數(shù)值分析模型與數(shù)學建模報告課件

結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法目錄一、引子：建模與引模二、模型的概念三、數(shù)學與普適性四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法六、結(jié)構(gòu)化建模例子七、結(jié)構(gòu)法的研究性課題結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法目錄1一、引子：建模與引模建模學生：數(shù)學建模=數(shù)學引模實際或競賽的建模問題課程學習與培訓中的數(shù)學建模案例引用案例借鑒案例數(shù)學建?！兕惐取⒁煤徒梃b是很有效的方法，是現(xiàn)狀！但是：數(shù)學薦模+數(shù)學引模——一種初步實用的，拼湊性的模型類比方法，非普適的、非創(chuàng)造性的和非本質(zhì)的。一、引子：建模與引模建模學生：數(shù)學建模=數(shù)學引模實際2數(shù)學建模=創(chuàng)造的本質(zhì)性方法+模型類比方法結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法：一種創(chuàng)造的本質(zhì)性方法源問題E.A.Bender定義：數(shù)學模型是關(guān)于以部分現(xiàn)實世界（原型）為一定目標而作的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。抽象什么？如何抽象？抽象=最抽象！理解：模型？+數(shù)學？=數(shù)學模型？抽象什么？如何抽象？如何建模？數(shù)學建模=創(chuàng)造的本質(zhì)性方法+模型類比方法結(jié)構(gòu)化數(shù)學建31）社會科學模型經(jīng)濟與管理科學模型、軍事模型、政治模型、社會學模型等等。1、什么是模型這是一個通過舉例或指認回答的簡單問題。例管理科學中的甘特圖模型反映了在項目管理中各個過程的受控運行狀態(tài)，是項目各部分關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的動態(tài)表示。ISO9000系列實質(zhì)上是管理過程的標準。二、模型的概念1）社會科學模型1、什么是模型這是一個通過舉例或指認回答的簡4例選舉模型多數(shù)選舉法、累計選舉法等等，是特種社會活動的模型。這些模型共同特點是，其表達易于理解，抽象度低。經(jīng)濟學模型：市場模型、競爭模型、企業(yè)戰(zhàn)略模型、股票模型、金融模型，等等。例選舉模型這些模型共同特點是，其表達易于理解，抽象度低。5用專業(yè)理論抽象出的結(jié)構(gòu)，并用專業(yè)語言表示的模型5）物理模型基本粒子、原子模型、晶體模型、光學的衍射等等。4）化學模型苯環(huán)、化學健理論、反應平衡等等；建筑模型，交通模型，電路模型，服裝模型等等。表達：建筑設(shè)計圖、交通網(wǎng)絡、電路圖、服裝模版等。2）工程技術(shù)模型3）生命科學模型新陳代謝模型、光合作用模型、血液循環(huán)模型、DNA雙螺旋模型、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)模型等等。用專業(yè)理論抽象出的結(jié)構(gòu)，并用專業(yè)語言表示的模型5）物理模型462、模型是什么？模型與結(jié)構(gòu)模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)構(gòu)并適當表示。抽象出結(jié)構(gòu)：不是一般概念的抽象，而是結(jié)構(gòu)的抽象；適當?shù)谋硎荆菏褂貌煌R與方法，需要不同的語言表示。特定目的：目的不同，關(guān)注的結(jié)構(gòu)（事物的內(nèi)部聯(lián)系）不同；原型抽象出結(jié)構(gòu)模型2、模型是什么？模型與結(jié)構(gòu)模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)7模型是用某種工具對同類或其他工具的表達方式。模型從某一個建模觀點出發(fā)，抓住事物最重要的方面而簡化或忽略其他方面。工程、建筑和其他許多需要具有創(chuàng)造性的領(lǐng)域中都使用模型。表達模型的工具要求便于使用。建筑模型可以是圖紙上所繪的建筑圖，也可以是用厚紙板制作的三維模型，還可以用存于計算機中的有限元方程來表示。一個建筑物的結(jié)構(gòu)模型不僅能夠展示這個建筑物的外觀，還可以用它來進行工程設(shè)計和成本核算。模型是用某種工具對同類或其他工具的表達方式。8例.飛機模型目的：空氣動力學研究抽象結(jié)構(gòu)：外型結(jié)構(gòu)，除去內(nèi)部構(gòu)造；目的：機艙設(shè)計抽象結(jié)構(gòu)：內(nèi)部空間結(jié)構(gòu)，除去外部結(jié)構(gòu)；不同目的關(guān)注的內(nèi)容不同，抽象的結(jié)構(gòu)不同。表示：專業(yè)圖形和航空語言表示。例.飛機模型目的：空氣動力學研究目的：機艙設(shè)計不同目的關(guān)9例.地圖概念抽象（不是模型?。簶侨骸⒕幼⌒^(qū)、公共場所與設(shè)施、商區(qū)、政府機關(guān)、河流、湖泊、公交線路、各級公路、快速路、高速路、立交橋等等。目的：城市交通研究抽象出結(jié)構(gòu)：小區(qū)、商區(qū)、立交橋、道路、交叉路口等概念的關(guān)聯(lián)和區(qū)分——忽略細部特征、概念的部分內(nèi)涵、人口結(jié)構(gòu)等等。模型表示：城市交通地圖例.地圖概念抽象（不是模型?。簶侨骸⒕幼⌒^(qū)、公共場所10數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件113、核心是結(jié)構(gòu)理解原型的結(jié)構(gòu)，抽象并表示結(jié)構(gòu)是核心問題。什么是結(jié)構(gòu)？集合的結(jié)構(gòu)是集合的子集族。例圖書館字符集：中文字、英文字母、數(shù)字等等各種字符的全體。書、文章、多媒體文本等形成子集族——集合的文本結(jié)構(gòu)。文本按知識類型分類，形成不同層次的子集族——國際圖書分類法——圖書館的藏書結(jié)構(gòu)——專業(yè)模型。3、核心是結(jié)構(gòu)理解原型的結(jié)構(gòu)，抽象并表示結(jié)構(gòu)是核心問題。什么124、模型抽象度1）、科學的依賴序關(guān)系與抽象度數(shù)學物理化學生物社會科學抽象度降低這種單調(diào)的依賴關(guān)系由科學領(lǐng)域的物質(zhì)組成決定4、模型抽象度1）、科學的依賴序關(guān)系與抽象度數(shù)學132）、科學序與世界的形成科學的依存關(guān)系：社會科學——由生命體組成生命科學——生命由細胞、蛋白質(zhì)組成化學科學——分子、大分子、原子團簇物理科學——基于基本粒子組成的各種物質(zhì)形態(tài)數(shù)學——物質(zhì)的起源霍金：如果廣義相對論成立，則任何合理的宇宙模型都起始于一個奇點（數(shù)學點?。壳白詈玫挠钪嬲摚?）、科學序與世界的形成科學的依存關(guān)系：社會科學——由生命體14擴展的科學與技術(shù)的抽象遞減順序：數(shù)學——物理——化學——生物——工程技術(shù)——社會科學3）、模型的抽象度依科學序關(guān)系遞減擴展的科學與技術(shù)的抽象遞減順序：3）、模型的抽象度依科學序關(guān)15結(jié)構(gòu)主義學派（Bourbaki

