人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七章《勾股定理》課件

17.1勾股定理（第1課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.1勾股定理（第1課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)家曾建議用這個(gè)圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).導(dǎo)入新知你知道這是為什么嗎？數(shù)學(xué)家曾建議用這個(gè)圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).導(dǎo)入新知你知1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理.

2.能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.素養(yǎng)目標(biāo)3.通過(guò)用多種方法證明勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？探究新知知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的認(rèn)識(shí)與證明相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友ABC2.由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長(zhǎng)度之間有怎樣的特殊關(guān)系？

【思考】1.三個(gè)正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SC探究新知ABC（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）A中含有____個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積．B的面積是

個(gè)單位面積．C的面積是

個(gè)單位面積．99189ABC圖1結(jié)論：圖1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系是:SA+SB=SC

【討論】1.三個(gè)正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？探究新知（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）A中含有____個(gè)小方格，即【討論】2.SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2結(jié)論：仍然成立.A的面積是

個(gè)單位面積．B的面積是

個(gè)單位面積．C的面積是

個(gè)單位面積．25169（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）探究新知你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流．【討論】2.SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2ABC問(wèn)題2

式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來(lái)表示嗎?問(wèn)題4

那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是:abc

至此，我們?cè)诰W(wǎng)格中驗(yàn)證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SC.a2+b2=c2a2

+b2=c2問(wèn)題1

去掉網(wǎng)格結(jié)論會(huì)改變嗎？問(wèn)題3去掉正方形結(jié)論會(huì)改變嗎？探究新知ABC問(wèn)題2式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.abc猜想：拼圖證明

是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實(shí)驗(yàn)和猜想還不能把問(wèn)題徹底搞清楚.這就需要我們對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行證明．下面我們就一起來(lái)探究，看一看我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的．探究新知命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c，

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個(gè)正方形，把兩個(gè)正方形如圖1連在一起，通過(guò)剪、拼把它拼成圖2的樣子.你能做到嗎？試試看.趙爽拼圖證明法：c圖1黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)圖2c小組活動(dòng)：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個(gè)連體正方形，拼成一個(gè)新的正方形.

探究新知以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個(gè)正方形，把兩黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)b

a〓

MNP剪、拼過(guò)程展示：探究新知黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)ba〓MNP剪、拼過(guò)程展示：探究“趙爽弦圖”黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)cab探究新知∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，證明：“趙爽弦圖”黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)cab探究新知∵S大正方形＝

畢達(dá)哥拉斯證法：請(qǐng)先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.探究新知畢達(dá)哥拉斯證法：請(qǐng)先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2

=c2+2ab，探究新知aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，aabbcc∴a2+b2=c2.美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.證明：探究新知∵,,aabbcc∴a2+b2=c2.美國(guó)第二十任勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc勾股弦abc表示為：Rt△ABC中，∠C=90°,

則.探究新知ABC勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,ABC

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.cbaa2

+b2=c2a2=c2－b2b2=c2-a2探究新知公式變形ABC勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144鞏固練習(xí)求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A2

例1

如圖，在Rt△ABC中，

∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得CAB利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)素養(yǎng)考點(diǎn)1cba探究新知例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；

（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2,

c=13;解：由勾股定理得62+b2=102,

b=8;解：由勾股定理得a2+152=252,

a=20.acb鞏固練習(xí)abc設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.解：由（1）若a：b=1：2

，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

例2

在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得提示：已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.探究新知勾股定理和方程相結(jié)合求直角三角形的邊長(zhǎng)素養(yǎng)考點(diǎn)2（舍去）（舍去）（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度：68x5x13解：（1）由勾股定理得：

=36+64

=100x2=62+82x=10;

∵x2+52=132∴x2=132-52

=169-25

=144x=12.（2）由勾股定理得：鞏固練習(xí)求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度：68x5x13解：（1）由1.在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（

）A．5

B．6

C．7

D．8A2.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A． B．3

C．D．5B連接中考E1.在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A2.1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為9和12，則斜邊的長(zhǎng)為（）

A.13B.17C.15D.182.若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為17，一條直角邊長(zhǎng)為15，則另一直角邊長(zhǎng)為（）

A.8

B.40

C.50

D.363.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，則a=_____，b=______.CA6080課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為9和12，則斜邊的長(zhǎng)ABCD7cm4．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)__________cm2

