畢業(yè)設(shè)計論文二元函數(shù)插值與逼近方法綜述

畢業(yè)設(shè)計論文--二元函數(shù)插值與逼近方法綜述學(xué)號：200310010309河北理工大學(xué)本科畢業(yè)論文論文題目：二元函數(shù)插值與逼近方法綜述學(xué)院：河北理工大學(xué)理學(xué)院系：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系專業(yè)：信息與計算科學(xué)班級：三班姓名：李冬梅指導(dǎo)教師：何亞麗2007年6月13日河北理工大學(xué)畢業(yè)論文二元函數(shù)插值與逼近方法綜述TheInterpolationApproximationoftheDoubleFunction學(xué)院：河北理工大學(xué)理學(xué)院系：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系專業(yè)：信息與計算科學(xué)班級：三班姓名：李冬梅指導(dǎo)教師：何亞麗2007年6月13日2目錄摘要……………………1Abstract………………..3一、前言........................................................................................................................3一二元函數(shù)插值與逼近的起源和發(fā)展過程............................................................3二本文所要達到的目的............................................................................................3二、二元函數(shù)插值........................................................................................................3一一元拉格朗日插值的構(gòu)造方法............................................................................3二二元函數(shù)插值的基本思想....................................................................................4三二元函數(shù)插值的幾種方法....................................................................................61、分片雙一次插值...............................................................................................62、分片不完全雙二次插值...................................................................................83、矩形域上分片雙三次埃爾米特插值...............................................................9四二元函數(shù)插值部分程序設(shè)計..............................................................................121．MATLAB中插值描述及程序設(shè)計...............................................................122．Mathematica中的插值.................................................................................17三、二元函數(shù)的最佳平方逼近..................................................................................17一一元函數(shù)曲線擬合的最小二乘問題..................................................................18二二元函數(shù)最佳平方逼近......................................................................................191、二元函數(shù)的最佳平方逼近.............................................................................192、最小二乘擬合程序設(shè)計.................................................................................20四、綜述......................................................................................................................22謝辭..........................................................................................................................24參考文獻................................................................................................................25303信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文摘要摘要本文對二元函數(shù)插值與逼近方法做了簡單綜合的敘述。