物理論文：簡諧振動中的能量分析法

簡諧振動中的能量分析法物理二班劉少承PB04203210簡諧振動是最簡單的振動形式，我們可以用簡明而完備的公式表示它的運(yùn)動。如圖，物體系在彈性系數(shù)為k的彈簧一端；彈簧的另一段及在固定的物體上，選取x軸，以平衡位置o為原點(diǎn)，則振子的運(yùn)動方程為mx(2)=-kxI=2mr2/5(5)I=2mr2/5(5)例1圖：令ro2=k/m則解為x=Acos(rot+*) ooooo(1)其中A,*為待定常數(shù)，可由初始條件確定。這種運(yùn)動就是簡諧振動。(1)式為簡諧振動的方程，則t時刻振子的狀態(tài)量為x=Acos(rot+*)v=dx/dt=-Arosin((rot+*)則動能Ek=mv2/2=m(Arosin(rot+*))2/2=k(Asin(rot+*))2/2kt彈性勢能Ep=kx2/2=k(Acos(rot+*))2/2=k(Asin(rot+*))2/2總能量為E=E+E=kA2/2kp所以，簡諧振動中系統(tǒng)能量是守恒量。分析簡諧振動中物體的運(yùn)動狀態(tài)是，能量守恒常常是一種有效的方法。例1：質(zhì)量為m,半徑為r的均勻?qū)嵭那蝮w，可以在以半徑為R的球形碗底部作純滾動，求圓球在平衡位置附近微小振動的周期。分析：首先分析的是小球在碗底做運(yùn)動的性質(zhì)和受力情況。小球受到如圖的重力mg,碗底對球的彈力N,摩擦力f，f的作用使角速度減小，mg在切向的分量逐漸增大，回復(fù)力增大,?使小球最后達(dá)到最高點(diǎn)時質(zhì)心速度為零，同時角速度為零。解1：此題可用動力學(xué)方程來解。TOC\o"1-5"\h\z設(shè)小球離開平衡位置的距離為x,則x=(R-r)9 (2)小球作純滾動：\o"CurrentDocument"f=I卩 ⑶a=rp (4)小球受到的外力為f-mgsinO=ma(6)由O很小sinO二O (7)由(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，得ma=-5mgx/7(R-r)=-kxk=5mg/7(R-r)T=2兀vm/k=2兀％7(R-r)/5g解2：小球在運(yùn)動中能量守恒，此題可用能量法來解。由于小球作純滾動，摩擦力不做功，故機(jī)械能守恒。E=mv2/2+I?2/2+mg(R-r)(l-cosmg(R-r)(l-cosO))=常量小球的質(zhì)心速度v和轉(zhuǎn)動角速度?分別為cdOv=(R-r)cdtdtdO①=((R-r)/r)代入E的表達(dá)式得 dOE=m((R-r)d0)2+mr2( (R-r)/r)2+mg(R-r)(1-cosO)=常量dtdt0很小，cos0a1-02/2d0...E=7(R-r)2 0⑵/5+g(R-r)02=常量 (其中的代表二階導(dǎo)數(shù))對t求導(dǎo)，得7(R-r)2 0⑵/5+g(R-r)0 =0dt dt即0(2)+5g0/7(R-r)=0T=2兀/?=2兀/<7(R—r)/5g小結(jié):用能量法也可方便的接出簡諧振動的全過程。例2：在橫截面為s的U形管中有適量液體，總長度為L,質(zhì)量為m,密度為d,求液面上下起伏的振動頻率？分析：此題的液體是分散的，可用能量法來解決。如圖，選兩液面相平處的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，令平衡位置處的液體勢能為零。在t時刻，左邊液面為一升高為y,此時右邊液面為一降低為y,液體的勢能可以看成是把右邊的液體提升到左邊增加的勢能。這段液體的質(zhì)量為yds,提升為y,所以液體的勢能為dy2sg,因液體的體積不變，液體的動能為E=my(2)/2k由于液體振動過程無能量損失，有 my(2)/2+dy2sg=常量上是對t求導(dǎo)，得y(2)+2dsgy/m=0...液體作簡諧振動①=%2dsg/mT=2兀/①=2兀丫m/2dsgm=dL