．49課堂檢測(cè)ABCD7cm4．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類(lèi)討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖提示：當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類(lèi)討論，否則容易丟解.課堂檢測(cè)能力提升題在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個(gè)角是直角已知兩邊沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊時(shí)一定要分類(lèi)討論課堂小結(jié)證明勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b為直角邊17.1勾股定理（第2課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.1勾股定理（第2課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.導(dǎo)入新知波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.亭亭多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊.離開(kāi)原處6尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮.請(qǐng)君動(dòng)腦想一想，湖水在此深幾尺？這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.導(dǎo)292.能應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.能應(yīng)用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長(zhǎng).素養(yǎng)目標(biāo)3.從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造直角三角形解決生產(chǎn)、生活中的有關(guān)問(wèn)題.2.能應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.能應(yīng)用勾股定理

一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？為什么？

已知條件有哪些？探究新知知識(shí)點(diǎn)1

勾股定理解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的長(zhǎng)方【思考】1.木板能橫著或豎著從門(mén)框通過(guò)嗎？2.這個(gè)門(mén)框能通過(guò)的最大長(zhǎng)度是多少？不能.3.怎樣判定這塊木板能否通過(guò)木框？求出斜邊的長(zhǎng)，與木板的寬比較.探究新知小于AC即可.【思考】1.木板能橫著或豎著從門(mén)框通過(guò)嗎？2.這個(gè)門(mén)框能通過(guò)解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，

AC2=AB2+BC2=12+22=5．

AC=≈2.24．因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)．探究新知解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，探究新知如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.解:鞏固練習(xí)≈57(m).如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上34

如圖，一架2.6米長(zhǎng)的梯子AB

斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？知識(shí)點(diǎn)2

勾股定理解決線段移動(dòng)問(wèn)題探究新知如圖，一架2.6米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，CODBA（2）在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.探究新知答：梯子的底端B距墻角O為1米.答：梯子底端B也外移約0.77米.CODBA（2）在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，解：（1）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長(zhǎng)各幾何？請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題.譯：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？ABC鞏固練習(xí)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，原文是：今有方池一ABC解：設(shè)AB=x,則AC=x+1，有AB2+BC2=AC2，可列方程，得x2+52=（x＋1）2

，解方程得x=12.

因此x+1=13鞏固練習(xí)答：這個(gè)水池的深度是12尺，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13尺.ABC解：設(shè)AB=x,則AC=x+1，鞏固練習(xí)答：C1.如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（

）A． B．C． D．解析：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=1.5π，所以AC=

，故選：C．連接中考C1.如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一52.無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有_____cm．解析：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度最長(zhǎng)為：＝15，則筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度最少為：20﹣15＝5（cm）．連接中考52.無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)1.求出下列直角三角形中未知的邊.AC=8AB=17課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題ABC610ABC815ABC230°ABC245°1.求出下列直角三角形中未知的邊.AC=8AB=17課堂檢測(cè)412.直角三角形中，以直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形面積為7和8，則以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為

.15課堂檢測(cè)3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5，0)和B(0，4)，求這兩點(diǎn)間的距離.解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4,∴A、B兩點(diǎn)間的距離為.∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41,

∴AB=.2.直角三角形中，以直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形面積為7和8，1424.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.木桿折斷之前有多高？

解：由題意可知，在Rt△RPQ中，

∵PR=3，PQ=4，

∴RQ2＝PR2+PQ2＝32+42＝25,

∴RQ＝5，PR+RQ＝3+5＝8.∴木桿折斷之前有8米高.課堂檢測(cè)RPQ4.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.5.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=x

