212熱輻射的基本定律

2.1.2 熱輻射的根本定律第七章光的量子性本章主要介紹歷史上在爭論黑體輻射，光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)時，怎樣打破經(jīng)典理論成見，漸漸生疏到光的波粒二象性，并闡述波粒二象性的含義。一、幾種不同形式的輻射

§7—1 熱輻射、基爾霍夫定律否則輻射就會引起物質(zhì)內(nèi)部的變化。在輻射過程中物質(zhì)內(nèi)部發(fā)生化學變化的，叫做化學發(fā)由場的作用引起的輻射叫場致發(fā)光。另一種輻射叫做熱輻射，這種輻射在量值方面和按波長分布方面都取決全輻射體的溫度。任何溫度的物體都發(fā)出確定的熱輻射。一物體500℃左右，暗紅色。隨溫度不斷上升，輝光漸漸亮起來，而且波長較短的輻射越來越多。1500℃變成光明的白熾光。同一物體在確定溫度下所輻射的能量，在不同光譜區(qū)域的分布是不均勻的，而且溫度越高，光譜中與能量最大的輻射相對應(yīng)的頻率也越高。在確定溫度下，不同物體所輻射的光譜成份有顯著的不同。二、輻射出射度和吸取比d范圍內(nèi)的輻射能量d與和T有關(guān)，而且d足夠小時，可認為與d成正比d,T

E dTE,T

是和TT時放射頻率為的單色輻射出射度〔單色輻出度四周的單位頻率間隔內(nèi)的輻射功率。它反映了在不同溫度下，輻射能量按頻率分布的狀況。單位為W/m2J/m2s從特體外表單位面積上所發(fā)出的各種頻率的總輻射功率，稱為物體的輻射出射度。用(T表示：0T)0 0

d

0

E d(T只是溫度的函數(shù)。E0

和(T同外表狀況有關(guān)。0另一方面，當輻射照耀到某一不透亮物體外表時，其中一局部能量將被物體散射或反射，另一局部能量則被物體所吸取用d 表示頻率在和d范圍內(nèi)照耀到溫度為,TT的物體的單位面積上的輻射能量；d,T

表示物體單位面積上所吸取的輻射能量，則A,T

d ,Td,T叫做該物體的吸取比。0A,T

1，吸取比同,T，和物體及外表狀況有關(guān)。三、基爾霍夫定律E

A

之間有著確定的聯(lián)系。將溫度不同的物體P，P，P放在一個密閉的抱負絕熱容器里，假設(shè)容器內(nèi)部是真空1 2 3的，則物體與容器之間及物體與物體之間只能通過輻射和吸取來交換能量，當單位時間內(nèi)輻射體發(fā)出的能量比吸取的較多時，它的溫度就下降，這時輻射就會減弱。相反輻射將增加。經(jīng)過一段時間，系統(tǒng)將建立熱平衡，此時各物體在單位時間內(nèi)發(fā)出的能量恰好等于吸取的能量。由此可見，在熱平衡的狀況下。由此可見，在熱平衡的狀況下，單色輻出度較E1859年，基爾霍夫指出：物體的的性質(zhì)無關(guān)，而只是頻率和溫度的普適函數(shù)。7-1§7—2 黑體輻射

A

f(,T與物體一、黑體T各種物體由于它們有不同的構(gòu)造，因而它對外來輻射的吸取，以及它本射對外的輻射都不一樣。但是有一類物體其外表不反射光，它們能夠在任何溫度下吸取射來的一切電磁輻射，這類物體就叫做約對黑體。處于熱平衡時，黑體具有最大的吸取比，因而它也就有最大的單色輻出度。TT設(shè)以,T

，,

表示確定黑體的單色輻出度和吸取比，由于,

1，則：TETA

,T

f(,T)普適函數(shù)就是確定黑體的單色輻出度。在空腔外表開一個小孔，小孔外表就可以模擬黑體外表。7-27-3二、斯忒藩——玻爾茲曼定律和維恩位移定律在實際測得黑體輻射譜后，建立其函數(shù)表達式的問題，在歷史上是逐步得到解決的。維恩依據(jù)熱力學原理證明，黑體輻射譜必有如下的函數(shù)形式 c5 c c c,T

