大數(shù)定律及其應(yīng)用

學(xué)號(hào)：20100401179信陽師范學(xué)院華銳學(xué)院本科畢業(yè)論文系數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2010級(jí)姓名潘方方論文題目全概率公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用指導(dǎo)教師任園園職稱講師2014年5月6日TOC\o"1-5"\h\z摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1KeyWords1刖言1\o"CurrentDocument"全概率公式21.1全概率公式21.2Bayes公式21.3全概率公式的內(nèi)涵剖析3\o"CurrentDocument"全概率公式在實(shí)際中的應(yīng)用32.1在摸彩模型下的應(yīng)用32.2在醫(yī)療領(lǐng)域中的應(yīng)用42.3在敏感問題調(diào)查中的應(yīng)用52.4在抽檢次品類型問題中的應(yīng)用52.5在商品銷售問題中的應(yīng)用62.6在系統(tǒng)可靠性問題中的應(yīng)用72.7在生物研究中的應(yīng)用8\o"CurrentDocument"小結(jié)9\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)11\o"CurrentDocument"致謝詞12

全概率公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用::n學(xué)生姓名：潘方方學(xué)號(hào)：20100401179數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：任園園職稱：講師全概率公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用::n摘要：在概率論中，概率計(jì)算是一個(gè)重要的問題.而全概率公式是概率計(jì)算中應(yīng)用較多的公式之一.本文介紹了全概率公式的定義及內(nèi)涵，并給出了它在摸彩模型、醫(yī)療領(lǐng)域、敏感問題調(diào)查、抽檢次品、商品銷售、系統(tǒng)可靠性、生物研究等問題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：概率計(jì)算；全概率公式；應(yīng)用Abstract：Inprobabilitytheory,probabilitycalculationisanimportantquestion.Thetotalprobabilityformulaisoneofthemoreformulausedinthecalculationofprobability.Inthisarticle,wedescribethedefinitionandconnotationofthetotalprobabilityformulaandgiveitsapplicationintheluckymodel,themedicalfield,sensitiveissuessurvey,samplingdefective,merchandisesales,systemreliability,biologicalresearchandsoon.KeyWords：Probabilitycalculation;Thetotalprobabilityformula;Applications前言概率論的基本概念是學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，其中心任務(wù)是闡明概率的意義和概率統(tǒng)計(jì)的重要法則.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解決問題的正確思路，同時(shí)也體現(xiàn)了互不相容、獨(dú)立和條件概率等重要概念的應(yīng)用.而全概率公式作為概率論中的一個(gè)重要公式，它的基本思想就是把一個(gè)復(fù)雜的事件分解為若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件，再通過分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率，最后利用概率的可加性得到最終結(jié)果.它為我們計(jì)算復(fù)雜事件的概率提供了一條簡(jiǎn)單有效的途徑.全概率公式的提出，不僅推動(dòng)了概率學(xué)的發(fā)展，也在學(xué)科和實(shí)際應(yīng)用中起著重要的作用.隨著概率論的不斷發(fā)展，全概率公式也越來越廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，成為實(shí)際生活中不可缺少的基本理論.本文首先介紹了全概率公式的定義及內(nèi)涵，其次給出了全概率公式在摸彩模

