大學數學《實變函數》電子教案

《實變函數》電子教案（重慶郵電大學數理學院鄧志穎）課程名稱：實變函數學時教材名稱：：適用專業(yè)：

48/3.0實變函數與泛函分析基礎（第三版）高等教育出版社程其襄等數學與應用數學專業(yè)(大三上學期)序言：實變函數簡介微積分發(fā)展的三個階段：創(chuàng)立17世紀Newto（力學Leibni（幾何無窮小)（19世紀Cauchy,Riemann,(ε-N,ε-δ語言論)外微分形式20世紀初Grassmann,Poincare,Carta（微積分基本定理如何在高維空間得到體現）微積分繼續(xù)發(fā)展的三個方向：外微分形式()（微積分基本定理如何在高維空間得到體現）復數域上的微積分（復變函數）微積分的深化和拓展（實變函數）Riemann積分回顧：Riemann積分的定義(R)b

f(x)dxlim

f其中

xx ,

xa ||0

i ii1

i i

i1 i i積分與分割、介點集的取法無關.幾何意義（非負函數：函數圖象下方圖形的面積。Riemann可積的充要條件f(x在[ab上Riemann可積

f(x)dxlim

Mx lim

mx

f(x)dxa其中：

||T||0

i1

i i ||0 i i1M sup{f(x):xi

axx}iminf{f(x):xi

xx}i0,分劃T，使得nxi ii1，0,分劃T，使得所有振幅i

的小區(qū)間i

的總長度不超過.例：Dirichlet函數不Riemann可積.x[0,1]D(x)0 x[0,1]Q因為上積分為

f(x)dxlim

Mx1a ||0

i ii1下積分為a

f(x)dxlim||T||0

ni1

mx0i i所以對于分劃T，有ni1

x1i i所以Dirichlet函數不Riemann可積.（3)Riemann積分的局限性微積分基本定理F(x在[ab上連續(xù)，則(R)xF'(t)dtF(xF(a)a1881年Volterra作出一可微函數，導函數有界但不Riemann可積；積分與極限交換次序（一般要求一致收斂）例：設為[0,1]中全體有理數()，作[0,1]上的函數n列x{r,r

,r, ,r}f(x)n

1 2 3

n1,2,3,x[0,1]{r,r,r, ,r}1 2 3 n則{f(x)}在[a,b]上Riemann可積,但nlimfn

(x)D(xx[0,1]QRiemann.00x[0,1]Q故對一般收斂函數列，在Riemann積分意義下極限運算與積分運算不一定可交換次序，即：不一定成立.Lebesgue

limn a

f(x)dxn a

limfn

dx為使f(x)在[a,b]上Riemann可積，按Riemann積分思想，必須使得分劃后在多數小區(qū).Lebesgue（每一塊不一定是區(qū)間，使得在每一塊上的振幅都很小，即按函數值的大小對定義域的點加以歸類對此Lebesgue自己曾經作過一個比喻，他說：的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；Riemann積分思想即：0,作分劃my0

yy1

yn

Myi

yi1

,mf(x)M作點集E{x:y f(x)y}f(x)在E上的振幅不會大于.i i1 i i作和：s

mE

的y

yi i i i1

i1 i i取極限：(L)[a,b]

f(x)dxlimn0i1

mEi iLebesgue積分構思產生的問題：（1）Ei

（第一章集合，第二章點集）（2）集合E的如何定義（第三章測度論；i（3）怎樣的函數可使E都有（第四章可測函數；i（4）定義Lebesgue積分并研究其性質（第五章積分論；（5）將牛頓—萊布尼茲公式加以推廣（第六章 微分與不定積分）教材：實變函數論與泛函分析基礎（第三版,6.參考文獻：實變函數論（第二版,7月.(論1995.6(2001),1987Halmos(Measuretheory)Rudin, (Realandcomplexanalysis).教時安排：第一章集合6學時，第二章點集6學時，第三章測度論8學時，第四章可測函數10學時，第四章積分論12學時，第六章微分與不定積分6學時，共六章48學時。第一章集合（總授課時數6學時）Cantor所創(chuàng)立的集合論，是現代數學中一個獨立的分支，按其本性而言，集合論是整個現代數學的邏輯基礎；而就其發(fā)展歷史而言，則與近代分析（實變函數論）僅介紹那些必不可少的集論知識．§1、集合及其運算教學目的引入集的概念與集的運算,使學生掌握集和集的基本運算規(guī)律.本節(jié)重點DeMorgan本節(jié)難點授課時數2學時——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也稱作集，是數學中所謂原始概念之一，即不能用別的概念加以定義，它像幾何學中的“點”、“直線”那樣，只能用一組公理去刻畫．就目前來說，我們只要求掌握以下樸素的說法：“在一定范圍內的個體事物的全體，當將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素．”一個集合的元素必須彼此互異，而且哪些事物是給定集合的元素必須明確．以集合作為元素的集合，也常稱為集族或集類．以后常用大寫字母B,C,D,X,Y,Z 表示集合，用小寫字母a,b,c,x,y 表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，則說a屬于A，記作aA，或說A含有a．如果a不是集A的元素，則說a不屬于A，記作aA，或說A不含有a．有些集合可用列舉其元素的辦法來表示，如：只含有一個元素a的集合稱為單元素集或獨點集，可表示為{a}．由n個元素aa1 2

