無(wú)關(guān)）的本質(zhì)充分展現(xiàn)出來(lái)。同時(shí)，這一理論綜合了代數(shù)、n維幾何、向量數(shù)學(xué)等學(xué)科中的基本內(nèi)容，將它們?nèi)跒橐惑w成為一有力的工具。

五、二次型二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀(jì)開(kāi)始的，它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類(lèi)問(wèn)題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀，這個(gè)問(wèn)題是在18世紀(jì)引進(jìn)的。Cauchy在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，二次曲面用二次項(xiàng)的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。當(dāng)時(shí)并不清楚在之一，它實(shí)際上深刻刻畫(huà)了線性變換，也把線性關(guān)系化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。Sylevester回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了n個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒(méi)有證明。這個(gè)定律后被Jacobi重新發(fā)現(xiàn)和證明。1801年，Gauss在《算術(shù)研究》中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定等術(shù)語(yǔ)。

二次型在很多方面，特別是極值、鞍點(diǎn)、最小原理等都有應(yīng)用。二次型的研究歷史說(shuō)明線性代數(shù)與解析幾何融匯的自然性。

化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)。六、線性代數(shù)結(jié)構(gòu)理論的認(rèn)識(shí)1.首先是將方程組的系數(shù)、未知量、解等概念從線性方程組中分離出來(lái),用矩陣或向量的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí),並進(jìn)一步用集合及代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來(lái)處理。Grassman的工作從幾何角度出發(fā)，

將空間概念擴(kuò)充為n維空間，空間解與其系數(shù)列之間在運(yùn)算下建立起聯(lián)系，從而將解與系數(shù)列向量看成是同一空間中向量之間的一種關(guān)系。這些思想具有永恒的價(jià)值。

2.將系數(shù)陣列從方程組中剝離出來(lái)發(fā)展了行列式、矩陣?yán)碚?。特別是，矩陣?yán)碚摮蔀橐华?dú)立的龐大分支，這其中包括對(duì)矩陣運(yùn)算、性質(zhì)、各類(lèi)關(guān)系，特征值及。六、線性代數(shù)結(jié)構(gòu)理論的認(rèn)識(shí)特征向量的研究，矩陣與線性變換、二次型的關(guān)系的建立，矩陣的化簡(jiǎn)與分解等。同時(shí)，將矩陣的概念與結(jié)論應(yīng)用于行列式與線性方程組求解。行列式、矩陣等這些線性代數(shù)中的基本概念產(chǎn)生于同一母體，之后形成各自獨(dú)立的系統(tǒng)，但又相互依存，相互借助，共同發(fā)展。它們自身內(nèi)容的發(fā)展對(duì)之后的抽象代數(shù)，當(dāng)代代數(shù)的發(fā)展起到重大影響。3.

用線性關(guān)系（相關(guān)、無(wú)關(guān)）、秩等概念描述n維向量和矩陣的某些本質(zhì)屬性，刻畫(huà)線性空間中子空間的關(guān)系，揭示線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，并將線性方程組、矩陣與線性空間、線性變換緊密聯(lián)系起來(lái)，完成線性代數(shù)的公理化結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。。特征向量的研究，矩陣與線性變換、二次型的關(guān)系的4.線性代數(shù)綜合了代數(shù)、n維空間、向量等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容（綜合性），除矩陣、行列式、線性方程組等自身內(nèi)容外，還體現(xiàn)了用代數(shù)方法描述與解決幾何問(wèn)題的思想，它既是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)科，也是數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)，同時(shí)又連接當(dāng)代數(shù)學(xué)的眾多分支。4.線性代數(shù)綜合了代數(shù)、n維空間、向量等數(shù)學(xué)的基本參考文獻(xiàn)：[1]方延明，數(shù)學(xué)文化導(dǎo)論，南京大學(xué)出版社，1999。[2]張順燕，數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用，北京大學(xué)出版社，1997。[3]

M.Kline,古今數(shù)學(xué)思想（1---4），上?？萍汲霭嫔?，1981[4]

A.Tucker,線性代數(shù)在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中日益提高的重要性,

CollegeMathematicsJournal24(1993)3-9。[5]