型、醫(yī)療領(lǐng)域、敏感問題調(diào)查、抽檢次品、商品銷售、系統(tǒng)可靠性、生物研究等問題中的應(yīng)用，靈活使用全概率公式會(huì)給我們的解題帶來很大的便利，是我們解決復(fù)雜問題的有效工具.1.1全概率公式定義1?1?1容，且JB=。i=1全概率公式設(shè)B,B，…,B為樣本空間。的一個(gè)分割，即B,B，…,B互不相12n12n如果P(Bi)>0,i=1,2,?-1.1全概率公式定義1?1?1容，且JB=。i=1P(a)=1Lp(bP(a\b).i=1證明因?yàn)锳=A。=AIi=1i^i=1阿B)=U(AB)且AB,AB，…,AB互不相容，所以12n由可加性得i證明因?yàn)锳=A。=AIi=1i^i=1ii=1i=1再將P(AB)=P(B)P(^\B),i=1,2,…,n，代入上式即可得到p(a)=1Lp(BP(Ab).i=1如果事件B,B，…,B互不相容，且JB=。，則稱B,B，…,B是完備事件組.12ni12ni=1這時(shí)P(A)=1LP(BP(A|B.)對(duì)任何事件A成立.B和B總構(gòu)成完備事件組，所以i=1P(A)=P(b)P(a|b)+p(B)p(a|B).這是一個(gè)最常用的公式.1.2Bayes公式定義1.2.1設(shè)B,B，…,B是樣本空間。的一個(gè)分割，即B,B，…,B互不相12n12n容，且Ub^=。，如果P(A)>0，P(B)〉0，i=1,2,…,n，貝Qi=1

PG\A)=iP(B)P(A|Bi)若將它與全概率公式結(jié)合起來，就是Bayes公式的以下的常用形式P(B|APG\A)=iP(B)P(A|Bi)iWP(B)P\AB)jjj=1一般求解概率問題都是在試驗(yàn)之前進(jìn)行的，其結(jié)論也稱為“先驗(yàn)概率”，而實(shí)際應(yīng)用中人們往往想要得知在“結(jié)果”發(fā)生的情況下，“原因”發(fā)生的可能性大小，也就是“后驗(yàn)概率”.而事實(shí)上Bayes公式就是計(jì)算后驗(yàn)概率的公式.利用Bayes公式可求得后驗(yàn)概率并以此對(duì)先驗(yàn)概率進(jìn)行修正.這種方法在經(jīng)濟(jì)分析、藥物臨床檢驗(yàn)、投資等各種領(lǐng)域有很大的實(shí)用價(jià)值.1.3全概率公式的內(nèi)涵剖析從公式pCa)=乎P(BP(A|B.)中可以悟出：“全”部概率P(A)被分解成許多i=1部分之和.它的理論和實(shí)際意義在于：在比較復(fù)雜的情況下直接算P(A)不易，但A總是伴隨著某個(gè)B出現(xiàn)，適當(dāng)去構(gòu)造這一組B往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.ii這一公式也可以從另一個(gè)角度去理解，把B.看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的一種可能途徑.對(duì)不同途徑，A發(fā)生的概率即條件概率P(A|B)可能各不相同，而采取哪個(gè)途徑卻是隨機(jī)的.直觀上可理解為：在這種機(jī)制下，A的綜合概率P(A)應(yīng)在最小的PCa|B.)和最大的PCa|B.)之間，它也不一定是所有P(A|B)的算術(shù)平均，因?yàn)楦魍緩奖皇褂玫臋C(jī)會(huì)P(B)各不相同，正確的答案如所預(yù)期，應(yīng)是各個(gè)P(A|B.),i=1,2,...,n，以P(B)，i=1,2,...,n為權(quán)的加權(quán)平均值.一個(gè)形象的例子如下：某i中學(xué)有若十個(gè)畢業(yè)班，各班升學(xué)率不同.其總升學(xué)率是各班升學(xué)率的加權(quán)平均，其權(quán)與各班學(xué)生數(shù)成比例.全概率公式在實(shí)際中的應(yīng)用2.1在摸彩模型下的應(yīng)用例1設(shè)在n張彩票中有一張獎(jiǎng)券，求第二人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？解設(shè)氣表示事件“第i人摸到獎(jiǎng)券”，i=1,2,...,n.現(xiàn)在目的是求P(氣).因?yàn)锳是否發(fā)生直接關(guān)系到A發(fā)生的概率，即12P(A|A)=0,P(A\A)=212〔1n—1而A與A是兩個(gè)概率大于0的事件:11P(A「=-,P?)=日于是由全概率公式得P(A>P(A1)P(A21A1)+Pq)P(A21A1)=--0+這表明：摸到獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)與先后次序無關(guān).因后者可能處于“不利狀況”(前者已摸到獎(jiǎng)券)，但也可能處于“有利狀況”(前者沒有摸到獎(jiǎng)券，從而增加后者摸到獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì))，兩種狀況用全概率公式綜合(加權(quán)平均)所得結(jié)果(機(jī)會(huì)均等)即全面又合情理.用類似的方法可得P(A)=P(A)=???=P(A)=1.34nn如果設(shè)n張彩票中有k(<n)張獎(jiǎng)券，則P(a「=P(A2)=—=P(A)=k.這說明購買彩票時(shí)，不論先買后買，中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是均等的.2.2在醫(yī)療領(lǐng)域中的應(yīng)用例2假設(shè)有1,2,3,4四個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種傳染病，通過對(duì)患病人口分布和地理一.、一.，一..1111..、、一.,,,環(huán)境調(diào)研后發(fā)現(xiàn)四個(gè)地區(qū)感染此病的概率分別為上,1,1,1，現(xiàn)從這四個(gè)地區(qū)中隨6543機(jī)找到一個(gè)人，那么此人患病的概率是多少？解令A(yù)=(此人患?。?，B=(此人來自，地區(qū)｝,i=1,2,3,4，由題意可知P(b)=P(b)=P(b)=P(b)=1，12344P(A\B)=i,P(A|B)=i,P(A|B)=i,P(A\B)=-.116125134143因此由全概率公式得

