《用》第4章：概率基課件

本章教學(xué)目標(biāo)：簡要介紹概率的基礎(chǔ)知識(shí)，主要供學(xué)員回顧復(fù)習(xí)概率知識(shí)的參考，為統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供所需的基礎(chǔ)知識(shí)；掌握查各種概率分布表時(shí)Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)的使用；能運(yùn)用概率知識(shí)解決企業(yè)經(jīng)營管理中的實(shí)際問題。運(yùn)用動(dòng)態(tài)模擬方法驗(yàn)證中心極限定理；項(xiàng)目投資決策的應(yīng)用案例分析。第4章概率論基礎(chǔ)1本章主要內(nèi)容§4.1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件§4.2概率§4.3隨機(jī)變量及其分布函數(shù)§4.4離散型隨機(jī)變量§4.5連續(xù)型隨機(jī)變量§4.6隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差§4.7大數(shù)定律和中心極限定理§4.8新產(chǎn)品投資決策案例分析

本章內(nèi)容的重點(diǎn)：條件概率、事件的獨(dú)立性、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)的使用。2在市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，企業(yè)所面臨的是充滿不確定因素的市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境，企業(yè)的任何決策都存在不同程度的風(fēng)險(xiǎn)。正確的決策可以為企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益和發(fā)展機(jī)遇，但重大的決策失誤也會(huì)給企業(yè)造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失，并有可能使企業(yè)從此陷入困境甚至破產(chǎn)倒閉。因此，如何提高決策的科學(xué)性，并盡可能降低和規(guī)避決策的風(fēng)險(xiǎn)，是所有企業(yè)的高層經(jīng)營管理決策者都面臨的共性問題。利用概率論的知識(shí)，可以幫助決策者進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策分析，利用所能獲得的各種信息，還可以大大降低決策的風(fēng)險(xiǎn)程度，盡可能避免重大的經(jīng)濟(jì)損失，并為企業(yè)帶來可觀的經(jīng)濟(jì)效益和良好的發(fā)展機(jī)遇。引言3市場調(diào)查和預(yù)測分析估計(jì)，產(chǎn)品上市后銷售量將達(dá)到生產(chǎn)能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷）的可能性分別為40%、30%、30%。另經(jīng)財(cái)務(wù)部門所作的財(cái)務(wù)預(yù)測分析，在產(chǎn)品出現(xiàn)”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項(xiàng)目投產(chǎn)后的年凈現(xiàn)金流量將分別為100萬元、600萬元和1000萬元?？紤]到籌資成本和資金的機(jī)會(huì)成本，貼現(xiàn)率應(yīng)取6%。5為使對該新產(chǎn)品項(xiàng)目的投資決策更具科學(xué)性，總經(jīng)理召開了有銷售、生產(chǎn)、財(cái)務(wù)、技術(shù)等部門負(fù)責(zé)人參加的會(huì)議。會(huì)上銷售部經(jīng)理建議，為減小決策風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)在決定是否投資生產(chǎn)前先利用原有設(shè)備進(jìn)行少量試生產(chǎn)（100臺(tái)），并將試生產(chǎn)的洗衣機(jī)免費(fèi)贈(zèng)送給不同地區(qū)的一些用戶進(jìn)行為期3個(gè)月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經(jīng)理還設(shè)計(jì)了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度、外觀、可靠性五大類共25個(gè)指標(biāo)，每項(xiàng)指標(biāo)都由用戶按1～5分打分，加權(quán)平均后的滿分為100分。根據(jù)用戶試用后反饋結(jié)果的總平均分，可將用戶對該洗衣機(jī)的評(píng)價(jià)分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結(jié)果。銷售部經(jīng)理的建議6銷售部經(jīng)理認(rèn)為，為減少?zèng)Q策風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)根據(jù)對用戶試用反饋情況進(jìn)行分析后再作是否投資生產(chǎn)該洗衣機(jī)的決定。銷售部經(jīng)理還提供了過去許多企業(yè)在產(chǎn)品正式投產(chǎn)之前采用類似試用或試銷方法的用戶反饋結(jié)果與產(chǎn)品正式生產(chǎn)上市后銷售狀況之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，見表1表1銷售狀況與試用結(jié)果間的統(tǒng)計(jì)資料7總經(jīng)理指示財(cái)務(wù)部經(jīng)理對銷售部經(jīng)理所提方案的費(fèi)用進(jìn)行估算。在下一次的會(huì)議上，財(cái)務(wù)部經(jīng)理給出了試生產(chǎn)、分發(fā)用戶試用及收集用戶反饋信息等項(xiàng)工作的總費(fèi)用估算結(jié)果，估計(jì)需要100萬元。會(huì)上有人提出是否值得花100萬元進(jìn)行試生產(chǎn)并免費(fèi)贈(zèng)送用戶試用，并展開了激烈的爭論?？偨?jīng)理希望能對各種可行方案的風(fēng)險(xiǎn)及經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行科學(xué)的分析與評(píng)價(jià)。如何進(jìn)行科學(xué)決策？8一．隨機(jī)試驗(yàn)人們在研究經(jīng)濟(jì)管理以及其他社會(huì)問題中，通常總是通過調(diào)查或?qū)ι鐣?huì)現(xiàn)象的觀察來獲取所研究問題的有關(guān)數(shù)據(jù)；在自然科學(xué)領(lǐng)域中，人們也是通過科學(xué)實(shí)驗(yàn)或?qū)ψ匀滑F(xiàn)象的觀察來獲取所需要的資料。對社會(huì)現(xiàn)象的觀察和對自然現(xiàn)象的科學(xué)實(shí)驗(yàn)在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中都統(tǒng)稱為試驗(yàn)。如果試驗(yàn)可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，而且試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，每次試驗(yàn)前不能確定將會(huì)出現(xiàn)哪一結(jié)果，這樣的試驗(yàn)就稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。例如，在一批產(chǎn)品中任意抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)；企業(yè)市場調(diào)查人員就本企業(yè)的產(chǎn)品和服務(wù)進(jìn)行的用戶滿意度調(diào)查；對某產(chǎn)品進(jìn)行的壽命試驗(yàn)等等都是隨機(jī)試驗(yàn)?！?.1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件10【例1】擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).記A1為{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}；A2為{小于4的點(diǎn)}，A3為{不超過6的點(diǎn)}，A4為{大于6的點(diǎn)}。則：S={1，2，3，4，5，6}；A1={2，4，6}；A2={1，2，3}；A3=S；A4=φ【例2】在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽取二次，每次任取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，分別記T、F為抽到正品和次品，并記A1為{第一次抽到的是正品}，A2為{抽到一個(gè)正品}，A3為{兩次抽到的質(zhì)量相同}，則：S={(T，T)，(T，F(xiàn))，(F，T)，(F，F(xiàn))}；A1={(T，T)，(T，F(xiàn))}；A2={(T，F(xiàn))，(F，T)}；A3={(T，T)，(F，F(xiàn))}12A與B互斥AB3.事件的交“A與B同時(shí)發(fā)生”，稱為A交B，記為A∩B或AB。ABAB4.互斥(互不相容)事件若A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱A與B互斥。顯然，基本事件都是互斥的。145.事件的差“A發(fā)生而B不發(fā)生”的事件，稱為A與B的差，記為A-B。A-BBA互逆事件A6.互逆(對立)事件