J.O‘Connor,E.Robertson,

Matricesanddeterminants,AlgebraindexHistorytopicsindex,1996。[6]馮進(jìn)，線性代數(shù)理論的形成與發(fā)展，數(shù)學(xué)傳播，34（2010），81—88。[7]M.Atiyah，二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)[8]G.Strang,IntroductiontoLinearAlgebra,FourthEdition,Wilsley-CambridgePress,2009，參考文獻(xiàn)：謝謝!謝謝!淺議線性代數(shù)中的

數(shù)學(xué)文化游宏淺議線性代數(shù)中的

數(shù)學(xué)文化游宏

引言提起數(shù)學(xué)文化這四個(gè)字，我總是感到有些茫然，因?yàn)閿?shù)學(xué)文化這個(gè)概念的內(nèi)函及外延實(shí)在博大，而且很難說(shuō)清這一概念的確切定義。首先，文化的定義就不下二百種，比較流行的看法是認(rèn)為文化是人類(lèi)精神財(cái)富的總和（但也有的認(rèn)為應(yīng)包含物資財(cái)富），但數(shù)學(xué)是什么？盡管在座的都是數(shù)學(xué)工作者，對(duì)數(shù)學(xué)感受很深，但高度概括的給出數(shù)學(xué)的定義實(shí)在難以做到，甚至一些著名學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)的定義是矛盾的。比如，英國(guó)的羅素認(rèn)為：數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)

引言提起數(shù)學(xué)文化這四個(gè)字，我總是感到有些茫然，什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科。但法國(guó)的E.波萊爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)是我們確切知道我們?cè)谡f(shuō)什么，并肯定我們說(shuō)的是否對(duì)的唯一的一門(mén)科學(xué)。

上訴兩種觀點(diǎn)顯然針?shù)h相對(duì)，但都有一定的道理，是從不同的角度看數(shù)學(xué)得出的結(jié)論。在人類(lèi)文明發(fā)展的幾千年歷史過(guò)程中，人們從哲學(xué)、科學(xué)、應(yīng)用、邏輯學(xué)、美學(xué)、結(jié)構(gòu)學(xué)等不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)給出多種定義與多種理解，有興趣的同行可見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。既然人們對(duì)“文化”、“數(shù)學(xué)”的定義與認(rèn)識(shí)不統(tǒng)一，當(dāng)然對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解更是“仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智”，但這并不影響我們今天將數(shù)學(xué)文化作為大學(xué)生素質(zhì)教育的一門(mén)課程走進(jìn)大學(xué)的講堂，也不影響我們把數(shù)學(xué)文化作為一種文化進(jìn)行鼓吹，更不影響我們探什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科。討數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、外延、精神與意義（這是很有意義的工作）。事實(shí)上，我們遇到的許多概念都沒(méi)有十分精確的定義，即使是數(shù)學(xué)概念。比如，點(diǎn)是數(shù)學(xué)（幾何學(xué)）中最基本的概念，在歐幾里得幾何學(xué)中是這樣定義點(diǎn)的：點(diǎn)是沒(méi)有部分的那種東西，這個(gè)定義顯然不具數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，它是哲學(xué)觀念下的定義。但是，我們不僅可以理解點(diǎn)是什么，而且在此基礎(chǔ)上建立起整個(gè)幾何學(xué)，乃至數(shù)學(xué)。雖然我們對(duì)數(shù)學(xué)文化這一概念很難得到統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，但對(duì)其內(nèi)涵、外延、精神與意義還是有不少基本的共識(shí)。一般講，數(shù)學(xué)文化應(yīng)包含：數(shù)學(xué)自身

、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的應(yīng)用（工具性）、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)藝討數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、外延、精神與意義（這是很有意藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)的社會(huì)效應(yīng)等。近年，國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)文化的討論日益深入，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍、論文紛紛問(wèn)世。大多數(shù)數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍都是從宏觀的角度談?wù)摂?shù)學(xué)文化，幾乎涉及前面提到的數(shù)學(xué)文化的各個(gè)方面。大多數(shù)著作共同的寫(xiě)作特點(diǎn)是：通過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史、已有的成果來(lái)論述數(shù)學(xué)文化的某些特征（或方面）。比如，談數(shù)學(xué)的美，和諧美就舉黃金分割，0.618的例子；對(duì)稱(chēng)美舉二項(xiàng)式定理或“群”，等等