19P(a)=24P(B)P(A|B)=1X1+1X1+1X1+1X1=1所以此人患病的概率為19.19802.3在敏感問題調(diào)查中的應(yīng)用例3在調(diào)查家庭暴力（或婚外戀、服用興奮劑、吸毒等敏感問題）所占家庭的比例〃時(shí)，被調(diào)查者往往不愿回答真相，這就使得調(diào)查結(jié)果失真.為得到實(shí)際的p同時(shí)又不侵犯?jìng)€(gè)人隱私，調(diào)查人員在袋中放入比例是P0的紅球和比例是q0=1-P0的白球.被調(diào)查者在袋中任取一球窺視后放回，并承諾取到紅球就講真話，取到白球就講假話.被調(diào)查者只需在匿名調(diào)查表中選“是”（有家庭暴力）或“否”，然后將表放入投票箱.沒人知道被調(diào)查者是否講真話和回答的是什么.如果每個(gè)家庭回答“是”的概率是4，求P.率公式得到P1=P(b)=率公式得到P1=P(b)=p(b|a)p(a)+P(ba)p(a)=pp0+(1-p)q0=q0+(p0-q0)p.于是只要p于是只要p°。q°則p=p^.p0-q0實(shí)際問題中4是未知的，需要經(jīng)過調(diào)查得到.假定調(diào)查了〃個(gè)家庭，其中有k個(gè)家庭回答“是”，則可以用b=-估計(jì)p，于是可用p=^^估計(jì)p.其中1n1p-q\p-q|越大，得到的結(jié)論越可靠.但是|p-q|越大，調(diào)查方案越不易被調(diào)查者接100001受.實(shí)際問題中2.4在抽檢次品類型問題中的應(yīng)用例4要驗(yàn)收一批樂器共100件，從中隨機(jī)取出3件測(cè)試，且3件樂器的測(cè)試是互相獨(dú)立的.如果3件中任意一件音樂不純，則拒絕接受這批樂器.設(shè)一件音色不純