）：數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)三、數(shù)學與普適性數(shù)學的普適性一直被數(shù)學家與哲學家研究，笛卡兒、開普勒、牛頓、萊布尼茨等：大自然中隱藏著一種固有的和諧，反射到我們的心智中就呈現(xiàn)簡單數(shù)學定理的形式。1、數(shù)學是什么？這是一個困難的問題，并沒有唯一的答案。結(jié)構(gòu)主義學派（Bourbaki）：三、數(shù)學與普適性16布巴基學派是本世紀三十年代以后開始形成的一個數(shù)學學派．布巴基(Bourbaki)并無其人，它是這一學派的人物著書立說時共同采用的一個筆名．從1939年起，他們出版了一套巨著《數(shù)學原本》，到1973年共出36卷，至今仍未完成．2、布巴基學派《數(shù)學原本》是一部博大精深的著作．它涉及現(xiàn)代數(shù)學的各個領(lǐng)域，概括某些最新研究成果，以其嚴謹而別具一格的方式將數(shù)學按結(jié)構(gòu)重新組織，形成了自己的新體系．其內(nèi)容包括集合論、代數(shù)、一般拓撲、實變函數(shù)論、線性拓撲空間、黎曼幾何、微分拓撲、調(diào)和分析、微分流形、李群等分支．布巴基學派是本世紀三十年代以后開始形成的一個數(shù)學學派．布巴基17布巴基學派的主要成員有狄多涅(JeanDieudonne，1906—)、韋伊(Andre′Weil，1906—)、歇瓦萊(ClaudeChevalley，1909—)、H·嘉當(HenriCartan，1904—)等．布巴基的事業(yè)是一批法國青年開始做起來的。1924年，一批18歲的青年來到法國巴黎高等師范學校(法國最高學府)求學．巴黎的老一輩大學問家象畢卡(Picard，1856—1941)、蒙代爾(Montel，1876—1975)、波萊爾(Borel，1871—1956)阿達瑪(Hadamard，1865—1963)、當儒瓦(Denjoy，1884—1974)、勒貝格(Lebesgue，1875—1941)、當時已是50歲上下的人了，他們和這批18歲的青年整整隔了一代．盡管他們手把手地給他們講授一年級課程，但這批年輕人并不滿足．布巴基學派的主要成員有狄多涅(JeanDie18一批青年聚在一起議論法國數(shù)學發(fā)展中青年人的責任，其中以狄多涅、韋伊兩人為首，吸引了德爾薩特(J．Delsarte)、厄萊斯曼(C．Ehresman)、歇瓦萊等三人，后來又有H·嘉當和愛倫伯格(S·Eilenberg)(唯一的外國人——波蘭人)參加．他們曾分析形勢，首先法國是當時函數(shù)論王國，上面列舉的大學問家都是搞函數(shù)論的．除了阿達瑪?shù)挠懻摪嘤幸簧韧ㄍ鶉獾拇翱谥?，國外的?shù)學發(fā)展情況很不清楚．至于E·嘉當(ElieCartan，1869—1951)的工作雖然開始了李群與微分幾何理論的研究，但要到20年以后才被發(fā)現(xiàn)其重要性，當時并未注意到．一批青年聚在一起議論法國數(shù)學發(fā)展中青年人的19韋伊首先走到國外，得知德國當時有阿廷(EmilArtin，1896—1962)、諾特(EmmyNoether，1882—1935)、西格爾(CarlLudwigSiegel)、海塞(HermutHasse)這些人在代數(shù)方面嶄新的工作；匈牙利的黎茲(Frede’ricRiesz，1880—1956)、波蘭的巴拿赫(StefanBanach，1892—1945)已開創(chuàng)了泛函分析；俄國學派已在向拓撲學進攻．這些年輕人再也坐不住了，他們決心打破這一“函數(shù)論王國”的束縛，繼承從費馬到龐卡萊博學多采的數(shù)學傳統(tǒng)，把數(shù)學來一個改造，于是出現(xiàn)了“布巴基運動”．特別是在1932年范·德·瓦爾登(VanderWaerden)的《近世代數(shù)》出版，給這些年輕人以啟發(fā)，他們欣喜若狂，決心象范·德·瓦爾登整理代數(shù)學那樣，將數(shù)學重新整理一遍．1934年他們在一次集會上決定，用三年時間將整個數(shù)學整理成一套專書．然而，隨著知識的增長他們發(fā)現(xiàn)這是何等艱巨的任務！后來實際上寫了三十年也沒有完成．韋伊首先走到國外，得知德國當時有阿廷(Em20布巴基的一些主要成員，大多在現(xiàn)代數(shù)學中都有重大貢獻．如狄多涅可以說是一個著作家，是布巴基的主筆，寫了大量論文和專著；韋伊可以說是本世紀中葉以后最重要的數(shù)學家之一，他在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何上的工作是極為深刻的，由于他在法國的南希(Nancy)和美國的芝加哥(Chicago)工作，曾戲稱布巴基在南加哥(Nancago)大學任職，是布巴基的一員主將；愛倫伯格是布巴基小組中唯一的外籍人，他是同調(diào)代數(shù)的制定者；H·嘉當也是一位大數(shù)學家，以多復變函數(shù)和同調(diào)代數(shù)研究馳名；歇瓦萊建立了李(Lie)理論和有限群之間的橋梁；廣義函數(shù)的奠基人施瓦茲(Schwa-rz)和現(xiàn)代代數(shù)幾何家格羅申第克(Grothendiek)兩個人都獲菲爾茲獎并參加過布巴基小組，把大家?guī)肓藘蓚€深入的部門．后期的成員很多，如塞爾(Jean-PierreSerre)是《數(shù)學原本》代數(shù)部分的主要撰稿人，他也是菲爾茲獎獲得者．布巴基學派確實吸引了最有能力的數(shù)學家，是二十世紀最有影響的學派之一．布巴基的一些主要成員，大多在現(xiàn)代數(shù)學中都有重21狄多涅指出，布巴基的基本指導思想是結(jié)構(gòu)主義．他們用公理化的觀點對整個數(shù)學加以整理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學分支之間的區(qū)別在于結(jié)構(gòu)不同．他們認為數(shù)學上有三種結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)．30余卷的《數(shù)學原本》貫穿了這一思想．作者們把一些理論的基本概念仔細加以剖析，拆成零件(各種結(jié)構(gòu))，然后整理歸納，把某個理論放在整個結(jié)構(gòu)的適當位置上．他們不崇尚技巧，象數(shù)論中的高超技巧、函數(shù)論中的精密估計、概率論中的詳細計算，都不能納入布巴基體系．狄多涅指出，布巴基的基本指導思想是結(jié)構(gòu)主義．22DNA序列={A、T、C、G}+結(jié)構(gòu)（序結(jié)構(gòu)？…）DNA的數(shù)學模型—數(shù)學生物學。DNAComputing—生物數(shù)學。結(jié)構(gòu)主義：數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)(抽象元素)(序結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、復合結(jié)構(gòu)…)DNA序列={A、T、C、G}+結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)主義：23Bourbaki的訃文（1968年冬）Cantor（康托爾）、Hilbert（希爾伯特）、Noether（諾特）諸家族，Cartan、Weil、Dieudonné、Chevalley，諸家族Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、Godement（古德曼）、Samuel（薩姆埃爾）、Schwartz（施瓦爾茲）諸家族，Demazure（德馬祖爾）、Douady（杜阿第）、Giraud（吉勞）、Verdier（費荻耶）諸家族，還有其他家族以及Abéle和Idéle小姐：

Bourbaki的訃文（1968年冬）24悲哀地奉告NicolasBourbaki老爺于11月11日在Nancago自己的莊圓中逝世。茲訂于1968年11月23日星期六15時在隨機函數(shù)公墓（Markov及G?del地下鐵路車站）安葬。儀式在Koszul（廣）場，射影予解式十字路口，“直積”酒吧間前舉行。按已故者遺愿，由至圣紅衣主教阿列夫1（1）在萬用問題圣母大教堂主持彌散，所有閉影射的等價類及纖維的全權(quán)代表出席。高等師范學校、陳班（類）學生默哀追念死者。不奉獻鮮花、花環(huán)及花束。“因為上帝就是Aleksandrov（亞歷山大洛夫）的萬有緊化”（Grothendieck[格羅登迪克]福音書第四章22頁）。悲哀地奉告NicolasBourbaki老爺于11月11日253、結(jié)構(gòu)主義方法結(jié)構(gòu)主義不僅是一種思想，而且是一種分析方法。例、數(shù)直線結(jié)構(gòu)分析