T

,T

5

f T T

d d2其中f，f的函數(shù)形式尚不能完全確定，利用上式可得以下兩條定律〔1893年〕黑體的輻出度與確定溫度T的四次方成正比。即：(T)0 0

,T

dT45.67108W/m2

k4是一個普適常數(shù)〔1879年斯忒藩從試驗觀看到，1884年玻爾茲曼從理論上給出上式稱為斯忒藩—?！砊任何溫度下，,T

都有一極大值，令這極大值對應(yīng)的波長為 ，則M b b2.89103m.kmT這個規(guī)律稱為維恩位移定律。三、維恩公式和瑞利—金斯公式ff的函數(shù)形式進一步具體化的，歷史上在這個問題獲得最終的正確答案之前，有過以下兩個公式，它們對揭露經(jīng)典物理的沖突起了重大的作用。〔1〕1896年，維恩假設(shè)氣體分子輻射的頻率只是與其速度有關(guān)〔這一假設(shè)看來是沒有什么依據(jù)的，從而得到與麥克斯韋速度分布律形式很相像的公式。(,T)

a3c2

e/T

,T

c2 ce5 Te,為常數(shù)，上式稱為維恩公式?！?〕瑞利—金斯定律1900年瑞利與金斯試圖把能量均分定律應(yīng)用到電磁輻射能量密度按頻率頒的狀況中，他們假設(shè)空腔處于熱平衡時的輻射場將是一些駐波，依據(jù)能量均分定理，每一列駐波斯灣平均能量kT，與頻率無關(guān)，這樣可以算出

2c2

2kT 或

,T

2ckT4上式稱為瑞利—金斯公式。兩公式都符合普遍形式。同試驗數(shù)據(jù)比較，在短波區(qū)域維恩公式符合的很好，但在長波范圍則有雖不太大但卻是系統(tǒng)的偏離。瑞利公式與之相反，在長波局部符合的很好，但在短波波段偏離格外大，不僅如此：0,,T，從而T這明顯是荒唐的，瑞利之后，金斯作過各種努力，他覺察，只要堅持經(jīng)典的統(tǒng)計理論，這一荒唐結(jié)論就不行避開。歷史上被人們稱為紫外災(zāi)難?！?—3 普朗克公式和能量子假說正確的黑體輻射公式是普朗克給出的〔1900年〕 2 3

或

2c2 1,T c2 e/kT1

,T

5 ec/kT1R是玻爾茲曼常數(shù)，6.621034Js為一普適常數(shù)，稱為普朗克常數(shù)。普朗克公式也符合普遍形式。對于短波，kT e/kT1化為維恩公式對于長波，kT e/kT1/kT化為瑞—金公式在全部的波段里，普式和試驗符合的很好。普式的得來，起初是半徑驗的，即利用內(nèi)插法將適用于短波的維恩公式和適用于長波瑞利—金斯公式連接起來，在得到上述公式之后，普朗克才設(shè)法從理論上去論證它。為了推導簡潔，選擇由大量包含各種因有頻率的諧振子組成的系統(tǒng)。通過放射和吸收，諧振子與輻射場交換能量。認真計算輻射場與諧振子之間的能量交換，得黑體的色輻出度為

22c2

這里(,T)，是頻率為的諧振子在溫度為T的平衡態(tài)中能量的平均值。下在我們來計算 在熱平衡態(tài)中能量的幾率正比于e/k〔玻爾茲曼正則分布，,T依據(jù)經(jīng)典物理學的觀念，諧振子的能量0到∞間連續(xù)取值，從而e/kTd 0 kT(,T)

e/kT0得到的就是導致紫外災(zāi)難的瑞利—金斯公式。為了擺脫困難，普朗克提出如下一個非同尋常的假設(shè)，諧振子能量的值只取某個根本單元 的整數(shù)倍，即：00,,2,30 0 0這樣一來 n0

