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等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)1或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA每一項與它前一項的差
如果一個數(shù)列從第2項起,等于同一個常數(shù).......【說明】①數(shù)列{an}為等差數(shù)列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的,是一個常數(shù)。等差數(shù)列各項對應(yīng)的點都在同一條直線上.知識回顧an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA2一、判定題:下列數(shù)列是否是等差數(shù)列?①.9,7,5,3,……,-2n+11,……;②.-1,11,23,35,……,12n-13,……;③.1,2,1,2,………………;④.1,2,4,6,8,10,……;⑤.
a,a,a,a,……,a,……;√√√××:復(fù)習(xí)鞏固一、判定題:下列數(shù)列是否是等差數(shù)列?①.9,7,53
(1)等差數(shù)列8,5,2,…,的第5項是
AA
AAAAAAA
(2)等差數(shù)列-5,-9,-13,…的第n項是A
-4an=-5+(n-1).(-4)10【說明】
在等差數(shù)列{an}的通項公式中a1、d、an、n任知三個,可求出另外一個二、填空題:簡言之————“知三求四”(3)已知{an}為等差數(shù)列,a1=3,d=2,an=21,則n=(1)等差數(shù)列8,5,2,…,的第5項是AAAA4(1)數(shù)列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差數(shù)列的圖象1(1)數(shù)列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345675(2)數(shù)列:7,4,1,-2,…12345678910123456789100●●●●等差數(shù)列的圖象2(2)數(shù)列:7,4,1,-2,…123456789101236(1)數(shù)列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差數(shù)列的圖象3(1)數(shù)列:4,4,4,4,4,4,4,…1234567897例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p,q是常數(shù),且p≠0,那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎?如果是,其首項與公差是什么?分析:由等差數(shù)列的定義,要判定是不是等差數(shù)列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了解:取數(shù)列中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以是等差數(shù)列,且公差是p在通項公式中令n=1,得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q,公差是p,等差數(shù)列的性質(zhì)P382,3例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p,q是常數(shù),8在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項.如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a與b的等差中項.如:數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即:P37例5等差數(shù)列的性質(zhì)在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它9思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12,積是48,求這三個數(shù).設(shè)數(shù)技巧已知三個數(shù)成等差數(shù)列,且和已知時常利用對稱性設(shè)三數(shù)為:a-d,a,a+d四個數(shù)怎么設(shè)?思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12,積是48,求這三個數(shù)10P396,7P396,711在等差數(shù)列中,為公差,若且求證:證明:設(shè)首項為,則例2.等差數(shù)列的性質(zhì)P3911在等差數(shù)列中,為公差,若且求證:證明:設(shè)首項為,則例12am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有
相同數(shù)目的項,否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎?
【說明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=
a1+(n-1)dan=kn+b(k、b為常數(shù))am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命題的逆命題
是不一定成立的;等差數(shù)列的性質(zhì)P398,105.在等差數(shù)列{an}中a1+an
a2+an-1
a3+an-2
…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同13例2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20(2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.分析:由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15分析:a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②,解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,從而a14=_3或31例題分析例2.在等差數(shù)列{an}中(2)已知a3+a11=10,141.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,2a-5,-3a+2,則a等于()
A.-1B.1C.-2D.2B2.在數(shù)列{an}中a1=1,an=an+1+4,則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示:d=an+1—an=4-353.在等差數(shù)列{an}中(1)
若a59=70,a80=112,求a101;(2)
若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q
=0課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,2a-5,-315300<<5004.在等差數(shù)列{an}中,a1=83,a4=98,則這個數(shù)列有多少項在300到500之間?d=5,提示:an=78+5nn=45,46,…,84402.已知{an}為等差數(shù)列,若a10=20,d=-1,求a3
?1.若a12=23,a42=143,an=263,求n.3.三數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為12,首尾二數(shù)的積為12,求此三數(shù).d=4n=72a3=a10
+(3-10)da3=27設(shè)這三個數(shù)分別為a-da,a+d,則3a=12,a2-d2=126,4,2或2,4,6研究性問題300<<5004.在16練習(xí)
梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間
還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列,計算中間各級的寬.項數(shù)(上)123456789101112數(shù)列的項33110項數(shù)(下)121110987654321分析:解法一:用{an}題中的等差數(shù)列,由已知條件,有a1=33,a12=110,n=12又a12=a1+(12—1)d即110=33+11d所以d=7因此,a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答:梯子中間各級的寬從上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.練習(xí)梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中17am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有
相同數(shù)目的項,否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎?