。也有些文章和書(shū)籍以數(shù)學(xué)故事，名人軼事感染讀者。無(wú)疑，這些

著作在普及與推廣數(shù)學(xué)文化，使更多的人認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

，啟蒙中學(xué)生和大學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，及一定的數(shù)學(xué)思維方式方面起到很好的藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)的社會(huì)效應(yīng)等。作用。特別是，有些為文科大學(xué)生寫(xiě)的數(shù)學(xué)教材，如[2]，減少了具體的數(shù)學(xué)概念、定理與公式，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的思想、方法與應(yīng)用的介紹，為文科數(shù)學(xué)教學(xué)走出了一條新路。

隨著數(shù)學(xué)文化開(kāi)展的深入，我們對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)及數(shù)學(xué)文化的教育應(yīng)邁向更高的層次。例如，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)將數(shù)學(xué)文化教育與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)教育結(jié)合起來(lái)，具體講，在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中如何突出所學(xué)概念、定理、公式歷史存在的因由、它們隱含的思想、方法及應(yīng)用，因?yàn)檫@對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)大有益處。在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、方法和應(yīng)作用。用的教育并非新鮮事物，是我們歷來(lái)提倡的做法，今天老調(diào)重彈只是強(qiáng)調(diào)它的重要性，希望在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中多下功夫，不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要力求講出所授內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化。真正做到這一點(diǎn)，并非易事，對(duì)教師的自身素質(zhì)和教學(xué)熱情都將有較高的要求。開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)文化專(zhuān)門(mén)課程和在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化教育是數(shù)學(xué)文化教育的兩個(gè)方面。前者，宏觀特性強(qiáng)一些，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的宏觀歷史，與其他人文科學(xué)、自然科學(xué)的關(guān)系，數(shù)學(xué)在人類(lèi)社會(huì)中的意義等；后者，微觀特性強(qiáng)一些，使學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容的精神實(shí)質(zhì)、思想方法，有助于提高思維與創(chuàng)新能力。這兩個(gè)方面實(shí)際上相輔相成，都不可欠缺。用的教育并非新鮮事物，是我們歷來(lái)提倡的做法，今天為什么要談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的書(shū)籍在論述數(shù)學(xué)的精神、思想、方法和它對(duì)其他文化的影響時(shí)較少以線性代數(shù)（行列式、矩陣）為例，這可能是受到M。Kline的“古今數(shù)學(xué)思想”的影響[3]，在“古今數(shù)學(xué)思想”卷三中Kline有這樣一段話：行列式和矩陣卻完全是語(yǔ)言上的改革，對(duì)于已經(jīng)以較擴(kuò)張的形式存在的概念，它們是速記的表達(dá)式，它們本身不能直接說(shuō)出方程或變換所沒(méi)有說(shuō)出的任何東西，當(dāng)然，方程和變換的表達(dá)方式是爻長(zhǎng)的，盡管行列式和矩陣用作緊湊的表達(dá)式，為什么要談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的書(shū)盡管矩陣在領(lǐng)悟群論的的定理方面具有作為具體的群的啟發(fā)作用，但它們都沒(méi)有深刻地影響數(shù)學(xué)的進(jìn)展。然而已經(jīng)證明這兩個(gè)概念是完全有用的工具，現(xiàn)在是數(shù)學(xué)器具的一部分。這段話意思很明確，行列式、矩陣對(duì)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展影響不大，但是非常有用的工具。因而在談?wù)摂?shù)學(xué)的思想時(shí)較少涉及線性代數(shù)，但在談及數(shù)學(xué)文化的結(jié)構(gòu)說(shuō)、符號(hào)說(shuō)時(shí)則以行列式、矩陣為例（見(jiàn)﹝1﹞）。的確，就代數(shù)學(xué)而言，行列式、矩陣對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)展的影響不如一元多項(xiàng)式求根（Galois理論）和群。但這并不意味圍繞行列式、矩陣這兩個(gè)概念，提煉不出數(shù)學(xué)的思想、方法及外延的文化。事實(shí)上，即使按上面所說(shuō)，

