等差數(shù)列性質(zhì)課件1

等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)1或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA每一項與它前一項的差

如果一個數(shù)列從第2項起，等于同一個常數(shù).......【說明】①數(shù)列{an}為等差數(shù)列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的，是一個常數(shù)。等差數(shù)列各項對應(yīng)的點都在同一條直線上.知識回顧an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA2一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……；√√√××：復(fù)習(xí)鞏固一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？①.9，7，53

(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項是

AA

AAAAAAA

(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…的第n項是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【說明】

在等差數(shù)列{an}的通項公式中a1、d、an、n任知三個，可求出另外一個二、填空題：簡言之————“知三求四”(3)已知{an}為等差數(shù)列，a1=3，d=2，an=21，則n=(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項是AAAA4（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差數(shù)列的圖象1（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345675（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差數(shù)列的圖象2（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…123456789101236（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差數(shù)列的圖象3（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…1234567897例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎？如果是，其首項與公差是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是等差數(shù)列，且公差是p在通項公式中令n=1，得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q，公差是p,等差數(shù)列的性質(zhì)P382，3例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)，8在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項.如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a與b的等差中項.如:數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即：P37例5等差數(shù)列的性質(zhì)在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它9思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12，積是48，求這三個數(shù).設(shè)數(shù)技巧已知三個數(shù)成等差數(shù)列，且和已知時常利用對稱性設(shè)三數(shù)為：a-d,a,a+d四個數(shù)怎么設(shè)？思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12，積是48，求這三個數(shù)10P396，7P396，711在等差數(shù)列中，為公差，若且求證：證明：設(shè)首項為，則例2.等差數(shù)列的性質(zhì)P3911在等差數(shù)列中，為公差，若且求證：證明：設(shè)首項為，則例12am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有

相同數(shù)目的項，否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎？

【說明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命題的逆命題

是不一定成立的；等差數(shù)列的性質(zhì)P398，105.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同13例2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,從而a14=_3或31例題分析例2.在等差數(shù)列{an}中(2）已知a3+a11=10，141.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-3a+2，則a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在數(shù)列{an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差數(shù)列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-315300<<5004.在等差數(shù)列{an}中,a1=83，a4=98，則這個數(shù)列有多少項在300到500之間？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}為等差數(shù)列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積為12，求此三數(shù).d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27設(shè)這三個數(shù)分別為a-da，a+d，則3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性問題300<<5004.在16練習(xí)

梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間

還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬.項數(shù)（上）123456789101112數(shù)列的項33110項數(shù)（下）121110987654321分析：解法一:用{an}題中的等差數(shù)列，由已知條件，有a1=33，a12=110，n=12又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d所以d=7因此，a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答：梯子中間各級的寬從上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.練習(xí)梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中17am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有

相同數(shù)目的項，否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎？

【說明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命題的逆命題

是不一定成立的；等差數(shù)列的性質(zhì)5.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同18①前100個自然數(shù)的和：1+2+3+…+100=

；

②前n個奇數(shù)的和：1+3+5+…+(2n-1)=

；③前n個偶數(shù)的和：2+4+6+…+2n=

.思考題：如何求下列和？n2n(n+1)①前100個自然數(shù)的和：1+2+3+…+100=19二、學(xué)習(xí)新課㈠等差數(shù)列前n項和Sn

=

=

.=an2+bna、b為常數(shù)Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)二、學(xué)習(xí)新課㈠等差數(shù)列前n項和Sn=20㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫

；②等差數(shù)列的前n項和公式類同于

；③{an}為等差數(shù)列

，這是一個關(guān)于

的

沒有

的“

”

倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項二次函數(shù)（注意a還可以是0）例1已知數(shù)列{an}中Sn=2n2+3n，求證：{an}是等差數(shù)列.㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫21等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，第n項為an，前n項和為Sn，請?zhí)顚懴卤恚喝⒄n堂練習(xí)a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，第n項為a22

例2

如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？例2如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支23等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)24或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA每一項與它前一項的差

如果一個數(shù)列從第2項起，等于同一個常數(shù).......【說明】①數(shù)列{an}為等差數(shù)列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的，是一個常數(shù)。等差數(shù)列各項對應(yīng)的點都在同一條直線上.知識回顧an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差數(shù)列AAAAAAAAAAAAA25一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……；√√√××：復(fù)習(xí)鞏固一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？①.9，7，526

(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項是

AA

AAAAAAA

(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…的第n項是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【說明】

在等差數(shù)列{an}的通項公式中a1、d、an、n任知三個，可求出另外一個二、填空題：簡言之————“知三求四”(3)已知{an}為等差數(shù)列，a1=3，d=2，an=21，則n=(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項是AAAA27（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差數(shù)列的圖象1（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…123456728（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差數(shù)列的圖象2（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…1234567891012329（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差數(shù)列的圖象3（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678930例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎？如果是，其首項與公差是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是等差數(shù)列，且公差是p在通項公式中令n=1，得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q，公差是p,等差數(shù)列的性質(zhì)P382，3例1已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)，31在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項.如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a與b的等差中項.如:數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即：P37例5等差數(shù)列的性質(zhì)在一個數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它32思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12，積是48，求這三個數(shù).設(shè)數(shù)技巧已知三個數(shù)成等差數(shù)列，且和已知時常利用對稱性設(shè)三數(shù)為：a-d,a,a+d四個數(shù)怎么設(shè)？思考題:已知三個數(shù)成等差數(shù)列的和是12，積是48，求這三個數(shù)33P396，7P396，734在等差數(shù)列中，為公差，若且求證：證明：設(shè)首項為，則例2.等差數(shù)列的性質(zhì)P3911在等差數(shù)列中，為公差，若且求證：證明：設(shè)首項為，則例35am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有

相同數(shù)目的項，否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎？

【說明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命題的逆命題

是不一定成立的；等差數(shù)列的性質(zhì)P398，105.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有相同36例2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,從而a14=_3或31例題分析例2.在等差數(shù)列{an}中(2）已知a3+a11=10，371.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-3a+2，則a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在數(shù)列{an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差數(shù)列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-338300<<5004.在等差數(shù)列{an}中,a1=83，a4=98，則這個數(shù)列有多少項在300到500之間？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}為等差數(shù)列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積為12，求此三數(shù).d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27設(shè)這三個數(shù)分別為a-da，a+d，則3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性問題300<<5004.在39練習(xí)

梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間

還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬.項數(shù)（上）123456789101112數(shù)列的項33110項數(shù)（下）121110987654321分析：解法一:用{an}題中的等差數(shù)列，由已知條件，有a1=33，a12=110，n=12又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d所以d=7因此，a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答：梯子中間各級的寬從上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.練習(xí)梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中40am+an=ap+aq②上面的命題中的等式兩邊有

相同數(shù)目的項，否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎？

【說明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命題的逆命題

是不一定成立的；等差數(shù)列的性質(zhì)5.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=a