2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第三章函數(shù)及其應(yīng)用第六節(jié)對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)【考試要求】L理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)..通過具體事例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)..知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x與指數(shù)函數(shù)尸ar(a>0,a#l)互為反函數(shù).【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)為主，考查學(xué)生的運(yùn)算能力；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是考查熱點(diǎn)，常以選擇題或填空題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算O -如謂梳理二思催激活一 0【歸納?知識(shí)必備】.對(duì)數(shù)的概念(1)本質(zhì)：是求指數(shù)的運(yùn)算；(2)指、對(duì)關(guān)系式：①a'=M=>x=logW(a〉0,且aW1).②a^gN= ；log'a』&(a>0,且aWl,A>0).M.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：若a〉0,且aWl,">0,川>0,則(1)log“(例=logMHogH；(2)log為=logJ/^logW；(3)logjy=nlog,MR)..換底公式⑴log“6=(a>0,且aWl；c>0,且cWl；Z?>0).logca注解1換底公式的推論：①log/Tog〃a=l；n②logmbn=-log力.am.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)片log.擾a>l0<a<l圖象y=logoXy\j(LO)O八(1.0) Xo' y=logar定義域(0,+8)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(L0),即A=1時(shí)，片0當(dāng)x>l時(shí),y>0;當(dāng)0<Kl時(shí),出當(dāng)x>\時(shí)，［0;當(dāng)0<Kl時(shí),y〉0在(0,+8)上是增函數(shù)在(0.+8)上是減函數(shù)【智學(xué)?變式探》原】1.必修一P160T5(l)2.必修一P126T31.(改變條件)已知后={y|y=log2"，x>2},7V={x|y=ln(2—x)},則"AN等于( )A.(2,+8) B.(一8,2)C.(1,2) D.0【解析】選C.4避y=log2X,x>2}={y|y>l},N={^|y=ln(2—x)}={x|水2},MC\N=(1,2).2.(改變結(jié)論)若log力?log〃c?log,3=2,則a的值為【解析】由已知可得產(chǎn)?看?33=2,即詈=2,lgalgb1gc lga所以lg3=21ga,所以a?=3, .答案：小【慧考?四基自測(cè)】3.基礎(chǔ)知識(shí) 4.基本方法 5.基本應(yīng)用 6.基本能力.(對(duì)數(shù)運(yùn)算)21og510+log50.25=.【解析】21og510+log50.25=log5100+log50.25=logs25=2.答案：2.(待定系數(shù)法)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)過點(diǎn)(9,2),則/2=.【解析】設(shè)f(x)=log“x(a〉0且aWl),log,9=2,所以#=9,所以a=3（舍a=-3）,所以Ax）=log3x,所以=l°gq=-1.答案：一1.（單調(diào)性的應(yīng)用）已知a=log52,6=log83,c=1,則下列判斷正確的是（ ）A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c【解析】選C.a=log52Vlogs/=log82^/2<log83=^,即aVcVh36.（解對(duì)數(shù)不等式）若logq<l（a>0且aWl）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3【解析】當(dāng)0<水1時(shí)，logq<log“a=l,3所以0<水彳；3當(dāng)〃>1時(shí)，log"<log,q=l,所以a>l.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0, U（l,+8）.答案：（0,號(hào)U（1,+8）Q =一、才點(diǎn)櫬一?愕法培優(yōu)/一 =o彳考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 |自主練透（2022?紹興模擬）已知x,y為正實(shí)數(shù)，則（）1g（*?力=（lgx）°+lgylg（x?近）=1gx+-1gye}nx+in>=x+ye=xy