的樂器經(jīng)測(cè)試被查出來的概率為0.95，而一件音色純的樂器經(jīng)測(cè)試被認(rèn)為不純的概率為0.01，如果這100件樂器中有4件音色不純，求這批樂器被接受的概率.解設(shè)事件A為“3件樂器中有i件音色不純”(i=0,1,2,3)，事件B為“這批i樂器被接受”.A,A,A,A構(gòu)成完備事件組，要考察B出現(xiàn)的概率，需要考慮各個(gè)0123A(i=0,1,2,3)出現(xiàn)的情況下B的條件概率.由全概率公式，得P(B)=23P(A)PG|A).i=0由題設(shè)知，事件A的概率P(A)=C4C96(i=0,1,2,3).iC3100事件公件而含義是：在3件樂器中有i件音色不純的情況下這批樂器被接受.這意味著：i件音色不純的樂器都查不出來，而(3-i)件音色純的樂器也都不能被誤認(rèn)為不純，又因?yàn)?件樂器的測(cè)試是相互獨(dú)立的，所以P(B|A)=(1-0.95)x(1—0.01A=0.05ix(0.99A(i=0,1,2,3)，i代入上式，得P(b)=13CC--x(0.05)x(0.99)3-=0.8629.C3i=01002.5在商品銷售問題中的應(yīng)用例5假設(shè)某段時(shí)間內(nèi)來百貨公司的顧客數(shù)服從參數(shù)為人的Poisson分布，而在百貨公司里每個(gè)顧客購買電視機(jī)的概率為p，且顧客之間是否購買電視機(jī)的事件互相獨(dú)立，試求這段時(shí)間內(nèi)百貨公司售出k臺(tái)電視機(jī)的概率.解設(shè)Ak表示出售電視機(jī)k臺(tái)，B,表示來到百貨公司的顧客數(shù)為i人，則P(B)上e項(xiàng),i=0,1,2,…,

ii!PR|B.)=0,i=0,1,2,...,k-1,CkPk(1-p)-k,i=k,PR|B.)=i

所以，由全概率公式得P(A^)=^P(B)P(A^\B)i=0TOC\o"1-5"\h\z=TCkpk(1-p)i-k彳e-Xi=k*\o"CurrentDocument"=T—上—ypk(1-p)-k工e-X.k!(i-k)!i!i=k3「人(1—p)］，-k-xT”：」(i-k)!(Xp3「人(1—p)］，-k-xT”：」(i-k)!i=k3叫S0'1'2')?說明百貨公司所售出的電視機(jī)數(shù)仍服從Poisson分布，參數(shù)為人p.2.6在系統(tǒng)可靠性問題中的應(yīng)用例6元件能正常工作的概率稱為該元件的可靠性，由多個(gè)元件構(gòu)成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性.設(shè)如圖所示(見圖1)系統(tǒng)中各元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，且各元件正常工作與否相互獨(dú)立，求下列各系統(tǒng)正常工作的概率.圖1：由元件組成的工作系統(tǒng)解(1)設(shè)系統(tǒng)R正常工作的概率為p^，因?yàn)橐窍到y(tǒng)KL正常工作，兩條串聯(lián)線路必須至少有一條正常工作，而第一條串聯(lián)線路正常工作的概率為pn，不正常工作的概率為1-pn，兩條串聯(lián)線路都不正常工作的概率為(1-pn)，因?yàn)閜KL等于不是兩條串聯(lián)線路都不正常工作的概率，即P=1-（1-pn）=pn（2-pn）.（2）類似（1），設(shè)系統(tǒng)MN正常工作的概率為p^，則Pmn=1-(1-p)2]"=pn(2-p\.Pmn顯然，當(dāng)n>1時(shí)，有Pmn>Pl（3）設(shè)系統(tǒng)RS正常工作的概率為Prs，以A,B,C,D,E表示相應(yīng)元件正常工作，并設(shè)事件W為“系統(tǒng)RS正常工作”.方法一因AD,ACE,BE,BCD4條線路至少有一條正常工作，系統(tǒng)RS就正常工作，再由加法公式得Prs=P(ADUACEUBEUBCD)=P(AD)+P(ACE)+P(BE)+P(BCD)-P(ACDE)-P(ADBE)-P(ADBC)-P(ACEB)-P(aCEBd)-P(BECD)+P(ADCEB)+P(ABCED)+2P(ABCDE)=2p2+2p3—5p4+2p5.方法二由全概率公式和(1)、(2)，得(W)=P(C)P(W\C)+P(C)PW|C)=p-p2(2-p\+(1-p).p2(2-p2)=2p2+2p3—5p4+2p5.從上面的解題步驟我們可以看出，如果使用通常的解答方法的話，在遇到樣本空間龐大，數(shù)據(jù)復(fù)雜的事件時(shí)是十分費(fèi)時(shí)費(fèi)力的.而用全概率公式的話就是非常簡(jiǎn)潔明了.2.7在生物研究中的應(yīng)用例7某實(shí)驗(yàn)室在器皿中繁殖成k個(gè)細(xì)菌的概率為p=We-X,X>0,k=0,1,2,…,kk!