若試驗(yàn)中，A與B必有且僅有一個(gè)發(fā)生，即同時(shí)滿足A∪B=S和AB=φ，則稱A與B互逆(對立)，并稱A是B的逆事件，反之亦然，記為157．事件運(yùn)算的性質(zhì)(1)交換律：A∪B=B∪A；AB=BA(2)結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)(3)分配律：(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)(4)對偶律：ABC(A∪B)CABC(AB)∪C16【例3】如何表示復(fù)雜事件

在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽檢3個(gè)產(chǎn)品，記Ai={第i個(gè)是次品}，i=1,2,3,用Ai間的關(guān)系表示以下事件：(1)至少有一個(gè)次品：A1∪A2∪A3A1A2A3(4)至少有一個(gè)正品：(3)3個(gè)都是正品：(2)3個(gè)都是次品：其中(1)與(3)是互逆事件，(2)與(4)也是互逆事件。17課堂練習(xí)1在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽取3個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記Ai={第i個(gè)抽到的是次品}，i=1,2,3。試用Ai間的運(yùn)算關(guān)系表示以下事件：(1)至少有一個(gè)正品；(2)全部是正品；(3)恰有一個(gè)次品；(4)不多于2個(gè)次品；(5)不多于2個(gè)正品；(6)不多于1個(gè)次品。181.頻率對于隨機(jī)事件A，在一次試驗(yàn)中我們無法預(yù)言它是否會(huì)發(fā)生，但是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大以后，可以發(fā)現(xiàn)事件A發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)次數(shù)n之比將在某個(gè)確定值附近波動(dòng)，這一比值就稱為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A)。顯然，頻率具有以下性質(zhì)：(1)0≤fn(A)≤1(2)fn(S)=1；fn(Φ)=0(3)若AB=Φ，則fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)20

