2023年上海市各區(qū)縣高三第二次模擬考試數(shù)學試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．82．復數(shù)（）．A． B． C． D．3．已知定點都在平面內，定點是內異于的動點，且，那么動點在平面內的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個點 B．橢圓，但要去掉兩個點C．雙曲線，但要去掉兩個點 D．拋物線，但要去掉兩個點4．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．5．命題：的否定為A． B．C． D．6．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．7．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點，過的平面與棱、、分別交于、、，設三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，8．已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．10．函數(shù)（），當時，的值域為，則的范圍為（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．412．記等差數(shù)列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．14．某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為百分之________．“我身邊的榜樣”評選選票候選人符號注：1．同意畫“○”，不同意畫“×”．2．每張選票“○”的個數(shù)不超過2時才為有效票．甲乙丙15．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為________.16．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．18．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.19．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．21．（12分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為，求的最小值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【答案點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于難題.2．A【答案解析】試題分析：，故選A.【考點】復數(shù)運算【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.3．A【答案解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【題目詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內異于的動點，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,B故選：A【答案點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質，軌跡問題，屬于中檔題.4．D【答案解析】

設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結合等比數(shù)列的性質可求出答案.【題目詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【答案點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.5．C【答案解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結論否定，可知命題的否定為，故選C．6．A【答案解析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【題目詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【答案點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.7．A【答案解析】

設，取與重合時的情況，計算出以及的值，利用排除法可得出正確選項.【題目詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時的情況.不妨設，延長到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當平面平面時，，，排除B、D選項；因為，，此時，，當平面平面時，，，排除C選項.故選：A.【答案點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．8．D【答案解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，和中，利用勾股定理計算得到答案.【題目詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【答案點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9．A【答案解析】

用偶函數(shù)的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【題目詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【答案點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質,辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.10．B【答案解析】

首先由，可得的范圍，結合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關于實數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【題目詳解】因為，所以，若值域為，所以只需，∴.故選：B【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵，側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).11．C【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【題目詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【答案點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12．C【答案解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【題目詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．20.2【答案解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.【題目詳解】設a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【答案點睛】此題考查隨機變量及其分布，關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準確計算期望和方差.14．91【答案解析】

設共有選票張，且票對應張數(shù)為，由此可構造不等式組化簡得到，由投票有效率越高越小，可知，由此計算可得投票有效率.【題目詳解】不妨設共有選票張，投票的有，票的有，票的有，則由題意可得：，化簡得：，即，投票有效率越高，越小，則，，故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為．故答案為：.【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃的實際應用問題，關鍵是能夠根據(jù)已知條件構造出變量所滿足的關系式.15．40【答案解析】

設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，可得，因為，根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，等比數(shù)列的各項為正數(shù)，，，當且僅當，即時，取得最小值.故答案為：.【答案點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題，解題關鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.16．1【答案解析】

作出約束條件表示的可行域，轉化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【題目詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部，轉化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【答案點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）當時，直線l方程為x＝－1；當時，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【答案解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數(shù)即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，根據(jù)條件Δ＝0，即可求解.【題目詳解】(1)當時，直線l的普通方程為x＝－1；當時，消去參數(shù)得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.【答案點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標方程化直角坐標方程，考查直線與曲線的關系，屬于中檔題.18．【答案解析】

根據(jù)，可解得，設為曲線任一點，在矩陣對應的變換作用下得到點，則點在曲線上，根據(jù)變換的定義寫出相應的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【題目詳解】，，即.，解得，.設為曲線任一點，則，又設在矩陣A變換作用得到點，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【答案點睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎題.19．（1）證明見解析；（2）．【答案解析】

（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結果.【題目詳解】（1）取BC的中點O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為．【答案點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題目.20．見解析【答案解析】

（1）如圖，連接，交于點，連接，，則為的中點，因為為的中點，所以，又，所以，從而，，，四點共面．因為平面，平面，平面平面，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（2）因為，為的中點，所以，又三棱柱是直三棱柱，，所以，，互相垂直，分別以，，的