計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)數(shù)值分析教程課件

計(jì)算方法計(jì)算方法第一章引論一、數(shù)值分析的概念、地位和特點(diǎn)§1數(shù)值分析的研究對(duì)象（課程簡(jiǎn)介）

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析、有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一門學(xué)科。實(shí)際上就是介紹用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的計(jì)算方法及其理論。這門課程又稱為(數(shù)值)計(jì)算方法、數(shù)值計(jì)算等。1.數(shù)值分析的概念第一章引論一、數(shù)值分析的概念、地位和特點(diǎn)§1數(shù)值分析的研3先看兩個(gè)例子。

例1

求方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)的根。理論上可知顯然找不出根的解析式，即無法求出精確解。

例2

用Cramer法則求解n元線性方程組。顯然理論上可行，且有精確表達(dá)式。實(shí)際計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么問題呢？3先看兩個(gè)例子。若記,則有n階線性代數(shù)方程組:克萊姆算法若記,則有n階線性代數(shù)方程組:克萊姆算法

若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA，應(yīng)用Cramer法則可得即其中若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA[計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程課件

利用Cramer法則求解方程組需要進(jìn)行的乘法和除法的次數(shù)為：利用Cramer法則求解方程組需要進(jìn)行的乘數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解利用計(jì)算機(jī)高速的簡(jiǎn)單運(yùn)算(加、減、乘、除)去實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的功能。數(shù)值分析的本質(zhì)數(shù)值輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解利用計(jì)算機(jī)高速的簡(jiǎn)

科學(xué)計(jì)算

的核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）為工具，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模擬研究?，F(xiàn)代科學(xué)的三個(gè)組成部分:

科學(xué)理論,科學(xué)實(shí)驗(yàn),科學(xué)計(jì)算2.數(shù)值分析的地位促使一些邊緣學(xué)科的相繼出現(xiàn)：計(jì)算數(shù)學(xué),計(jì)算物理學(xué),計(jì)算力學(xué),計(jì)算化學(xué),計(jì)算生物學(xué),計(jì)算地質(zhì)學(xué),計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué),等等科學(xué)計(jì)算的核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（M實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序設(shè)計(jì)編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋說明

在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的算法步驟，編制出正確的計(jì)算程序，再上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。

實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果總的來看，數(shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

(1)數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科；

(2)面向計(jì)算機(jī)，要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法；(3)有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；3.數(shù)值分析的特點(diǎn)(4)要有好的算法復(fù)雜性，即時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度要??；(5)要有數(shù)值試驗(yàn)?？偟膩砜矗瑪?shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)數(shù)值分析二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容◆插值問題（Ch2）◆線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法(Ch5,Ch6)◆非線性方程組的數(shù)值解法(Ch7)◆數(shù)值積分與數(shù)值微分(Ch4)◆常微分方程的數(shù)值解法(Ch9)◆函數(shù)逼近(Ch3)◆代數(shù)特征值問題(Ch8)二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容◆插值問題（Ch2）◆線性代數(shù)方程組的

理論上課時(shí)數(shù)：30上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)數(shù)：0

參考書：

1.《計(jì)算方法（c語言版）》（第1版），靳天飛等，清華大學(xué)出版社，2010.6

教材：

1.《數(shù)值分析》（第5版），李慶揚(yáng)等，清華大學(xué)出版社，2008.12理論上課時(shí)數(shù)：30上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)數(shù)：0參考書實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型確定數(shù)值計(jì)算方法編制程序上機(jī)算出結(jié)果§2數(shù)值計(jì)算的誤差2.1誤差的來源與分類

用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時(shí)，需要經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

數(shù)值結(jié)果是指在選擇某種數(shù)值方法之后，編制程序正確，輸入初始數(shù)據(jù)正確的情形下所獲得的結(jié)果。

實(shí)際問題的精確解與用計(jì)算機(jī)計(jì)算出來的數(shù)值結(jié)果之間就有差異，這種差異在數(shù)學(xué)上稱為誤差。實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型確定數(shù)值計(jì)算方法編制程序上機(jī)算出結(jié)果§2現(xiàn)實(shí)世界研究對(duì)象觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立計(jì)算方法的構(gòu)成數(shù)值運(yùn)算的執(zhí)行觀測(cè)誤差模型誤差截?cái)嗾`差舍入誤差

結(jié)果現(xiàn)實(shí)世界研究觀測(cè)數(shù)學(xué)模型的建立計(jì)

