2023年人教版高考數(shù)學總復習第二部分考點培優(yōu)訓練考點十六導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

十六導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)落實練 3。分鐘60分一、單選題（每小題5分，共20分）.已知函數(shù)/<x）的導函數(shù)F（x）的圖象如圖所示，那么函數(shù)/<x）的圖象最有可能的是o\\【解析】選A.由題干導函數(shù)圖象可知，f（x）在（-8,-2）,（0,+8）上單調(diào)遞減，在（一,0）上單調(diào)遞增.（-8,3]2.若函數(shù)f（x）=f-ax+lnx在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，則（-8,3][3,+°°）C.〔3,e2+1]【解析】選B.依題意/（x）=2x—a+120在區(qū)間（1,e）上恒成立，即在區(qū)X X間（1，e）上恒成立，令g（x）=2x+-（iVxVe）,（由x+1）（木x-1）g（x）在（1，e）上遞增,g（l）=3,所以aW3.所以a的取值范圍是（-8,3］.咽國3［加練備選】函數(shù)/*（*）=第一數(shù)在［1,+8）上單調(diào)遞增，則a的最大值等于（ ）A.2B.3C.5D.6【解析】選B.因為/V）=N—ax在［1,+8）上單調(diào)遞增，所以6（x）=3V—a20在［1,

+8)上恒成立，即因為x￡[l,+8)時，3/23恒成立，所以a<3,所以a的最大值是3.3.已知函數(shù)/<x)的導函數(shù)為r(X),若滿足3.已知函數(shù)/<x)的導函數(shù)為r立，則下列不等式一定成立的是(f(n) /(e)A.f(n) /(e)A. < B./(") /(e) > JIC.n/(n)Vef(e)【解析】選D.C.n/(n)Vef(e)【解析】選D.令g(x)=xf(x),則g，(x)=xF(x)+f(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,故g(上>g(e),即nf(n)>e/(e).4.已知函數(shù)4.已知函數(shù)f(x)=xsinx,a=In2c=/(lnn),則比較a,b,c的大小關(guān)系為()B.a<b<cA.B.a<b<cC.b<a<c D.c<b<a【解析】選B.由題意函數(shù)f{x)=xsinx可得/(x)=sinx+xcosx,當x￡(0,5)時,可得f1(x)>0,f{x)單調(diào)遞增，又由=lny12<lny[e=1,sin-y= ，1n兀2c3五一一,In2 n 兀一一>lne=l,且In兀<lnyje=-<—,所以0V9<sin—<ln冗<—,所以a乙乙 乙 j 乙<b<c.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)5.已知定義在R上的函數(shù)/U)滿足/'(x)>一—(x),則()A.A(2021)<ef(2022)ef(2021)>/(2022)/1(x)是R上的增函數(shù)D.若t>0,則有f(x)<e'f(x+t)【解析】選AD.由f(x)>—F(x),得e*f(x)+e*F(x)>0,即[e*f(x)]'>0.所以函數(shù)e"(x)為增函數(shù).故e202y(2021)Ve?儂/*(2022),所以函(2021)Vef(2022),故A正確，B不正確.

函數(shù)e'f（x）為增函數(shù)時，函數(shù)e'f（x）為增函數(shù)時，f（x）不一定為增函數(shù)，如x是增函數(shù)，但X是減函數(shù)，所以C不正確.因為函數(shù)e"（x）為增函數(shù)，所以t>0時，有eVCOVefx+t）.故有f（x）Ve'f（x+力成立.故D正確..（2022?泰安模擬）已知定義在（0,y上的函數(shù)代力,F（才）是F（x）的導函數(shù)，且恒有cosxf(x)+sinxf(x)V0成立，則()A.C.D.小>A.C.D.小>f(f(x) F(x)【解析】選CD.設(shè)g(x)= ,貝UH(x)= cosX?cosx+F(x)?sinxCOSX時,時，g'(x)vo,因此g(x)在o上單調(diào)時,時，g'(x)vo,因此g(x)在o上單調(diào)遞減，所以cosxf(x)+sinxf{x)<0,所以，即正21 ，得/2三、填空題（每小題5分，共10分）.若函數(shù)/<x）=：f-f+ax+a在（0,0上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是【解析】因為/'（X）=：x—^+ax+a,所以F（X）=f—2x+a,對稱軸為x=l,開口向上,所以6Q）在（0，1）上單調(diào)遞減，因為/<x）在（0，0上不單調(diào)，所以尸(X)在(o,1)內(nèi)有一個變號零點,所以f(o所以f(o)>0

f(1)<0a>01—2+a<0解得OVaVL所以實數(shù)a的取值范圍是(0,0.答案：(0,1).已知f(x)是定義在(-8,o)u(0,+8)上的奇函數(shù)，(x)是/1(x)的導函數(shù)，f(l)F(x)HO,且滿足F(x)In%+—<0,則不等式(x—DF(x)V0的解集是 .才【解析】令g(x)=f(x)Inx,F(x)則g，(x)=f(x)Inx+—<0,所以g(x)f(x)Inx在(0,+°°)上單調(diào)遞減，而g(D=0,在(0,1)上，Inx<0,g(x)>0,所以f(x)<0,在(1，+°°)上，Inx>0,g(x)<0,而f(l)#0,f(x)VO所以在(0,+°°)上/1(x)<0,又因為/1(x)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，所以在(一8,o)上/1(X)>0,不等式(x—l)f(x)VO不等式(x—l)f(x)VO等價于,^>11/(，)<0或，解得X>1或XV0，故不等式的解集為(-8,0)U(1,+8).[f{x)>0答案：(一8,o)U(1,+°0)四、解答題(每小題10分，共20分)2.已知函數(shù)/1(x)=5+ax(a>0),g(x)=(x+l)ln(x+1),且曲線y=f(x)和y=g(x)在原點處有相同的切線.(1)求實數(shù)a的值，并證明：當x>0時，f(x)>g(x)；(2)令4」“)，且北=”?8?& b“(nGN*),證明：(z?+2)Tn<e'2.【證明】(1)由條件可得/1(())=g(0)=0,且F(x)=x+a,g'(x)=l+ln(x+1).因為曲線y=f(x)和y=g(x)在原點處有相同的切線，所以r(0)—g'(0),解得a=l.2當x>0時，要證/'(x)>g(x)即證(x+1)In(x+l)<5+x.2x令力(x)=(x+1)In(jf+1)———x,x>0,則力'(x)=ln(A-+1)—x,再令0(x)=Z?'(x)=ln(x+1)—x,1 x則O'(x)=^rT-1=--TT<0)x+1 x+1所以0(x)="(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以力'(x)V/?'(0)=0,所以力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故力(x)V力(0)=0.2V所以(x+Dln(jr+1)<—+x.即f(x)>g(x)成立.(2)由(1)可得當x>0時,/?(*)>4(*),所以f(n)>g(n),即2(〃+l)ln(n+l)<n2+2/7,兩邊同除以2(〃+l)2,zIn(t?+1) 1nn+2得一—1一<5.市.市，Bn, nn+2即F?不?不?TOC\o"1-5"\h\z所以北=打?6?A .(1x|x, -^― )?(| )—2 2 3 4n-r1 2 34 n+11 a+2萍?/H7?，j.n要證(〃+2)%Ve2,只需證In［(/?+2)7；］<1—,Z_lQ\2又因為In［(/7+2)7；］<ln［訶金奇］=21n(n+2)—In(〃+l)—(〃+l)In2,故只需證21n(〃+2)—In(〃+1)—(〃+1)In2+]—l<0.V設(shè)力(才)=21n(x+2)—In(才+1)—(x+l)ln2+~—1，則h'(x)= In2+1,葉一+3

x2由于函數(shù)尸x+-在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞增，X所以函數(shù)方'(x)在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞減，而力'(2)=~(2—In8)<0,所以當*6[2,+8)時，投(x)VO恒成立，所以力(x)在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞減.所以當“G[2,+8)時，力(x)WZ?(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,故當〃GN*且時，力(a)VO.TOC\o"1-5"\h\z9 廣又力(l)=21n3—In2—21n2~~=ln--Inyje<0,Zo v所以當“GN*時，A(/7)<0,即21n(〃+2)—In(〃+l)—(〃+l)ln2+微—l<0,所以In[(〃+2)北]VI一日,乙 乙i-即5+2)7；Ve2成立.(2022?煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)=金-1)?+a(lnx—x+l)(a>0).⑴討論函數(shù)/<x)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于x的不等式xF(x)23Inx在(1，+8)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.X【解析】(1)F(x)=2(x—1)=2(,-1)+/M=2(1)—止^=(2x-a)(Ll),\X) X X(0,+°°)，號f(x)=0,則或x=l,

當0<a<2時，函數(shù)當0<a<2時，函數(shù)/<x)在區(qū)間(0,1和(1,+°°)上單調(diào)遞增，在區(qū)間悖1上單調(diào)遞減，當a=2時，函數(shù)/<x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,當a>2時，函數(shù)當a>2時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和$+°°)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減;⑵原不等式化為：aW2x一?在(1，+8)上恒成立，設(shè)力⑷=2,—彳，*(1，+°°),h(x)=2- = ,令g(x)=2x-1+lnx,貝！Jg(x)=4x+;>0,所以g(x)在(1，+8)上單調(diào)遞增，g(x)>^(1)=l>0,所以"(x)>0,則函數(shù)力(x)在(1，+8)上單調(diào)遞增，且力(1)=2,所以0<aW2.素養(yǎng)提升練 20分鐘4()分.設(shè)/'(*),gG)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，/(x),g'(x)為其導函數(shù).當xVO時，/(—3)=0,且/(x)g(x)+f(x)g'(x)VO.則使得不等式 VO成立g[x)的x的取值范圍是()(0,—3)(-3,0)(0,3)U(一8,—3)(-3,0)U(3,+8)[解析1選D.令力(x)=f(x)g(x),當xVO時，h'(x)=r(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,所以xVO時，力(x)單調(diào)遞減，因為/<x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以/?(—%)=F(—X)g(—X)=f(x)?[—g(x)]=-f(x)g(x)=一力(才)，故力(x)在R上是奇函數(shù),所以當x>0時，力(x)單調(diào)遞減，由題設(shè)知：A-3)=f(3)=0,要使4qVO成立，g\x)即/'(x)g(x)VO成立，當x>0時，f(x)g(x)V0有x>3；當xVO時，f(x)g(x)V0有一3VxVO；所以xG(-3,0)U(3,+8)..定義在R上的函數(shù)f(x)=/+e'+l,若之?=￡),6=f(ln/)，c、=(e3,則比較a,b,c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c【解析】選C.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=f+e，+l,其導數(shù)6(x)=5x'+e>0,即函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又由Iny[2<lny[e=-<l<e3,則有c>a>b.3.(多選題)定義在(o,+8)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為r(X),且(x+i)r(/)—/(x)vf+2x對任意xe(0,+8)恒成立.下列結(jié)論正確的是( )A.2/(2)-3/(1)>5B.若/'(1)=2,x>l,則/'(*)>才2+2C./(3)-2/(1)<7D.若/'(1)=2,0<%<1,則/'(*)AV+gx+gf(x)——x【解析】選CD.設(shè)函數(shù)g(x)=———,AI1I/、卬(才)一2x\(x+1)—[/*(x)—力TOC\o"1-5"\h\z則g⑸= (T+TF =(x+1)F(x)—/?(“)一、一2x(x+1)2 ?因為(x+l)r(x)—f(x)v*+2x對任意XG(O,+8)恒成立，所以g，(x)vo,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，從而g(l)>g(2)>g(3),整理得2f(2)—3￡(1)V5,/(3)-2/(1)<7,故A不正確，C正確.當OVxVl時，1f( 1若/"(1)=2,因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)>g(l)=5,即———>-,即/?(x)>y+Jx+J,故D正確，B不正確..(能力挑戰(zhàn)題)已知f(外=aIn 若對任意兩個不等的正實數(shù)為，心都有f(x、—f(八 ri —>2恒成立，則a的取值范圍是 ，若/V)在區(qū)間J,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是.【解析】因為對任意兩個不等的正實數(shù)X,也都有‘⑴一'(%)一>2,則不妨令*>為>0,XLX2于是有f(xj—2汨>f(&)—2版，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)—2x=aInx+g2x,依題意，g(x)是定義域(0,+8)上的增函數(shù)，則有Vx>0,g'(才)=色+x—220092-y+2*,而當x=l時，-f+2x取得最大值1,從而得a2l,所以a的取值范圍是［1,+8)；因為/Xx)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式F(x)=3+x>0,X即a>T在2上有解，而xGg，2時，-4《一,于是得a>-4,所以a的取值范圍是(-4,+8).答案：［1,+°°)(—4,+°°).設(shè)函數(shù)f(x)—aInx,g(x)V,(1)若a〉0,求力(x)=f(x)—g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a=l,對任意的荀>%>0，不等式勿［g(X)—g(x2)］MUi)一蒞”也)恒成立.求加(加GZ,辰1)的值.【解析】(1)力(x)=aInx—~x,所以力'(x)=‘~x=~~~—(x>0),L x x因為a>0,所以當0<水或時，h'(x)>0；當x八「時，/]'(x)<0,所以/'(x)的增區(qū)間為(0,y[a),減區(qū)間為(g,+°°).(2)當a=l,f{x)=lnx.由 —g(*2)]>XiF(x)—Xzflx)恒成立，即mg(x)—X[F(x)>儂(a)—Xzf(x。恒成立，設(shè)t(x)=儂(才)—xf(力="x—xInx(x>0).乙由題意知汨>加>0,故當才￡(0,+8)時函數(shù)z(x)單調(diào)遞增，所以t'(x)=rx—Inx—120恒成立，即勿21-'十1恒成立，x因此，記網(wǎng)x)=ln_：+l(-0),得/(0=言上,因為函數(shù)C(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+°°)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)網(wǎng)x)在x=l時取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)y(x)的最大值.由此可得b(x)則=￡(1)=1.故加21,結(jié)合已知