并設(shè)所繁殖成的每個(gè)細(xì)菌為甲類菌或乙類菌的概率相等.求下列事件的概率：（1）器皿中所繁殖的全部是甲類菌；（2）已知全是甲類菌，求恰好有2個(gè)甲類菌；（3）求所繁殖的細(xì)菌中有，個(gè)甲類菌.解以事件A表示“繁殖的細(xì)菌全是甲類菌”，氣表示“繁殖了k個(gè)細(xì)菌”，k=0,1,2,...,A■表示“所繁殖的細(xì)菌中有i個(gè)甲類菌”，i=0,1,2,....（1）由全概率公式得（2）P(A)=（1）由全概率公式得（2）P(A)=EP(b)P(A|Bk^=^^^k7eAk=1k=1?P(bA)=P印P杷)知』2’P(A)（3）由題意得工,P(A\B)=Ck!i'kk（d(i}k—i(1V=Ci—k2Jk2Jkk2J由全概率公式得P(a)=8P(b)pG.IbJk=ix^人x^人k入_=Le-%Cik!kk=i。上k!(*=e—^L『V—k!i!(k—i)!"2Jk=i(X)k-ik2jk=iE、^2^e2x(i=1,2,..)k=i小結(jié)本文對(duì)全概率公式的定義、內(nèi)涵及在部分領(lǐng)域的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的闡述，僅此就可以看到全概率公式在實(shí)際應(yīng)用中的重要性.事實(shí)上這是由全概率公式的思想方法決定的.全概率公式的精髓之處就在于將事件分割，化繁為簡(jiǎn)、化難為易.因此我們?cè)诮獯饘?shí)際問題時(shí)只要遇到事件構(gòu)成復(fù)雜、數(shù)據(jù)量龐大的問題時(shí)就可以考慮使用全概率公式及其推廣，即使有的問題不能夠使用全概率公式,我們也可以利用其思想對(duì)問題進(jìn)行分析研究并求解.全概率公式在以后的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及國民經(jīng)濟(jì)各部門中會(huì)有更加廣泛的應(yīng)用.如保險(xiǎn)業(yè)務(wù)；氣象、地震報(bào)告；產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)；研發(fā)新產(chǎn)品中的尋求最佳生產(chǎn)方案；在可靠性工程中進(jìn)行器件和裝置使用可靠性程度和平均壽命的估算等.我們要在熟練掌握基本理論和基本方法的前提下，理論聯(lián)系實(shí)際，不斷提高自己分析問題和解決問題的能力.參考文獻(xiàn)：林正炎，蘇中根.概率論.[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2001.8.茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.[M].北京：高等教育出版社，2011.2（2012.5重印）.顧曉青.全概率公式的應(yīng)用.[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000.6,第16卷，第3期.陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992.5（2007.8重?。?王明慈，沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重?。?馬曉麗，張亮