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2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)第九章直線和圓的方程9.1直線方程與圓的方程三年模擬一、選擇題1.(2022福建龍巖一模,2)直線x+ay+b=O經(jīng)過第一、二、四象限,則()A.a<0,b<0 B.a<0,b>0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0答案c因?yàn)橹本€x+ay+b=0經(jīng)過第一、二、四象限,所以該直線的斜率-*0.在y軸上的截距】>0,則a>0,b<0.故選C.2.(2022濟(jì)南二模,14)過直線x+y=2與x-y=0的交點(diǎn),且平行于向量v=(3,2)的直線方程為()A.3x-2y-l=0 B.3x+2y-5=0C.2x-3y+l=0 D.2x-3y-l=0答案C由??;?2得Z1所以直線x+y=2與x-y=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).因?yàn)樗笾本€平行于向量v=(3,2),所以所求直線方程為丫-1=然1).即2*-3丫+1=0,故選C.3.(2022重慶巴蜀中學(xué)3月適應(yīng)性月考(八),4)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:y=kx+(2-2k)上存在一點(diǎn)P,使得QP|=O,則k的取值范圍為()A.[V3-2,73+2]B.(-°o,2-V3]U[2+V3,+oo)C.[2-V3,2+V3]D.(-oo,V3-2]U[V3+2,+oo)答案C由題意知華型解得ke[2-W,2+㈣,故選C.4.(2021四川診斷性測試,9)已知直線l:bx-ay+ab=0(a,b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-l,2),則2a+b的最小值為()A.6 B.7 C.8 D.9答案C直線l:bx-ay+ab=0(a,b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-l,2),;.-b-2a+ab=0,即2a+b=abN2V^F,;.abN8(當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號),2a+b的最小值為8,故選C.5.(2022哈爾濱三十二中期末.12)已知圓C的圓心為(2,-3),且過點(diǎn)(0,0),則圓C的方程為()A.(x+2>+(y-3)2=5B.(x-2>+(y+3)2=5C.(x+2)2+(y-3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=13答案D設(shè)圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=F(r>0),因?yàn)閳AC過點(diǎn)。0),所以(0-2)2+(0+3)2=F,解得F=13,所以圓C的方程為(x-2)2+(y+3>=13.故選D.6.(2022山東煙臺、德州一模,8)過直線x-y-m=0上一點(diǎn)P作圓M:(x-2)2+(y-3)2=l的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若使得四邊形PAMB的面積為救的點(diǎn)P有兩個(gè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(-5,3) B.(-3,5)C.(-oo,-5)U(3,+oo) D.(-oo,-3)U(5,+oo)答案A由圓M:(x-2)2+(y-3)2=l得圓心M(2,3),半徑為1,,|MA|=|MB|=1,故四邊開鄉(xiāng)PAMB的面積S=||PA||MA|+i|PB||MB|=|PA|=y[7,.?.|PM|=J|MA|2+|PA|2=J#+(V7)2=2々,要使四邊形PAMB的面積為攻的點(diǎn)P有兩個(gè),則-4===<2e,解得-5<m<3.故選A./+(_1)2.(2022福州一模.2)已知A(-V3,0),B(V5,0),C(0,3)8hABC外接圓的方程為()A.(x-l)2+y2=2.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4((-V3-a)2+(0))2=r2,p=o,答案D設(shè)&ABC外接圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0,則卜存a)2+(0-b)2=r2,解得b=1,則l(0-a)2+(3))2=r2, =2-△ABC外接圓的方程為x2+(y-l)2=4故選D..(2022山東荷澤期末⑻瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,AB=A(^B(-1,1^C(3,5),過其歐拉線"上一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=4的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,則|MN|的最小值為()