盡管矩陣在領(lǐng)悟群論的的定理方面具有作為具體的群這兩個(gè)概念只是語(yǔ)言、工具，但速記，即符號(hào)，工具都是很重要的數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)的符號(hào)說(shuō)，結(jié)構(gòu)說(shuō)，工具說(shuō)）。特別是近代信息與計(jì)算機(jī)技術(shù)技術(shù)的發(fā)展，使得線性代數(shù)成為現(xiàn)代科技世界的復(fù)雜的多變量控制系統(tǒng)和計(jì)算的數(shù)學(xué)[4]。今天，計(jì)算數(shù)學(xué)中的一切方法無(wú)例外地都以線性代數(shù)為基礎(chǔ)（Γ.N.MapЧУK），這必將影響其他科學(xué)的發(fā)展，難道不是文化嗎？不僅如此，簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉（Laplace對(duì)行列式、矩陣的評(píng)述）。隨著線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，行列式已不僅是一個(gè)符號(hào)，它有著更深刻的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的K1理論是處理非交換對(duì)象的一系統(tǒng)方法。行列式從十七世紀(jì)后期(1683—1693)隱現(xiàn)于Leibniz和這兩個(gè)概念只是語(yǔ)言、工具，但速記，即符號(hào)，工具關(guān)孝和的含3或4個(gè)未知量的線性方程組的求解中到Vandermonde,Laplace(1771—1773)對(duì)行列式理論作出連貫的邏輯的闡述經(jīng)歷了近一個(gè)世紀(jì)的過(guò)程。線性代數(shù)發(fā)展史上一個(gè)奇怪的現(xiàn)象，即線性方程組的求解直接導(dǎo)致的是行列式的誕生，而非矩陣概念；求解一般線線性方程組最有效的Gauss消元法出現(xiàn)的比行列式方法晚得多，與Gauss消元變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣（初等變換）在近代代數(shù)學(xué)中作用與意義，對(duì)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的描述則要借助向量空間的理論，矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型研究的意義等都與人類(lèi)的認(rèn)知，數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支的關(guān)聯(lián)及與其他科學(xué)發(fā)展（關(guān)系說(shuō)）有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，這些都是數(shù)關(guān)孝和的含3或4個(gè)未知量的線性方程組的求解中到學(xué)文化中原始而生動(dòng)的內(nèi)容，了解與分析這些歷史資料與歷史過(guò)程對(duì)我們今天理解數(shù)學(xué)的思想、發(fā)展和啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、思維能力都是大有幫助的。

線性代數(shù)作為一門(mén)獨(dú)立的課程（特別是對(duì)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生）比較晚，大約在二次世界大戰(zhàn)之后，在我國(guó)，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生開(kāi)設(shè)線性代數(shù)是在上世紀(jì)八十年代，因而線性代數(shù)的課程教學(xué)遠(yuǎn)不如微積分成熟，教學(xué)內(nèi)容、教材建設(shè)、一些基本概念的定義方式也存在爭(zhēng)議。數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的組成部分，結(jié)合線性代數(shù)教學(xué)談線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)文化是今天我談這個(gè)問(wèn)題的始因。學(xué)文化中原始而生動(dòng)的內(nèi)容，了解與分析這些歷史資主要對(duì)象的歷史與文化

一.行列式

行列式的雛形出現(xiàn)于萊布尼茨用指標(biāo)數(shù)的系統(tǒng)集合來(lái)表示有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組的系數(shù)。他從三個(gè)方程的系統(tǒng)中消去了兩個(gè)未知量后得到一個(gè)行列式（現(xiàn)在稱(chēng)為結(jié)式）。這個(gè)行列式不等于零，就意味著有一組解同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)方程。由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數(shù)對(duì)來(lái)表示：ij代表第i

行第j

列。下面就是他寫(xiě)下的方程組[5]主要對(duì)象的歷史與文化10+11x+12y=0

20+21x+22y=0

30+31x+32y=0當(dāng)10.21.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30時(shí)，方程組有解，這里，數(shù)字10、12等代表的是a10、a12等。差不多同一時(shí)代，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中首次引進(jìn)了行列式的概念。書(shū)中出現(xiàn)了3×3、4×4乃至5×5的行列式，用來(lái)求解高次方程組。用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是Maclaurin（1730年）開(kāi)創(chuàng)的，發(fā)表在他的遺作《論代數(shù)》中，1750年Cramer首先在他的《代數(shù)曲線分析引論》給出了n