模型誤差

/*ModelingError*/

——從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)產(chǎn)生的誤差

觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/——通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值導(dǎo)致輸入數(shù)據(jù)的誤差

方法誤差(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)——近似求解時(shí)產(chǎn)生的誤差

舍入誤差

/*RoundoffError*/

——由于計(jì)算機(jī)字長有限而在數(shù)值運(yùn)算的每一步所產(chǎn)生的誤差模型誤差/*ModelingError*/觀測(cè)大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：將作Tayl

設(shè)是某實(shí)數(shù)的精確值,是它的一個(gè)近似值，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差.2.2誤差與有效數(shù)字定義2.1絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差定義2.2絕對(duì)誤差界、相對(duì)誤差界若，則稱為絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差界稱為相對(duì)誤差界,記為.

稱為的相對(duì)誤差,常用表示.設(shè)是某實(shí)數(shù)的精確值,是它的一個(gè)近似值，則稱定義2.3有效數(shù)字

/*significantdigits*/用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）.若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。例：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論.證明：有5位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字.

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！定義2.3有效數(shù)字/*significantd例:

設(shè)

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

問它們分別有幾位有效數(shù)字?3位5位4位例:設(shè)3位定理2.1有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。定理2.1有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字相解：例有效數(shù)字解：例有效數(shù)字2.3

求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)初始數(shù)據(jù)引起計(jì)算函數(shù)值的誤差函數(shù)值A(chǔ)*的絕對(duì)誤差略去高階項(xiàng)：2.3求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)初始數(shù)據(jù)函數(shù)值A(chǔ)*的絕[計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程課件基本運(yùn)算中的誤差估計(jì)基本運(yùn)算中的誤差估計(jì)例假定某長方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長為x，寬為y，并實(shí)地測(cè)得其長x*=100.30米，寬y*=80.50米，若x*和y*的誤差限都是0.005米，試求其面積s的近似值s*的誤差限和相對(duì)誤差限。由兩個(gè)數(shù)的積的相對(duì)誤差限估計(jì)式得解據(jù)題意，由兩個(gè)數(shù)的積的誤差限估計(jì)式得

例假定某長方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長為x，寬為y，并實(shí)地測(cè)得其長x*=

例在計(jì)算球的體積時(shí)，為了使相對(duì)誤差限為1%，問測(cè)量半徑r時(shí)允許的相對(duì)誤差限為多少？從而有

解計(jì)算球的體積公式為設(shè)體積的近似值為，半徑的近似值為，則

得到相對(duì)誤差限估計(jì)式為

這說明，測(cè)量半徑r時(shí)允許的相對(duì)誤差限為1/300。例在計(jì)算球的體積時(shí)，為了使相對(duì)誤差限為1%，問測(cè)量半徑r§3

病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對(duì)于y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？3.1病態(tài)問題與條件數(shù)條件數(shù)

/*conditionnumber*/條件數(shù)很大時(shí)，初始數(shù)據(jù)的微小誤差可能引起結(jié)果A的很大誤差.§3病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對(duì)于y=

對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即數(shù)學(xué)問題的解）有很大擾動(dòng)，則稱數(shù)學(xué)問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起例：計(jì)算

公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!3.2

數(shù)值方法的穩(wěn)定性例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差???考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增。可見初始的小擾動(dòng)

公式注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。定義：一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即有誤差），而計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的?？疾旆赐埔徊降恼`差：以此類推，對(duì)n<N有：誤差逐步遞1.要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法;2。避免兩個(gè)相近的數(shù)相減;3.要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù);2。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計(jì)算方法;2。簡(jiǎn)化計(jì)算步驟和公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)。避免誤差危害的若干原則

3.3避免誤差危害的若干原則1.要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法;2避免兩個(gè)相近的數(shù)相減

當(dāng)遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減時(shí)，參與運(yùn)算的數(shù)應(yīng)當(dāng)多保留幾位有效數(shù)字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生。由前面公式可知可以看到，如果兩個(gè)相近的數(shù)相減，則而相對(duì)誤差限就會(huì)比較大，故有效數(shù)字位會(huì)大大減少。較小，避免兩個(gè)相近的數(shù)相減當(dāng)遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減時(shí)，參與運(yùn)例給定若使用計(jì)算機(jī)計(jì)算有，應(yīng)如何變換公式使有效數(shù)字位增加？，若使用計(jì)算器取四位有效數(shù)字計(jì)算解使用計(jì)算器計(jì)算取四位有效數(shù)字得從而得到但由于而使用計(jì)算器取四位有效數(shù)字得所以有