將一元函數(shù)插值思想主要是拉格朗日插值中構(gòu)造基函數(shù)的方法推廣到二元函數(shù)，討論了二元函數(shù)的插值問題。其中，主要討論矩形區(qū)域上的插值、分片低次插值以及矩陣區(qū)域上的最小二乘逼近方法。將矩形域上分片插值問題分作分片雙一次插值，分片不完全的雙二次插值。并且針對插值和最小二乘逼近分別列出了Mathematica和MATLAB的程序設(shè)計。簡單分析了插值逼近問題的解決辦法。關(guān)鍵詞：二元函數(shù)插值；最小二乘逼近；拉格朗日；MATLAB；Mathematica；分片雙一次插值；分片不完全雙二次插值；矩形區(qū)域；103信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文摘要AbstractInthispaper,Ianalyzedthedualfunctioninterpolationandapproximationmethods.Ipresentedanintegratednarrativeforthem.Idiscussedthedualfunctionofinterpolationmakinguseofthemethodsofsingleinterpolationfunction,whichisthemainideologicalconstructLagrangeinterpolationfunction-based.Whichmainlydiscussedtheinterpolationinrectangularregion,thelowtimesinterpolationinpiecewiseandleastsquaresapproximationmethodontheregionalmatrix.Rectangulardomainwillbedividedupintoapatch-interpolationandpatchincomplete-quadraticinterpolationtodiscuss.Andtargetinginterpolationandleast-squaresapproximation,webreakdowntheproceduresofMathematicaandMATLAB.AsimpleAnalysishasbeengivenforthesolutiontotheproblem.Keywords：Binaryinterpolation;LeastSquareApproximation;Lagrange;MATLAB;Mathematica;Rectangularregion;Apatch-interpolation;Patchincomplete-quadraticinterpolation203信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述一、前言一二元函數(shù)插值與逼近的起源和發(fā)展過程二元函數(shù)插值在計算幾何與計算輔助幾何設(shè)計中有著重要的作用。在許多實際問題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，然而這種關(guān)系很難有明顯的解析表達式，通常只是由觀察或測試得到一些離散數(shù)值。有時，即使給出了解析表達式，卻由于表達式過于復(fù)雜，不僅使用不便，而且不易于進行計算和理論分析。從幾何角度來說，就是要由給定的這組數(shù)據(jù)點去描繪曲線的近似圖形。解決這類問題的方法有兩種：插值法和曲線擬合法。二元逼近是一元函數(shù)逼近理論的發(fā)展，是在逼近工具和被逼近對象方面的二元推廣。由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展的需要，二元函數(shù)逼近理論的研究日益受到數(shù)學(xué)、計算機數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域的專家和科學(xué)工作者的重視，已成為當(dāng)今逼近理論和計算數(shù)學(xué)的研究熱點之一。在許多實際問題中需要建立模擬曲面，例如飛機、汽車、輪船和雕塑零件的外形設(shè)計以及一些描述科學(xué)現(xiàn)象的曲面的擬合等等。在這些外形設(shè)計和曲面擬合中經(jīng)常應(yīng)用局部多元插值方法。多元插值是一個活躍的研究領(lǐng)域，至今，已有相當(dāng)多的多元插值公式，并且還在與日俱增。在這里，我們主要討論二元插值公式。插值公式的產(chǎn)生和發(fā)展是由實際問題決定的，因此它們各有特色，但是應(yīng)該說可供應(yīng)用的公式還很少?；诰仃嚲W(wǎng)格上的矩形曲面片是容易理解的，因此得到使用者們歡迎。只要有可能，大家盡量用矩形曲面片。當(dāng)然，在應(yīng)用矩形曲面片時，需要注意相容性條件。一般來說，曲面是很復(fù)雜的，僅通過數(shù)值表示是難于想象的，因此需要作圖或?qū)嶋H的三維模型。二本文所要達到的目的本文的目的是將一元函數(shù)插值思想如拉格朗日插值中構(gòu)造基函數(shù)的方法推廣到二元函數(shù)，討論二元函數(shù)的插值問題。主要討論矩形區(qū)域上的插值、分片低次插值以及矩陣區(qū)域上的最小二乘逼近方法。