2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第18講 向量的數(shù)量積問(wèn)題（解析版）

第18講向量的數(shù)量積問(wèn)題參考答案與試題解析一．解答題（共16小題）1．已知圓交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)點(diǎn)在上方），且．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求直線的斜率．【解答】解：（1）由題意可得，解得，所以拋物線的方程為．（2）由（1）可知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，所以，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立圓的方程，所以，所以，，所以，不滿足，所以直線的斜率不存在不滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，，，，則，，則，，又，所以，，，解得，所以直線的斜率為2．2．已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，而在拋物線上，，即，拋物線的方程為：．（2）由題意可設(shè)，代入，得：，設(shè)，，，，則，，，，，，，，，，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，，即，．存在直線，的方程：．3．已知拋物線過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）是否存在平行于為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，使得直線與的距離等于？若存在，求直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由．（3）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)，，與拋物線相交于點(diǎn)，，求的最小值．【解答】解：（1）將代入，得，解得．故所求拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得．直線與拋物線有公共點(diǎn)，△，解得，由直線與的距離，可得，解得．，，符合題意的直線存在，其方程為．（3）由題意可知：設(shè)，，，，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，得，，．，直線的斜率為，方程為，設(shè)，，，．聯(lián)立，化為，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)時(shí)，的最小值為16．4．已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，（1）求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程；（2）已知為原點(diǎn)，求證：為定值．【解答】解：（1）將代入，得，拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線方程；．（3分）（2）證明：設(shè)，，，，，，，，因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得到，消去，整理得：，則由韋達(dá)定理得：，，（6分）直線的方程為：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，，則，（13分），即為定值．（14分）．方法二：證明：設(shè)，，，，，，，，設(shè)直線方程為，于拋物線方程聯(lián)立得，整理得：，則由韋達(dá)定理得：，，（6分）直線的方程為：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，，則，（13分），即為定值．（14分）5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)．橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．（1）分別求拋物線和橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，，切線與相交于點(diǎn)．證明：；（3）橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，為切點(diǎn)），使得直線過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)及兩切線方程，若不存在，試說(shuō)明理由．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，可得，解得，可得拋物線的方程為；設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．由已知可得：，，，解得，．所以橢圓的方程為；（2）證明：顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，代入拋物線方程，消去并整理得，．拋物線的方程為，求導(dǎo)得，過(guò)拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是，，即，，解得兩條切線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，，，，，．（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由（2）知點(diǎn)必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，其中點(diǎn)，為切點(diǎn)．令，，得，解得或，故不妨取，，即直線過(guò)點(diǎn)．綜上所述，橢圓上存在一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），能使直線過(guò)點(diǎn)．此時(shí)，兩切線的方程分別為和．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線相切，并求該圓的方程．【解答】解：（1）滿足，可得的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，再由，可得，，解得，，所以橢圓的方程為：；（2）證明：設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，，因?yàn)?，即，則，即，可得，原點(diǎn)到直線的距離為定值，所以可證：存在一個(gè)確定的圓與直線相切．7．設(shè)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形．（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，（ⅰ）求雙曲線方程；（ⅱ）已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由軸時(shí)，為等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因?yàn)?，解得，故雙曲線的離心率為2；（2）由雙曲線的幾何性質(zhì)可知雙曲線左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最小，最小距離為，即，又，所以，，所以，所以雙曲線的方程為：，由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，化簡(jiǎn)得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，①所以，②，③設(shè)直線，直線，令，可得，，，，設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，則以為直徑的圓的方程為：，由對(duì)稱性可得，若存在定點(diǎn)，則一定在軸上，令，可得，即，將①②③代入，可得，即，解得或2，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，．8．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)圓與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，若為定值，則直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)和定值；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）因?yàn)閳A與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，由題意，得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以△，設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，而，，，，所以，由為定值，可得，即，解得或（滿足△，所以直線的方程為或，所以直線過(guò)定點(diǎn)或，此時(shí)定值為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，不妨令，，則，又為定值，所以，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，，，符合題意，綜上，若為定值，則直線過(guò)定點(diǎn)或，且定值為．9．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線的交點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4．（1）求雙曲線的方程；（2）已知為圓的切線，且與相交于，兩點(diǎn)，求．【解答】解：（1）設(shè)，由直線是雙曲線的一條漸近線，可得①，因?yàn)殡p曲線的準(zhǔn)線方程為，則，可得，所以，由雙曲線的對(duì)稱性，可得，結(jié)合四邊形的面積為4，可得，解得，結(jié)合①，可得，所以雙曲線的方程為；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，對(duì)于圓，不妨考慮，則由，可得，所以，所以；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，因?yàn)檫@些與相交于，兩點(diǎn)，所以，因?yàn)檫@些與圓相切，所以，即，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，可得，結(jié)合，可得△，則，所以，結(jié)合，可得．綜上所述，．10．已知橢圓的離心率為，以的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，是直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線，分別與橢圓相交于異于，的點(diǎn)、，試探究，點(diǎn)是否在以為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，，又，由此解得，．所以橢圓的方程為．（Ⅱ）點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．證明如下：方法1：由（Ⅰ）得，．設(shè)，．點(diǎn)在橢圓上，．①又點(diǎn)異于頂點(diǎn)、，．由、、三點(diǎn)共線可以得．從而，，．．②將①代入②，化簡(jiǎn)得．，，于是為銳角，從而為鈍角，故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．方法2：由（Ⅰ）得，．設(shè)，，，，則，，又的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差③直線的方程為，直線的方程為，而兩直線與的交點(diǎn)在直線上，，即④又點(diǎn)在橢圓上，則，即⑤于是將④、⑤代入③，化簡(jiǎn)后可得．11．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，中點(diǎn)為，．由，化為，，，．，．，故．，故在以為直徑的圓外．解法二：（1）同解法一．（2）設(shè)點(diǎn)，，，則，．由，化為，，，從而．，又，不共線，為銳角．故點(diǎn)在以為直徑的圓外．12．已知圓，經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)，過(guò)圓外一點(diǎn)，傾斜角為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若右焦點(diǎn)在以線段為直徑的圓的內(nèi)部，求的取值范圍．【解答】解：（1）圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．，，．故橢圓的方程為，（4分）（2）設(shè)直線的方程為．由消去得，設(shè)，，，，則，（6分）．，，，，（8分）（10分）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，，即，解得，由△，解得．又，，（12分）13．設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在該橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：為鈍角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由題意：，所以，所求橢圓方程為；又點(diǎn)在橢圓上，，；故所求橢圓方程為：．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，，設(shè)，，，則直線的方程為：，；由得；因?yàn)橹本€與橢圓相交于異于的點(diǎn)，所以，所以；由，得，所以；從而，；所以．又，，三點(diǎn)不共線，所以為鈍角；所以為鈍角三角形．14．設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線，分別與橢圓相交于異于，的點(diǎn)、，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，，解得，，從而．故橢圓的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．設(shè)，．點(diǎn)在橢圓上，（1）又點(diǎn)異于頂點(diǎn)、，，由、、三點(diǎn)共線可以得．從而，，．．（2）將（1）代入（2），化簡(jiǎn)得．，，則為銳角，從而為鈍角，故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．15．設(shè)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且直線是它的右準(zhǔn)線．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線于橢圓相交于兩點(diǎn)，，求證：為銳角．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，解得，從而．故橢圓的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，設(shè)，，點(diǎn)在橢圓上，①又點(diǎn)異于頂點(diǎn)、，，