n en00

2ln

en

1

en0n0

2

0 kTn0利用等比級數(shù)的求和公式，可得， n 1

aaq0e0n0

1e0

1 n1q,T

0e0/kT102 0 ,T

c2 e0/kT1 要此式符合普遍形式，必需含 正比于，即 這里 0 0的比例系數(shù)。這樣 2 3

這便是普朗克公式。,T c2 e/kT1綜上所述，我們看到，為了推導與試驗相符的黑體輻射公式，人們不得不作這樣的假 設(shè)：頻率為的諧振子，其能量取值為 0 0設(shè)稱為普朗克能量子假設(shè)。從經(jīng)典物理學的眼光來看，這個假設(shè)是如此的不行思議，就連變朗克本人也感到難以信任。他曾想盡量縮小與經(jīng)典物理學之間的沖突，宣稱只假設(shè)諧振子的能量是量子化的，而不必認為輻射場本射也具有不連續(xù)性。但后來的很多事實迫使我們成認，輻射場也是量子化的。普朗克因說明光量子論而獲得1918年諾貝爾物理學獎金。§7—4 光電效應(yīng)本章將說明：頻率為的電磁波是能量為的光粒子體系，光不僅有波的性質(zhì)，而且有粒子的性質(zhì)。一、光電效應(yīng)及其試驗規(guī)律電子在光的作用下從金屬外表放射出來的現(xiàn)象，稱為光電效應(yīng)，逸出來的電子稱為光電子。光電效應(yīng)的規(guī)律如下：飽和電流Im的大小與入射光的強度成正比，即光電子數(shù)目同光強成正比。光電子的最大初動能與光的強度無關(guān)，只與入射光的頻率有關(guān)，大，光電子的能量大。入射光的頻率低于 ，不管光的強度如何，照耀時間多長，都沒有光電子輻射。0光的照耀和光電子的釋放幾乎是同時的，在測量精度范圍內(nèi)〔109s〕觀看不出兩者間存在滯后現(xiàn)象。二、光電效應(yīng)同波動理論的沖突〔1〕光愈強，電子接收的能量越多，釋放出去的電子〔2〕釋放電子主要取決于光強，應(yīng)當與頻率等沒有關(guān)系〔3〕關(guān)于光照的時間問題，光能量是均勻在它傳播的空間的，由于電子截面很小，積存足夠能量而釋放出來必需要經(jīng)過較長的時間〔幾十秒至幾分鐘。試驗事實同上面的結(jié)論完全相反?！?—5 受因斯坦的量子解釋一、愛因斯坦的光子假設(shè)及其光電方程1905年愛因斯坦推廣了普朗克關(guān)于能量子的概念，他指出：光在傳播過程中具有波動的特性，而在光和物質(zhì)相互作用過程中，光能量是集中在一些叫做光量子〔光子單個光子的能量與頻率成正比，即愛因斯坦認為一個光子的能量是傳遞給金屬中的單個電子的。電子吸取一個光子后，把能量的一局部用來擺脫金屬對它的束縛，余下的一局部就為成電子離開金屬外表后的動能，按能量守衡和轉(zhuǎn)換定律應(yīng)有1

m2W21上式稱為愛因斯坦光電效應(yīng)方程。2m2為光電子的功能，W為光電子逸出金屬外表所需的最小能量，稱為逸出功。二、對光電效應(yīng)的量子解釋〔1〕 解釋Im光強1 1〔2〕

按v

m2w 越大，m2越大。2 2〔3〕 無需積存能量的時間。光通量N三、光子的質(zhì)量和動量

I neNm依據(jù)相對論里質(zhì)能關(guān)系mc2一個光子的質(zhì)量：m2c2 c2m01m012c2m 00也不存在相對于光子靜的參照系。2p2c2m2c40pc pmc2

全都?！?—6 康普頓效應(yīng)由于倫琴射線的波長很短，所以即使通過不含雜質(zhì)的均勻物質(zhì)時，也可觀看到散射現(xiàn)象，1922年康普頓在爭論碳、石臘等物質(zhì)中的這種散射時，覺察散射譜線中除了波長和原其間有確定的關(guān)系。這種波長轉(zhuǎn)變的散射稱為康普頓效應(yīng)。7-4試驗原理如右圖，用銅的特征倫琴線0

0.7078A入射在石墨上，波長的轉(zhuǎn)變?yōu)?

