《系統(tǒng)工程》層次分析法課件

系統(tǒng)分析方法:層次分析法

層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導(dǎo)致了社會結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項目的科學(xué)意義和實用價值的大小、項目的可行性、項目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對這類決策問題時，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實用的決策方法，而且也提供了一個在處理機理比較模糊的問題時，如何通過科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。

一、層次分析的基本步驟

層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗；（4）層次總排序及一致性檢驗。下面通過一個簡單的實例來說明各步驟中所做的工作。例1

某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用。可供選擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如上圖中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為。定義1

若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強、強、很強、絕對地強表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時，aij可分別取值2、4、6、8。從心理學(xué)觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時，確實感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

定理1

正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，看將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：根據(jù)定理3，我們可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實上是A的除λmax以外其余n－1個特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機一致性比率。經(jīng)大量實例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對A作一致性檢驗：計算，查表得到對應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重?，F(xiàn)對本節(jié)例1（即合理利用利潤問題的例子）進行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在

C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T經(jīng)層次單排序，得到下圖合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴建福利事業(yè)P2引進新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時，bij=0）?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計算按下表所示方式進行,即，i=1,…,n。bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mAm……A2a2A1a1層A層B步4層次總排序及一致性檢驗最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。對于表8.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進新技術(shù)新設(shè)備。二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計算特征根和特征向量時，沒有必要化費太多的時間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實上，在應(yīng)用層次分析法決策時，這些量的計算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應(yīng)用小型計算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時可采用方根法。其計算步驟如下：對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得2、冪法計算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應(yīng)于λmax的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步2。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，即求

其中為的第i個分量。（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令,i,j=1,…,n令。（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應(yīng)于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)化，以上近似方法計算都很簡單，計算結(jié)果與實際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時兩者完全相同。按行相加例2

招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖8.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計算機操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.041W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.015經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項指標(biāo)作1—9級評分。設(shè)其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

計算總得分，以y作為應(yīng)試者的綜合指標(biāo)，按高到低順序錄用。例3

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標(biāo)層A準(zhǔn)則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B2113C311C231C1C3C2C1B3(層次總排序)如下表所示。

準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.160.190.190.050.120.30方案層工作10.140.100.320.280.470.770.40單排序工作20.620.330.220.650.470.170.34權(quán)值工作30.240.570.460.070.070.060.26根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。（說明：本例省略了一致性檢驗）例4

作品評比。

電影或文學(xué)作品評獎時，根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，評判標(biāo)準(zhǔn)有教育性、藝術(shù)性和娛樂性，設(shè)其間建立的成對比較矩陣為由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.024(<0.1)本例的層次結(jié)構(gòu)模型如下圖所示

電影或文學(xué)作品評比教育