這說明變換公式后能使有效數(shù)字位由1位增加到3位。例給定若使用計(jì)算機(jī)計(jì)算有，應(yīng)如何變換公式使有效數(shù)字位增加？

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：取右端的有限項(xiàng)近似代替左端。幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：取右端要防止小數(shù)被大數(shù)“吃掉”而使有效數(shù)字位損失例求一元二次方程

在數(shù)值運(yùn)算中，如果兩個(gè)參與運(yùn)算的數(shù)相差太大，則小數(shù)有可能被大數(shù)“吃掉”而使有效數(shù)字位損失，從而影響計(jì)算結(jié)果的可靠性。的根。遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于解求一元二次方程的根可以使用公式有可能可能損失有效數(shù)字位，使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。要防止小數(shù)被大數(shù)“吃掉”而使有效數(shù)字位損失例求一元二次方程按新的求根公式計(jì)算得到方程兩個(gè)準(zhǔn)確根為

例如，在只有7位有效數(shù)字的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上使用求根公式解方程得到的兩個(gè)根為要避免這種錯(cuò)誤的發(fā)生，可以修改求根公式為，按新的求根公式計(jì)算得到方程兩個(gè)準(zhǔn)確根為例如，在只有7要注意減少運(yùn)算的次數(shù)

對(duì)于一個(gè)計(jì)算問題，如果能減少運(yùn)算次數(shù)的話，我們不僅能減少計(jì)算時(shí)間，提高運(yùn)行的速度，而且還可以減少誤差的積累。如果把原式子改寫為解按公式直接計(jì)算每一項(xiàng)后，再把每一項(xiàng)求和，就要進(jìn)行則計(jì)算n次多項(xiàng)式的算法可以是按秦九韶算法計(jì)算n次多項(xiàng)式的值，只需要n次乘法和n次加法。的值。例計(jì)算n次多項(xiàng)式次乘法和n次加法。要注意減少運(yùn)算的次數(shù)對(duì)于一個(gè)計(jì)算問題，如果能減少運(yùn)

例計(jì)算ln2的近似值，要求誤差小于10??.

解：①計(jì)算量太大②各項(xiàng)的舍入誤差會(huì)損失和的有效數(shù)字

(b)用級(jí)數(shù)計(jì)算用前9項(xiàng)（即取m=8）計(jì)算就能達(dá)到精度要求:(a)用級(jí)數(shù)計(jì)算例計(jì)算ln2的近似值，要求誤差小于10??.

分母接近零的數(shù)會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤,因而產(chǎn)生大的誤差,此時(shí)可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做.避免做除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法分母接近零的數(shù)會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤,因而產(chǎn)生大的避利用等價(jià)變換使下列表達(dá)式計(jì)算比較精確.例利用等價(jià)變換使下列表達(dá)式計(jì)算比較精確.例答案答案[計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程課件誤差的種類模型誤差：觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差

絕對(duì)誤差

相對(duì)誤差誤差的表示法內(nèi)容回顧誤差的種類模型誤差：觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差絕對(duì)誤差相對(duì)算法設(shè)計(jì)遵循的條件：（5）絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作為除數(shù)。（1）應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計(jì)算方法；（2）簡(jiǎn)化計(jì)算步驟和公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)；（3）合理安排運(yùn)算順序，防止大數(shù)淹沒小數(shù)；（4）避免兩相近數(shù)相減；算法設(shè)計(jì)遵循的條件：（5）絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作為除數(shù)。（1計(jì)算方法計(jì)算方法第一章引論一、數(shù)值分析的概念、地位和特點(diǎn)§1數(shù)值分析的研究對(duì)象（課程簡(jiǎn)介）

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析、有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一門學(xué)科。實(shí)際上就是介紹用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的計(jì)算方法及其理論。這門課程又稱為(數(shù)值)計(jì)算方法、數(shù)值計(jì)算等。1.數(shù)值分析的概念第一章引論一、數(shù)值分析的概念、地位和特點(diǎn)§1數(shù)值分析的研50先看兩個(gè)例子。

例1

求方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)的根。理論上可知顯然找不出根的解析式，即無法求出精確解。

例2

用Cramer法則求解n元線性方程組。顯然理論上可行，且有精確表達(dá)式。實(shí)際計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么問題呢？3先看兩個(gè)例子。若記,則有n階線性代數(shù)方程組:克萊姆算法若記,則有n階線性代數(shù)方程組:克萊姆算法