a所組成的集合，可表示為aa}na}n,n,n, }．當集A是具有某性質P的元素之全體時，我們用下面的形式表示A：A{x|x具有性質p}例如，方程x210 的x的全體組成的數集是{x|x2實際上就是{1,1}.

10}，有時我們也把集{x|xExE[xp]f(x)Ea是一個實數，我們把集{x|xEf(xa}寫成Ef(x)a]Efa]．不含任何元素的集合稱為空集，記作．設A，B是兩個集，若A 和B的元素完全相同，就稱A和B相等，記作A=B (或B=A).若集合A的元素都是集合B的元素，就稱為A是B的子集，記作AB(BA)，讀作A 包含于B (或B包A)．若ABAB,就稱B由集的“相等”與“包含”的定義可得如下定理：定理1AB，C，均有AA；ABBCAC；ABABBA．二集合的運算B{x:ABB{x:

xA或xB}B{x:B{x:

xA且xB}ABABABABA或A\B{xx但x當BA時，稱差集AB為B關于A的余集記作(CB)．A當我們研究一個問題時，如果所討論的集合都是某個固定集A的子集時，就稱A為基本集或全集，并把A的子集B關于A的余集CB 簡稱B的余集，記為BC或CB.A并集與交集的概念可以推廣到任意個集的情形，設為一非空集合，并且對每一個，指定了一個集合A

,此時我們稱{A

|是以為指標集的集族，集族{A |A

xxA} A

x有xA}例

{x:11

x11nN則n n nAn1

[1,0]

,An1

(2,1)關于集合的并和交顯然有下面的性質：(見課本P9-P10)更一般地有:DeMorgan公式證明（略）

(

A)c

Ac

,( A

)c

Ac注AAC與.三、集列極限設AA

,A, 1 2 n上極限集：limA

或limsupA)xx屬于無限多個集合Ax存在無限多個A，使xA}n

n n n nn AnNnN{x:N,nN AnNnNn下極限集：limA

或liminf

)x:x

x當nxA}nn

n n n n AnNnN{x:N,nN AnNnNnAAlimAlimA An nn1nnnnn1例：設A2n極限集

[0,1],A2n1

[1,2]，則上極限集為[0,2],下極限集為{1}.如果集列{A的上極限集與下極限集相等，即lim

limA An n

nn則稱集列{A

}收斂，稱其共同的極限為集列{A}的極限集，記為：limA An單調增集列極限

n n n若集列{An

}滿足An

An1

(nN{An

}為單調增加;若集列{An

}滿足An

An1

(nN),則稱{An

}為單調減少;定理2：單調集列是收斂的如果集列{A單調增加，則lim

An n

nn1如果集列{A單調減少，則lim

An n

nn1例1

(11,11),

(n,n),nN,則2n1

n limA

2n(,)，limA (1,1]n nA 1 1

nn1 1例2：設

[ ,4 A ,1 nN則2n1 n n 2nlimA

n n[0,4)，lim

(0,1]n n

nn小結DeMorgan公式很重要,以后會經常用到.集列的極限是一種與數列極限不同的極限,應正確理解其概念.——————————————————————————————作業(yè)：P30 5, 7, 8設{An