2ksin22kk(2.42630890.00000401012m90o時波同和散射物質(zhì)都無關(guān)。0經(jīng)典的散射理論對康普頓效應(yīng)是難以解釋的。必需同量子概念來解釋。在輕原子里，電子和原子核的聯(lián)系相當弱，電離能約為幾個電子伏特，和倫琴射線光子的能量104~105ev比起來，幾乎可以略去不計。因此對全部的輕原子，都可以假定散射過程僅是光子和電子的相互作用。作為一級近擬，可以認為電子是自由的，而且在受到光子作用之前是靜止的。只要假定在作用過程中動量和能量都守衡，并引用經(jīng)典力學中粒子彈性碰〔散射子本射也因之削減了能量〔減低了頻率，增大了波長〕那么康普頓效應(yīng)就可得到解釋。2

7-52

22動量守衡(mv)2

cosc c c20能量守衡mc2mc20mc2 ()mc20m2c422222m2c4

c2() 0 0 m22c2

22cosm2c2(c22)m2c40

2m

c2()12c12c200 2m21c

m2 2 0m2c40

m2c2(c22)m2c40

m2c40

2(1cos)2m

c2()0(1cos)mc2()00(1cos)m

c cc c0

(1cos)0 mc02

sin2mc 20

2 sin2mc 20 0.024265

和觀看結(jié)果相等。mc0這種理論計算和試驗結(jié)果的符合，說明白能量守衡和動量守衡兩個定律在微觀現(xiàn)象中嚴格地適用，大量的其它試驗也都證明白這個結(jié)論 mc0相應(yīng)的光子的波長。mc20mc0對試驗來說有重要意義的是相對此值那么就很小，例如：10cm 1011

，假設(shè)入射光是可見光，微波或無線電波，這種變化難以觀看，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果全都。射線：~1A 102和在一個數(shù)量級。假設(shè)電子被原子嚴密地束縛或者入射光子能量很小，碰撞后整個原子發(fā)生反沖，而不是個別電子的反沖，則 里的m

應(yīng)代之以M

m〔對于碳M

2200m

，康普mc 0

0＞＞0 0 0頓位移就格外小，所以波長的變化可以略去不計。于是在康普頓散射中，有些光子是和所謂的“自由電子”碰撞的，這些光子的波長是變化的。另一些光子是同嚴密束縛的電子及原子核碰撞的，這些光子的波長不變。一個溫度在〔或外表可以在電磁波譜的全部波長上四周放射能量。面〔包括水面體輻射的根本定律。基爾霍夫定律I沿光束路徑s的變化可以表示為1dI j ds

kI

〔2.1〕ds是光束方向上的長度元量；是介質(zhì)的密度。但是在熱力學平衡的條件下，dI/ds=0，由此得到j(luò)Ik j

(T) 〔2.2〕這就是著名的基爾霍夫定律〔Kirchhoff〕定律。它說明，在熱力學平衡條件下，介質(zhì)的〔質(zhì)量〕j與〔質(zhì)量〕吸取系數(shù)k之比，與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)，只是溫度T和波長 J A

代替源函數(shù)系數(shù)j

與吸取系數(shù)k，即J IA J

(T) 〔2.3〕Kirchhoff定律說明，假設(shè)介質(zhì)吸取某一特定波長的輻射，它必將同時放射一樣波長輻J

AI

，即放射強度等于吸取強度。又由于J

為放射率，所以發(fā)射率等于吸取率。對于一個確定黑體來說，J

I ，因此J /I

A 1，而且適用于全部波長；對于灰體來說，J /I

A 1?？梢杂苫鶢柣舴蚨傻玫揭韵峦普揋oodyandYun，198：②介質(zhì)的放射強度J 〔或稱源函數(shù)〕等于輻射強度I J I ③c”2I在腔體內(nèi)的全部介質(zhì)中都相等，其中c”2是有關(guān)介質(zhì)中的光速；c”2I