二、二元函數(shù)插值一一元Lagrange插值的構(gòu)造方法我們首先來看在一元函數(shù)中的Lagrange插值多項式，對給定了插值點來求如式303信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述n?xa+ax+L+ax的插值多項式的方法有多種。當(dāng)節(jié)點是n+1時，可以先構(gòu)造n01n函數(shù)lixi0,1,L,n，它們的次數(shù)不超過n，且滿足0j≠i?lixj?（）1ji?然后以對應(yīng)點處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合，即得所要求的插值多項式。下面推導(dǎo)lixi0,1,L,n的表達式。由式（），多項式lix有n個根xjj0,1,Li?1,i+1,L,n，且lixi1，故它必定是如下形式nx?xx?x0Lx?xi?1x?xi+1Lx?xnjlix∏i0,1,L,n（）xi?x0Lxi?xi?1xi?xi+1Lxi?xnj0xi?xjj≠i這些函數(shù)稱為Lagrange插值基函數(shù)。利用它們立即得出插值問題的解??nn?nx?xj??（）x∑ylx∑y∏niii??i0i0?j0xi?xj??j≠i?事實上，因為每個插值基函數(shù)lixi0,1,L,n都是n次多項式。由式（）又得n?x∑ylxyk0,1,L,nnkiikki0即?x滿足插值條件?xyi0,1,L,n。式（）稱為n次Lagrange插值niin多項式。為了以后便于區(qū)別，常用Lx∑ylxniii0由前面討論可得結(jié)論，n+1個節(jié)點的n次Lagrange插值多項式存在唯一。二二元函數(shù)插值的基本思想上述思想很容易推廣到二元函數(shù)插值中：二元函數(shù)的分片光滑逼近是隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用而活躍起來的一個研究領(lǐng)域，在應(yīng)用上也很重要。這類問題的一般提法是，給定了被逼近曲面或函數(shù)uux,y，或者是給定了ux,y的一組離散近似值uux,y，要求構(gòu)造一個比較簡單的函數(shù)ijij403信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述Ux,y去逼近ux,y或離散值u。如果Ux,yux,y（或u），則稱為插值逼近或ijijijij簡稱插值；通常由于u總有觀測誤差，因此并不要求Ux,yu，只要近似滿足就行，ijijij近似通過給定點的曲面逼近法，我們稱為曲面擬合法。我們主要介紹曲面插值法。逼近二元函數(shù)最簡單的函數(shù)類，自然是二元多項式。但實際問題往往給定的點x,y,u很多，如果用一個整片多項式去逼近，則必然使得多項式次數(shù)很高，效果并ijij不好。因此類似于一元函數(shù)的分段多項式逼近或樣條函數(shù)逼近，這里就采用分片二元多項式逼近，并使不同曲面片之間光滑地聯(lián)接起來。這種分片逼近的方法應(yīng)十分值得注意。例如，在用有限元方法解彈性力學(xué)問題或其它數(shù)學(xué)物理問題時，首先要對定解區(qū)域?進行幾何剖分，也就是將?劃分成一定的網(wǎng)格（或稱單元）。當(dāng)?是二維區(qū)域時，最基本的單元是三角形和四邊形，也可以是曲邊三角形和曲邊四邊形。區(qū)域剖分后緊接著的問題是在這些小單元上選取一近似函數(shù)Ux,y去代替數(shù)學(xué)物理問題中的解ux,y，如果選取Ux,y使它與ux,y在小單元的某些點的值相等，那么Ux,y就稱為ux,y在小單元上的插值函數(shù)。由于計算機輔助幾何設(shè)計的發(fā)展，又提出了另一類的曲面逼近問題。美國的康斯提出了描述曲面的一種數(shù)學(xué)方法。一張曲面可以用若干個小的曲面片拼起來，適當(dāng)選擇曲面片的方程，使它聯(lián)接起來保持一定的光滑性；換句話說，康斯曲面是由它的邊界條件決定的，這又是另一類的插值問題。插值函數(shù)類的選擇，最簡單的方法是二元雙k次式，即選擇函數(shù)類G：kkij∑∑axy（）ijj0i0為插值函數(shù)。在研究插值函數(shù)的具體構(gòu)造時，我們強調(diào)模仿一元函數(shù)的插值函數(shù)構(gòu)造法。例如對于n個互異節(jié)點的二元插值函數(shù)Ux,y，我們只要找到n個屬于G的函數(shù)類?x,y，使i它滿足0i≠j?ixj,yjδiji,j1,2,L,n（）1ij?那么函數(shù)503信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述nUx,y∑ux,y?x,y（）iiii1就是G中滿足n個插值條件Ux,yux,y，i1,2,L,n（）ijij的插值函數(shù)。這是模仿一元函數(shù)拉格朗日的插值方法。yy對于某些插值問題，我們可先固定x（或），將ux,y看成是的函數(shù)，用一元插值的方法得到插值函數(shù)，簡記之為Pux,y，y然后將函數(shù)Pux,y對x進行插值，得到的插值函數(shù)，記之為PPux,y。對于某yxy類特定的問題，PPux,y就是滿足插值條件的插值函數(shù)。這種方法稱為乘積型插值法。xy待定系數(shù)法是尋求一元函數(shù)插值法的重要方法，我們在構(gòu)造二元插值函數(shù)時也要靈活運用這一數(shù)學(xué)方法。三二元函數(shù)插值的幾種方法1、分片雙一次插值在Oxy平面給定一個矩形域AAAA，其頂點坐標(biāo)Ax,y分別為（參見圖1）1234iiiA?1,?1,A1,?1,A1,1,A?1,1。