2.概率由于頻率并非是一個(gè)穩(wěn)定的值，因此用它來刻畫事件發(fā)生的可能性大小是有缺陷的。人們發(fā)現(xiàn)，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率fn(A)就逐漸穩(wěn)定地趨于某個(gè)常數(shù)P(A)附近，這一客觀存在的常數(shù)P(A)就稱為事件A的概率。例如，不斷擲一枚勻質(zhì)硬幣，則隨著拋擲的次數(shù)增加，我們可以發(fā)現(xiàn)硬幣落地后正面（或反面）朝上的次數(shù)占總的拋擲次數(shù)的比例會(huì)逐漸穩(wěn)定地趨于1/2，因此擲一枚勻質(zhì)硬幣落下后正面朝上的概率就是0.5。由于頻率與概率的密切關(guān)系，因而在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)無法由理論上確知某些事件的概率時(shí)，就可以用事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計(jì)值21課堂練習(xí)2：廣義加法定理的推廣設(shè)A、B、C為任意三個(gè)事件，P(A)、P(B)、P(C)、P(AB)、P(AC)、P(BC)、P(ABC)都已知，求P(ABC)23某汽車零件廠生產(chǎn)為某汽車發(fā)動(dòng)機(jī)企業(yè)配套的活塞銷，以每箱500件出廠，主機(jī)廠對該廠的活塞銷采用如下抽樣檢驗(yàn)方法：從一箱中任取10件進(jìn)行檢驗(yàn)，只要發(fā)現(xiàn)次品就判定該箱產(chǎn)品不合格并作退貨處理，如果退貨率超過2%，則該廠將被取消供貨資格。目前該廠出廠活塞銷的次品率為0.4%。該廠產(chǎn)品遭退貨的概率有多大？該廠產(chǎn)品的質(zhì)量是否有待進(jìn)一步提高？為滿足主機(jī)廠的供貨質(zhì)量要求，該廠出廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)降低到什么水平？案例124【例4】古典概型概率的計(jì)算在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中任取10件，求以下事件的概率：(1)A={全為正品}，(2)B={恰有1件次品}，(3)C={至少有3件次品}，(4)D={至少有1件次品}。26(1)取到的10件正品只能從95件正品中抽取，共有解：將每一種可能的取法作為一個(gè)基本事件(2)1件次品是從5件次品中抽得的，另9件是從95件正品中抽取的，共有

種不同取法；樣本空間總數(shù)為，故P(A)==0.5838種不同取法，故P(B)=

=0.339427古典概型概率的計(jì)算(3)∵{至少有3件次品}={恰有3件次品}∪{恰有4件次品}∪{恰有5件次品}，且以上等式右邊三個(gè)事件是互斥的，故

=0.0066(4)顯然，D=，故

P(D)=P()=1-P(A)=1-0.5838=0.416228該廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)控制在什么水平之下？通過計(jì)算，要保持該主機(jī)廠供貨商的資格，該廠出廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)降低到0.2%以下（每箱中平均只有1件次品，499件正品），才能滿足主機(jī)廠的質(zhì)量檢驗(yàn)要求。

P{次品數(shù)1}=1-P{0個(gè)次品}==0.0230某地區(qū)死亡人口統(tǒng)計(jì)資料表明，該地區(qū)人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區(qū)現(xiàn)年60歲的人能活到80歲的概率是多少？案例2311．定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱在A已發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為B對A的條件概率，記為P(B|A)?！纠?】產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)問題已知10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中先后抽取2件，作不放回抽樣，求第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。解：設(shè)A={第一次取到的是次品}，B={第二次取到的是次品}，當(dāng)A發(fā)生后，還剩下9件產(chǎn)品，其中有2件次品，故P(B|A)=2/9二.條件概率322.概率的乘法公式設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)(*)由概率的乘法公式，可得求條件概率的如下公式：(*)33【例6】在例5所給問題中，求抽到的二件都是次品的概率。解：由題意，即要求P(AB)，P(AB)=P(A)P(B|A)=3/10×2/9=1/1534某地區(qū)死亡人口統(tǒng)計(jì)資料表明，該地區(qū)人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區(qū)現(xiàn)年60歲的人能活到80歲的概率是多少？解：設(shè)A={壽命60},B={壽命80}，求P(B|A)。BA，∴P(AB)=P(B)ABP(AB)=P(B)P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.2/0.8=0.25案例2解答35統(tǒng)計(jì)資料表明，某地癌癥發(fā)病率為千分之五，現(xiàn)該地區(qū)正進(jìn)行癌癥普查。普查試驗(yàn)的結(jié)果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率是0.95，健康人試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性的概率是0.04。問：(1)當(dāng)某人試驗(yàn)反應(yīng)為陽性時(shí)他確患癌癥的概率；(2)試驗(yàn)反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率。案例3363．全概率公式若A1,A2,A3,…,An為樣本空間S的一個(gè)完備事件組，即滿足條件：(1)A1∪A2∪A3∪…∪An=S(2)AiAj=φ，i≠j；i,j=1,2,3,…,n(3)P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n