答案B因?yàn)榫€段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),歐拉線"的斜率為k=-A=-l,所以歐拉線"方程為y-3=-(x-l),KBC即x+y4=0,又點(diǎn)O到直線x+y-4=0的距離d=*=2企>2,即歐拉線"與圓O相離,要使|MN|最小,則在RfPMO與RMPNO中/MOP=ZNOP最小,即NMPN最大,而當(dāng)OPJ.歐拉線”時(shí)/MPN最大,所以d=|OP|=2?則|MN|=2rsinNNOP(r為圓O的半徑),且r=2,cosZNOP=^=卓所以sinZNOP當(dāng)即|MN|min=22,故選B..(2022廣東江門3月模擬,8)已知M是圓C:x2+y2=l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線h:mx-ny-3m+n=0與直線12:nx+my-3m-n=0(m,n£R,m2+n2W0)相交于點(diǎn)P,則|PM|的取值范圍是( )A.IV3-1,273+1]B.[V2-1,3V2+UC.[V2-1,272+1]D.[V2-1,3V3+1]答案B直線h:m(x-3)-n(y-l)=0恒過點(diǎn)A(3,l),直線b:n(x-l)+m(y-3)=0恒過點(diǎn)B(1,3),顯然直線li±h,因此,直線h與L的交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓,其方程為(x-2>+(y-2)2=2.圓心N(2,2),半徑門=或,而圓C的圓心C(0,0),半徑n=l,如圖,|NC|=2VI>ri+n廁兩圓外離,由圓的幾何性質(zhì)得PM|min=|NCM-r2=V^-l,|PM|max=|NC|4-rl+r2=3夜+1,所以PM的取值范圍為[&-L3/+1]故選B.10.(2022福建4月百校聯(lián)合測評,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A在x軸上點(diǎn)B在y軸上,|AB|=2點(diǎn)C滿足AC_LBC廁點(diǎn)C到點(diǎn)P(V5,1)的距離的最大值為()A.3C.5A.3C.5 D.4答案D由題意可知點(diǎn)C在以線段AB為直徑的圓上.設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(a,b),有|OM|=|AM|=|BM|=1,可得a?+b2=l,由|MP|4|OP|+1,|OP|=J(V3)2+12=2,有|CP|<|MP|+1<|0P|+14-1=2+1+1=4.當(dāng)且僅當(dāng)O,M,P三點(diǎn)共線時(shí)取等號..(2020安徽淮南一模,6)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(4,0),B(0,2),且AC=BC,則△ABC的歐拉線方程為()A.2x+y-3=0 B.x-2y-3=0C.x-2y+3=0 D.2x-y-3=0答案D線段AB的中點(diǎn)為(2,l),kAB=g二線段AB的垂直平分線方程為y=2(x-2)+1,即2x-y-3=0.:AC=BC,.?.三角形ABC的外心、重心、垂心依次位于線段AB的垂直平分線上,因此△ABC的歐拉線方程為2x-y-3=0,故選D..(2021黑龍江齊齊哈爾八中月考,6)已知點(diǎn)(-1,2)和(f.0)在直線l:ax-y+l=0(aW0)的同側(cè),則直線I的傾斜角的取值范圍為()B.(o.1)u(y,n)C(相) 。信與答案D因?yàn)辄c(diǎn)(-1,2)和仔0)在直線l:ax-y+l=0(aH0)的同側(cè),所以(-a-2+l)?伴a-0+l)>0,即(a+l>(a+VI)<0,解得-V5<a<-1,又直線1的斜率k=a,所以-V5<k<-1,又直線的傾斜角范圍為血兀),所以直線I的傾斜角的取值范圍為管,空).故選D..(2022江西景德鎮(zhèn)重點(diǎn)中學(xué)3月模擬,5)已知點(diǎn)P在曲線y*上,a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則a的取值范圍為()A。期 B.曲)
答案B根據(jù)題意得,???曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率k=z二;:+i=--當(dāng)且僅當(dāng)ex=3即x=0時(shí)取,又ex4>0, -14k<0.由a£[0,。結(jié)合正切函數(shù)圖象可知,aQ與;rr),故選B..(2021吉林第三次調(diào)研考試,5)若圓C的半徑為I,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切廁該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-3)2+(y-l)2=1 B.(x-2)2+(y-3)2=1C.(x-2)2+(y-1>=1 D.(x-3)2+(y-2)2=1答案C因?yàn)閳AC的半徑為1.圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸均相切,所以圓心的縱坐標(biāo)為1,從而設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,1),a>0廁有丁四芻一=1,解得a=2或a=-1(舍去),所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2>+(y-4z+(-3)1)2=1,故選C..(2022山西晉城重點(diǎn)中學(xué)4月月考.6)以(a,l)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-l)2+(y-l)2=5C.(x-l)A.(x-l)2+(y-l)2=5C.(x-l)2+y2=5D.x2+(y-l)2=5答案A由已知得圓心到直線的距離d=?四肥=怨包,解得a=l,d=V5,所以半徑廠心所以圓的標(biāo)
V5 V5準(zhǔn)方程為(x-1>+(y-1)2=5..(2022皖南八校聯(lián)考.5)已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則圓C的面積為()A.497t B.36兀 C.7nD.6n答案D圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-l六a。則圓心C(a,l)到直線y=ax的距離為舄=李向;解得a2=7,所以圓C的半徑為述,所以圓C的面積為6兀,故選D..(2020天津南開二模,3)方程x2+y2-kx+2y+k2-2=0表示圓的一個(gè)充分不必要條件是()A.kG(-oo,-2)U(2,+oo)B.kG(2,+oo)C.kG(-2,2)D.kG(0,l]答案D由方程x2+y2-kx+2y+k2-2=0表示圓得k2+4-4(kJ2)>0,即-2<k<2..…曰。1]為方程x2+y2-kx+2y+k2-2=0表示圓的一個(gè)充分不必要條件..(2020天津四中復(fù)習(xí)檢測,6)已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切,圓心在直線y=-x上廁圓C的方程為()A.(x+I)2+(y-l)2=2B.(x+l)2+(y+l)2=2C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x-l)2+(y+l)2=2答案D設(shè)圓C的半徑為r.???圓心在直線y=-x上,...可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),,?圓C與直線y=x相切.,圓心(a,-a)到直線y=x的距離為詈=@,同理,圓心(a,-a)到直線x-y-4=0的距離為等=@,聯(lián)立①②,解得a=l,廠企,.?.圓C的方程為(x-l>+(y+1>=2.故選D.二、填空題.(2022河北九師聯(lián)盟一模,14)寫出一條同時(shí)滿足下列條件①②③的直線的方程:.①斜率小于0;②在x軸上的截距大于0;③與雙曲線。y2=l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).答案y=,x+1(答案不唯一)解析只要與雙曲線的漸近線y=4x平行,且在x軸上的截距大于0即可.20.(2022豫西五校4月聯(lián)考,14)過點(diǎn)P(l,2作直線I,若點(diǎn)A(2,3),B(4,-5)到它的距離相等廁直線1的方程為.答案4x+y-6=0或3x+2y-7=0
解析解法一:若A、B位于直線1的同側(cè),則直線111AB,kAB=^=4所以直線1的方程為4x+y-6=0;若A、B位于直線I的兩側(cè)廁直線1必經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(3,-1),所以直線1的方程為3x+2y-7=0.所以直線1的方程為4x+y-6=0或3x+2y-7=0.解法二:設(shè)直線1的方程為y-2=k(x-l),即kx-y+2-k=0廁與3+2?|=電誓典化簡得k.1=3k+7或k-出+iM+1Ql+3k+7=0,解得k=-4或1<=-宗所以直線I的方程為4x+y-6=0或3x+2y-7=0.21.(2021豫西南五校3月聯(lián)考,14)已知點(diǎn)P(2,l)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=O上,點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-l=0的對稱點(diǎn)也在圓上,則圓C的半徑為.答案2解析解法一:由題意知圓心C(-Q)在直線x+y-1=0上,從而有-如-1=0,解得a=0,又知點(diǎn)P(2,l)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以有22+12+0x2-2x1+b=0,即b+3=0.解得b=-3,所以圓C的半徑Jo2+(-2)2-4n(-3)r- 2 幺解法二:同解法一知a=0,r.C(0,1),又點(diǎn)P(2,1)在圓C上,,圓C的半徑為J(0-2)2+(1-1)2=2.22.