}為一集列：

練習題

A,B

An1

(n1)，證明

}為一列互不相交的集列，且1 1

nk1

knA k

nB(n1,2, )k若{An

k1}是單調減少的集列，證明

k1A(A1 1

A)(A2

A)((AAnn1)(A),kk1并且其中各項互不相交.:lim

A,limA A AnNnN

limA

nn

Nn

n n nnn

n n{A單調遞增時，有l(wèi)im

limA

limA

An n

n

n

nn1{A單調遞減時，有l(wèi)im

limA

limA

An n

n

n

nn1A

E,A

F,(n1,2,

A和lim

，并問limA

是否存在？2n 2n1

n

nn

n n)，求)，求lim教學目的介紹映射,基數,等概念和它們的屬性.本節(jié)要點本節(jié)難點證明兩個集對等或具有相同的基數.授課時數2學時——————————————————————————————映射的定義在數學分析課程中我們對函數已經很熟悉.其中函數的定義域通常是Rn

的子集,值域是實數集或者復數集.若將函數的定義域和值域換成一般的集,可得到映射的概念.定義：設XYfxYyfX到Yf:XYXY是兩個非空集合，fXYxXyY使(x,y)f，則f是從X 到Y的一個映注：集合，元素，映射是一相對概.略：像，原像，像集，原像集，映射的復合，單射，滿射，一一映射（雙射）在數學分析課程中研究的函數當然是一種映射.除此之外,我們還經常會遇到許多其它的映射.例如,定積分可以看作是可積函數集到實數集的映射,求導運算可以看作是可導函數集到函數集的映射,線性代數中的線性變換就是線性空間到線性空間的映射等.集合運算關于映射的性質（像集）定理1f:XYBA

()是X的子集，稱{f(x):xA}為A的像集，記作f(A)，則有：1)ABf(f(B);fA B)ff(Bf(

A)

f(A);fA B)ff(Bf(

A)

f(A);證明的過程略注：f(A B)f(f(B)一般不成立，如常值映射，等號成立當且僅當f為單.集合運算關于映射的性質（原像集）定理f:XYAXCDC

是Y{x:f(xC為C的原像集，記作f1C)(f不一定有逆映射，則有：1)CDf1(C)f1(D);2)f13)f1(C

D)f1(C)D)f1(C)

f1(D),一般地有：f1( C)f1(D),一般地有：f1( C)

f1(C);f1(C);4)f1(C\D)f1(C)\f1(D);5)f1(Cc)[f1(C)]c;6)Af1[f(A)];7)f[f1(C)]C;證明略.注6）6）等號成立當且僅當f7）f.對等與勢定義設A，B是兩非空集合，若存在著A到B的一一映射（既單又滿，則稱A與BA~B.約定~.（1）稱與AA有相同的勢（基數，記作A.（2）勢是對有限集元素個數概念的推廣.性質A~A~BB~A~BB~CA~C;例：1)N~N奇數

~N ~Z偶數2)(1,1)~(,)證明：令f:xtg(2(1,1)~(,)

x)，則f 是(1,1)到(,)的一一映射.故注（等）.3)基數的大小比較若A~B, 則稱A若A~B1

BAAB有一個單射，也相當于BA.ABAAB.注：不能用A與B的一個真子集對等描述.如：(1,1)~(1,1)(,)Bernstein定理{A

:{B

},A

~B而且{A

}中的集合兩兩不交，{B

}中的集合兩兩不交，那么：

A ~ B 證明略

定理定理A，使B~BB*A~B*則A~ABBAB.AB*fBg.令AA\，Bf(A)，A g(B)，B f(A)，A g(B)，B f(A)，1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3g(B)

g(B

A\故A與

不交.從而A,A

在f的2 1 1 1 2 1 2B,B1

BB1 2

gAA2 3

不交.由A ,知A與

AA

AA

fBBB3 1 3),也兩兩不交，),

1 2 3

1 2 3

1 2 3A

,A,

B

B,

f

(n1,2,1 2 3所以

1 2 3 n nA~ Bfn nn1 n1Bk

gA),可知k),可知

(k1,2,B~ AgkkkkgB~所以gB~B~A*\kgA ，\k1A (A\A)\k1A A\ AkkkkkkkB ~AB ~A\ Ak kkkA)k( A)~(B\ A)k( A)~(B\ B)k kkkk( B)kk1證畢．注：要證A需要在A與B間找一個既單又滿的映射；而要證A，只需找一個.(1,1)~1,1]證明：由(1,1)[1,1]()~(1,1)(1,1)~1,1]——————————————————————————————作業(yè)：P30 9, 10練習題上以有理數為端點的區(qū)間的全體所成之集與自然數集之間能否建立一一對應？A C,則A B C.AA C,則A B C.AC，則有B BC.ABAM.F是[0,1]上的全體實函數所成的集合，而M是[0,1]M.F§3、可數集合教學目的介紹可數集概念及其運算它們的屬性.本節(jié)要點可數集是具有最小基數的無限集.可數集性質十分重要，不少對等問題可以與可數集聯(lián)系起來,可數集證明技巧較強通過較多的例題和習題,使學生逐步掌握.本節(jié)難點證明集合可數.授課時數1學時——————————————————————————————１可數集的定義與自然數集N對等的集合稱為可數集或可列集，其基數記為a或01,2,3,4,5,6a,a1 2