A2A1A2A3A5A6A4AnB則對任一事件B，都有(*)374．貝葉斯(Bayes)公式若A1,A2,A3,…,An為樣本空間S的一個(gè)完備事件組，則對任一事件B,(P(B)>0),有i=1,2,…,n(*)

貝葉斯公式在風(fēng)險(xiǎn)型決策中有非常重要的應(yīng)用，詳見本章最后的案例。38【例7】貝葉斯公式的簡單應(yīng)用某產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)班組生產(chǎn)，甲、乙、丙班的產(chǎn)量分別占全部產(chǎn)量的50%、30%和20%；次品率分別為2%、3%和1%?，F(xiàn)任取1件進(jìn)行檢驗(yàn)，求：(1)抽到的是甲班生產(chǎn)，且是次品的概率；(2)抽到次品的概率；(3)若抽到的是次品，求該次品是丙班生產(chǎn)的概率。39解：記A1，A2，A3，分別為抽到的產(chǎn)品是甲班、乙班、丙班生產(chǎn)的，B={抽到的是次品}。(1)由概率的乘法公式，

P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.50×0.02=0.01(2)由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.5╳0.02+0.3╳0.03+0.2╳0.01=0.021(3)由Bayes公式40Bayes公式更主要的應(yīng)用是風(fēng)險(xiǎn)型決策分析。在通過試驗(yàn)?zāi)塬@取追加信息的條件下，修正所研究問題的概率分布，達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)，獲得更大效益的目的。在Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意義，其中：P(Ai)——稱為事件Ai的先驗(yàn)概率，由過去的統(tǒng)計(jì)資料或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)得到；B——為某一試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果之一；P(B|Ai)——已知的條件概率，由該類試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)資料獲得，反映了試驗(yàn)的精度(所提供追加信息量的大小)。P(Ai|B)——稱為后驗(yàn)概率，即當(dāng)試驗(yàn)出現(xiàn)結(jié)果B時(shí)，對Ai概率分布的修正。關(guān)于Bayes公式41統(tǒng)計(jì)資料表明，某地癌癥發(fā)病率為千分之五，現(xiàn)該地區(qū)正進(jìn)行癌癥普查。普查試驗(yàn)的結(jié)果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率是0.95，健康人試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性的概率是0.04。問：(1)當(dāng)某人試驗(yàn)反應(yīng)為陽性時(shí)他確患癌癥的概率；(2)試驗(yàn)反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率。案例3解答42記：A1={癌癥患者}，A2={健康人}，

B1={反應(yīng)陽性}，B2={反應(yīng)陰性}由題意可知，P(A1)=0.005，P(A2)=0.995，P(B1|A1)=0.95，P(B2|A1)=0.05，P(B1|A2)=0.04，P(B2|A2)=0.96，由全概率公式：P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=0.005×0.95+0.995×0.004=0.04455

P(B2)=1-P(B1)=1-0.04455=0.95545。由Bayes公式可得即普查試驗(yàn)反應(yīng)為陽性者確患癌癥的概率是10.66%，而反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率為萬分之2.6。43若事件A發(fā)生的概率不受B是否發(fā)生的影響，反之亦然，則稱事件A與B相互獨(dú)立。即

P(B|A)=P(B)(*)

P(A|B)=P(A)由P(AB)=P(A)P(B|A)，可得A、B獨(dú)立等價(jià)于

P(AB)=P(A)P(B)