在一個集合的元素間引進運算或變換，就形成了結(jié)構(gòu)．布巴基學派將數(shù)學結(jié)構(gòu)分為三大類：(1)代數(shù)結(jié)構(gòu)：由離散性對象加運算構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)．如群、環(huán)、域、代數(shù)系統(tǒng)、范疇、線性空間等．(2)序結(jié)構(gòu)．如半序集、全序集、良序集等．(3)拓撲結(jié)構(gòu)．如拓撲空間、緊致集、列緊空間、連通集、連續(xù)性及完備性空間等．3、結(jié)構(gòu)主義方法結(jié)構(gòu)主義不僅是一種思想，而且是一種分析方法。26這三種結(jié)構(gòu)叫做母結(jié)構(gòu)，由此可以導出各種子結(jié)構(gòu)，還可有各種交叉，形成分支結(jié)構(gòu)，如拓撲群是群結(jié)構(gòu)上再定義拓撲結(jié)構(gòu)的一門學科．希爾伯特空間是線性空間添加內(nèi)積型拓撲(拓撲結(jié)構(gòu))構(gòu)成的數(shù)學系統(tǒng)．巴拿赫空間即完備、賦范、線性空間，也是一種交叉而形成的分支結(jié)構(gòu)．數(shù)學中有些對象(如數(shù)直線)看起來很簡單，其實，如果進行結(jié)構(gòu)分析，即可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)相當復雜．所謂數(shù)直線R，就是由全體實數(shù)構(gòu)成的一維歐氏空間．我們將看到，R是一個完備的阿基米德全序域．它是由代數(shù)結(jié)構(gòu)(域)、序結(jié)構(gòu)(全序)、拓撲結(jié)構(gòu)(完備性結(jié)構(gòu))形成的分支結(jié)構(gòu)．這三種結(jié)構(gòu)叫做母結(jié)構(gòu)，由此可以導出各種子結(jié)構(gòu)，還可有各種交叉27簡記R=｛實數(shù)；+，×，≤｝容易驗證：(1)R具有環(huán)結(jié)構(gòu)．對“+”、“×”各個運算都滿足交換律與結(jié)合律．0是加法單位元，1是乘法單位元．對+、×還滿足分配律．故對兩種運算而言構(gòu)成一個環(huán)，而且對乘法還有逆運算，故R實際上還構(gòu)成一個域．(2)R具有序結(jié)構(gòu)．對序關(guān)系≤滿足三條基本性質(zhì)，即傳遞性、對稱性、可比性，故R是一個全序結(jié)構(gòu)．此外，對加法、乘法而言還滿足保序性，這種保序性使代數(shù)結(jié)構(gòu)與序結(jié)構(gòu)具有協(xié)調(diào)性，因而合在一起能作成新的結(jié)構(gòu)．(3)R具有連續(xù)性結(jié)構(gòu)．歐幾里德公理顯然滿足(即任給x＞0，y≥0，總存在自然數(shù)n使y≤nx)．簡記R=｛實數(shù)；+，×，≤｝容易驗證：(1)R具有環(huán)結(jié)構(gòu)．對28對上述有序域R中的元素可定義絕對值，從而引出距離概念和鄰域概念．由此可得到極限概念和基本序列概念，且易驗明R具有完備性，即凡基本序列的極限值也都含在R內(nèi)．因此，R是一個完備的歐幾里德有序域．它是代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)三者聯(lián)合而成的具有協(xié)調(diào)性的一種交叉結(jié)構(gòu)．對上述有序域R中的元素可定義絕對值，從而引出294、結(jié)構(gòu)與同構(gòu)凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可看成是同一種結(jié)構(gòu)，在研究問題時，只須對一種結(jié)構(gòu)進行分析即可。假定有兩個集合M和N，它們對分別定義的運算·和＊各自滿足同樣一組公理：系統(tǒng)間的同構(gòu)概念也可推廣到具有多重運算的情形．4、結(jié)構(gòu)與同構(gòu)凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本30數(shù)學主要是研究結(jié)構(gòu)，至于結(jié)構(gòu)采取什么形式并不重要．因此，在一類同構(gòu)的系統(tǒng)中只須選定一個結(jié)構(gòu)作為研究對象就可以了．應可知復數(shù)z=a+bi有四種表示形式：可以驗證，無論是哪種表示形式，由相應的運算規(guī)則確定的數(shù)學系統(tǒng)都是互相同構(gòu)的．它們在本質(zhì)上都代表同一個復數(shù)域．數(shù)學主要是研究結(jié)構(gòu)，至于結(jié)構(gòu)采取什么形式并不重要．因此，在一31進一步，在上述復數(shù)域上還可引進拓撲結(jié)構(gòu)．這只須引進范數(shù)(絕對值)概念即可：這樣，它們構(gòu)成的系統(tǒng)都成為同一種半序域P，其中序的關(guān)系可按下列方式規(guī)定：如果對某一復數(shù)z0=x0+y0i，把滿足條件：|z-z0|=|(x-x0)+(y-y0)i|＜δ(δ＞0)，的點集｛z｝稱為z0的δ鄰域，則所有這種形式的鄰域(其中δ為任意正數(shù))及其拓撲變換后的一切子集顯然滿足“鄰域系公理”．因此，范數(shù)的引入也就產(chǎn)生了拓撲結(jié)構(gòu)．進一步，在上述復數(shù)域上還可引進拓撲結(jié)構(gòu)．這只須引進范數(shù)(絕對325、結(jié)構(gòu)與表示集合是它的結(jié)構(gòu)的某種表示，相同結(jié)構(gòu)的不同集合就是結(jié)構(gòu)的不同表示。不同表示之間的轉(zhuǎn)換就是同構(gòu)。例向量空間抽象的定義：n維實線性空間的定義；幾何定義：n個有序?qū)崝?shù)組的全體。結(jié)構(gòu)：數(shù)乘和加法封閉，滿足8條運算規(guī)則。幾何定義是這種結(jié)構(gòu)的更直觀的表示，揭示：同一種結(jié)構(gòu)有比較直觀的表示，有比較抽象的表示，數(shù)學表示是抽象度最高的表示。5、結(jié)構(gòu)與表示集合是它的結(jié)構(gòu)的某種表示，相同33四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義結(jié)構(gòu)是集合派生，具有：整體性、轉(zhuǎn)換性和自身調(diào)節(jié)性。結(jié)構(gòu)的特性：可形式化。利用皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義理論，可以對于結(jié)構(gòu)進行可程序化的分析。例、群——數(shù)學中第一個被作為結(jié)構(gòu)研究的Galois二十一歲去世，但是給了人類數(shù)學近兩個世紀的數(shù)學基礎(chǔ)。四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義結(jié)構(gòu)是集合派生，具有：整體性、轉(zhuǎn)換性和自34群有集合的整體性特質(zhì)——群的結(jié)構(gòu)群的轉(zhuǎn)換性：群乘法是集合中元素的轉(zhuǎn)換作用，群的轉(zhuǎn)換性與守恒性緊密結(jié)合，使得群的結(jié)構(gòu)特別有用：許多物理、生物和社會問題都有這種結(jié)構(gòu)（物理的守恒率）。群的自調(diào)節(jié)性：轉(zhuǎn)換并非是無限制的，可以回到出發(fā)點（逆運算）；歷經(jīng)不同的路徑達到同一個目的（群乘法的結(jié)合率）。自身的調(diào)節(jié)性造成了結(jié)構(gòu)的守恒與封閉性。群有集合的整體性特質(zhì)——群的結(jié)構(gòu)群的轉(zhuǎn)換性：群乘法是集合中元35五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法1、目前的方法一般建模程序，MarkM.Meerschaert的著作“MathematicalModeling”中，提出數(shù)學建模的五步法E.A.Bender的定義:數(shù)學模型是關(guān)于以部分現(xiàn)實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法1、目前的方法一般建363）推導模型公式完善模型的假設(shè)，并表示成適定的形式。4）求解模型選擇正確的解法，特別是數(shù)值計算與分析。5）回答問題解釋數(shù)學解，分析魯棒性和近似假定，確定解對于問題的作用。2）選擇建模方法利用經(jīng)驗、技巧和文獻選擇解決問題的一般性求解方法。1）提出問題列出所有變量、單位和所有假設(shè)，并表示。用數(shù)學表達式給出問題的目標。3）推導模型公式37結(jié)構(gòu)主義即是思想也是方法：一切原型都有結(jié)構(gòu)，模型=抽象出原型結(jié)構(gòu)的適當表示；數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)，數(shù)學模型=原型結(jié)構(gòu)的數(shù)學表示；數(shù)學建模=抽象出原型的結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學結(jié)構(gòu)表示。2、結(jié)構(gòu)化建模方法數(shù)學模型方法是普適的原型=集合+結(jié)構(gòu)數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)主義即是思想也是方法：2、結(jié)構(gòu)化建模方法數(shù)學模型方法是普38通常的方法沒有解決抽象什么、怎么抽象，抽象成為最抽象，學生在沒有經(jīng)驗的條件下束手無策。當前方法的教學重點在于講案例，學生沒有本質(zhì)的建模方法的情況下，于是“薦?！焙汀耙！背蔀橹饕椒?。結(jié)構(gòu)化建模方法：提供分析的方法——分析結(jié)構(gòu)的方法，分析同構(gòu)影射，學習原型結(jié)構(gòu)的表示方法——建立專業(yè)模型，學習數(shù)學結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生建模的可操作程序。結(jié)構(gòu)化建模方法不是排斥“五步法”，而是充實“第二步”的具體可行的方法。通常的方法沒有解決抽象什么、怎么抽象，抽象成393、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模程序利用數(shù)學理論分析、計算、推演，求得問題的解或產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)揭示新的專業(yè)結(jié)構(gòu)。數(shù)學語言表示的結(jié)構(gòu)數(shù)學模型專業(yè)語言描述結(jié)構(gòu)專業(yè)模型抽象出原型的結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言表示的模型。一般方法：有些問題專業(yè)模型難，有些問題數(shù)學模型難。對原型確定目的解數(shù)學模型分析原型的結(jié)構(gòu)建立專業(yè)模型建立數(shù)學模型3、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模程序利用數(shù)學理論分析、計算、推演，求得問題401、Web中的數(shù)學建模例子網(wǎng)絡已經(jīng)成為現(xiàn)代人的一種生活方式。在網(wǎng)上，每天有成千上萬的多媒體文件在傳輸（例如，路透社每天收到網(wǎng)上文本文件達20萬）。試建立數(shù)學模型，使得可以對這些文件進行自動分類，以便人們閱讀和使用。六、結(jié)構(gòu)化建模例子1、Web中的數(shù)學建模例子網(wǎng)絡已經(jīng)成為現(xiàn)代人41在線文本自動分析原型的目標在線電子文本的計算機自動分類與輔助理解。理解基于分類，分類是理解的主體，理解就是分類！兩類分類模型的目標：檢索性分類——國際圖書分類法，目的是查詢；理解性分類——基于語意、概念層、主題層的細分類，目的是分析和理解。在線文本自動分析原型的目標在線電子文本的計算機自動分類42原型的結(jié)構(gòu)文本——章節(jié)——段落——語意團——句或短語——詞——字符文本的結(jié)構(gòu)：原型有兩層結(jié)構(gòu)：文本的結(jié)構(gòu)；文本集合的結(jié)構(gòu)。分析：文本集合的結(jié)構(gòu)依賴于文本的結(jié)構(gòu)；文本集合的結(jié)構(gòu)是原型對于目的的主要結(jié)構(gòu)；因此文本的結(jié)構(gòu)的表示依賴集合的結(jié)構(gòu)。原型的結(jié)構(gòu)文本——章節(jié)——段落——語意團——句或短語文本的結(jié)43原型的專業(yè)模型（源于關(guān)鍵詞和摘要的作用）模型1.以詞頻為特征的分類模型詞:有語意的初級字符串單位——語言的細胞；詞在文本中的頻率與不同類文本間頻率差別是分類的基本結(jié)構(gòu)和基本的差別結(jié)構(gòu)。模型2.以語意團為特征，重在語意差別的分類。模型3.混合模型語言能力模型：喬姆斯基的語法結(jié)構(gòu)模型是另一類語言模型。原型的專業(yè)模型（源于關(guān)鍵詞和摘要的作用）模型1.以詞44文本集的結(jié)構(gòu)分析：分類是在文本的集合中進行，因此是原型的目標的主要結(jié)構(gòu)。分析文本集的結(jié)構(gòu)，首先是文本之間的相互關(guān)系：聯(lián)想到數(shù)學中的結(jié)構(gòu)，例如代數(shù)結(jié)構(gòu)，是在集合中定義代數(shù)運算——加法和數(shù)法：元素間的運算關(guān)系。兩個文本的合并還是文本——加法封閉；一個文本的倍數(shù)仍然是文本——數(shù)乘封閉！文本的集合應該有一個“線性空間”的結(jié)構(gòu)；文本的分類是在線性空間中的“向量的分類”！此時問題的原型的結(jié)構(gòu)直接和數(shù)學結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來！文本集的結(jié)構(gòu)分析：分類是在文本的集合中進行，因此是原型的目標45模型1的數(shù)學模型：已經(jīng)有了向量的結(jié)構(gòu)+詞頻特征根據(jù)專業(yè)模型，詞頻及具有分類的特征信息，因此可以仿照熵的定義：d(i)j=TFIDF(w(i),dj)模型1的數(shù)學模型：已經(jīng)有了向量的結(jié)構(gòu)+詞頻特征46文本集合的數(shù)學模型——文本的特征向量空間。分類問題是N維線性空間的向量的分類問題。許多方法可以用于求解，例如SVM分類器對于數(shù)據(jù)壓縮很有效。文本集合的數(shù)學模型——文本的特征向量空間。47文本自動分類:理解文本的類屬性,子空間分類.文本自動聚類:發(fā)現(xiàn)文本集合中的新模式,新概念.文本向量:由文本的實意詞的特征值或特征模式為分量的向量.以信息熵的形式構(gòu)造.特征子空間:具有某種共同意義的分量組成的子空間.主義自由個人文本向量空間:全部文本向量的高維線性空間.應用事例：思想史研究中，“五四”運動的討論的主要思想是什么？發(fā)現(xiàn)在“自由主義”的特征詞所在的子空間中，文本的投影數(shù)量最大！文本自動分類:理解文本的類屬性,子空間分類.文本向量:由48高維問題；訓練集的數(shù)據(jù)量大；理解性細分類的精度低。尋找新的結(jié)構(gòu)，新的數(shù)學模型。主要數(shù)學問題和某些進一步研究課題：1、SVM的微分幾何方法；2、詞頻分布特征的研究，用分布特征分類和理解；3、添加語意的分類模型；4、大規(guī)模數(shù)據(jù)挖掘方法尋找分類模式與規(guī)則。高維問題；尋找新的結(jié)構(gòu)，主要數(shù)學問題和某些進一步研究課題：1492008年北京奧運會地區(qū)臨時超市點網(wǎng)設(shè)計

