復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何表示

復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何表示第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

《復(fù)變函數(shù)》主講教師：趙景霞第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日研究對象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。比他更早時，法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日二十世紀以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第一章復(fù)數(shù)及復(fù)平面§1.1復(fù)數(shù)及其幾何表示學(xué)習(xí)要點掌握復(fù)數(shù)的意義與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運算熟練掌握復(fù)數(shù)的方根第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日一、復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)z的實部

Re(z)=x;虛部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等二、四則運算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日復(fù)數(shù)的運算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義若z=x+iy,稱z=x-

iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)三、共軛復(fù)數(shù)第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日例4第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日解：第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日例4證明：第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日例4證明：第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日四、復(fù)數(shù)的幾何意義橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日我們可以得到兩個重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z1第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日oxy(z)P(x,y)xy

z=0時，幅角無意義。

幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日1.三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)z2.指數(shù)表示法yox第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日例5例6第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日例5解：第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日例6解：第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日例6解：第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值：求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式.第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日解：第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日.第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日五、復(fù)數(shù)的乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法集合相等定理：第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日對除法，有將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的幾何意義第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日例7解：第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日例5解：第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日例6藏寶圖從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右轉(zhuǎn)個直角再走這么多步，在這里打個樁。某島，島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一個絞架?；氐浇g架，朝松樹走，同時記住所走的步數(shù)，到了松樹向左拐個直角再走這么多步，在這里也打個樁。在兩個樁中間挖，就可以找到寶藏！問題是絞架年代久遠爛掉了，還能找到寶藏嗎？第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日1-1第一根樁位置第二根樁位置第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日例7解：第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日六、復(fù)數(shù)的乘冪與方根則有：——棣摩弗(DeMoivre)公式第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日例11練習(xí)例10第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日例9第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo第四十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日例10第四十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日NAOz七、復(fù)球面與無窮遠點球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切的球面，過O點作z平面的垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。對于平面上的任一點A，用一條空間直線把它和球極連