km，根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2,

BC2+BE2=CE2.又∵

DE=CE,∴AD2+AE2=BC2+BE2.即

152+x2=102+（25-x）2答：E站應(yīng)建在離A站10km處.∴

x=10.則

BE=（25-x）km,1510課堂檢測(cè)5.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥44在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為()A.32 B.42 C.32或42 D.以上都不對(duì)C解析：如圖①，CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，AB=AD+BD=9+5=14，此時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=14+13+15=42，如圖②，CD在△ABC外部時(shí)，AB=AD-BD=9-5=4，此時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=4+13+15=32.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為32或42.故選C.課堂檢測(cè)能力提升題在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=145化非直角三角形為直角三角形將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型課堂小結(jié)勾股定理的應(yīng)用化非直角三角形為直角三角形將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型課堂4617.1勾股定理（第3課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.1勾股定理（第3課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)欣賞下面海螺的圖片：在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽.導(dǎo)入新知這個(gè)圖是怎樣繪制出來(lái)的呢？欣賞下面海螺的圖片：在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案482.能利用勾股定理在數(shù)軸上作出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).1.會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)形結(jié)合的思想.素養(yǎng)目標(biāo)3.靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，并會(huì)運(yùn)用勾股定理解決相應(yīng)的折疊問(wèn)題.2.能利用勾股定理在數(shù)軸上作出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).1.會(huì)用勾

在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過(guò)畫(huà)圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？知識(shí)點(diǎn)1探究新知

證明“HL”已知：如圖，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′

．求證：△ABC≌△A′B′C′

．A

B

C

ABC′

′′在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過(guò)畫(huà)圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角′′′′′′證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

根據(jù)勾股定理，得ABCABC′

′′

∵AB=A′B′,

AC=A′C′

,∴

BC=B′C′

．∴

△ABC≌

△A′B′C′

（SSS）．探究新知′′′′′′證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中-101

23問(wèn)題1

你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎？呢？用同樣的方法作呢？探究新知知識(shí)點(diǎn)2

利用勾股定理在數(shù)軸上確定無(wú)理數(shù)提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫(huà)出表示該無(wú)理數(shù)的點(diǎn).-101【討論】根據(jù)上面問(wèn)題你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)嗎？√√問(wèn)題2

長(zhǎng)為的線段是直角邊的長(zhǎng)都為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？探究新知【討論】根據(jù)上面問(wèn)題你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)嗎？√01234步驟：lABC1.在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=3;2.作直線l⊥OA,在l上取一點(diǎn)B，使AB=2;3.以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).O探究新知也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點(diǎn).01234步驟：lABC1.在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=3;2探究新知方法點(diǎn)撥利用勾股定理表示無(wú)理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無(wú)理數(shù)斜邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無(wú)理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無(wú)理數(shù).探究新知方法點(diǎn)撥利用勾股定理表示無(wú)理數(shù)的方法:（1）利用勾5501234lABC探究新知利用勾股定理在數(shù)軸上確定無(wú)理數(shù)的點(diǎn)素養(yǎng)考點(diǎn)1例

在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn).作法：（1）在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA=1；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線垂直于OA，在直線上取點(diǎn)B,

使AB=4，那么OB=；（3）以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作

弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則OC=.

如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)C為表示

的點(diǎn).

01234lABC探究新知利用勾股定理在數(shù)軸上確定無(wú)理數(shù)的點(diǎn)如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為（）CD鞏固練習(xí)如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）如圖，在矩形ABCD中，A

在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中以A出發(fā)分別畫(huà)出長(zhǎng)度為的線段AB．BBB探究新知知識(shí)點(diǎn)3

利用勾股定理在網(wǎng)格上做長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段A.A.A.在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)A【想一想】如圖為4×4的正方形網(wǎng)格,以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn),你能畫(huà)出幾條邊長(zhǎng)為的線段?探究新知小結(jié)：勾股定理與網(wǎng)格的綜合求線段長(zhǎng)時(shí)，通常是把線段放在與網(wǎng)格構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理求其長(zhǎng)度.A【想一想】如圖為4×4的正方形網(wǎng)格,以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn),你

例

如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的田字格，只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)田字格中最多可以作出多少條長(zhǎng)度為的線段？解：如圖所示，有8條.素養(yǎng)考點(diǎn)1利用勾股定理在網(wǎng)格上作線段探究新知一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)地找，不要漏解.例如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的田字格，只用沒(méi)有刻

如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，畫(huà)出一個(gè)三角形的長(zhǎng)分別為

.ABC解：如圖所示.鞏固練習(xí)如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，畫(huà)出A′B′如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，且B′C＝3，求AM的長(zhǎng).解：連接BM，MB′.設(shè)AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.∵M(jìn)B＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2.即AM＝2.知識(shí)點(diǎn)4