（2004年全國大學生建模比賽A題）3、數(shù)學模型例子（1）2008年北京奧運會50比賽題目：2008年北京奧運會主館場周邊臨時商亭網(wǎng)點設(shè)計

為了了解觀眾的購物需求和人流量的規(guī)律，假設(shè)我們在已經(jīng)建設(shè)好的某運動場，舉辦了三次運動會，對觀眾發(fā)放問卷調(diào)查，采集相關(guān)數(shù)據(jù)，供解題者使用。

2008年北京奧運會的建設(shè)工作已經(jīng)進入全面設(shè)計和實施階段。奧運會期間，在比賽場館的周邊地區(qū)必須建設(shè)一個由小型商亭構(gòu)建的臨時商業(yè)網(wǎng)點。我們稱之為迷你超市（MS）網(wǎng)，主要滿足運動員，觀眾，游客，工作人員在奧運會期間購物需求，經(jīng)營食品、旅游用品、奧運紀念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場館周邊地區(qū)設(shè)置這種MS，在地點、大小類型和總量方面，必須滿足三個基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。顯然，這是一個必須用科學的方法解決的問題。在本題卷中給出了奧運會主要比賽場館的規(guī)劃圖，是解決上述問題的地理平臺。作為真實地圖的簡化，在本頁結(jié)構(gòu)圖中僅保留了與上述問題有關(guān)的地區(qū)，以及相關(guān)內(nèi)容：道路、公交車站、出租車站、自駕車停車場、地鐵、餐飲部門等。比賽題目：2008年北京奧運會主館場周邊臨時商亭網(wǎng)點設(shè)計51并在答卷論文中明確回答以下必答問題：

假定每位觀眾出行平均兩次，一次為進出場館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請你依據(jù)附錄中給出的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律，測算圖中20個商區(qū)內(nèi)人流量分布（用百分比）。

2.請你設(shè)計MS類型（可以分兩種大小不同規(guī)模），在20個商區(qū)內(nèi)的分布（每個商區(qū)內(nèi)不同類型MS的個數(shù)），以滿足“題目描述”中的三個基本要求。3．闡明你的方法的科學性和結(jié)果是貼近實際的。

問題：對結(jié)構(gòu)圖上標明的比賽場館周邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標有A、B、C及編號的黃色填充的區(qū)域）內(nèi)設(shè)計網(wǎng)點。并在答卷論文中明確回答以下必答問題：問題：52原型的目的：在奧運館場優(yōu)化設(shè)計臨時小超市（MS）分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：1）對于設(shè)計環(huán)境抽象出與目的有關(guān)的館場結(jié)構(gòu)圖。2）抽取影響設(shè)計MS的主要因素：人流量，因此在以上館場結(jié)構(gòu)圖中，應該存在一個人流分布結(jié)構(gòu)。3）理解設(shè)計的三條原則：滿足購物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實質(zhì)上是在以上兩種結(jié)構(gòu)之上加上限制性結(jié)構(gòu)——約束。用自然語言表述了原型及目的涉及的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，這種專業(yè)模型實際上在題目中已經(jīng)給出，只要理解并再清楚地表述。原型的目的：在奧運館場優(yōu)化設(shè)計臨時小超市（MS）分析結(jié)構(gòu)并抽53建立數(shù)學模型：總體模型和每個部分的具體模型總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型：調(diào)查數(shù)據(jù)人流動的一般規(guī)律（數(shù)據(jù)模型）規(guī)律發(fā)現(xiàn)+館場平面結(jié)構(gòu)人流量在館場結(jié)構(gòu)圖中的分布（網(wǎng)絡流模型）三條原則的數(shù)學模型（約束條件）+有約束的整數(shù)規(guī)劃問題建立數(shù)學模型：總體模型和每個部分的具體模型總體結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型54各個部分的數(shù)學模型1）人流動的一般規(guī)律的數(shù)據(jù)模型：用數(shù)據(jù)挖掘方法，可以找出全部二維和三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，得到數(shù)據(jù)模型。2）將館場平面結(jié)構(gòu)圖和數(shù)據(jù)模型可以建立由連通道路組成的網(wǎng)絡流模型，進而計算出每個商區(qū)的人流量分布。3）建立三項原則的數(shù)學模型：滿足需求和商業(yè)贏利都容易用數(shù)學表示。均衡性是十分靈活的特別體現(xiàn)“淺無邊，深無底”的命題指導思想。4）最后給出整數(shù)規(guī)劃問題。各個部分的數(shù)學模型1）人流動的一般規(guī)律的數(shù)據(jù)模型：用數(shù)據(jù)挖掘55本問題的解決過程基本上劃分為三個部分：

A．出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模型的建立這一部分的目的是通過對三次問卷調(diào)查給出的一萬條記錄的數(shù)據(jù)進行分析、匯總計算，給出出行與不同類型人流的分布關(guān)系，將這些關(guān)系數(shù)據(jù)組成盡可能全面反應相關(guān)規(guī)律的數(shù)據(jù)系統(tǒng)。對三次調(diào)查的規(guī)律一致性給予充分關(guān)注，認為一致性規(guī)律才是一般性規(guī)律，這是很重要的一步分析。在分析不同的出行與不同類型的人流相關(guān)聯(lián)時，最簡單的是采用直觀選擇可能的相關(guān)性使用統(tǒng)計相關(guān)分析進行計算。主要的關(guān)系都能計算出，但往往不夠完整，其中性別與年齡段對出行方式的考慮不足，由于性別對與出行方式中存在著相關(guān)性（例如女性乘出租與私車比例較高），這一條比較容易忽略的規(guī)則對計算結(jié)果是有影響的。因為一般的統(tǒng)計方法需要確定統(tǒng)相關(guān)性的對象，依賴離直觀的相關(guān)屬性的選擇，是造成不夠完善的一個原因。使用系統(tǒng)的數(shù)據(jù)挖掘方法，挖掘出所有二維屬性相關(guān)值，計算出支持度與置性度，才給出完整的數(shù)據(jù)模型。