必定只是溫度T的一個普適函數(shù)，寫作c2B

〔留意，波長c/c是真空中的光速。嚴格熱力學平衡存在的一個進一步的推論是，B

必需具有下述形式( ) 〔2.4〕( ) 〔2.4〕B F c2 式中，F(xiàn)是一個未知函數(shù)，讀者可以在標準的熱力學教科書中找到這種陳述的證明。普朗克公式結(jié)合公式2.〕以及推論2.IB，而最終是函數(shù)F，它表示黑體輻射強度的光譜分布。因此，確定函數(shù)F的形式成為1920年里，大量科學家投身于這一問題的爭論，并極大地促進了量子理論的進展。最終，德國科學家普朗克〔Planck〕獲得成功，他用一個能量不連續(xù)的諧振子假設(shè)，依據(jù)玻爾茲曼的統(tǒng)計方法，得到以下表達式2h3

c2(eh/kT

1)

〔2.5〕式中，hh6.6261761027ergs；k是玻爾茲曼〔Boltzmann〕常數(shù)，k1.3806621016erg/deg；cc2.9979245801010cm/s。普朗克公式是描述黑體能量輻射的能量是怎樣隨頻率及溫度T而變化的定量關(guān)系的公式。由于頻率與波長具有關(guān)系式：c/I

dI

和d c2

d，所以，如黑體溫度T以確定溫標K為單位，則波長B(T)〔以W/(m2m)為單位〕也可以寫作

2hc25(ehc/kT

〔2.6〕由于歷史的緣由，也常常承受如下定義，C 1及

3.741832108(W/m2)m4，C hc/k1.438786104mK1式中，C、C 分別稱為第一輻射常數(shù)和其次輻射常數(shù)。于是，普朗克公式又可寫為1 2 c

1 C 5(eC2/T1)C

〔2.7〕〔長波方向和短波方向四周的行為是完全不同的。在長波方向，當0時，由式2.〕和2.6，可得2h3B c22h2B 5

eh/kTehc/kT這就是維恩〔Wien〕分布。普朗克正是在總結(jié)了這兩種極端狀況下的結(jié)果后，提出其黑體輻射公式的。斯特藩-玻爾茲曼定律〔2.6〕0到T的黑體輻射的總能量B(T)B(T)

T)d2hc25d 〔2.〕令2xC2

0 T hcT

0 ehc/kT1則CT4 x3) 1

dx 〔2.9〕假設(shè)留意到

C42

0ex1x30ex1

dx415則最終可得式中，

4CB(T) 1T4T4 〔2.10〕15C423C 15.67032108W/(m2K4)15C42稱為斯特藩-玻爾茲曼〔Stefan-Boltzmann〕常數(shù)。斯特藩-玻爾茲曼定律說明，一個確定黑體的總輻射通量密度與黑體溫度的4次方成正定義成輻射強度，也可以被定義成輻射通量，二者相差一個因子BI。其中，B是通量，而I則是強度。因此，斯特藩-玻爾茲曼定律也有可能被寫作(T)T4

〔2.11〕維恩位移定律在普朗克公式〔2.7〕中，令C2xT2并取其對波長的微分，得C[5(ex1)xex]假設(shè)令B(T)0，即

1 6(ex1)2

〔2.12〕5(ex1)xex則可求得普朗克函數(shù)B(T)的轉(zhuǎn)折點在Cx 2 4.9651 Tm式中， 是黑體最大輻射強度所對應(yīng)的波長。如記ma m T則a0.28978cmK 〔2.13a〕或K 〔2.13b〕m這就是維恩〔Wien〕位移定律。它說明，黑體最大輻射強度的波長與溫度T成反比。假設(shè)用輻射頻率 表示，則有mTc K 〔2.14〕m在日地平均距離上，積分的太陽輻射通量密度大致相當于一個6000K的黑體，所以其峰值輻0.5m左右；另一方面，地球外表可以近似看成是一個溫度300K10m。普朗克常數(shù)的兩種形式〔2.5〕和〔2.6〕2.2中。圖中坐標B

的曲線說明了大氣計算中一個格外重要的實際問題。6000K5m的波長上只具有其0.4%255K5m0.4%。因此，對大局部實際應(yīng)用來說，可以獨立地處理太陽和地球輻射流束〔亦見圖。圖2.2 普朗克函數(shù)〔GoodyandYu