利用勾股定理在折疊問(wèn)題中求線段的長(zhǎng)度探究新知A′B′如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，探究新知方法點(diǎn)撥折疊問(wèn)題中結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)的方法:(1)設(shè)一條未知線段的長(zhǎng)為x(一般設(shè)所求線段的長(zhǎng)為x)；(2)用已知線段或含x的代數(shù)式表示出其他線段長(zhǎng)；(3)在一個(gè)直角三角形中應(yīng)用勾股定理列出一個(gè)關(guān)于x的方程；(4)解這個(gè)方程，從而求出所求線段長(zhǎng).探究新知方法點(diǎn)撥折疊問(wèn)題中結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)的方

如圖，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的F點(diǎn)處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長(zhǎng).DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4cm.設(shè)EC=xcm，則EF=DE=(8－x)cm

，在Rt△ECF中,根據(jù)勾股定理得x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的長(zhǎng)為3cm.鞏固練習(xí)如圖，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的F如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為_(kāi)________．(-1，0)連接中考如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以點(diǎn)A1.小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個(gè)無(wú)理數(shù)后，于是在數(shù)軸上的2個(gè)單位長(zhǎng)度的位置找一個(gè)點(diǎn)D，然后點(diǎn)D做一條垂直于數(shù)軸的線段CD，CD為3個(gè)單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)為圓心，以到點(diǎn)C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于一點(diǎn)，則該點(diǎn)位置大致在數(shù)軸上（）A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間B課堂檢測(cè)D基礎(chǔ)鞏固題1.小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個(gè)無(wú)理數(shù)后，于是在數(shù)軸上2.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則AB邊上的高為_(kāi)______.課堂檢測(cè)2.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在課堂檢測(cè)3.如圖，OP＝1，過(guò)P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝

；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝

；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012＝______.課堂檢測(cè)3.如圖，OP＝1，過(guò)P作PP1⊥OP且PP1＝1，4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，求重疊部分△AFC的面積.解：易證△AFD′≌△CFB(AAS)，∴D′F=BF，設(shè)D′F=x，則AF=8-x，在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,(8-x)2=x2+42，

∴S△AFC=AF?BC=10．課堂檢測(cè)∴AF=AB-FB=8-3=5，解得x=3.4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC

5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，求a的值.解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長(zhǎng)為，即-1到A的距離是，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為.提示：求點(diǎn)表示的數(shù)時(shí)注意畫(huà)弧的起點(diǎn)不從原點(diǎn)起，因而所表示的數(shù)不是斜邊長(zhǎng).課堂檢測(cè)5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，求a的值.解：∵圖中的在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為,求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．解：能力提升題課堂檢測(cè)在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為利用勾股定理作圖或計(jì)算在數(shù)軸上表示出無(wú)理數(shù)的點(diǎn)利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問(wèn)題利用勾股定理解決折疊問(wèn)題及其他圖形的計(jì)算通常與網(wǎng)格求線段長(zhǎng)或面積結(jié)合起來(lái)通常用到方程思想課堂小結(jié)利用勾股定理作圖或計(jì)算在數(shù)軸上表示出無(wú)理數(shù)的點(diǎn)利用勾股定理解17.2勾股定理的逆定理（第1課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.2勾股定理的逆定理人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.導(dǎo)入新知按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、互逆定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).

2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形.素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、互逆定理的概念

據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用如圖所示的方法畫(huà)直角.這種方法對(duì)嗎？探究新知知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的逆定理?yè)?jù)說(shuō)，古埃及人曾用如圖所示的方法畫(huà)直角.這種方法對(duì)嗎？345三邊分別為3，4，5，滿足關(guān)系：32+42=52，則該三角形是直角三角形．探究新知345三邊分別為3，4，5，探究新知問(wèn)題1

用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是做一做：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫(huà)出三角形(單位：cm).①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17．探究新知問(wèn)題1用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是做一做：下列下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;

②7,24,25;

③8,15,17.問(wèn)題2

這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問(wèn)題3

古埃及人用來(lái)畫(huà)直角的三邊滿足這個(gè)等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2探究新知下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c問(wèn)題4

據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.探究新知我覺(jué)得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果可能有誤差.我也覺(jué)得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問(wèn)題4據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：探究已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且