本問題的解決過程基本上劃分為三個部分：A．出行規(guī)律的數(shù)據(jù)模56共10600條記錄，分三次獲得。第一次為3500條；第二次為3200條；第三次為3900條。與人流量相關(guān)的規(guī)則，其平均比率如下：1、性別男：5549條（52.3％）女：5051條（47.7％）2、年齡：（男女比例基本上為1：1）20以下：1174人（11.1％),20－30：6150人（58%）,30—50：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7％）3、交通數(shù)據(jù)公交：3602人（34％）,公交（南北）：1774人；公交（東西）：1828人地鐵：4030人（38％）,地鐵（東）：2006人；地鐵（西）：2024人

出租車：2010人（19％）(男：女＝1：2)

私車：958人（9％）(男：女＝1：2)共10600條記錄，分三次獲得。第一次為35057

20歲以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50歲以下（1137）中餐123人（10.5％）992（16.2％）807（37.7％）460（40.5％）西餐552人（47％）3809（61.9％）894（41.8％）312（27.4％）超市（購物）499人（42.5％）1349（21.9％）438（20.5％）365（32.1％）就餐數(shù)據(jù)：自定義放映11

20歲以下（1174）20－30（6150）31－50（258

購物欲：消費額20歲以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50歲以上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）222（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）2316（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性別與消費額：消費額男（5549）女（5051）

0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）自定義放映12

消費額20歲以下（1174）20－30（6150）31－559B、建立數(shù)學模型來確定人流量分布—數(shù)據(jù)模型數(shù)學建模中概念的清楚的定義是很重要的，是否注意到人流量是與購物量是不同的概念，可以通過購物欲的數(shù)據(jù)，把人流量轉(zhuǎn)變?yōu)橘徫锪?。但是“人流”本身也應該有明確的定義，因為性別不同和年齡段不同造成出行方式的差別和購物欲的差別。因此，將男女性別的人不加區(qū)分地統(tǒng)稱為“人”的理解造成計算上的誤差。在計算人流分布（或購物量分布）的方法上，可以構(gòu)造許多創(chuàng)造性的數(shù)學模型。例如畫出路徑的網(wǎng)絡圖，確定最短路徑是最普遍使用的方法；對路口節(jié)點的分析是很貼近人們出行與購物習慣的；利用了矩陣表示商區(qū)節(jié)點與出行目標之間關(guān)系數(shù)據(jù)，從而使計算變得簡便等等。特別是構(gòu)造電路模型或水流模型，用于計算人流分布，這種方法實際上就是網(wǎng)絡流模型的一些變形和形象化，也可以取得很好的效果。還可以特色地引入購物心理學，適當?shù)匦拚齼H用商圈概念的簡單模型，得到一些求人流量的公式，對于更廣泛的應用是有意義的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，應當說是取得好效果的重要方法。使用直觀的圖形與表格進行分析也是很重要的方法等等。B、建立數(shù)學模型來確定人流量分布—數(shù)據(jù)模型數(shù)學建模中概念的清60項目\地區(qū)12345678910合計A區(qū)（男）6%3.33.74.35.5135.54.33.73.352.6A區(qū)（女）6.33.33.53.94.610.54.63.93.53.347.4B區(qū)（男）7.35.68.66.37.317.3

52.4B區(qū)（女）6.45.4966.414.4

47.6C區(qū)（男）9.199.325.1

52.5C區(qū)（女）8.49.68.620.9

47.5假設(shè)不考慮年齡段的因素，簡化地只考慮性別、飲食習慣、出行方式三維關(guān)聯(lián)規(guī)則，從而確定各商區(qū)的人流分布百分比如下：

自定義放映13項目\地區(qū)12345678910合計A區(qū)（男）6%3.33.61這一部分的目標很明確，根據(jù)人流量分布，建立適當?shù)臄?shù)學規(guī)劃模型，解出商店的最優(yōu)分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商業(yè)盈利的要求設(shè)計目標函數(shù)使其達到最大。也可以先計算出每個商區(qū)的最大消費額，然后在達到最大消費額條件下求成本最小作為優(yōu)化目標。在目標函數(shù)選擇上，這兩類方法各有千秋。在建立數(shù)學規(guī)劃模型中，最困難的是如何為滿足“均衡”性要求而表達約束條件，這是本題在設(shè)計時留下的難點，反映“深無底”的命題特色。在眾多參賽論文中主要使用的是限制性約束條件，例如限制在每個商區(qū)的MS最多個數(shù)與最少個數(shù)之差達到極小的約束，這樣的規(guī)劃問題比較簡單，也能得到比較符合實際的分布，但是對于商圈數(shù)量較大或情況比較復雜的問題，這類約束的想法顯得過于簡單。

C、建立數(shù)學規(guī)劃模型

這一部分的目標很明確，根據(jù)人流量分布，建立適當?shù)臄?shù)學規(guī)62原始分布改變后分布沙堆模型的平衡效果原始分布改變后分布沙堆模型的平衡效果63改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果64改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果改變后分布原始分布沙堆模型的平衡效果65沙堆模型的規(guī)劃模型目標函數(shù)：約束條件：設(shè)大、小MS最大銷售額分別為b1，b2，運營成本分別為c1，c2，場館內(nèi)商區(qū)個數(shù)為n，每個商區(qū)大、小MS個數(shù)為n1，n2，每個商區(qū)最大購買額為p.

沙堆模型的規(guī)劃模型目標函數(shù)：約束條件：設(shè)大、小MS最66七、結(jié)構(gòu)法的研究課題數(shù)學建模已經(jīng)形成了學術(shù)研究領(lǐng)域，國內(nèi)外都有學者致力于數(shù)模方法的研究，因為應用數(shù)學的主要方法就是數(shù)學建模。1、學術(shù)研究的必要性應用數(shù)學——幾乎所有數(shù)學理論中都有可以應用的方法與概念，基本方法：數(shù)據(jù)分析+數(shù)學模型化數(shù)學研究方法的本質(zhì)同樣是數(shù)學模型化！數(shù)學應用的廣泛性和多樣性，決定了數(shù)模方法研究的必要性與重要性。七、結(jié)構(gòu)法的研究課題數(shù)學建模已經(jīng)形成了學671984年，美國國家委員會發(fā)表《Mathematics:APlanForThe1990s》,其中列出近期發(fā)展機會的27個方面：1.偏微分方程的新進展;2.流體動力學中的渦團;3.飛行器設(shè)計;4.生理學;5.醫(yī)學掃描技術(shù);6.大范圍變化;7.小波分析;8.數(shù)論;9.拓撲學;10.辛幾何;11.非交換幾何;12.作為計算機工具的計算機顯象;13.李代數(shù)與相變;14.玄理論;

15.相互作用的粒子系統(tǒng);16.空間統(tǒng)計學;17.質(zhì)量和生產(chǎn)率的統(tǒng)計方法;18.圖子式;19.數(shù)理經(jīng)濟學;20.并行算法和體系結(jié)構(gòu);21.隨機化算法;22.快速多極算法;23.線性規(guī)劃的內(nèi)點算法;24.混沌動力學;25.計算線性規(guī)劃;26.統(tǒng)計學在DNA結(jié)構(gòu)中的應用;

27.生物統(tǒng)計學與流行病學.1984年，美國國家委員會發(fā)表《Mathematics:A682、結(jié)構(gòu)化建模的研究課題系統(tǒng)地提出結(jié)構(gòu)化的建模方法是我們首次，因此方法實施的細節(jié)還遠不成熟，有大量需要研究的問題。大約提出以下三類問題：1）分析原型結(jié)構(gòu)的方法利用皮亞杰的結(jié)構(gòu)定義的“三性”：整體性、轉(zhuǎn)換性和自調(diào)節(jié)性對于不同專業(yè)或領(lǐng)域建立分析方法；2）建立在具有相同結(jié)構(gòu)的不同集合（領(lǐng)域、專業(yè)、問題）之間的同構(gòu)方法；2、結(jié)構(gòu)化建模的研究課題系統(tǒng)地提出結(jié)構(gòu)化的建69

