幾何圖形綜合題10道

題型四幾何圖形綜合題

類型一動態(tài)探究型1.如圖，BD是正方形ABCD的對角線,BC=2,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線BC運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度沿射線BC運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，過點(diǎn)Q作QELBD，交直線BD于點(diǎn)E,連接AP、AE、PE、QE,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(秒).(1)請直接寫出動點(diǎn)P運(yùn)動過程中，四邊形APQD是什么四邊形？(2)請判斷AE,PE之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；(3)設(shè)4EPB的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)請求出4EPQ的面積是4EDQ面積的2倍時(shí)t的值.第1題圖解：(1)四邊形APQD是平行四邊形；【解法提示】???四邊形ABCD是正方形，P、Q速度相同,「./ABE=/EBQ=45,AD//BQ,AD=BC=2,BP=CQ,BC=AD=PQ,「?四邊形APQD是平行四邊形；⑵AE=PE,AEXPE;證明如下：VQEXBD,??./PQE=90-45=45,/ABE=/EBQ=/PQE=45,BE=QE,在AAEB和APEQ中，‘AB=PQ2ABE="QE,、BE=QE/.AAEB^APEQ(SAS),??.AE=PE,/AEB=/PEQ,「./AEP=/BEQ=90,/.AE±PE;(3)如解圖①，過點(diǎn)E作EFLBC于點(diǎn)F,第1題解圖①;BC=2,CQ=t,BQ=t+2,;EF±BC,且/EBC=/EQB=45,TOC\o"1-5"\h\z_1t+2EF=BF=FQ，.=EF=1BQ=k^,22又???BP=QC=t,,y=1EFBP=1x^2X,222即y=1t2+1t;42(4)①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，如解圖②，作PMXQE于點(diǎn)M,第1第1題解圖②?.PQ=2,/BQE=45,PM=yPQ=2,BE=QE=yBQ=y(t+2),/.DE=BE-BD=^2(t+2)-22=yt-2,???△EPQ的面積是AEDQ面積的2倍,八1八1EQPM=21DEEQ,2?.1?.1程(t+2)/=2x；*t-2)q(t+2),解得：t=3或t=-2（舍去）,—t,②當(dāng)P在線段BC上時(shí)，解法同①，此時(shí)DE=BD-BE=V2-—t,???△EPQ的面積是4EDQ面積的2倍,_1_」EQPM=21DEEQ,2「?1X^2(t+2)m2=2X；(J2-^t)號(t+2),解得：t=1或t=-2(舍去),?.t=1;綜上所述，當(dāng)t=1或t=3時(shí),△EPQ的面積是z\EDQ面積的2倍.2.如圖，在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s;同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接PO并延長交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF//AC交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0<t<6),解答下歹U問題：⑴當(dāng)t為何值時(shí),AP=PO;(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2)，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；⑶當(dāng)t為何值時(shí),OD平分/COP?第2第2題圖cm,/ABC=90,解：（1）..在矩形ABCD中,AB=6cm,cm,/ABC=90,?.AC=10cm,AO=2AC=5cm,如解圖①，過點(diǎn)P作PMLAO于點(diǎn)M,A一PnE第2題解圖①E第2題解圖①當(dāng)AP=PO=t時(shí),AM=%O=5cm,??./PMA=/ADC=90，/PAM=ZCAD,/.AAPM^AACD,5APAML_1AC=AD,即而=8,25解得t=25,8一25即t=§s時(shí),AP=PO;1(2)如解圖②，過點(diǎn)O作OHLBC交BC于點(diǎn)H,則OH=]CD=TOC\o"1-5"\h\z1、c2AB=3cm.由矩形的性質(zhì)可知/PDO=/EBO,DO=BO,在ADOP和ABOE中，[/PDO=/EBOOD=OB,1/DOP=/BOE/.ADOP^ABOE(ASA),??.BE=PD=(8—t)cm,113則$4boe=2BEOH=2X8—t)>3=12—2t.FQ//AC,