(*)三.事件的獨(dú)立性44【例8】不同抽樣方法的差異已知10件產(chǎn)品中有二件次品，分別采用放回抽樣和不放回抽樣方法，從中任取二件，求抽到的都是次品的概率。解：記A={第一次抽到的是次品},B={第二次抽到的是次品}。(1)采用放回抽樣，A、B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)=2/10×2/10=0.04(2)不放回抽樣,A、B不獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B|A)=2/10×1/9=0.02245課堂練習(xí)3用甲,乙兩種防空導(dǎo)彈同時(shí)向一架入侵的敵機(jī)射擊。已知甲導(dǎo)彈的命中率為0.6，乙導(dǎo)彈的命中率為0.7，求敵機(jī)被擊中的概率。46一．隨機(jī)變量任何隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果，都可以定量化并用隨機(jī)變量表示。例如，在燈泡壽命試驗(yàn)中，令X為“燈泡壽命”(小時(shí))，則X為一隨機(jī)變量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的隨機(jī)事件?！?.3隨機(jī)變量及其分布函數(shù)471．分布函數(shù)

設(shè)X是一隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)

F(x)=P{X≤x}(*)為X的分布函數(shù)。顯然，對任意實(shí)數(shù)x1<x2，有P{x１<Ｘ≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)(*)2．分布函數(shù)的性質(zhì)(1)0≤F(x)≤1；x∈(－∞,＋∞)(2)對任意x1<x2，F(xiàn)(x1)≤F(x2)(3)

48一．離散型隨機(jī)變量的概率分布1．離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為xk，記P{X=xk}=Pk，k=1,2,…稱上式為X的概率分布或分布律，簡稱分布。2．概率分布的性質(zhì)(1)0≤Pk≤1；k=1,2,…(2)Pk=1(3)§4.4離散型隨機(jī)變量49將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，令X為“事件A發(fā)生的次數(shù)”，則若試驗(yàn)E僅有兩個(gè)可能結(jié)果A和,記P(A)=p，P()=1-p=q，(0<P<1)q=1-P，k=0,1,2,…,n稱X服從二項(xiàng)分布(Binomialdistribution)，記為X～B(n,p)由于上式中的第k項(xiàng)恰好是二項(xiàng)式(p+q)n展開式中的第k項(xiàng)，故稱之為二項(xiàng)分布。二.二項(xiàng)分布50【例9】設(shè)某臺(tái)設(shè)備所加工產(chǎn)品的次品率為0.02，求90件產(chǎn)品中次品數(shù)≥2的概率。解：將加工90件產(chǎn)品視為90重貝努利試驗(yàn)，令X為次品數(shù)，由題意，p=0.02，q=0.98,則P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}51可用Excel的BINOMDIST函數(shù)求解二項(xiàng)分布問題BINOMDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式：BINOMDIST(k,n,p,邏輯值)功能：當(dāng)?shù)?個(gè)參數(shù)的邏輯值為1時(shí)，返回二項(xiàng)分布的累積概率P{X≤k}的值；當(dāng)邏輯值為0時(shí)，返回二項(xiàng)分布的概率P{X=k}的值。52某加工零件的機(jī)加工車間有30臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床運(yùn)行時(shí)的電耗為2千瓦。由于裝拆零件等輔助時(shí)間的原因，每臺(tái)機(jī)床在工作日中平均有30%的時(shí)間處于停止運(yùn)行狀態(tài)下。該車間現(xiàn)由一臺(tái)功率為40千瓦的變壓器供電。根據(jù)供電負(fù)荷規(guī)范要求，該車間在工作日中用電量超過供電負(fù)荷的概率不能大于10%。試借助Excel進(jìn)行分析：(1)現(xiàn)有的變壓器能否滿足要求？(2)該車間至少應(yīng)配置多大功率的變壓器才能滿足需要？案例4車間用電負(fù)荷問題53設(shè)X為該車間在工作日中任一時(shí)刻正在運(yùn)行的機(jī)床數(shù)，由于各機(jī)床的運(yùn)行與否是獨(dú)立的，故X～B(n，p)，其中n=30，p=1-0.3=0.7該車間現(xiàn)配置的變壓器供電量能滿足同時(shí)運(yùn)行的機(jī)床數(shù)為：40/2=20臺(tái)，使用Excel