若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA，應(yīng)用Cramer法則可得即其中若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA[計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程課件

利用Cramer法則求解方程組需要進(jìn)行的乘法和除法的次數(shù)為：利用Cramer法則求解方程組需要進(jìn)行的乘數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解利用計(jì)算機(jī)高速的簡(jiǎn)單運(yùn)算(加、減、乘、除)去實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的功能。數(shù)值分析的本質(zhì)數(shù)值輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解利用計(jì)算機(jī)高速的簡(jiǎn)

科學(xué)計(jì)算

的核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）為工具，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模擬研究?，F(xiàn)代科學(xué)的三個(gè)組成部分:

科學(xué)理論,科學(xué)實(shí)驗(yàn),科學(xué)計(jì)算2.數(shù)值分析的地位促使一些邊緣學(xué)科的相繼出現(xiàn)：計(jì)算數(shù)學(xué),計(jì)算物理學(xué),計(jì)算力學(xué),計(jì)算化學(xué),計(jì)算生物學(xué),計(jì)算地質(zhì)學(xué),計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué),等等科學(xué)計(jì)算的核心內(nèi)容是以現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（M實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序設(shè)計(jì)編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋說明

在建立了數(shù)學(xué)模型之后，并不能立刻用計(jì)算機(jī)直接求解，還必須尋找用計(jì)算機(jī)計(jì)算這些數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學(xué)模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應(yīng)的算法步驟，編制出正確的計(jì)算程序，再上機(jī)計(jì)算得出滿意的數(shù)值結(jié)果。

實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值分析提出算法程序編程上機(jī)計(jì)算分析結(jié)果總的來看，數(shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

(1)數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科；

(2)面向計(jì)算機(jī)，要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法；(3)有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；3.數(shù)值分析的特點(diǎn)(4)要有好的算法復(fù)雜性，即時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度要?。?5)要有數(shù)值試驗(yàn)。總的來看，數(shù)值分析這門課具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)數(shù)值分析二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容◆插值問題（Ch2）◆線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法(Ch5,Ch6)◆非線性方程組的數(shù)值解法(Ch7)◆數(shù)值積分與數(shù)值微分(Ch4)◆常微分方程的數(shù)值解法(Ch9)◆函數(shù)逼近(Ch3)◆代數(shù)特征值問題(Ch8)二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容◆插值問題（Ch2）◆線性代數(shù)方程組的

理論上課時(shí)數(shù)：30上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)數(shù)：0

參考書：

1.《計(jì)算方法（c語言版）》（第1版），靳天飛等，清華大學(xué)出版社，2010.6

教材：

1.《數(shù)值分析》（第5版），李慶揚(yáng)等，清華大學(xué)出版社，2008.12理論上課時(shí)數(shù)：30上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)數(shù)：0參考書實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型確定數(shù)值計(jì)算方法編制程序上機(jī)算出結(jié)果§2數(shù)值計(jì)算的誤差2.1誤差的來源與分類

用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時(shí)，需要經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

數(shù)值結(jié)果是指在選擇某種數(shù)值方法之后，編制程序正確，輸入初始數(shù)據(jù)正確的情形下所獲得的結(jié)果。

實(shí)際問題的精確解與用計(jì)算機(jī)計(jì)算出來的數(shù)值結(jié)果之間就有差異，這種差異在數(shù)學(xué)上稱為誤差。實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型確定數(shù)值計(jì)算方法編制程序上機(jī)算出結(jié)果§2現(xiàn)實(shí)世界研究對(duì)象觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立計(jì)算方法的構(gòu)成數(shù)值運(yùn)算的執(zhí)行觀測(cè)誤差模型誤差截?cái)嗾`差舍入誤差

結(jié)果現(xiàn)實(shí)世界研究觀測(cè)數(shù)學(xué)模型的建立計(jì)

模型誤差

/*ModelingError*/

——從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)產(chǎn)生的誤差

觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/——通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值導(dǎo)致輸入數(shù)據(jù)的誤差

方法誤差(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)——近似求解時(shí)產(chǎn)生的誤差

舍入誤差

/*RoundoffError*/

——由于計(jì)算機(jī)字長有限而在數(shù)值運(yùn)算的每一步所產(chǎn)生的誤差模型誤差/*ModelingError*/觀測(cè)大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：將作Tayl

設(shè)是某實(shí)數(shù)的精確值,是它的一個(gè)近似值，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差.2.2誤差與有效數(shù)字定義2.1絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差定義2.2絕對(duì)誤差界、相對(duì)誤差界若，則稱為絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差界稱為相對(duì)誤差界,記為.