,a,a3

,a,a5 6AA可以寫成無窮序列的形式a1 2

,a,a3

,a,a}5 6}例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 }}2）[0,1]中的有理數全體={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,}２可數集的性質（子集）定理1任何無限集合均含有可數子集.證明：M是一個無限集，取出其中的一個元素從M中任取一元素，記為e.則1M,M}中取一元素

,顯然e

e.M中已取出n個互異元素1 1 2 2 1ee, e1,2

,M是無限集，故Me,1,2

e,于是又可以從Me,e}中nn e}中n取出一元素en1

,它自然不同于ee,ee.nM的一個無限子集e1,2

e }n畢．這個定理說明可數集的一個特征：它在所有無限集中有最小的基數．可數集的性質（并集）有限集與可數集的并仍為可數集有限個可數集的并仍為可數集可數個可數集的并仍為可數集A,a,a, ，B,b

, ,b

，C,c,c,1 2 3

1 2 n

1 2 3假設A,B,C兩兩不交，則AB,b, ,b,a,

, （當集合有公共元素時，不重復排）1 2 n 1 2AC1

,c,a1

,c,a2

,c,3關于可數個可數集的并仍為可數集的證明1314a , a , 131411 12

, a，a , a , a , a ，21 22 23 24a , a , a , a ，31 32 33 34a , a41

, a , a ，43 44, , , ，當A互不相交時，按箭頭所示，我們得到一個無窮序列;i當A有公共元時，在排列的過程中除去公共元素；i因此 Ann1

是可數集。說明:與Hilbert旅館問題比較;如何把無限集分解成無限個無限集合的并?例全體有理數之集Q是可數集首先[0,1]={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,Q(Q[0,1])(Q[1,0])(Q[1,2])(Q[2,1])所以Q是可數集（可數個可數集的并）說明：有理數集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數集有相同多的點(對等意義下).3可數集的性質（卡氏積）定理：有限個可數集的卡氏積是可數集只須證：設A,B是可數集，則AB也是可數集（利用數學歸納法即得有限個乘積的情形）AB{(x,y)|xy{(x,y)|yxA從而AB也是可數集（可數個可數集的并）例1平面上以有理點為圓心，有理數為半徑的圓全體A證明：平面上的圓由其圓心(x,y)和半徑r從而

xy在變A~QQQ{(x,y,r)|x,yQ,rQ}例2代數數全體是可數集整系數多項式方程的實根稱為代數數；不是代數數的實數成為超越數。設P是整系數多項式全體所成之, Pn

是n次整系數多項式全體Pn

xna

n1

xn1a a |aZ,i1,2, ,n,a 0}0 i n0

Z，Pn

~(Z{0})ZZ Z（有限個可數集的卡氏積）n個故P

Pnn0

為可數集（可數個可數集的并）由代數基本定理知任意n次整系數多項式至多有有限個實根，從而結論成立.A，而例3AAA，而，令證明：AA包含可數子集ee，令

AA*可數，，A A,e,e

A,e,e,0 1 2 3,e,e,2 4 6A ,e,e,01 2 3AA，A0且

1 3 5AA*e,e,e,是可數集，證畢.

1 3 5小結本節(jié)利用一一對應的思想,給出了集的基數和可數集的定義.集的基數是有限集元素的個數在無限集的推廣.可數集是具有最小基數的無限集.可數集經過有限或可數并運算后仍是可數集.有理數集是一個重要的可數集——————————————————————————————作業(yè)：P30 12, 15練習題1、設A中的元素是直線上兩兩不交的開區(qū)間，則A為至多可數集.2、怎樣建立無限集與它的一個真子集的一一對應關系？3.4.§4、不可數集合教學目的介紹不可數集概念及其屬性.本節(jié)要點區(qū)間[0,1]是典型不可數集，注意比較可數集與不可數集性質的異同，利用R集握.本節(jié)難點證明集合不可數.授課時數1學時——————————————————————————————不是可數集的無限集稱為不可數集．不可數集的存在性定理1區(qū)間0,1是一個不可數集．證明：假設0,1可數，則0,1上的點可以排成一個無窮序列：,x,nx,,x,n11 21記I0