.ABbcab證明：作?A1B1C1,

在△ABC和△A1B1C

1中，

Ca求證：∠C=90°.使∠C1=90°,根據(jù)勾股定理，則有∠C=∠

C1

=90°.探究新知BAB1C1=a，C1A1=b.A1B12=B1C12+C1A12=a2+b2.∵a2+b2=c2,∴A1B1=c，∴AB=A1B1.≌∴?ABC

?A1B1C1.A1C1B1AB=A1B1.CA=C1A1,BC=B1C1,已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，AB符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中，若a2

+b2=c2則△ABC是直角三角形.探究新知

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：bcCaBA符號(hào)語(yǔ)言：探究新知如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足探究新知方法點(diǎn)撥勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角.探究新知方法點(diǎn)撥勾股定理的逆定理是直角三角形的判定例1

下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個(gè)角是直角？(1)

a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，總結(jié)：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.例1下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是DCDC鞏固練習(xí)下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是()A.1,2,3

B.2,3,4 C.4,5,6

D.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三個(gè)內(nèi)角比為1：2：1

B.三邊之比為1：2：

C.三邊之比為

D.三個(gè)內(nèi)角比為1：2：3DCDC鞏固練習(xí)下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是(例2若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=

，試說(shuō)明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2勾股定理的逆定理和乘法公式判斷三角形例2若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1若△ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.

試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴

a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.

即

(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，

即

a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.鞏固練習(xí)若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2+50=6探究新知知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常見(jiàn)勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).探究新知知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c

下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是

(

)

A.3，4，6

B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D

鞏固練習(xí)方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.命題2

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.看下面的兩個(gè)命題：探究新知知識(shí)點(diǎn)3互逆命題和互逆定理你發(fā)現(xiàn)了什么？命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論

它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題.發(fā)現(xiàn)1

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論如下所示：發(fā)現(xiàn)2

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論有如下聯(lián)系：探究新知命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b歸納總結(jié)：一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，我們稱這兩個(gè)定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題，叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題.探究新知?dú)w納總結(jié)：一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不說(shuō)出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．真命題．（2）對(duì)頂角相等；

逆命題：相等的角是對(duì)頂角．假命題．（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．真命題．

任何一個(gè)命題都有逆命題；原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題．鞏固練習(xí)說(shuō)出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？任已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形B連接中考已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.3，4，7

B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形

B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形

D.不可能是直角三角形BA課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()2.將直角三3.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假性.(1)如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等.(2)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(3)如果，那么a≥0.解：(1)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角.假命題.(2)在角的內(nèi)部，角的平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等.真命題.(3)如果a≥0，那么

.真命題.課堂檢測(cè)3.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假性.解：(1)4.若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.課堂檢測(cè)4.若△ABC的三邊a,b,c滿足a:b:c=3:4:5A,B,C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？解：∵AB2+BC2＝122+52

=144+25=169，

AC2=132=169，∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正東方向，所以C地在B地的正北方向.課堂檢測(cè)能力提升題A,B,C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C勾股定理的逆定理內(nèi)容作用從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個(gè)三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意最長(zhǎng)邊不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股數(shù)一定是正整數(shù)課堂小結(jié)勾股數(shù)互逆命題和互逆定理勾股定理內(nèi)容作用從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個(gè)三角形是否是直角形三角17.2勾股定理的逆定理（第2課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.2勾股定理的逆定理人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都有一定的規(guī)格要求，如圖所示：該模板中的AB、BC

相交成直角才符合規(guī)定.你能測(cè)出這個(gè)零件是否合格呢？(身邊只有刻度尺)ABC導(dǎo)入新知工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都有一定的規(guī)格要求，如圖所示：該模板中在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會(huì)被用到，這節(jié)課讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)吧！導(dǎo)入新知在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一1022.進(jìn)一步加深對(duì)勾股定理與其逆定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).1.應(yīng)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.素養(yǎng)目標(biāo)3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.2.進(jìn)一步加深對(duì)勾股定理與其逆定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).1.應(yīng)12

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR探究新知知識(shí)點(diǎn)1

利用勾股定理的逆定理解答角度問(wèn)題【思考】1.認(rèn)真讀題，找已知是什么？“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如下圖.12如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=18303.由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長(zhǎng)，要求角，由此我們想到利用什么思想？要解決的問(wèn)題是求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理.探究新知【思考】2.需要解決的問(wèn)題是什么？轉(zhuǎn)化的思想.4.知道線段長(zhǎng)度，通過(guò)線段長(zhǎng)度來(lái)求角的度數(shù)，我們可以利用什么轉(zhuǎn)化呢？12NEPQR16×1.5=2412×1.5=18303.解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.