元一次方程組求解的法則，用于確定經(jīng)過(guò)五個(gè)點(diǎn)的一般二次曲線的系數(shù)，但并沒(méi)有給出證明。他的10+11x+行列式和現(xiàn)在的定義差不多，是一些乘積的和，乘積是在每一行和每一列中取一個(gè)且僅取一個(gè)元素組成，乘積符號(hào)的確定也是依據(jù)排列的奇偶性，只不過(guò)他的敘述比較復(fù)雜。稍后，數(shù)學(xué)家Bezout（1730-1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。范德蒙

(A-T.Vandermonde）第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，并把行列式理論與線性方程組求解分離。他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門(mén)理論的奠基人。他也使行列式從線性方程組理論

行列式和現(xiàn)在的定義差不多，是一些乘積的和，乘積中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)形成一門(mén)理論。1772年，Laplace在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。之后（1815年），

Cauchy在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；改進(jìn)了Laplace的行列式展開(kāi)定理并給出一個(gè)證明。至此，經(jīng)典行列式的概念及理論基本形成。

復(fù)雜的行列式的定義是怎樣想到的？是一個(gè)有意思的問(wèn)題，也為我們今天采用何種行列式定義留下了空間。由于Cramer并沒(méi)有給出其法則的證明，也沒(méi)有見(jiàn)到他的原文，只好從萊布尼茨、Cramer、Bezout及他們那個(gè)時(shí)代的某些數(shù)學(xué)家關(guān)于求兩個(gè)高次的一元多項(xiàng)式的

中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)形成一門(mén)理論。1772年，Laplace公共點(diǎn)和求解含2到5個(gè)未知量的線性方程組的方法中分析領(lǐng)悟。含三個(gè)未知量三個(gè)獨(dú)立方程的線性方程組

將第一個(gè)方程兩邊乘以a22a33—a23a32，第二個(gè)方程兩邊乘以-(a12a33—a13a32)，第三個(gè)方程兩邊乘a12a23—a13a22，然后三式相加，消去x2，x3，求得x1。這種方法稱(chēng)為“析配”，也用于判定兩個(gè)一元多項(xiàng)式是否有公根（結(jié)式）。

顯然，“析配”的計(jì)算十分復(fù)雜（特別對(duì)于未知量公共點(diǎn)和求解含2到5個(gè)未知量的線性方程組的方法中多的方程組），式子也十分爻長(zhǎng)，用一個(gè)符號(hào)簡(jiǎn)記爻長(zhǎng)的式子無(wú)疑是最佳的選擇。但這一符號(hào)含義的確定卻經(jīng)歷了一百多年的時(shí)間。首先，將系數(shù)與方程組分離與寫(xiě)出能表達(dá)系數(shù)信息（位置）的符號(hào)就需要一長(zhǎng)期的認(rèn)識(shí)與思考過(guò)程（到Cauchy時(shí)代，才采用與現(xiàn)在相同的符號(hào)aij），要從具體事物中“抽象”出與該問(wèn)題相關(guān)的最本質(zhì)的屬性。所以，符號(hào)的提出與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)展起到極大的推動(dòng)作用，否則就不會(huì)有數(shù)學(xué)的符號(hào)說(shuō)。再者，經(jīng)典行列式定義中各項(xiàng)符號(hào)（正、負(fù)號(hào)）如何描述也非易事，Cramer的描述雖然和近代差不多，但一般認(rèn)為并不很清楚，直至Bezout、Vandermonde、Cauchy才給出它的近代的處理，這與置換（群）的研究密切相關(guān)。今天我們知道，Cramer法則的證明依賴(lài)于行列式的依多的方程組），式子也十分爻長(zhǎng)，用一個(gè)符號(hào)簡(jiǎn)記爻行展開(kāi)的結(jié)論（Laplace定理），實(shí)際上，從符號(hào)的角度來(lái)看，