世界上一切事物都有結(jié)構(gòu)，因此研究抽象結(jié)構(gòu)的科學—數(shù)學必然到處有用。建筑結(jié)構(gòu)、地質(zhì)結(jié)構(gòu)、人才結(jié)構(gòu)、市場經(jīng)濟結(jié)構(gòu)、城市規(guī)劃結(jié)構(gòu)、行政體系結(jié)構(gòu)、人體骨骼結(jié)構(gòu)、分子生物學：結(jié)構(gòu)決定功能！世界上一切事物都有結(jié)構(gòu)，因此研究抽象結(jié)構(gòu)的科學70初等數(shù)學集合：實數(shù)及其初等函數(shù)結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)高等數(shù)學集合：Rn(Cn)、流形及其上的函數(shù)結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、稠密性結(jié)構(gòu)、緊性結(jié)構(gòu)、可分離性結(jié)構(gòu)（Hausdoff公理）、連續(xù)性結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)、微分結(jié)構(gòu)、流形的結(jié)構(gòu)以及代數(shù)結(jié)構(gòu)。3）數(shù)學的結(jié)構(gòu)理解與分析，建立建模教學的數(shù)學結(jié)構(gòu)的教學方法。初等數(shù)學集合：實數(shù)及其初等函數(shù)結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)高等數(shù)學71代數(shù)：抽象元素的集合+代數(shù)結(jié)構(gòu)（線性代數(shù)、群、環(huán)、域……）實分析：實數(shù)集（實函數(shù)）+微分的結(jié)構(gòu)。幾何：空間點集合+幾何的結(jié)構(gòu)（歐幾理德幾何、微分幾何……）。拓撲：抽象元素的集合+開集的結(jié)構(gòu)。微分流形：集合+拓撲結(jié)構(gòu)+流行的結(jié)構(gòu)+微分的結(jié)構(gòu)……數(shù)學的基本結(jié)構(gòu)（母結(jié)構(gòu)）：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)——復合結(jié)構(gòu)。陳省身：未來的數(shù)學研究的對象是流形以及流形上的函數(shù)。代數(shù)：抽象元素的集合+代數(shù)結(jié)構(gòu)（線性代數(shù)、群、環(huán)、域……）實722007年在成都召開數(shù)學建模的科研與教學研討會，并且在“工業(yè)數(shù)學學報”上刊登，希望積極投入研究，并準備論文。主要參考文獻：1、皮亞杰著，倪連生等譯：結(jié)構(gòu)主義，2、胡作玄等著：20世紀數(shù)學思想，19993、M.M.Meerschaert，劉來福等譯：數(shù)學建模方法與分析，20054、姜啟源等：數(shù)學建模案例選集，20065、潭永基等：經(jīng)濟管理數(shù)學模型案例教程，20062007年在成都召開數(shù)學建模的科研與教學研73原型結(jié)構(gòu)的抽象模型小結(jié)：核心是結(jié)構(gòu)：集合的結(jié)構(gòu)是集合的子集族。什么是模型：對原型確定目的分析原型的結(jié)構(gòu)建立專業(yè)模型建立數(shù)學模型解數(shù)學模型數(shù)學模型化方法：

敬謝各位老師！期盼批評指正：孟大志，dzhmeng@，（010）86185293原型結(jié)構(gòu)的抽象74數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件75數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件76數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件77數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件78數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件79數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件80數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件81數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件82數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件83說明:1．商業(yè)上用“商圈”來描述商店的覆蓋范圍。影響商店選址的主要因素是商圈內(nèi)的人流量，以及購物欲望。2．為簡化，假定鳥巢（國家體育場）容量10萬人，水立方（國家游泳中心）容納4萬人，國家體育館可容納6萬人。每個看臺容1萬人，出口對準一個商區(qū)，各商區(qū)面積相同，圖中白色為人行道路。自定義放映7說明:1．商業(yè)上用“商圈”來描述商店的覆蓋范圍。影響商84WatsonandCrickWatsonand85構(gòu)造DNA雙螺旋模型構(gòu)造DNA雙螺旋模型86結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法目錄一、引子：建模與引模二、模型的概念三、數(shù)學與普適性四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法六、結(jié)構(gòu)化建模例子七、結(jié)構(gòu)法的研究性課題結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法目錄87一、引子：建模與引模建模學生：數(shù)學建模=數(shù)學引模實際或競賽的建模問題課程學習與培訓中的數(shù)學建模案例引用案例借鑒案例數(shù)學建模≠類比、引用和借鑒是很有效的方法，是現(xiàn)狀！但是：數(shù)學薦模+數(shù)學引?！环N初步實用的，拼湊性的模型類比方法，非普適的、非創(chuàng)造性的和非本質(zhì)的。一、引子：建模與引模建模學生：數(shù)學建模=數(shù)學引模實際88數(shù)學建模=創(chuàng)造的本質(zhì)性方法+模型類比方法結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法：一種創(chuàng)造的本質(zhì)性方法源問題E.A.Bender定義：數(shù)學模型是關(guān)于以部分現(xiàn)實世界（原型）為一定目標而作的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。抽象什么？如何抽象？抽象=最抽象！理解：模型？+數(shù)學？=數(shù)學模型？抽象什么？如何抽象？如何建模？數(shù)學建模=創(chuàng)造的本質(zhì)性方法+模型類比方法結(jié)構(gòu)化數(shù)學建891）社會科學模型經(jīng)濟與管理科學模型、軍事模型、政治模型、社會學模型等等。1、什么是模型這是一個通過舉例或指認回答的簡單問題。例管理科學中的甘特圖模型反映了在項目管理中各個過程的受控運行狀態(tài)，是項目各部分關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的動態(tài)表示。ISO9000系列實質(zhì)上是管理過程的標準。二、模型的概念1）社會科學模型1、什么是模型這是一個通過舉例或指認回答的簡90例選舉模型多數(shù)選舉法、累計選舉法等等，是特種社會活動的模型。這些模型共同特點是，其表達易于理解，抽象度低。經(jīng)濟學模型：市場模型、競爭模型、企業(yè)戰(zhàn)略模型、股票模型、金融模型，等等。例選舉模型這些模型共同特點是，其表達易于理解，抽象度低。91用專業(yè)理論抽象出的結(jié)構(gòu)，并用專業(yè)語言表示的模型5）物理模型基本粒子、原子模型、晶體模型、光學的衍射等等。4）化學模型苯環(huán)、化學健理論、反應平衡等等；建筑模型，交通模型，電路模型，服裝模型等等。表達：建筑設(shè)計圖、交通網(wǎng)絡、電路圖、服裝模版等。2）工程技術(shù)模型3）生命科學模型新陳代謝模型、光合作用模型、血液循環(huán)模型、DNA雙螺旋模型、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)模型等等。用專業(yè)理論抽象出的結(jié)構(gòu)，并用專業(yè)語言表示的模型5）物理模型4922、模型是什么？模型與結(jié)構(gòu)模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)構(gòu)并適當表示。抽象出結(jié)構(gòu)：不是一般概念的抽象，而是結(jié)構(gòu)的抽象；適當?shù)谋硎荆菏褂貌煌R與方法，需要不同的語言表示。特定目的：目的不同，關(guān)注的結(jié)構(gòu)（事物的內(nèi)部聯(lián)系）不同；原型抽象出結(jié)構(gòu)模型2、模型是什么？模型與結(jié)構(gòu)模型：以特定目的對事物原型抽象出結(jié)93模型是用某種工具對同類或其他工具的表達方式。模型從某一個建模觀點出發(fā)，抓住事物最重要的方面而簡化或忽略其他方面。工程、建筑和其他許多需要具有創(chuàng)造性的領(lǐng)域中都使用模型。表達模型的工具要求便于使用。建筑模型可以是圖紙上所繪的建筑圖，也可以是用厚紙板制作的三維模型，還可以用存于計算機中的有限元方程來表示。一個建筑物的結(jié)構(gòu)模型不僅能夠展示這個建筑物的外觀，還可以用它來進行工程設(shè)計和成本核算。模型是用某種工具對同類或其他工具的表達方式。94例.飛機模型目的：空氣動力學研究抽象結(jié)構(gòu)：外型結(jié)構(gòu)，除去內(nèi)部構(gòu)造；目的：機艙設(shè)計抽象結(jié)構(gòu)：內(nèi)部空間結(jié)構(gòu)，除去外部結(jié)構(gòu)；不同目的關(guān)注的內(nèi)容不同，抽象的結(jié)構(gòu)不同。表示：專業(yè)圖形和航空語言表示。例.飛機模型目的：空氣動力學研究目的：機艙設(shè)計不同目的關(guān)95例.地圖概念抽象（不是模型！）：樓群、居住小區(qū)、公共場所與設(shè)施、商區(qū)、政府機關(guān)、河流、湖泊、公交線路、各級公路、快速路、高速路、立交橋等等。目的：城市交通研究抽象出結(jié)構(gòu)：小區(qū)、商區(qū)、立交橋、道路、交叉路口等概念的關(guān)聯(lián)和區(qū)分——忽略細部特征、概念的部分內(nèi)涵、人口結(jié)構(gòu)等等。模型表示：城市交通地圖例.地圖概念抽象（不是模型?。簶侨骸⒕幼⌒^(qū)、公共場所96數(shù)值分析模型與數(shù)學建模(報告課件973、核心是結(jié)構(gòu)理解原型的結(jié)構(gòu)，抽象并表示結(jié)構(gòu)是核心問題。什么是結(jié)構(gòu)？集合的結(jié)構(gòu)是集合的子集族。例圖書館字符集：中文字、英文字母、數(shù)字等等各種字符的全體。書、文章、多媒體文本等形成子集族——集合的文本結(jié)構(gòu)。文本按知識類型分類，形成不同層次的子集族——國際圖書分類法——圖書館的藏書結(jié)構(gòu)——專業(yè)模型。3、核心是結(jié)構(gòu)理解原型的結(jié)構(gòu)，抽象并表示結(jié)構(gòu)是核心問題。什么984、模型抽象度1）、科學的依賴序關(guān)系與抽象度數(shù)學物理化學生物社會科學抽象度降低這種單調(diào)的依賴關(guān)系由科學領(lǐng)域的物質(zhì)組成決定4、模型抽象度1）、科學的依賴序關(guān)系與抽象度數(shù)學992）、科學序與世界的形成科學的依存關(guān)系：社會科學——由生命體組成生命科學——生命由細胞、蛋白質(zhì)組成化學科學——分子、大分子、原子團簇物理科學——基于基本粒子組成的各種物質(zhì)形態(tài)數(shù)學——物質(zhì)的起源霍金：如果廣義相對論成立，則任何合理的宇宙模型都起始于一個奇點（數(shù)學點！）——目前最好的宇宙論！2）、科學序與世界的形成科學的依存關(guān)系：社會科學——由生命體100擴展的科學與技術(shù)的抽象遞減順序：數(shù)學——物理——化學——生物——工程技術(shù)——社會科學3）、模型的抽象度依科學序關(guān)系遞減擴展的科學與技術(shù)的抽象遞減順序：3）、模型的抽象度依科學序關(guān)101結(jié)構(gòu)主義學派（Bourbaki