??.△DFQsz\DOC，相似比為DQ=6,Sadfqt2Sadoc,Sadoc,36」.SDOC=4s矩形.t2t2」.SDOC=4s矩形.t2t2??SADFQ=12至6=3,?二S五邊形oecqf=Sadbc—Saboe-Sadfq1、…”ABCD—4>€><8=12=2>€X8—(12—%—寧1233t+]t+i2,??.S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=—3t2+|t+12;(3)如解圖③，過點(diǎn)D作DM，PE于點(diǎn)M，作DN^AC于點(diǎn)N,易證△ADNsMCD,nr

mA,nr

mA,

Dc

AA,24-5BEC第2題解圖③???/POD=/COD,24/.DM=DN=—5'oON=OM=a/0D2-DN2=5，c111.?spod=]opdm=2><2pddc,i?.OPDM=?PDDC,185??.PM=OP-OM=-8t,VPD2=PM2+DM2,即（8—D2=（18—8t）2+（24）2,解得ti=16（不合題意，舍去）,t2=/2,39-112一???當(dāng)t=1^s時(shí),OD平分/COP.393.如圖，已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s連接PQ,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）（0<t<4）.第3題圖(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ//BC;(2)設(shè)△AQP的面積為豈單位：cm2),當(dāng)t為何值時(shí),S取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由.解：(1)由題意知BP=2t,AP=10-2t,AQ=2t,「PQ//BC,?.△APQsMBC,.apaq.ab=ac目010—2t2t自/日20即10=萬，解得t=—,一，20即當(dāng)t為3s時(shí),PQ//BC;9(2)/AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,?.AB2=AC2+BC2,?.△ABC為直角三角形,.??/C=90,如解圖，過點(diǎn)P作PDXAC于點(diǎn)D,

第3題解圖貝UPD//BC,?.△APDsMBC,.APPD?=~~abbc,10—2tPD,106,?.PD=3(10—2t),5c1…f1c3“c、62?6,52rL.?S=2AQPD=2>2t>|(10—2t)=—gt2+6t=—5(t—2)2+7.5,6.「—士<0,拋物線開口向下，有最大值，且0<t<4,5??當(dāng)t=2.5s時(shí),S有最大值，最大值是7.5cm2;(3)不存在.理由如下：假設(shè)存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，則

S>AAQP=^SAABC,即一|t2+6t=2>2X8>6,整理得t2—5t+10=0,「b2-4ac=(—5)2—4Xl0=—15<0,??此方程無實(shí)數(shù)解，即不存在某時(shí)刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.4.如圖，在菱形ABCD中，/BAD=120°,邊長AB=6,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,線段AD上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PHLBC于點(diǎn)H,交直線CD于點(diǎn)Q,連接OQ,OP,設(shè)線段PD=m.(1)求線段PH的長度；⑵設(shè)4DPQ的面積為S,求S與m之間的關(guān)系式；⑶當(dāng)4DPQ的面積與4CQH的面積相等時(shí)，m的值是多少？解:⑴???四邊形ABCD是菱形,BC//AD,AB=AD=CD=6,??./BAD=120,??./ADC=60,??.△ACD是等邊三角形,如解圖，過點(diǎn)C作CGLAD于G,在RtACDG中,/CDG=60,CD=6,/.DG=3,CG=3.3,:BC//AD,PH±BC,CG±AD,「?四邊形CHPG是矩形，.二PH=CG=3M,第4題解圖⑵在RtAPDQ中,/PDQ=60,DP=m,PQ=?m,S=S>apdq=1DPPQ=1mx73m=-m2(0<m<6),222(3)??點(diǎn)Q在線段CD上,AD//BC,??.△CHQs^DPQ,當(dāng)4DPQ的面積與z\CQH的面積相等時(shí)，有4CHQ二△DPQ,??.CQ=DQ=1CD=3,2在RtAPQD中,/PDQ=60,DQ=3,??.DP=3,2即m=3Bt,ADPQ的面積與ACQH的面積相等.25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,OA=12,OC=8,現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā),P在線段OA上沿OA方向以每秒1.5個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A停止,Q在線段CO上沿CO方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)O停止,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.B點(diǎn)的坐標(biāo)為,OQ=,AP=;(用含t的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)t為何值時(shí),z\BCQ的面積不小于4BAP的面積？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，z\OPQ的面積與4BAP的面積的和為36?請求出t的值；連接AC,試探究此時(shí)線段PQ與AC之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.第5題圖備用圖解：(1)(12,8),8-t,12-1.5t;【解法提示】丁四邊形OABC是矩形，且OA=12,OC=8,???B(12,8)，由題意得：OP=1.5t,CQ=t,/.AP=12-1.5t,OQ=8-t.￡>△bcqAS^bap,.11.??一CQBCn-APAB,12tA8(12-1.5t),t>4,???點(diǎn)P在線段OA上沿OA方向以每秒1.5個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A停止，點(diǎn)Q在線段CO上沿CO方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)O停止，「?12+1.5=8,8+1=8,.?.當(dāng)4WtW8時(shí),4BCQ的面積不小于4BAP的面積;(3)由題息得：S^opq+S^bap=36,?.1OPOQ+1APAB=36,221._一、1一1X1.5tx(8-t)+；(12—15卜8=36,t=4或-4(舍),??當(dāng)t=4時(shí),z\OPQ的面積與4BAP的面積的和為36;此時(shí)AC=2PQ,理由如下：如解圖，第5題解圖當(dāng)t=4時(shí),OP=1.5t=6,CQ=4,??P和Q分別是OA和OC的中點(diǎn)，?.AC=2PQ.6.兩個(gè)全等的三角形,△ABC,z\DEF，按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)).其中，/C=/DEF=90,/ABC=/F=30,AC=DE=6cm.現(xiàn)固定△DEF,將△ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)4ABC平移的距離為x(cm),兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y(cm2).(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí),x=cm;⑵求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N.直接寫出在△ABC平移過程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.