1234YⅢA4A3ⅣⅡXOAA21Ⅰ圖1如果在角點A上給定了函數(shù)值ux,y（或簡記為uA）i1,2,3,4.現(xiàn)在我們來尋iiii603信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述求它的插值函數(shù)Ux,y。由于插值條件有四個，就將插值函數(shù)G取為a+bx+cy+dxy（）上式稱為雙一次式，其滿足上述條件的插值問題稱為矩形域上分片雙一次插值。我們來尋找函數(shù)?x,y,?x,y,?x,y,?x,y，它屬于函數(shù)類G，又滿足12340,i≠j??ixj,yjδij?（）1,ij?為此，我們將矩形各邊的方程寫出來：1+y0Ⅱ：1?x0Ⅲ：1?y0Ⅳ：1+x0Ⅰ：現(xiàn)在，考慮函數(shù)?x,y的構(gòu)造，從圖1看出A的對頂點是A，過A的兩條鄰邊是1133Ⅱ，Ⅲ，而AAA就在由Ⅱ，Ⅲ組成的折線上，足見，若取?x,y為2341?x,yc1?x1?y，（）（1?x0，1?y0分別為Ⅱ，Ⅲ的方程）那么它屬11于函數(shù)類G，且滿足?x,y0,i2,3,4。為了使?x,y1，只要選取常數(shù)c滿足iii111111c1?x1?y1，所以c.類似的方法可求得?,?,?，11112341?x1?y411???1x1y,,1xy4?1+1??xy,,2xy4列出如下：?（）11++?,xy,3xy4?11?+?,xy;?4xy?41+xx1+yy或?qū)⑵浣y(tǒng)一寫成?x,yii.（）i441+xx1+yyiiUxyuxy于是所求得分片雙線性插值的表達式為,∑i,i（）i14（）也可通過下列方式獲得，先對ux,y作關(guān)于x的線性插值，記為Pux,y，然x后對Pux,y作關(guān)于y的線性插值，記為PPux,y，那么PPux,y就是（）的xyxyx703信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述右端，現(xiàn)驗明如下：21+xxi由關(guān)于x的線性插值,,，再由關(guān)于y的線性插值有Puxy∑uxyxii1221+xx21+xx21+xx1+yjyiiiPPuxyPuxyPuxyuxyyx,y∑i,∑yi,∑∑i,i2222i1i1i1j1,441+xx1+yykk∑uxk,ykk14而這就是（）的右端。2、分片不完全雙二次插值給定矩形域上的四個頂點的函數(shù)值uAi及四個邊中點的函數(shù)值uBi，要求作插值。由于條件有八個，選擇函數(shù)類2222Qx,ya+ax+ay+axy+ax+ay+axy+axy（）212345678作插值函數(shù)，對于二元雙二次式來講，（）式缺少x2y2項，故稱（）為不完全的雙二次插值。我們運用拉格朗日形式來構(gòu)造插值函數(shù)，令44Ux,y∑?x,yuA+∑ψx,yuB，（）iiiii1i1這里?,ψ均屬函數(shù)類（）并且滿足：ii?B0?AδψA0ψBδijijijijijijyB3ⅢAA43④③ⅣB2xOBⅡ4①②AA12ⅠB1圖2803信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述?^^?記Ax,y，B?x,y?坐標(biāo)為見圖2iiii?ii?A1?1,?1，A21,?1，A31,1，A4?1,1B10,?1，B21,0，B30,1，B4?1,0矩形四邊方程為Ⅰ：1+y0Ⅱ：1?x0Ⅲ：1?y0Ⅳ：1+x0矩形相鄰二邊中點聯(lián)線的方程為①：1+x+y0②：1?x+y0③：1?x?y0④：1+x?y0現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)?x,y，由于A，A，A，B，B在線段Ⅱ，Ⅲ上，B及B12342314在直線①上，可見?x,y應(yīng)取為包括因子1?x1?y1+x+y，這只要注意Ⅱ，Ⅲ及1①的方程就可得到，為了使?x,y1，只要取111xyxy1x1y1xy??++??++111?x,y?11?x1?y1+x+y41111類似的分析可得?，?，?。最后我們將其統(tǒng)一寫成234++??1xx1yy1xxyy?x,y?iiii，i1,2,3,4。（）i4注意到方程Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ就可將ψx,y取成1?+1x1y1x1?x1y1x??+ψx,y，歸納之有1^^^??21?x1?y1+x11?1???^?^??yx+yx+xy?xx1i1i1i?1i???ψx,y，i1,2,3,4。（）i2將（），（）代入（）即為所求的插值多項式。3、矩形域上分片雙三次埃爾米特插值假設(shè)給定矩形單元如圖3，頂點坐標(biāo)Ax,y分別為A0,0A1,0A1,1A0,1iii1234903信息與計算科學(xué)專業(yè)二元函數(shù)插值與逼近方法綜述yA3圖3A4OxAA12插值條件如下：?UAiuAi;UxAiuxAi??UyAiuyAi;UxyAiuxyAi（）?i1,2,3,4.?這個問題稱為矩形域上的埃爾米特插值。插值條件有16個，故可選擇插值函數(shù)類為完全三次式22222233Qx,ya+ax+ay+axy+ax+ay+axy+axy+axy+ax+ay+3123456789101133322333a12xy+a13xy+a14xy+a15xy+a16xy（）Ux,y為了尋求插值函數(shù)，先對y方向進行埃爾米特插值，記之為Hyux,y，然后對x方向進行埃爾米特插值，記之為HxHyux,y，具體步驟如下：11Hyux,y∑ux,y?y+∑ux,y?y，（）jj0yjj1j0j0?21?1+2,?yyy?0023?2,?yyy?10其中?（）21?,?yyy?01?2?yyy?1.?11對函數(shù)Hyux,y進行x方向進行埃爾米特插值有（）11