(2021?開封模擬)若2=5〃=以且］+|W'則z的值可能為()A.SB.4C.7D.10★(命題?新視角)數(shù)列4=1+3+|+…+［通常被稱為“調(diào)和級(jí)數(shù)”，是級(jí)數(shù)理論中最早被人們研究的級(jí)數(shù)之一.著名數(shù)學(xué)家歐拉在1734年就曾給出證明：當(dāng)〃足夠大時(shí)，gin(〃+1)+其中/為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，其值約為0.57,在本題的計(jì)算中可以忽略不計(jì).據(jù)此，"u與晶之比的近似值為(參考數(shù)據(jù)：1g2-0.30)()A.1.50B.1.35C.1.20D.1.05【解析】L選B.x,y為正實(shí)數(shù)，1g(y?y)=lgy+lgy=21gx+lgy,故A錯(cuò)誤;lg(x?5)=lgx+lgg=lgx+glgy,故B正確；ei"'=燈，故C錯(cuò)誤；eln"?e1",=elnx+1",=xy,故D錯(cuò)誤..選D.設(shè)2"=5"=z°=A,則a=logz4,Z?=log5A,c=logX所以1+t=］1/+■；~-7=1ogA2+1ogA5=log*(2X5)=logA10=-=log?z,所以z=10.TOC\o"1-5"\h\zablog2Alog5A c3 %i In512 91n2 9.選B.由題意，— ~-=Tj~rz=5lg2=1.35.%In100 21n10 2，規(guī)律方法對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、塞的運(yùn)算.事 【加練備選】1 9(2022?臨汾模擬)已知4'=3'=如且一+-=2,則m=( )xyA.2BA.2B.4C.6D.9【解析】選C因?yàn)?=3'=0,則X=log",y=log3力,1 2 1 2所以一+-=-. +*j =log?4+21ogB3x ylogmlog?"=log"(4X3-)=2,所以〃=4X『=36,又m>0,所以勿=6.，考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 |講練互動(dòng)[典例1](1)(多選題)若函數(shù)/U)=aL2,g(x)=log.|*|,其中a>0,且aWL則函數(shù)F(x),g(x)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是()(2)已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的大致圖象為()(3)已知f(x)=logjx|(a>0,且aWl)滿足f(—5)=1,則函數(shù)g(x)=log/x—11的減區(qū)間為【解析】(1)選AD.易知g(x)=log/x|為偶函數(shù).當(dāng)OVaVl時(shí)，f(x)=a"T單調(diào)遞減，g(訃=logjx|在(0,+8)上單調(diào)遞減，此時(shí)A選項(xiàng)符合題意.當(dāng)a>l時(shí)，f(x)=a'T單調(diào)遞增,g(x)=logJx|在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)D選項(xiàng)符合題意.(2)選C.先作出當(dāng)x20時(shí)，/"(x)=ln(x+1)的圖象，顯然圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),再作此圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，可得函數(shù)/'(X)在R上的大致圖象，即選項(xiàng)C中的圖象符合題意.(3)因?yàn)镕(—5)=1,所以log,,5=1,即a=5,所以g(力=logs|x-11,圖象如圖所示,根據(jù)圖象可得，函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(-8,1).答案：(一8,1)，一題多變本例(3)條件不變，求函數(shù)h[x)=|log/|的增區(qū)間.【解析】因?yàn)閍=5,所以力(x)=|logs',函數(shù)力(x)的圖象如圖所示:根據(jù)圖象可得，函數(shù)力(x)的增區(qū)間為(1,+8).，規(guī)律方法對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象識(shí)別及應(yīng)用自主完善，老師蔣事(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；(2)一些可通過平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.提醒：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行左右平移時(shí)，一定要畫出相應(yīng)的漸近線.，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練.如圖，若C”Cz分別為函數(shù)y=/o&,x和y=/og,x的圖象，則()A.0<a<b<l B.0<b<a<lC.a>b>l D.b>a>l【解析】選8.作直線y=l,則直線與C”G的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,b易知0<b〈a〈l..函數(shù)y=2/og(l—x)的圖象大致是()

【解析】選C函數(shù)y=2/密(l—x)的定義域?yàn)?一8,D,排除4B-,又函數(shù)y=2/og(l-x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除〃.函數(shù)y=|Jo&(x+1)I的值域?yàn)?單調(diào)減區(qū)間為.【解析】函數(shù)y=I&(x+1)］的圖象如圖所示，由圖象知，其值域?yàn)椋?,+8),單調(diào)減區(qū)間是(一1，0］.答案：[0,+8)(-1,0]【加練備選】【加練備選】如圖，直線x=t與函數(shù)f(x)=/cgx和g(x)=/o芻X—1的圖象分別交于點(diǎn)A,B,若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在一點(diǎn)C,使得aABC為等邊三角形，則t的值為()D.3m+3【解析】選6由題意A(t,logit),B(t,logit—V),|AB|=1,設(shè)C(x,Jog3x),因?yàn)锳ABC是等邊三角形，所以點(diǎn)C到直線AB的距離為手，所以t—x=9,x=t一乎，中點(diǎn)坐標(biāo)公式得log3t+log3t+log3t—11 t=10g3t--=lOgrr^a/st? 3*\/3+3所以t—2=，解得t=47考點(diǎn)三7考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究高考考情：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是高考命題熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，重點(diǎn)考查比較大小、解不等式等問題，難度中檔.