NEP

QR12探究新知方法點(diǎn)撥：解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：①標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；②構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；③應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B.接到消息后，一艘艦艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O(如圖所示)向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時(shí)以12海里/時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，問(wèn)另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？鞏固練習(xí)在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面解：由題意得，OB＝12×1.5＝18海里，OA＝16×1.5＝24海里，又∵AB＝30海里，∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°.∵∠DOA＝40°，∴∠BOD＝50°.則另一艘艦艇的航行方向是北偏西50°.鞏固練習(xí)解：由題意得，OB＝12×1.5＝18海里，鞏固練習(xí)

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD

的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=

BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD探究新知知識(shí)點(diǎn)2

利用勾股定理的逆定理解答面積問(wèn)題如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA鞏固練習(xí)如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30

如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．知識(shí)點(diǎn)3探究新知

利用勾股定理的逆定理解答檢測(cè)問(wèn)題如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖圖鞏固練習(xí)一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖鞏固練習(xí)AB2+AD2=32+42=25=52=BD2,BD2+BC2=52+122=169=132=CD2,在△BCD中，解：在△ABD中，我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問(wèn)這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米 D．750平方千米A連接中考我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題BB課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的是（）DA.

B.C.

D.BB課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，2.如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m，公園到醫(yī)院的距離為400m，若公園到超市的距離為500m，則公園在醫(yī)院的

()A.北偏東75°的方向上B.北偏東65°的方向上C.北偏東55°的方向上D.無(wú)法確定B課堂檢測(cè)2.如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市在醫(yī)院的南偏東21163.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來(lái)，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．課堂檢測(cè)AOB3.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度1174.在城市街路上速度不得超過(guò)70千米/時(shí)，一輛小汽車(chē)某一時(shí)刻行駛在路邊車(chē)速檢測(cè)儀的北偏東30°距離30米處，過(guò)了2秒后行駛了50米，此時(shí)小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為40米.問(wèn)：2秒后小汽車(chē)在車(chē)速檢測(cè)儀的哪個(gè)方向?這輛小汽車(chē)超速了嗎?車(chē)速檢測(cè)儀小汽車(chē)30米30°北60°解：小汽車(chē)在車(chē)速檢測(cè)儀的南偏東60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/時(shí)>70千米/時(shí)∴小汽車(chē)超速了.2秒后50米40米課堂檢測(cè)4.在城市街路上速度不得超過(guò)70千米/時(shí)，一輛小汽車(chē)某一時(shí)刻如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.分析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312能力提升題課堂檢測(cè)如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，C解：連接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.課堂檢測(cè)ADBC341312解：連接AC.在Rt△ABC中，課堂檢測(cè)ADBC341312勾股定理的逆定理的應(yīng)用應(yīng)用航海問(wèn)題方法認(rèn)真審題,畫(huà)出符合題意的圖形,熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理來(lái)解決問(wèn)題與勾股定理結(jié)合解決不規(guī)則圖形等問(wèn)題課堂小結(jié)勾股定理的逆定理的應(yīng)用應(yīng)用航海問(wèn)題方法認(rèn)真審題,畫(huà)出符合題意17.1勾股定理（第1課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.1勾股定理（第1課時(shí)）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)家曾建議用這個(gè)圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).導(dǎo)入新知你知道這是為什么嗎？數(shù)學(xué)家曾建議用這個(gè)圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).導(dǎo)入新知你知1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理.

2.能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.素養(yǎng)目標(biāo)3.通過(guò)用多種方法證明勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？探究新知知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的認(rèn)識(shí)與證明相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友ABC2.由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長(zhǎng)度之間有怎樣的特殊關(guān)系？

【思考】1.三個(gè)正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SC探究新知ABC（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）A中含有____個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積．B的面積是

個(gè)單位面積．C的面積是

個(gè)單位面積．99189ABC圖1結(jié)論：圖1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系是:SA+SB=SC

【討論】1.三個(gè)正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？探究新知（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）A中含有____個(gè)小方格，即【討論】2.SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC