有限元第六講講解課件

有限元分析及應(yīng)用

FiniteElementAnalysisandApplication有限元分析及應(yīng)用

FiniteElementAnaly1第七章動(dòng)力學(xué)問題的有限元法在實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中，常作用于結(jié)構(gòu)上的載荷是動(dòng)載荷，即載荷隨時(shí)間t相關(guān)，這時(shí)，結(jié)構(gòu)上相應(yīng)的位移，應(yīng)力和應(yīng)變不僅隨空間位置變化，還隨時(shí)間t而變化。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題。其基本原理和分析方法類同靜力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻力矩陣；在整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，更多是求解特征值問題（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)））第七章動(dòng)力學(xué)問題的有限元法在實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中，常作用27-1振動(dòng)基本方程的建立

從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個(gè)單元，然后據(jù)各單元節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)和節(jié)點(diǎn)力平衡，建立整體剛度平衡方程：上式也同樣適用于彈性體受動(dòng)載荷作用的有限元分析，關(guān)于靜力問題和動(dòng)力問題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問題只要在外力在中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動(dòng)力問題中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為：由于動(dòng)力載荷可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷，也可為彈性體的慣性力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，即：據(jù)慣性力定義表示為：如阻尼力正比與速度，則動(dòng)力學(xué)基本方程：7-1振動(dòng)基本方程的建立

從靜力學(xué)有限元法可知，有37-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1、單元?jiǎng)偠汝嚾稳∫粋€(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為：，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移[N]為形函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于[N]與時(shí)間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1、單元?jiǎng)偠汝?7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2、單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為，則單位體積中的慣性力為：負(fù)號表示慣性力與加速度相反。顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法：1）虛功原理法——求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法——即按重心不變原則分配，求得集中質(zhì)量矩7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2、單元質(zhì)量陣57-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1）虛功原理法設(shè)單元中發(fā)生虛位移為則單元慣性力作的虛功為：單元節(jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)慣性力所作的功為：將和代入可得這里[M]為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。如平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1）虛功原理法67-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2）直接分配法將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變原則分配至單元節(jié)點(diǎn)上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項(xiàng)的對角矩陣。如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：一般而言，一致質(zhì)量較準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實(shí)際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，但不存在耦合，使計(jì)算大大簡化，是工程中常用的方法。7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2）直接分配法77-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算3、單元阻尼陣單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：利用虛功原理同理可得：為了簡化計(jì)算，工程中常將阻尼矩陣記為質(zhì)量矩陣或剛度矩陣的形式，如令阻尼系數(shù)則7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算3、單元阻尼陣87-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼97-3固有頻率和振型計(jì)算計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時(shí)，直接用無阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡諧振動(dòng)的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間t無關(guān)的位移幅值；為與該振型對應(yīng)的頻率。7-3固有頻率和振型計(jì)算計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是107-3固有頻率和振型計(jì)算1、特征方程將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡得廣義特征值問題：由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為的n次代數(shù)方程，其n個(gè)根稱為特征值，記為它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即將這些固有頻率從小到大依次排列為最低的頻率稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。7-3固有頻率和振型計(jì)算1、特征方程117-3固有頻率和振型計(jì)算2、特征向量對應(yīng)每個(gè)固有頻率，可有方程由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解不唯一，也就是說：振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一個(gè)特征值可對應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對應(yīng)一個(gè)特征值。實(shí)際中，常選特征向量使這個(gè)過程稱之為正規(guī)化利用正規(guī)化，可得

7-3固有頻率和振型計(jì)算2、特征向量127-3固有頻率和振型計(jì)算3、特征向量的性質(zhì)正交性：任意兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)則有（請同學(xué)們自己證明）若將所有的特征值對應(yīng)的特征向量組裝成特征向量矩陣，即則對應(yīng)所有的特征值問題可簡記為矩陣形式：考慮到正規(guī)化，可進(jìn)一步記為：7-3固有頻率和振型計(jì)算3、特征向量的性質(zhì)137-4特征值問題的解法

結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求的特征值和特征向量由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個(gè)自由度，n一般相當(dāng)大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等1、冪迭代法特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。設(shè)則這里[D]稱為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積。7-4特征值問題的解法結(jié)構(gòu)固有頻率和振147-4特征值問題的解法由于任兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，則n個(gè)特征向量可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個(gè)向量被[D]變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：7-4特征值問題的解法由于任兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向157-4特征值問題的解法由于所有的特征值排列為：即存在考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)可以略去，則上式在p趨近無窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解7-4特征值問題的解法由于所有的特征值排列為：167-4特征值問題的解法冪法迭代格式1、選初始特征向量，如單位向量2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化3、計(jì)算特征值近似值4、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣7-4特征值問題的解法冪法迭代格式177-4特征值問題的解法2、逆迭代法逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為：其具體迭代格式為：1）選初始向量如單位向量2）計(jì)算中間向量3）求解線性方程組4）歸一化5）計(jì)算特征值近似值6）計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂7-4特征值問題的解法2、逆迭代法187-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在外加激振力作用下，所產(chǎn)生的位移、速度、加速度。對于受迫振動(dòng)，由于阻尼影響很大，不能忽略，即基本方程為求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)分解為一組相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。設(shè)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：則結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的受迫振動(dòng)產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是n個(gè)固有振型為基的線性組合，即為組合系數(shù)，是時(shí)間t的函數(shù)，也稱為振形坐標(biāo)。7-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在外加激振力作197-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算上式可記為這里代如動(dòng)力學(xué)方程：左乘廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義激振力7-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算上式可記為廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義剛度207-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對角矩陣，即表示方程各個(gè)變量之間是沒有耦合項(xiàng)的，從而動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)的動(dòng)力方程，分別求解這n個(gè)方程可求得從而求得動(dòng)力方程的位移解進(jìn)而可求得速度、加速度7-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為217-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算2、逐次積分法基本思想：將時(shí)間t離散為n個(gè)區(qū)間，并假設(shè)在一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對加速度積分，可得速度和位移，一旦所有區(qū)間計(jì)算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。假設(shè)在至t的很小時(shí)間間隔內(nèi)，加速度線性變化：對積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)將代入t時(shí)刻的動(dòng)力方程并整理后即可逐步求解各時(shí)刻的加速度，然后求出各時(shí)刻的速度和位移。7-5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算2、逐次積分法22有限元分析及應(yīng)用

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FiniteElementAnaly23第七章動(dòng)力學(xué)問題的有限元法在實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中，常作用于結(jié)構(gòu)上的載荷是動(dòng)載荷，即載荷隨時(shí)間t相關(guān)，這時(shí)，結(jié)構(gòu)上相應(yīng)的位移，應(yīng)力和應(yīng)變不僅隨空間位置變化，還隨時(shí)間t而變化。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題。其基本原理和分析方法類同靜力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻力矩陣；在整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，更多是求解特征值問題（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)））第七章動(dòng)力學(xué)問題的有限元法在實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中，常作用247-1振動(dòng)基本方程的建立

從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個(gè)單元，然后據(jù)各單元節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)和節(jié)點(diǎn)力平衡，建立整體剛度平衡方程：上式也同樣適用于彈性體受動(dòng)載荷作用的有限元分析，關(guān)于靜力問題和動(dòng)力問題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問題只要在外力在中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動(dòng)力問題中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為：由于動(dòng)力載荷可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷，也可為彈性體的慣性力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，即：據(jù)慣性力定義表示為：如阻尼力正比與速度，則動(dòng)力學(xué)基本方程：7-1振動(dòng)基本方程的建立

從靜力學(xué)有限元法可知，有257-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1、單元?jiǎng)偠汝嚾稳∫粋€(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為：，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移[N]為形函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于[N]與時(shí)間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1、單元?jiǎng)偠汝?67-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2、單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為，則單位體積中的慣性力為：負(fù)號表示慣性力與加速度相反。顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法：1）虛功原理法——求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法——即按重心不變原則分配，求得集中質(zhì)量矩7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2、單元質(zhì)量陣277-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1）虛功原理法設(shè)單元中發(fā)生虛位移為則單元慣性力作的虛功為：單元節(jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)慣性力所作的功為：將和代入可得這里[M]為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。如平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算1）虛功原理法287-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2）直接分配法將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變原則分配至單元節(jié)點(diǎn)上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項(xiàng)的對角矩陣。如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：一般而言，一致質(zhì)量較準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實(shí)際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，但不存在耦合，使計(jì)算大大簡化，是工程中常用的方法。7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算2）直接分配法297-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算3、單元阻尼陣單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：利用虛功原理同理可得：為了簡化計(jì)算，工程中常將阻尼矩陣記為質(zhì)量矩陣或剛度矩陣的形式，如令阻尼系數(shù)則7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算3、單元阻尼陣307-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算一旦單元?jiǎng)傟嚒①|(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：7-2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼317-3固有頻率和振型計(jì)算計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時(shí)，直接用無阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡諧振動(dòng)的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間t無關(guān)的位移幅值；為與該振型對應(yīng)的頻率。7-3固有頻率和振型計(jì)算計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是327-3固有頻率和振型計(jì)算1、特征方程將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡得廣義特征值問題：由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為的n次代數(shù)方程，其n個(gè)根稱為特征值，記為它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即將這些固有頻率從小到大依次排列為最低的頻率稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。7-3固有頻率和振型計(jì)算1、特征方程337-3固有頻率和振型計(jì)算2、特征向量對應(yīng)每個(gè)固有頻率，可有方程由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解不唯一，也就是說：振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一個(gè)特征值可對應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對應(yīng)一個(gè)特征值。實(shí)際中，常選特征向量使這個(gè)過程稱之為正規(guī)化利用正規(guī)化，可得

7-3固有頻率和振型計(jì)算2、特征向量347-3固有頻率和振型計(jì)算3、特征向量的性質(zhì)正交性：任意兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)則有（請同學(xué)們自己證明）若將所有的特征值對應(yīng)的特征向量組裝成特征向量矩陣，即則對應(yīng)所有的特征值問題可簡記為矩陣形式：考慮到正規(guī)化，可進(jìn)一步記為：7-3固有頻率和振型計(jì)算3、特征向量的性質(zhì)357-4特征值問題的解法

結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求的特征值和特征向量由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個(gè)自由度，n一般相當(dāng)大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等1、冪迭代法特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。設(shè)則這里[D]稱為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積。7-4特征值問題的解法結(jié)構(gòu)固有頻率和振367-4特征值問題的解法由于任兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，則n個(gè)特征向量可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個(gè)向量被[D]變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：7-4特征值問題的解法由于任兩個(gè)特征值對應(yīng)的特征向377-4特征值問題的解法由于所有的特征值排列為：即存在考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)可以略去，則上式在p趨近無窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解7-4特征值問題的解法由于所有的特征值排列為：387-4特征值問題的解法冪法迭代格式1、選初始特征向量，如單位向量2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化3、計(jì)算特征值近似值4、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣7-4特征值問題的解法冪法迭代格式397-4特征值問題的解法2、逆迭代法逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為：其具體迭代格式為：1）選初始向量如單位向量2）計(jì)算中間向