角度1比較大小2［典例2］(2020?全國(guó)卷IH)設(shè)a=/og,2,b=7o^3,c=-,則()oA.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b11 2【解析】選4因?yàn)閍=glog^<-log^~=c,112b=glog^>~/儂25=g=c,所以aVcVb.角度2解方程或不等式［典例3］(1)方程9(x—l)=2—/?？?x+1)的解為.⑵已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增，40=0,則不等式彳1噬,>0的解集為.【解析】(1)原方程變形為lo解尸1)+log2程+D=log2(*—D=2,即V—1=4,解得x=±南，又”>1,所以*=十.答案：x=#(2)因?yàn)?1(*)是R上的偶函數(shù)，所以它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.因?yàn)?Xx)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(-8,o］上單調(diào)遞減，由=0,得=0,函數(shù)的大致圖象如圖所示.解得x>2或0<K^,所以x￡(0,g)U(2,+°°).答案：(0,3U(2,+°O)角度3對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用［典例4］(1)若函數(shù)/1(x)=log2(V—ax—3a)在區(qū)間(-8,—2］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()(—8,4)(-4,4］(-8,-4)U［-2,+8)［—4,4)(2)(2021?洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=logz(l+4')-x,則下列說(shuō)法正確的是( )A.函數(shù)f(x)在(-8,0］上為增函數(shù)B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)/'(x)是偶函數(shù)【解析】(1)選D.由題意得ax—3a〉0在區(qū)間(-8,—2］上恒成立且函數(shù)ax—3a在(一8,-2］上單調(diào)遞減，則］2—2且(-2)2—(一2)9-34>0,解得實(shí)數(shù)9的取值范圍是［一4,4).(2)選D.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=log2(l+4”)—x,其定義域?yàn)镽,有/'(-x)=log［l+*)+x5=log2(l+4')—x=f(x),所以函數(shù)/1(x)是偶函數(shù)，則D正確，C錯(cuò)誤，對(duì)于A,/(—1)=log2->l=f(O),f(x)不是增函數(shù)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B,f(x)=1og2(1+4,)—x=log2+2〉，設(shè)t="+2”22,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，則［的最小值為2,故/'(x)21og22=l,即函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8),B錯(cuò)誤.，規(guī)律方法.比較對(duì)數(shù)式大小的方法 |自主完善，老師指導(dǎo)(1)能化為同底的化為同底對(duì)數(shù)式，利用單調(diào)性比較大小:(2)不能化為同底，一般引入“1,0,一1”等中間量比較大小:(3)底數(shù)與“1”的大小不確定時(shí)，要分類討論..形如log“x〉6的不等式，應(yīng)化為log,x>6=log“a"的形式，用y=log.x的單調(diào)性求解..求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，一定要注意定義域及復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.#多維訓(xùn)練(2022?上饒模擬)已知a=logs3,Z>=logIfi9,c=0.3")則a,b,c的大小關(guān)系是( )A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a［解析］選D.a="jz,b=~. ~,log35log34因?yàn)?og：i5>1og：?>log;i3=1,所以a<b<\,a-2V0,所以0.3'-2>0.3°=1,所以c>6>a..已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=log,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()(—8,—3],[o,3][—3,0],[3,+°°)(—8,—5),[0,1)(—1,O],(5,+°°)【解析】選C.因?yàn)閥=log|x在(0,+°°)上為減函數(shù)，所以要求y=F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,且/1(*)>0.由題圖可知，使得函數(shù)尸/tv)單調(diào)遞減且滿足/1(*)>0的x的取值范圍是(―°°