）：數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)三、數(shù)學與普適性數(shù)學的普適性一直被數(shù)學家與哲學家研究，笛卡兒、開普勒、牛頓、萊布尼茨等：大自然中隱藏著一種固有的和諧，反射到我們的心智中就呈現(xiàn)簡單數(shù)學定理的形式。1、數(shù)學是什么？這是一個困難的問題，并沒有唯一的答案。結(jié)構(gòu)主義學派（Bourbaki）：三、數(shù)學與普適性102布巴基學派是本世紀三十年代以后開始形成的一個數(shù)學學派．布巴基(Bourbaki)并無其人，它是這一學派的人物著書立說時共同采用的一個筆名．從1939年起，他們出版了一套巨著《數(shù)學原本》，到1973年共出36卷，至今仍未完成．2、布巴基學派《數(shù)學原本》是一部博大精深的著作．它涉及現(xiàn)代數(shù)學的各個領(lǐng)域，概括某些最新研究成果，以其嚴謹而別具一格的方式將數(shù)學按結(jié)構(gòu)重新組織，形成了自己的新體系．其內(nèi)容包括集合論、代數(shù)、一般拓撲、實變函數(shù)論、線性拓撲空間、黎曼幾何、微分拓撲、調(diào)和分析、微分流形、李群等分支．布巴基學派是本世紀三十年代以后開始形成的一個數(shù)學學派．布巴基103布巴基學派的主要成員有狄多涅(JeanDieudonne，1906—)、韋伊(Andre′Weil，1906—)、歇瓦萊(ClaudeChevalley，1909—)、H·嘉當(HenriCartan，1904—)等．布巴基的事業(yè)是一批法國青年開始做起來的。1924年，一批18歲的青年來到法國巴黎高等師范學校(法國最高學府)求學．巴黎的老一輩大學問家象畢卡(Picard，1856—1941)、蒙代爾(Montel，1876—1975)、波萊爾(Borel，1871—1956)阿達瑪(Hadamard，1865—1963)、當儒瓦(Denjoy，1884—1974)、勒貝格(Lebesgue，1875—1941)、當時已是50歲上下的人了，他們和這批18歲的青年整整隔了一代．盡管他們手把手地給他們講授一年級課程，但這批年輕人并不滿足．布巴基學派的主要成員有狄多涅(JeanDie104一批青年聚在一起議論法國數(shù)學發(fā)展中青年人的責任，其中以狄多涅、韋伊兩人為首，吸引了德爾薩特(J．Delsarte)、厄萊斯曼(C．Ehresman)、歇瓦萊等三人，后來又有H·嘉當和愛倫伯格(S·Eilenberg)(唯一的外國人——波蘭人)參加．他們曾分析形勢，首先法國是當時函數(shù)論王國，上面列舉的大學問家都是搞函數(shù)論的．除了阿達瑪?shù)挠懻摪嘤幸簧韧ㄍ鶉獾拇翱谥猓瑖獾臄?shù)學發(fā)展情況很不清楚．至于E·嘉當(ElieCartan，1869—1951)的工作雖然開始了李群與微分幾何理論的研究，但要到20年以后才被發(fā)現(xiàn)其重要性，當時并未注意到．一批青年聚在一起議論法國數(shù)學發(fā)展中青年人的105韋伊首先走到國外，得知德國當時有阿廷(EmilArtin，1896—1962)、諾特(EmmyNoether，1882—1935)、西格爾(CarlLudwigSiegel)、海塞(HermutHasse)這些人在代數(shù)方面嶄新的工作；匈牙利的黎茲(Frede’ricRiesz，1880—1956)、波蘭的巴拿赫(StefanBanach，1892—1945)已開創(chuàng)了泛函分析；俄國學派已在向拓撲學進攻．這些年輕人再也坐不住了，他們決心打破這一“函數(shù)論王國”的束縛，繼承從費馬到龐卡萊博學多采的數(shù)學傳統(tǒng)，把數(shù)學來一個改造，于是出現(xiàn)了“布巴基運動”．特別是在1932年范·德·瓦爾登(VanderWaerden)的《近世代數(shù)》出版，給這些年輕人以啟發(fā)，他們欣喜若狂，決心象范·德·瓦爾登整理代數(shù)學那樣，將數(shù)學重新整理一遍．1934年他們在一次集會上決定，用三年時間將整個數(shù)學整理成一套專書．然而，隨著知識的增長他們發(fā)現(xiàn)這是何等艱巨的任務！后來實際上寫了三十年也沒有完成．韋伊首先走到國外，得知德國當時有阿廷(Em106布巴基的一些主要成員，大多在現(xiàn)代數(shù)學中都有重大貢獻．如狄多涅可以說是一個著作家，是布巴基的主筆，寫了大量論文和專著；韋伊可以說是本世紀中葉以后最重要的數(shù)學家之一，他在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何上的工作是極為深刻的，由于他在法國的南希(Nancy)和美國的芝加哥(Chicago)工作，曾戲稱布巴基在南加哥(Nancago)大學任職，是布巴基的一員主將；愛倫伯格是布巴基小組中唯一的外籍人，他是同調(diào)代數(shù)的制定者；H·嘉當也是一位大數(shù)學家，以多復變函數(shù)和同調(diào)代數(shù)研究馳名；歇瓦萊建立了李(Lie)理論和有限群之間的橋梁；廣義函數(shù)的奠基人施瓦茲(Schwa-rz)和現(xiàn)代代數(shù)幾何家格羅申第克(Grothendiek)兩個人都獲菲爾茲獎并參加過布巴基小組，把大家?guī)肓藘蓚€深入的部門．后期的成員很多，如塞爾(Jean-PierreSerre)是《數(shù)學原本》代數(shù)部分的主要撰稿人，他也是菲爾茲獎獲得者．布巴基學派確實吸引了最有能力的數(shù)學家，是二十世紀最有影響的學派之一．布巴基的一些主要成員，大多在現(xiàn)代數(shù)學中都有重107狄多涅指出，布巴基的基本指導思想是結(jié)構(gòu)主義．他們用公理化的觀點對整個數(shù)學加以整理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學分支之間的區(qū)別在于結(jié)構(gòu)不同．他們認為數(shù)學上有三種結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)．30余卷的《數(shù)學原本》貫穿了這一思想．作者們把一些理論的基本概念仔細加以剖析，拆成零件(各種結(jié)構(gòu))，然后整理歸納，把某個理論放在整個結(jié)構(gòu)的適當位置上．他們不崇尚技巧，象數(shù)論中的高超技巧、函數(shù)論中的精密估計、概率論中的詳細計算，都不能納入布巴基體系．狄多涅指出，布巴基的基本指導思想是結(jié)構(gòu)主義．108DNA序列={A、T、C、G}+結(jié)構(gòu)（序結(jié)構(gòu)？…）DNA的數(shù)學模型—數(shù)學生物學。DNAComputing—生物數(shù)學。結(jié)構(gòu)主義：數(shù)學=集合+結(jié)構(gòu)(抽象元素)(序結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、復合結(jié)構(gòu)…)DNA序列={A、T、C、G}+結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)主義：109Bourbaki的訃文（1968年冬）Cantor（康托爾）、Hilbert（希爾伯特）、Noether（諾特）諸家族，Cartan、Weil、Dieudonné、Chevalley，諸家族Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、Godement（古德曼）、Samuel（薩姆埃爾）、Schwartz（施瓦爾茲）諸家族，Demazure（德馬祖爾）、Douady（杜阿第）、Giraud（吉勞）、Verdier（費荻耶）諸家族，還有其他家族以及Abéle和Idéle小姐：