Laplace展開(kāi)徹底地刻畫(huà)了行列式，它表明在規(guī)定了二階行列式的計(jì)算之后就可以遞歸定義n階行列式；同時(shí)也使Cramer法則的證明非常自然。當(dāng)然，還可以從其它角度來(lái)理解行列式，從幾何的角度，行列式可理解為多面體的有向體積；從代數(shù)的角度，行列式是外積（外代數(shù)）的特殊形式。因在線性代數(shù)教學(xué)中，行列式都是定義在矩陣上，我們只探究與矩陣相關(guān)的行列式定義。后面我們還會(huì)再議行列式。行展開(kāi)的結(jié)論（Laplace定理），實(shí)際上，從符號(hào)的角二、矩陣及運(yùn)算

從邏輯上講，求解線性方程組應(yīng)導(dǎo)致矩陣概念的誕生，但歷史似乎開(kāi)了個(gè)玩笑，求解線性方程組首先導(dǎo)致行列式誕生。矩陣概念為何誕生如此之晚，難點(diǎn)在矩陣乘法。矩陣概念是1847(1851)年由Sylevester提出的，事實(shí)上，在定義行列式的過(guò)程中已有了陣的理念，只不過(guò)沒(méi)有成為一個(gè)數(shù)學(xué)概念。1858年Cayley發(fā)表了重要文章《矩陣的研究報(bào)告》，其中定義了矩陣的相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣運(yùn)算、性質(zhì)、逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣，以及特征矩陣和特征根等；給出矩陣運(yùn)算的一些性質(zhì)。

矩陣乘法是由Cayley給出的，乘法規(guī)則的確定是依據(jù)兩個(gè)線性變換的合成。給定變換（見(jiàn)[4]）：二、矩陣及運(yùn)算從邏輯上講，求解線性方程組應(yīng)導(dǎo)致矩

T1:

x‘=ax+by

T2:

x''=αx'+βy'

y‘=cx+dy

y''=γx'+δy'他認(rèn)為執(zhí)行T1，再執(zhí)行T2，得到變換

T2T1:

x"=(αa+βc)x+(αb+βd)y y''=(γa+δc)x+(γb+δd)y復(fù)合變換T2T1的系數(shù)就是是矩陣T2乘以矩陣T1的積。從矩陣代數(shù)和行列式的關(guān)聯(lián)很快就得出det(AB)=det(A)det(B)（

Cauchy之前已得到這一等式）。這表明任何新的數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)算規(guī)則的確定必須與已有事物的運(yùn)算（或規(guī)律）相容，在許多情形下它的運(yùn)算規(guī)則產(chǎn)生于已有事物的運(yùn)算規(guī)則之中。今天，在線性代數(shù)的教學(xué)中，矩陣乘法運(yùn)算仍然是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，我們是否做到讓學(xué)生明了為何矩陣乘法要這樣規(guī)定？T1:x‘=ax+by矩陣的重要性隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展已無(wú)需多言，事實(shí)上，在矩陣概念發(fā)展的同一時(shí)期，集的代數(shù)運(yùn)(Boole代數(shù))也同時(shí)產(chǎn)生與發(fā)展，符號(hào)被用作命題和抽象要素是這一時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，為今后計(jì)算機(jī)與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。Cayley似乎已經(jīng)意識(shí)到矩陣代數(shù)發(fā)展將壓倒行列式理論。他寫(xiě)道,“關(guān)于這一矩陣代數(shù)的理論，會(huì)有許多

問(wèn)題要討論，在我看來(lái)，它們應(yīng)先于行列式理論”。

矩陣誕生的歷史為我們今天的教學(xué)能留下什么？矩陣的重要性隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展已無(wú)需多言，事

三、Gausss消元法與初等矩陣

消元法解線性方程組是1800年左右Gausss用于解決天體計(jì)算和后來(lái)大地測(cè)量計(jì)算中的最小平方問(wèn)題時(shí)提出的（中國(guó)九章算術(shù)中有消元解3×3的線性方程組），消去法的重要意義在于，它不僅可以作為線性方程組的普通求解方法，還可以簡(jiǎn)短的迭代來(lái)表達(dá)整個(gè)求解過(guò)程,是現(xiàn)代計(jì)算方法中一個(gè)基本的演算法,完全可用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理?？梢哉J(rèn)為消元法是計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)[6]。高斯消去法用矩陣表示相當(dāng)于初等矩陣作用給定矩陣將它化為階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形,這是應(yīng)用矩陣語(yǔ)言對(duì)線性方程組解法的進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