【說明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=
a1+(n-1)dan=kn+b(k、b為常數(shù))am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命題的逆命題
是不一定成立的;等差數(shù)列的性質(zhì)5.在等差數(shù)列{an}中a1+an
a2+an-1
a3+an-2
…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同18①前100個自然數(shù)的和:1+2+3+…+100=
;
②前n個奇數(shù)的和:1+3+5+…+(2n-1)=
;③前n個偶數(shù)的和:2+4+6+…+2n=
.思考題:如何求下列和?n2n(n+1)①前100個自然數(shù)的和:1+2+3+…+100=19二、學(xué)習(xí)新課㈠等差數(shù)列前n項和Sn
=
=
.=an2+bna、b為常數(shù)Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)二、學(xué)習(xí)新課㈠等差數(shù)列前n項和Sn=20㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫
;②等差數(shù)列的前n項和公式類同于
;③{an}為等差數(shù)列
,這是一個關(guān)于
的
沒有
的“
”
倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項二次函數(shù)(注意a還可以是0)例1已知數(shù)列{an}中Sn=2n2+3n,求證:{an}是等差數(shù)列.㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫21等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,第n項為an,前n項和為Sn,請?zhí)顚懴卤恚喝⒄n堂練習(xí)a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,第n項為a22
例2
如圖,一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支.這個V形架上共放著多少支鉛筆?例2如圖,一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支23等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)24或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA每一項與它前一項的差
如果一個數(shù)列從第2項起,等于同一個常數(shù).......【說明】①數(shù)列{an}為等差數(shù)列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的,是一個常數(shù)。等差數(shù)列各項對應(yīng)的點都在同一條直線上.知識回顧an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA25一、判定題:下列數(shù)列是否是等差數(shù)列?①.9,7,5,3,……,-2n+11,……;②.-1,11,23,35,……,12n-13,……;③.1,2,1,2,………………;④.1,2,4,6,8,10,……;⑤.
a,a,a,a,……,a,……;√√√××:復(fù)習(xí)鞏固一、判定題:下列數(shù)列是否是等差數(shù)列?①.9,7,526
(1)等差數(shù)列8,5,2,…,的第5項是
AA
AAAAAAA
(2)等差數(shù)列-5,-9,-13,…的第n項是A
-4an=-5+(n-1).(-4)10【說明】
在等差數(shù)列{an}的通項公式中a1、d、an、n任知三個,可求出另外一個二、填空題:簡言之————“知三求四”(3)已知{an}為等差數(shù)列,a1=3,d=2,an=21,則n=(1)等差數(shù)列8,5,2,…,的第5項是AAAA27(1)數(shù)列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差數(shù)列的圖象1(1)數(shù)列:-2,0,2,4,6,8,10,…123456728(2)數(shù)列:7,4,1,-2,…12345678910123456789100●●●●等差數(shù)列的圖象2(2)數(shù)列:7,4,1,-2,…1234567891012329(1)數(shù)列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差數(shù)列的圖象3(1)數(shù)列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678930例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p,q是常數(shù),且p≠0,那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎?如果是,其首項與公差是什么?分析:由等差數(shù)列的定義,要判定是不是等差數(shù)列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了解:取數(shù)列中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以是等差數(shù)列,且公差是p在通項公式中令n=1,得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q,公差是p,等差數(shù)列的性質(zhì)P382,3例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p,q是常數(shù),31在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項.如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a與b的等差中項.如:數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即:P37例5等差數(shù)列的性質(zhì)在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它32思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12,積是48,求這三個數(shù).設(shè)數(shù)技巧已知三個數(shù)成等差數(shù)列,且和已知時常利用對稱性設(shè)三數(shù)為:a-d,a,a+d四個數(shù)怎么設(shè)?思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12,積是48,求這三個數(shù)33P396,7P396,734在等差數(shù)列中,為公差,若且求證:證明:設(shè)首項為,則例2.等差數(shù)列的性質(zhì)P3911在等差數(shù)列中,為公差,若且求證:證明:設(shè)首項為,則例35am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有
相同數(shù)目的項,否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎?
【說明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=
a1+(n-1)dan=kn+b(k、b為常數(shù))am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命題的逆命題
是不一定成立的;等差數(shù)列的性質(zhì)P398,105.在等差數(shù)列{an}中a1+an
a2+an-1
a3+an-2
…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同36例2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20(2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.分析:由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15分析:a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②,解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,從而a14=_3或31例題分析例2.在等差數(shù)列{an}中(2)已知a3+a11=10,371.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,2a-5,-3a+2,則a等于()
A.-1B.1C.-2D.2B2.在數(shù)列{an}中a1=1,an=an+1+4,則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示:d=an+1—an=4-353.在等差數(shù)列{an}中(1)
若a59=70,a80=112,求a101;(2)
若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q
=0課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,2a-5,-338300<<5004.在等差數(shù)列{an}中,a1=83,a4=98,則這個數(shù)列有多少項在300到500之間?d=5,提示:an=78+5nn=45,46,…,84402.已知{an}為等差數(shù)列,若a10=20,d=-1,求a3
?1.若a12=23,a42=143,an=263,求n.3.三數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為12,首尾二數(shù)的積為12,求此三數(shù).d=4n=72a3=a10
+(3-10)da3=27設(shè)這三個數(shù)分別為a-da,a+d,則3a=12,a2-d2=126,4,2或2,4,6研究性問題300<<5004.在39練習(xí)
梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間
還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列,計算中間各級的寬.項數(shù)(上)123456789101112數(shù)列的項33110項數(shù)(下)121110987654321分析:解法一:用{an}題中的等差數(shù)列,由已知條件,有a1=33,a12=110,n=12又a12=a1+(12—1)d即110=33+11d所以d=7因此,a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答:梯子中間各級的寬從上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.練習(xí)梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中40am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有
相同數(shù)目的項,否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎?
【說明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=
a1+(n-1)dan=kn+b(k、b為常數(shù))am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命題的逆命題
是不一定成立的;等差數(shù)列的性質(zhì)5.在等差數(shù)列{an}中a1+an
a2+an-1
a3+an-2
…===am+an=a
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