Bourbaki的訃文（1968年冬）110悲哀地奉告NicolasBourbaki老爺于11月11日在Nancago自己的莊圓中逝世。茲訂于1968年11月23日星期六15時在隨機函數(shù)公墓（Markov及G?del地下鐵路車站）安葬。儀式在Koszul（廣）場，射影予解式十字路口，“直積”酒吧間前舉行。按已故者遺愿，由至圣紅衣主教阿列夫1（1）在萬用問題圣母大教堂主持彌散，所有閉影射的等價類及纖維的全權(quán)代表出席。高等師范學校、陳班（類）學生默哀追念死者。不奉獻鮮花、花環(huán)及花束。“因為上帝就是Aleksandrov（亞歷山大洛夫）的萬有緊化”（Grothendieck[格羅登迪克]福音書第四章22頁）。悲哀地奉告NicolasBourbaki老爺于11月11日1113、結(jié)構(gòu)主義方法結(jié)構(gòu)主義不僅是一種思想，而且是一種分析方法。例、數(shù)直線結(jié)構(gòu)分析

在一個集合的元素間引進運算或變換，就形成了結(jié)構(gòu)．布巴基學派將數(shù)學結(jié)構(gòu)分為三大類：(1)代數(shù)結(jié)構(gòu)：由離散性對象加運算構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)．如群、環(huán)、域、代數(shù)系統(tǒng)、范疇、線性空間等．(2)序結(jié)構(gòu)．如半序集、全序集、良序集等．(3)拓撲結(jié)構(gòu)．如拓撲空間、緊致集、列緊空間、連通集、連續(xù)性及完備性空間等．3、結(jié)構(gòu)主義方法結(jié)構(gòu)主義不僅是一種思想，而且是一種分析方法。112這三種結(jié)構(gòu)叫做母結(jié)構(gòu)，由此可以導出各種子結(jié)構(gòu)，還可有各種交叉，形成分支結(jié)構(gòu)，如拓撲群是群結(jié)構(gòu)上再定義拓撲結(jié)構(gòu)的一門學科．希爾伯特空間是線性空間添加內(nèi)積型拓撲(拓撲結(jié)構(gòu))構(gòu)成的數(shù)學系統(tǒng)．巴拿赫空間即完備、賦范、線性空間，也是一種交叉而形成的分支結(jié)構(gòu)．數(shù)學中有些對象(如數(shù)直線)看起來很簡單，其實，如果進行結(jié)構(gòu)分析，即可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)相當復雜．所謂數(shù)直線R，就是由全體實數(shù)構(gòu)成的一維歐氏空間．我們將看到，R是一個完備的阿基米德全序域．它是由代數(shù)結(jié)構(gòu)(域)、序結(jié)構(gòu)(全序)、拓撲結(jié)構(gòu)(完備性結(jié)構(gòu))形成的分支結(jié)構(gòu)．這三種結(jié)構(gòu)叫做母結(jié)構(gòu)，由此可以導出各種子結(jié)構(gòu)，還可有各種交叉113簡記R=｛實數(shù)；+，×，≤｝容易驗證：(1)R具有環(huán)結(jié)構(gòu)．對“+”、“×”各個運算都滿足交換律與結(jié)合律．0是加法單位元，1是乘法單位元．對+、×還滿足分配律．故對兩種運算而言構(gòu)成一個環(huán)，而且對乘法還有逆運算，故R實際上還構(gòu)成一個域．(2)R具有序結(jié)構(gòu)．對序關(guān)系≤滿足三條基本性質(zhì)，即傳遞性、對稱性、可比性，故R是一個全序結(jié)構(gòu)．此外，對加法、乘法而言還滿足保序性，這種保序性使代數(shù)結(jié)構(gòu)與序結(jié)構(gòu)具有協(xié)調(diào)性，因而合在一起能作成新的結(jié)構(gòu)．(3)R具有連續(xù)性結(jié)構(gòu)．歐幾里德公理顯然滿足(即任給x＞0，y≥0，總存在自然數(shù)n使y≤nx)．簡記R=｛實數(shù)；+，×，≤｝容易驗證：(1)R具有環(huán)結(jié)構(gòu)．對114對上述有序域R中的元素可定義絕對值，從而引出距離概念和鄰域概念．由此可得到極限概念和基本序列概念，且易驗明R具有完備性，即凡基本序列的極限值也都含在R內(nèi)．因此，R是一個完備的歐幾里德有序域．它是代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)三者聯(lián)合而成的具有協(xié)調(diào)性的一種交叉結(jié)構(gòu)．對上述有序域R中的元素可定義絕對值，從而引出1154、結(jié)構(gòu)與同構(gòu)凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可看成是同一種結(jié)構(gòu)，在研究問題時，只須對一種結(jié)構(gòu)進行分析即可。假定有兩個集合M和N，它們對分別定義的運算·和＊各自滿足同樣一組公理：系統(tǒng)間的同構(gòu)概念也可推廣到具有多重運算的情形．4、結(jié)構(gòu)與同構(gòu)凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本116數(shù)學主要是研究結(jié)構(gòu)，至于結(jié)構(gòu)采取什么形式并不重要．因此，在一類同構(gòu)的系統(tǒng)中只須選定一個結(jié)構(gòu)作為研究對象就可以了．應可知復數(shù)z=a+bi有四種表示形式：可以驗證，無論是哪種表示形式，由相應的運算規(guī)則確定的數(shù)學系統(tǒng)都是互相同構(gòu)的．它們在本質(zhì)上都代表同一個復數(shù)域．數(shù)學主要是研究結(jié)構(gòu)，至于結(jié)構(gòu)采取什么形式并不重要．因此，在一117進一步，在上述復數(shù)域上還可引進拓撲結(jié)構(gòu)．這只須引進范數(shù)(絕對值)概念即可：這樣，它們構(gòu)成的系統(tǒng)都成為同一種半序域P，其中序的關(guān)系可按下列方式規(guī)定：如果對某一復數(shù)z0=x0+y0i，把滿足條件：|z-z0|=|(x-x0)+(y-y0)i|＜δ(δ＞0)，的點集｛z｝稱為z0的δ鄰域，則所有這種形式的鄰域(其中δ為任意正數(shù))及其拓撲變換后的一切子集顯然滿足“鄰域系公理”．因此，范數(shù)的引入也就產(chǎn)生了拓撲結(jié)構(gòu)．進一步，在上述復數(shù)域上還可引進拓撲結(jié)構(gòu)．這只須引進范數(shù)(絕對1185、結(jié)構(gòu)與表示集合是它的結(jié)構(gòu)的某種表示，相同結(jié)構(gòu)的不同集合就是結(jié)構(gòu)的不同表示。不同表示之間的轉(zhuǎn)換就是同構(gòu)。例向量空間抽象的定義：n維實線性空間的定義；幾何定義：n個有序?qū)崝?shù)組的全體。結(jié)構(gòu)：數(shù)乘和加法封閉，滿足8條運算規(guī)則。幾何定義是這種結(jié)構(gòu)的更直觀的表示，揭示：同一種結(jié)構(gòu)有比較直觀的表示，有比較抽象的表示，數(shù)學表示是抽象度最高的表示。5、結(jié)構(gòu)與表示集合是它的結(jié)構(gòu)的某種表示，相同119四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義結(jié)構(gòu)是集合派生，具有：整體性、轉(zhuǎn)換性和自身調(diào)節(jié)性。結(jié)構(gòu)的特性：可形式化。利用皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義理論，可以對于結(jié)構(gòu)進行可程序化的分析。例、群——數(shù)學中第一個被作為結(jié)構(gòu)研究的Galois二十一歲去世，但是給了人類數(shù)學近兩個世紀的數(shù)學基礎(chǔ)。四、皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義結(jié)構(gòu)是集合派生，具有：整體性、轉(zhuǎn)換性和自120群有集合的整體性特質(zhì)——群的結(jié)構(gòu)群的轉(zhuǎn)換性：群乘法是集合中元素的轉(zhuǎn)換作用，群的轉(zhuǎn)換性與守恒性緊密結(jié)合，使得群的結(jié)構(gòu)特別有用：許多物理、生物和社會問題都有這種結(jié)構(gòu)（物理的守恒率）。群的自調(diào)節(jié)性：轉(zhuǎn)換并非是無限制的，可以回到出發(fā)點（逆運算）；歷經(jīng)不同的路徑達到同一個目的（群乘法的結(jié)合率）。自身的調(diào)節(jié)性造成了結(jié)構(gòu)的守恒與封閉性。群有集合的整體性特質(zhì)——群的結(jié)構(gòu)群的轉(zhuǎn)換性：群乘法是集合中元121五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法1、目前的方法一般建模程序，MarkM.Meerschaert的著作“MathematicalModeling”中，提出數(shù)學建模的五步法E.A.Bender的定義:數(shù)學模型是關(guān)于以部分現(xiàn)實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。五、結(jié)構(gòu)化數(shù)學建模方法1、目前的方法一般建1223）推導模型公式完善模型的假設(shè)，并表示成