第6題圖解：(1)15;【解法提示】如解圖①，作CGXAB于點(diǎn)G,CH±FE于點(diǎn)H,AGR⑴)E第6題解圖①AC—在RtAABC中，由AC=6,/ABC=30,得BC=^^^^^-^6>/3cm.在RtABCG中,BG=BCcos30=9cm.???四邊形CGEH是矩形,??.CH=GE=BG+BE=9+6=15cm.(2)①當(dāng)0Wx<6時(shí)，如解圖②,

第6題解圖②13由/GDB=60,/GBD=30,DB=x，得DG=2x,BG=^-x,重疊部分的面積y=1DGBG=1>2x><^3乂=聿/;②當(dāng)6<x<12時(shí)，如解圖③,adeb第adeb第6題解圖③TOC\o"1-5"\h\z1.J33,?BD=x,DG=9x,BG=9x,BE=x—6,EH=((x—6),22311重登部分的面積y=SAbdg-SAbeh=]DGBG—2BEEH,11313即y=2%xxyx-2(x-6)為"(x—6),

化簡得y=-24x2+2^/3x-6a/3；③當(dāng)12WxW15時(shí)，如解圖④,第6題解圖④第6題解圖④BAC=6,BC=6A/3,BD=x,BE=x-6,EG=^3（x-6）,3重疊部分的面積y=S：AABC-重疊部分的面積y=S：AABC-Sabeg1_=2AC1一BC—?BEeg,即y=1>6>6\[3-1（x-6）》（x—6）,223化簡得y=-化簡得y=-+2叔+12圾綜上所述,,呼x2(0寂<6)y=6—23x2+2淄x—6班(6^x<12);I—?x2+2班x+12^3(12.15(3)如解圖⑤所示，作NG^DE于點(diǎn)G,ADGEB第6題解圖⑤點(diǎn)M在NG上時(shí)MN最短，1NG是ADEF的中位線,NG=]EF=35,.MB=；CB=33,/B=30,_133??.MG=2MB=^,則MNmin=NG—MG=3g—呼=3^3.

7.如圖①,△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF,BD，CF成立.(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°<9<90°)時(shí)，如圖②,BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖③，延長BD交CF于點(diǎn)G.①求證：BDXCF;②當(dāng)AB=4,AD=42時(shí),求線段BG的長.第7題圖解：(1)BD=CF成立；證明：:△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形,

??.AB=AC,AD=AF,??/BAD=/CAF=&/.ftABAD和ACAF中，[AB=AC,B/BAD=/CAF,[AD=AF,/.ABAD^ACAF(SAS),?.BD=CF;(2)①證明：如解圖，設(shè)BG交AC于點(diǎn)M,由(1)可知△BAD^ACAF,?./ABM=/GCM,??/BMA=/CMG,「.△BMAs^CMG,「./BGC=/BAC=90,即BDXCF;②解：如解圖，過點(diǎn)F作FNLAC于點(diǎn)N,

第7題解圖第7題解圖R.?在正方形ADEF中,AD=DE=&,.,.AE=^AD2+DE2=2,??.AN=FN=；AE=1,;在等腰AABC中,AB=4,I「.CN=AC—AN=3,BC=^AB2+AC2=4隹在RtAFCN中,FN1tan/FCN=cn=3，1?.tan/ABM=tanZFCN=o?.AM=3B=[,??.CM=AC-AM=4-4=|,33BM=、AB2+AM2=4^,3易證△BMAs^CMG,,BMCM.24J0,，BA=CG,?CG=5，???在RtABGC中，bg=bc2-cg2=8-510.類型二類比探究型8.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作菱形ADEF(A、D、E、F按逆時(shí)針排列)，使/DAF=60°，連接CF.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF;②AC=CF+CD;(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD

CD之間存在的數(shù)量關(guān)系BDAF=ADAB=AC=BC,/BAC=60=/DAF即/BAD=/CAF在ABAD和CD之間存在的數(shù)量關(guān)系BDAF=ADAB=AC=BC,/BAC=60=/DAF即/BAD=/CAF在ABAD和ACAF中D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC△ABC是等邊三角形證明：???四邊形AFED為菱形AB=ACBAD=CAFAD=AF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；/.ABAD^ACAF(SAS),/.BD=CF,??.CF+CD=BD+CD=BC=AC;(2)解：不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF-CD.理由如下：由(1)知：AB=AC=BC,ZBAC=ZDAF=60,???/BAC+ZDAC=/DAF+ZDAC,即/BAD=/CAF,在ABAD和ACAF中，AB=AC2BAD=/CAF,,AD=AF/.ABAD^ACAF(SAS),/.BD=CF,??.CF-CD=BD-CD=BC=AC,即AC=CF-CD;(3)解：補(bǔ)全圖形如解圖，AC=CD-CF.E第8題解圖E第8題解圖T)C【解法提示】?「/BAC=/DAF=60,??./DAB=/CAF,在ABAD和4CAF中,AB=AC?/BAD=NCAF,AD=AF/.ABAD^ACAF(SAS),??.CD-CF=CD-BD=BC=AC,即AC=CD-CF.

9.如圖，已知/AOB=120°,在/AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E.(1)當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①),請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖②的位置，(1)中的結(jié)論是否成立？并說明理由；(3)當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時(shí),線段OD、OE與OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：(1)?「OM是/AOB的角平分線，1??./AOC=/BOC=1/AOB=60.2VCDXOA,??./ODC=90.「./OCD=30.「./OCE=/DCE-/OCD=30.在RtAOCD中,OD=1OC,2同理：OE=1OC.2??.OD+OE=OC;(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖①，過點(diǎn)C作CFLOA于F,CG±OBTG,第9題解圖①OFC=/OGC=90.???/AOB=120,/FCG=60.同(1)的方法得，OF=1OC,OG=1OC.22??.OF+OG=OC.;CF±OA,CG±OB,且點(diǎn)C是/AOB的平分線OM上一點(diǎn),?.CF=CG.??/DCE=60,/FCG=60,?./DCF=/ECG./.ACFD^ACGE(ASA),?.DF=EG.?.OF=OD-DF=OD-EG,OG=OE+EG.OF+OG=OD-EG+OE+EG=OD+OE.?.OD+OE=OC;(3)如解圖②，過點(diǎn)C作CF^OA于F。6，。8于6,第9題解圖②「./OFC=/OGC=90,??./AOB=120,?./FCG=60.同(1)的方法得，OF=1OC,OG=1OC,22?.OF+OG=OC.;CF±OA,CG±OB,且點(diǎn)C是/AOB的平分線OM上一點(diǎn),?.CF=CG.??/DCE=60,/FCG=60,?./DCF=/ECG./.ACFD^ACGE(ASA).?.DF=EG.?.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG.?.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD.?.OE-OD=OC.10.z\ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P在AABC所在平面內(nèi)，連接PA,PB,PC,PM，直線PC與直線AB交于點(diǎn)D.(1)若點(diǎn)P在4ABC內(nèi)，/BPC=120.①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在AM上時(shí),求證：/APD=/BPM;②如圖②，當(dāng)點(diǎn)P不在AM上時(shí),/APD=/BPM是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.(2)當(dāng)點(diǎn)P在4ABC外，且點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線BC異側(cè)時(shí)，若A圖①第10解：(1)①證明：.「△ABC是AB=AC,??點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，BM=CM,/.AMXBC,在4PMC和4PMB中，CM=BMyPMC="MB,[PM=PM/.APMC^APMB(SAS),A.tOh題圖等邊三角形,/BPC=60，/APD與/BPM有怎樣的數(shù)量關(guān)系??./MPC=/MPB=1/BPC=60,2??/MPC=/APD,「./APD=/BPM;②/APD=/BPM仍然成立,如解圖①涎長PM至K,使MK=PM，連接BK,延長PD至T,使PT=PB,連接TB、TA,（：T第10題解圖①由倍長中線法”可證,4MCP二z