(2022河北一模,13)經(jīng)過點(diǎn)P(5,5)的直線I被圓C:x2+y2=25截得的弦長為4遙,則直線I的方程為.答案x-2y+5=0或2x-y-5=0解析由題意可得,直線的斜率存在.則可設(shè)直線1的方程為y-5=k(x-5),gpkx-y+5-5k=0.又弦心距為上5-(2花尸=V5,所以圓心到直線的距離d=-|0-0+5-5fc|所以圓心到直線的距離d=-|0-0+5-5fc|=V5,解得k=2或k=a則直線1的方程為2x-y-5=0或x-2y+5=0.23.(2022天津五十五中統(tǒng)練20,12汜知圓C過P(0,l)、Q(2,l)兩點(diǎn)且圓心C在x軸上,經(jīng)過點(diǎn)M(-l,0)且傾斜角為鈍角的直線1交圓C于A、B兩點(diǎn),若不?3=0廁直線I的斜率為.答案-y解析由題可知,PQ為圓C的弦,則圓心C在PQ的中垂線x=l上,又???圓心在x軸上.故圓心C的坐標(biāo)為(1,0),故圓的半徑r=|PC|=V2.???過點(diǎn)M(-l,0)的直線1交圓C于A,B兩點(diǎn),Z%方=0,...△CAB為等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=2,則圓心C到直線1的距離d=l,設(shè)1的方程為y=k(x+l),k<0,即kx-y+k=0,則d=譽(yù)_=1=>k=土曰,vk<0,k=-率河3 324.(2021天津十二校聯(lián)考一模,12)已知直線l:y=kx-l與圓C:x2+y2_4x+3=0相切廁正實(shí)數(shù)k的值為.答案|解析易知圓C的圓心為(2,0),半徑r=l,由題意得圓心到直線y=kx-l的距離為粵=1.解得k=0或k=*53因?yàn)閗為正實(shí)數(shù),所以k=*25.(2022和平一模,12)已知圓C的圓心在直線2x-y-2=0上,且與直線l:3x+4y-28=0相切于點(diǎn)P(4,4),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案(x-l>+y2=25解析過點(diǎn)P(4,4)與直線l:3x+4y-28=0垂直的直線m的斜率為*所以直線m:y,=*x4),即4x-3y-4=0.聯(lián)立篋裝解得cd,。).所以圓c的半徑r=|PC|=J(4-l)2+(4-0)2=5.故圓C的方程為(x-l)2+y2=25.名師點(diǎn)睛過切點(diǎn)的切線的垂線過圓心.26.(2022天津十二區(qū)縣一模考前模擬,12)圓心為直線x-y+2=0與直線2x+y-8=0的交點(diǎn),且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.答案(x-2)2+(y-4)2=20解析聯(lián)立管M意解黨受即圓心的坐標(biāo)為(2,4),設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(yd)2=r2,將(0,0)代入上式得r=20.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-4)2=20.27.(2022天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)自主模擬一,12)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為6,則實(shí)數(shù)a的值為.答案-9解析(x+1)2+(y-1)2=2-a(a<2),二圓心為(-1,1),半徑為..?圓心到直線的距離d=四科=V2.V2又弦長為6,2,2-a-2=6,解得a=-9.28.(2022天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(9),12)已知直線l:y=x+m被圓C:x2+y2-4X-2y-l=0截得的弦長等于該圓的半徑,則實(shí)數(shù)0I=.答案2或-4解析(x-2)2+(y-l)2=6,圓心C(2,l),半徑為歷,點(diǎn)C到直線y=x+m的距離d=^^=曙,
...2斤季二%整理得(m+4=9,解得m=2或m=-4.29.(2021天津十二校聯(lián)考二模,12)已知直線l:mx+y-2m-2=0與圓C:x2+y2-8y=O交于A,B兩點(diǎn),若NACB三,則直線I的方程為答案x-y=0解析x2+y2-8y=0=>x2+(y-4)2=16,則圓心C(0,4),半徑r=4.VzACB=j,|AC|=|BC|=r=4,&ACB為等腰直角三角形....圓心到直線1的距離d=rsin450x亨=272.由d=|4-2m-2|_2夜=m2+2m+l=0=m=-l./1W...l:-x+y=0,即x-y=0.30.(2020天津第二十五中學(xué)線上測試,13)過點(diǎn)A(-3,2),B(-5,-2),且圓心在直線3x-2y+4=0上的圓的半徑答案V10解析直線AB的斜率k=同言=2,所以與直線AB垂直的直線的斜率又線段AB的
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