稱為的相對(duì)誤差,常用表示.設(shè)是某實(shí)數(shù)的精確值,是它的一個(gè)近似值，則稱定義2.3有效數(shù)字

/*significantdigits*/用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）.若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。例：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論.證明：有5位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位。注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字.

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！定義2.3有效數(shù)字/*significantd例:

設(shè)

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

問它們分別有幾位有效數(shù)字?3位5位4位例:設(shè)3位定理2.1有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。定理2.1有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字相解：例有效數(shù)字解：例有效數(shù)字2.3

求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)初始數(shù)據(jù)引起計(jì)算函數(shù)值的誤差函數(shù)值A(chǔ)*的絕對(duì)誤差略去高階項(xiàng)：2.3求函數(shù)值和算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)初始數(shù)據(jù)函數(shù)值A(chǔ)*的絕[計(jì)算機(jī)硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程課件基本運(yùn)算中的誤差估計(jì)基本運(yùn)算中的誤差估計(jì)例假定某長方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長為x，寬為y，并實(shí)地測(cè)得其長x*=100.30米，寬y*=80.50米，若x*和y*的誤差限都是0.005米，試求其面積s的近似值s*的誤差限和相對(duì)誤差限。由兩個(gè)數(shù)的積的相對(duì)誤差限估計(jì)式得解據(jù)題意，由兩個(gè)數(shù)的積的誤差限估計(jì)式得

例假定某長方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長為x，寬為y，并實(shí)地測(cè)得其長x*=

例在計(jì)算球的體積時(shí)，為了使相對(duì)誤差限為1%，問測(cè)量半徑r時(shí)允許的相對(duì)誤差限為多少？從而有

解計(jì)算球的體積公式為設(shè)體積的近似值為，半徑的近似值為，則

得到相對(duì)誤差限估計(jì)式為

這說明，測(cè)量半徑r時(shí)允許的相對(duì)誤差限為1/300。例在計(jì)算球的體積時(shí)，為了使相對(duì)誤差限為1%，問測(cè)量半徑r§3

病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對(duì)于y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？3.1病態(tài)問題與條件數(shù)條件數(shù)

/*conditionnumber*/條件數(shù)很大時(shí)，初始數(shù)據(jù)的微小誤差可能引起結(jié)果A的很大誤差.§3病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對(duì)于y=

對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即數(shù)學(xué)問題的解）有很大擾動(dòng)，則稱數(shù)學(xué)問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。對(duì)數(shù)學(xué)問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起例：計(jì)算

公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!3.2

數(shù)值方法的穩(wěn)定性例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差???考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增?？梢姵跏嫉男_動(dòng)

公式注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇】疾斓趎步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。定義：一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即有誤差），而計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的?？疾旆赐埔徊降恼`差：以此類推，對(duì)n<N有：誤差逐步遞1.要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法;2。避免兩個(gè)相近的數(shù)相減;3.要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù);2。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計(jì)算方法;2。簡(jiǎn)化計(jì)算步驟和公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)。避免誤差危害的若干原則

3.3避免誤差危害的若干原則1.要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法;2避免兩個(gè)相近的數(shù)相減

當(dāng)遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減時(shí)，參與運(yùn)算的數(shù)應(yīng)當(dāng)多保留幾位有效數(shù)字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生。由前面公式可知可以看到，如果兩個(gè)相近的數(shù)相減，則而相對(duì)誤差限就會(huì)比較大，故有效數(shù)字位會(huì)大大減少。較小，避免兩個(gè)相近的數(shù)相減當(dāng)遇到兩個(gè)相近的數(shù)相減時(shí)，參與運(yùn)例給定若使用計(jì)算機(jī)計(jì)算有，應(yīng)如何變換公式使有效數(shù)字位增加？，若使用計(jì)算器取四位有效數(shù)字計(jì)算解使用計(jì)算器計(jì)算取四位有效數(shù)字得從而得到但由于而使用計(jì)算器取四位有效數(shù)字得所以有

這說明變換公式后能使有效數(shù)字位由1位增加到3位。例給定若使用計(jì)算機(jī)計(jì)算有，應(yīng)如何變換公式使