2022-2023學年四年級數(shù)學專訓《利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問題》

2022-2023學年專訓1利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問題名師點金：折疊問題往往通過圖形的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系，即折疊前后的圖形全等；在計算時，常常通過設(shè)未知數(shù)列方程求解．利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角1．當身邊沒有量角器時，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動手操作有時可以解“燃眉之急”．如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長)，我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角：(1)以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在邊AD上，折痕與BC交于點E；(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點E所在直線為折痕，使點A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度數(shù)．(第1題)利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的長2．【2023·臺灣】圖①為長方形紙片ABCD，AD＝26，AB＝22，直線L，M皆為長方形的對稱軸．今將長方形紙片沿著L對折后，再沿著M對折，并將對折后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個五邊形EFGHI，如圖②，最后將圖②的五邊形展開后形成一個八邊形，如圖③，且八邊形的每一邊長恰好均相等．(第2題)(1)若圖②中的HI長度為x，請用x分別表示剪下的直角三角形的勾長和股長．(2)請求出圖③中八邊形的一邊長的數(shù)值，并寫出完整的解題過程．利用矩形的性質(zhì)巧證折疊中線段的關(guān)系3．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于F，連接AE.求證：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.(第3題)利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的比4．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.(1)求證：CM＝CN；(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為31，求eq\f(MN,DN)的值．(第4題)答案(第1題)1．解：設(shè)折疊后，點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′，如圖，由折疊的性質(zhì)得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′.∵∠BAB′＝∠ABE＝90°，∴∠BEB′＝90°.∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°.∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.2．解：(1)分別延長HI與FE，相交于點N，如圖．∵HN＝eq\f(1,2)AD＝13，NF＝eq\f(1,2)AB＝11，HI＝EF＝x，∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－EF＝11－x.∴剪下的直角三角形的勾長為11－x，股長為13－x.(第2題)(2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x，∴EI＝eq\r(NI2＋NE2)＝eq\r(2x2－48x＋290).∵八邊形的每一邊長恰好均相等，∴EI＝2HI＝2x＝eq\r(2x2－48x＋290)，整理得：x2＋24x－145＝0，(x－5)(x＋29)＝0，解得：x＝5，或x＝－29(舍去)．∴EI＝2×5＝10.故八邊形的邊長為10.3．證明：(1)由折疊的性質(zhì)可知，∠FBD＝∠CBD.因為在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD.所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以