的BINOMDIST函數(shù)，可求得：P{X≤20}=0.41<0.9故現(xiàn)有的變壓器不能滿足要求。同時(shí)可得P{X≤23}=0.84<0.9,P{X≤24}=0.92>0.924臺(tái)×2千瓦/臺(tái)=48千瓦故該車間應(yīng)配置至少48千瓦的變壓器才能滿足要求。案例4分析54一．連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度1．定義對連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)?(x)，使得對任意實(shí)數(shù)x，有則稱?(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度?！?.5連續(xù)型隨機(jī)變量552．概率密度的性質(zhì)(4)若?(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則：由(3)式可知，X的分布函數(shù)F(x)的值，以及X落在區(qū)間(x1，x2]上的概率，就是相應(yīng)區(qū)間上概率密度曲線下的面積，見下圖所示。56分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系f(x)xx0(*)f(x)xb0a571．指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布（Exponentialdistribution）。不難求得指數(shù)分布的分布函數(shù)為：二．幾種重要的連續(xù)型分布58指數(shù)分布的應(yīng)用通常產(chǎn)品的無故障工作時(shí)間服從指數(shù)分布，其參數(shù)就是失效率，1/則是平均無故障工作時(shí)間?！纠?0】設(shè)某品牌彩電無故障工作時(shí)間服從λ=1/2000的指數(shù)分布。求該種彩電無故障工作時(shí)間不少于1000小時(shí)的概率。解：設(shè)X為該彩電的無故障工作時(shí)間，則P{X≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)=1-(1-e-1000/2000)=e-0.5=0.606559可用Excel的EXPONDIST函數(shù)求解指數(shù)分布問題EXPONDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式：EXPONDIST(x,λ,邏輯值)功能：當(dāng)邏輯值為1時(shí)，返回指數(shù)分布的分布函數(shù)P{X≤x}的值；當(dāng)邏輯值為0時(shí)，返回指數(shù)分布的密度函數(shù)值。60設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中、為常數(shù)，且>0，則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布(Normaldistribution)，記為X～N(,2)。正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形見下圖所示。2．正態(tài)分布61正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形xf(x)0=0.5=1=20f(x)x12動(dòng)態(tài)演示62(1)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)①?(x)在x=μ處達(dá)到最大值，x離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值越小，且以x軸為漸近線；②曲線關(guān)于x=μ對稱；③越小，曲線越陡峭，反映了X取值的離散程度；④對相同的，改變?chǔ)讨迪喈?dāng)于曲線的平移。63(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布稱=0，=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為Z～N(0,1)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為φ(x)

和(x)。(3)正態(tài)分布表的使用正態(tài)分布表給出的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的值(x)

。查正態(tài)分布表時(shí)常要用到以下關(guān)系(*)①P{Z≤a}=(a)

②P{Z>a}=1-(a)

③P{a<Z≤b}=(b)-(a)

④(-a)=1-(a)

0a-aφ(x)(-a)1-(a)x64【例11】設(shè)X～N(0,1)，求①P{X≤1.89}，

②P{X>-2.13}，③P{-0.97<X≤2.35}解：查表可得：①P{X≤1.89}=(1.89)=0.9706②P{X>-2.13}=1-(-2.13)=(2.13)=0.9834③P{-0.97<X≤2.35}=(2.35)-(-0.97)=(2.35)-(1-(0.97))=0.9906-1+0.8340=0.824665

設(shè)某廠生產(chǎn)的某種電子產(chǎn)品的壽命服從μ=8年，=2年的正態(tài)分布，問(1)該產(chǎn)品壽命小于5年的概率是多少？(2)壽命大于10年的概率是多少？(3)廠方要對外承諾，若該產(chǎn)品在保用期內(nèi)失效可免費(fèi)更換，廠方希望將產(chǎn)品的免費(fèi)更換率控制在1%以內(nèi)，問保用年限最長可定為幾年？案例5保用年限應(yīng)定為幾年？66(5)非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變換設(shè)X～N(,2)，則

～N(0,1)(*)上式就稱為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變換。67(6)非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表設(shè)X～N(,2)，則計(jì)算時(shí)可運(yùn)用以下關(guān)系(*)：68設(shè)某廠生產(chǎn)的某種電子產(chǎn)品的壽命服從μ=8年，=2年的正態(tài)分布，問(1)該產(chǎn)品壽命小于5年的概率是多少？(2)壽命大于10年的概率是多少？(3)廠方要對外承諾，若該產(chǎn)品在保用期內(nèi)失效可免費(fèi)更換，廠方希望將產(chǎn)品的免費(fèi)更換率控制在1%以內(nèi)，問保用年限最長可定為幾年？案例5解答69設(shè)X為該產(chǎn)品的使用壽命，則X～N(8,22)(3)設(shè)保用年限最長可定為n年，則由題意查表得：(8-n)/22.33，得n

3.34，取n=3，故保用年限最長可定為3年。70可用Excel的NORMDIST函數(shù)求解正態(tài)分布問題NORMDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式：NORMDIST(x,μ,σ,邏輯值)功能：當(dāng)邏輯值為1時(shí)，返回正態(tài)分布的分布函數(shù)P{X≤x}的值；當(dāng)邏輯值為0時(shí)，返回其密度函數(shù)值。71【例12】設(shè)X～N(,2),求：(1)P{-<X<+}，(2)P{-2<X<+2}，(3)P{-3<X<+3}解：P{-<X<+}=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826同理可得：P{-2<X<+2}=2(2)-1=0.9544P{-3<X<+3}=2(3)-1=0.9974μ-3μ+30.9974X落在(-3,+3)內(nèi)的概率為99.74%，落在該區(qū)間外的概率僅為0.26%，幾乎是不可能事件。正態(tài)分布的這一性質(zhì)稱為“3法則”，在質(zhì)量管理中常運(yùn)用這一法則判斷生產(chǎn)過程是否出現(xiàn)異常。3法則72課堂練習(xí)4某臺(tái)加工缸套外徑的機(jī)床，當(dāng)將尺寸定位在μ時(shí)，所加工的缸套外徑尺寸X~N(μ,σ2)，其中σ=0.01(mm)，缸套外徑的允許公差為0.02(mm)，求(1)該機(jī)床加工缸套的合格率；(2)當(dāng)σ=0.007時(shí)，所加工缸套的合格率又為多少?由本題的計(jì)算結(jié)果，可知正態(tài)分布中的參數(shù)σ反映了該機(jī)床的什么指標(biāo)?73(7)正態(tài)分布的性質(zhì)且X與Y獨(dú)立，則①若，，②設(shè),且相互獨(dú)立，i=1,2,…,n，則74一．?dāng)?shù)學(xué)期望1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=Pk，k=1,2,…，稱級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱均值。由定義可知，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，就是以概率Pk為權(quán)數(shù)，對X的所有可能取值的加權(quán)平均值，故期望也稱為均值?！?.6數(shù)學(xué)期望和方差752．連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：若X～N(μ,σ2)，則E(X)=μ3．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)c，k，b為常數(shù)，X，Y為隨機(jī)變量(1)E(C)=C；(2)E(kX)=kE(X)；(3)E(kX＋b)=kE(X)+b；(4)E(X±Y)=E(X)±E(Y)；(5)若X，Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)76方差是反映隨機(jī)變量取值離散程度的數(shù)字特征。1．定義對隨機(jī)變量X，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱它為X的方差，記為D(X)或Var(X),即

D(X)=E{[X–E(X)]2}并稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差與X具有相同的量綱。二.方差77設(shè)c，k，b為常數(shù)，X，Y為隨機(jī)變量(1)D(c)=0；(2)D(kX)=k2D(X)；D(kX＋b)=k2D(X)(3)若X、Y獨(dú)立，則：D(X±Y)=D(X)＋D(Y)2．方差的性質(zhì)78設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨(dú)立，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，若每個(gè)Xi對總和Xi的影響不大，則隨機(jī)變量

Y=Xi就近似服從正態(tài)分布分布。在自然界和社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是由許多獨(dú)立的隨機(jī)因素的共同影響所造成的。中心極限定理說明了大量隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布的原因。這也是在統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常都假定總體服從正態(tài)分布的理論依據(jù)。中心極限定理的驗(yàn)證§4.7大數(shù)定律和中心極限定理79光大電器公司開發(fā)了一種新型洗衣機(jī)，生產(chǎn)該洗衣機(jī)的經(jīng)濟(jì)規(guī)模為100萬臺(tái)/年，需要投入的生產(chǎn)線設(shè)備、模具、工裝等固定投資費(fèi)用為2000萬元，項(xiàng)目的建設(shè)期為一年，固定投資費(fèi)用在建設(shè)期初一次投入。產(chǎn)品投產(chǎn)時(shí)還需投入生產(chǎn)流動(dòng)資金1000萬元。由于洗衣機(jī)產(chǎn)品的技術(shù)進(jìn)步較快，估計(jì)該產(chǎn)品的市場壽命期為5年，5年末固定資產(chǎn)殘值為固定投資額的20%，流動(dòng)資金可在壽命期末全部收回。由于洗衣機(jī)的市場競爭非常激烈，該新型洗衣機(jī)投入生產(chǎn)后的經(jīng)濟(jì)效益具有很大的不確定性。為了提高產(chǎn)品投資決策的科學(xué)性，該公司在決定是否投資生產(chǎn)該新型洗衣機(jī)之前，進(jìn)行了一些市場調(diào)查預(yù)測和項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)可行性研究。項(xiàng)目投資決策實(shí)例80市場調(diào)查和預(yù)測分析估計(jì)，產(chǎn)品上市后銷售量將達(dá)到生產(chǎn)能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷）的可能性分別為40%、30%、30%。另經(jīng)財(cái)務(wù)部門所作的財(cái)務(wù)預(yù)測分析，在產(chǎn)品出現(xiàn)”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項(xiàng)目投產(chǎn)后的年凈現(xiàn)金流量將分別為100萬元、600萬元和1000萬元?？紤]到籌資成本和資金的機(jī)會(huì)成本，貼現(xiàn)率應(yīng)取6%。81為使對該新產(chǎn)品項(xiàng)目的投資決策更具科學(xué)性，總經(jīng)理召開了有銷售、生產(chǎn)、財(cái)務(wù)、技術(shù)等部門負(fù)責(zé)人參加的會(huì)議。會(huì)上銷售部經(jīng)理建議，為減小決策風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)在決定是否投資生產(chǎn)前先利用原有設(shè)備進(jìn)行少量試生產(chǎn)（100臺(tái)），并將試生產(chǎn)的洗衣機(jī)免費(fèi)贈(zèng)送給不同地區(qū)的一些用戶進(jìn)行為期3個(gè)月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經(jīng)理還設(shè)計(jì)了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度、外觀、可靠性五大類共25個(gè)指標(biāo)，每項(xiàng)指標(biāo)都由用戶按1～5分打分，加權(quán)平均后的滿分為100分。根據(jù)用戶試用后反饋結(jié)果的總平均分，可將用戶對該洗衣機(jī)的評(píng)價(jià)分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結(jié)果。銷售部經(jīng)理的建議82銷售部經(jīng)理認(rèn)為，為減少?zèng)Q策風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)根據(jù)對用戶試用反饋情況進(jìn)行分析后再作是否投資生產(chǎn)該洗衣機(jī)的決定。銷售部經(jīng)理還提供了過去許多企業(yè)在產(chǎn)品正式投產(chǎn)之前采用類似試用或試銷方法的用戶反饋結(jié)果與產(chǎn)品正式生產(chǎn)上市后銷售狀況之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，見表1表1.銷售狀況與試用結(jié)果間的統(tǒng)計(jì)資料83總經(jīng)理指示財(cái)務(wù)部經(jīng)理對銷售部經(jīng)理所提方案的費(fèi)用進(jìn)行估算。在下一次的會(huì)議上，財(cái)務(wù)部經(jīng)理給出了試生產(chǎn)、分發(fā)用戶試用及收集用戶反饋信息等項(xiàng)工作的總費(fèi)用估算結(jié)果，估計(jì)需要100萬元。會(huì)上有人提出是否值得花100萬元進(jìn)行試生產(chǎn)并免費(fèi)贈(zèng)送用戶試用，并展開了激烈的爭論?？偨?jīng)理希望能對各種可行方案的風(fēng)險(xiǎn)及經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行科學(xué)的分析與評(píng)價(jià)。如何進(jìn)行科學(xué)決策？841.投產(chǎn)后各種銷售狀況下的項(xiàng)目凈現(xiàn)值

記PWj(i),j=1,2,3分別為滯銷,一般和暢銷時(shí)的項(xiàng)目凈現(xiàn)值。PW1(6)=-2000-1000×1.06-1+100×1.06-2+100×1.06-3+100×1.06-4+100×1.06-5+1500×1.06-6=-1559PW2(6)=-2000-1000×1.06-1+600×1.06-2+600×1.06-3+600×1.06-4+600×1.06-5+2000×1.06-6=428同理可得PW3(6)=20180123456200010001001001001001500滯銷時(shí)的項(xiàng)目現(xiàn)金流量圖案例分析85記X為該產(chǎn)品的未來銷售狀況，X1、X2、X3分別代表滯銷、一般和暢銷。并記V1(X),V2(X)分別為投產(chǎn)和不投產(chǎn)兩種決策方案的項(xiàng)目凈現(xiàn)值，則E[V1(X)]=0.3×(-1559)+0.3×428+0.4×2018=468E[V2(X)]=0故最優(yōu)決策是投產(chǎn)，投產(chǎn)該產(chǎn)品6年中可為企業(yè)帶來468萬元的期望凈收益(按凈現(xiàn)值計(jì))。但該產(chǎn)品投產(chǎn)后有30%的可能性會(huì)滯銷。一旦滯銷將使企業(yè)在6年中總計(jì)虧損1559萬元(凈現(xiàn)值)。投產(chǎn)該產(chǎn)品存在極大的風(fēng)險(xiǎn)。2.不考慮試生產(chǎn)方案86記Y1,Y