三、Gausss消元法

不過(guò)，早期求解線性方程組用的是行列式而非消元法，也是值得思考的問(wèn)題。

（1）消法變換是否保持線性方程組的解不變？

（2）對(duì)解不唯一的線性方程組的疑惑。消法變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣做成的群稱(chēng)為初等群，在近代數(shù)學(xué)中占有重要地位?，F(xiàn)在，我們?cè)僮h一下行列式，即行列式的現(xiàn)代定義。在非交換的代數(shù)體系（如除環(huán)）上定義方陣的行列式早在十九世紀(jì)中后期就開(kāi)始考慮，Cayley（1845），Heyting（1926），Ore（1931）都對(duì)不少非交換環(huán)上方陣考慮定義行列式，但最成功的定義當(dāng)屬Diedonne（1944）。他將除環(huán)D上可逆方陣（不可逆方陣的行列式為0）的行列式定義在商群D*/[D*,D*]上，而不是在D*（D中非零元做成的群）中。由群同構(gòu)的理論，

不過(guò)，早期求解線性方程組用的是行列式而非消元法

D上n階可逆方陣做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所得商群GLn(D)/En(D)同構(gòu)于D*/[D*,D*]。這表明初等群En(D)恰是GLn(D)到商群D*/[D*,D*]上自然同態(tài)的核。Diedonne

行列式孕育著對(duì)運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律的數(shù)學(xué)對(duì)象（矩陣）如何研究它的可換或是線性的不變量，二十世紀(jì)中葉興起的代數(shù)K-理論

就是試圖處理它們的一種系統(tǒng)的方法，而Diedonne

行列式就是它的雛形?？紤]將n階方陣A對(duì)角嵌入到n+1階方陣diag(A,1)中，對(duì)鏈：

GLn（R）<

GLn+1（R）<

GLn+2（R）<…取正向極限，得到一穩(wěn)定線性群GL(R)，同樣做出一穩(wěn)定初等群E(R)，

K_1函子就定義為GL（R）/E（R），這是一交換群。它的意義在于把兩個(gè)不可換的n階可逆矩陣A和B放在不同塊的正交位置上，在模去E(R)后它們就可換了，D上n階可逆方陣做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所因?yàn)樵谝粋€(gè)大的空間里，我們可以隨意移動(dòng)體．于是在某些近似情況下，這樣做是很有好處（見(jiàn)[7]）。

K1函子可以認(rèn)為是行列式的推廣。從上面的敘述中可以看出初等矩陣及初等群在近代理論數(shù)學(xué)中的重要地位。

當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展使得認(rèn)為行列式、矩陣在語(yǔ)言上、技術(shù)上為數(shù)學(xué)提供的貢獻(xiàn)大于它們?cè)谒枷肷蠟閿?shù)學(xué)作出的啟示的看法值得商榷。

Diedonne

行列式事實(shí)上也給出域上行列式的另一定義方式：用消法變換將方陣化成上（下）三角矩陣，其主對(duì)角線上元素的積即為該矩陣的行列式。這一定義把行列式定義與計(jì)算統(tǒng)一起來(lái)，在不探究理論上合理性的前提下是最簡(jiǎn)易的定義方式。從計(jì)算速度的角度來(lái)看，用經(jīng)典的行列式定義算行列因?yàn)樵谝粋€(gè)大的空間里，我們可以隨意移動(dòng)體．于行列式（n!項(xiàng)代數(shù)和）幾乎是不可行的，今天的數(shù)學(xué)軟件計(jì)算行列式全是用消法變換。四、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

Euler曾注意到未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同的線性方程組的解不惟一的現(xiàn)象，但解釋不了。Frobenius試圖研究方程組解集的特征,但未能如愿。

H.Smith和L.Dodgson（1870左右）繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的概念，后者證明了方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代線性方程組理論中的重要結(jié)果之一。Smith指出非齊次線性方程組：AX=b,b≠0,的全部解為y+X，這里y為非齊次線性方程組的一個(gè)特解,X為

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行列式（n!項(xiàng)代數(shù)和）幾乎是不可行的，今天的數(shù)學(xué)軟對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的全部解。Frobenius