，把I0

三等分于其中取一不含x1

的閉區(qū)間，記為I1

I1

的長度|I1

|3.再I三等分，取其中不含x1

的閉區(qū)間，記為I2

，則|I2

，這樣下去，可以得到一列閉1321區(qū)間I滿足：n

I I

,|I 1,x I0 1 2

n n 3n n n故n

形成閉區(qū)間套，因此存在唯一點x0

I(n0,1,2,n

)，而由假設，n0

N使得x I0

，這與x0

I(n0,1,2, 矛盾，故n連續(xù)勢集的定義定義1：與區(qū)間對等的集的基數稱為連續(xù)基數（連續(xù)勢），這個基數記作c推論1ca, 證明：由定1.4.1知，ac．但 , 2 3

，故ca.證畢．推論2開區(qū)間0,1的基數也是c．定理2全體實數所成之集R的基數是c．證明令(x)tan2x1, x(0,1)，則是到上的一一映射，2所以R的基數是c.推論1全體無理數所成之集的基數是c．連續(xù)勢集的性質（卡氏積）有限個、可數個連續(xù)勢的卡氏積仍為連續(xù)勢集定理3Axx1 2

, ,xn

, ):xi

(0,1)}，則A（證明略）推論n維Euclid空間Rn的勢為連續(xù)勢集的性質（并集）連續(xù)勢集的（有限個，可數個，連續(xù)勢個）并仍為連續(xù)勢集定理4實數列全體所成之集E 的基數是c．（證明略）無最大勢定理定理（Canto：設A是一個任意給定的非空集合，則2A..證明：A與2AA~}:a2A即可。A~2AA到2A上的一一映射:A~2A

{a:aA,a(a)}，由于A*是A的子集，即A*2A，因此存在a*A，使得(a*)A*（1）若a*A*，則由A*的定義，有a*(a*)A*（2）若a*A*

(a*)，則由A*的定義，有a*A*.故2A.可數勢與連續(xù)勢定理：2NR或{N

R（即20）證明：由于N的子集全體與特征函數全體存在一一對應關系，故2N與0,1N對等；下證：{N對任意的{N,令f)(n);易知f:{N[0,1]是單射，所以3n{N.

n1 a另一方面，對x(0,1)x

n1

n, a2n

0,1（1（即：將x寫成二進制小數0.aaa12 3

為循環(huán)節(jié)g(0,1)x

{0,N，其中(n)an

,n1,2,3,

（即將小數aaa12 3

aa1 2

,a,}）}） 易證(0,1){0,}N是單射，因此2N.由Bernstein定理知2N.連續(xù)統(tǒng)假設Cantor認為在0

與之間不存在別的基數，即不存在這樣的集合A,使得0

A，但Cantor證明不了,這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設。Hilbert在1900年第二屆國際數學家大會上將它列為二十三個難題的第一個問題。小結.直線上的區(qū)間是典型的不可數集.證明一個給定的集是可數集或不可數集是應當掌握的基本技巧.——————————————————————————————作業(yè)：P30 17, 18練習題R.AB中至少有一個勢為.設An1

,則An

中至少有一個勢為.[0,1]E的勢為.第二章點集（總授課時數6學時）教學目的：歐氏空間Rn上的測度與積分是本課程的主要研究對象.本節(jié)討論歐氏空間Borel集,Cantor本章要點Rn由開集生成一個BorelCantor集是一個重要的集,它有一些很特別的本章難點BorelCantor授課時數6學時——————————————————————————————本章先介紹Rn中的距離、極限、鄰域、區(qū)間及其體積等基本概念，然后定義了內點、§1度量空間，n維歐氏空間教學目的、深刻理解Rn23、了解鄰域的四條性質.本節(jié)要點度量空間的概念.本節(jié)難點度量空間的概念.授課時數1學時——————————————————————————————一、度量空間1XdXXR為一映射，且滿足（1）d(xy)0d(xy)0xy （正定性）d(xy)dyx) （對稱性）d(xyd(xzd(zy) （三角不等式）i1(xyi1(xy)2ii歐氏空間(Rnd,其中d(xy)0 x離散空間(X,d)，其中d(x,y)0 xCa,b

空間(Ca,b

表示閉區(qū)間a,b上實值連續(xù)函數全體),其中d(x,y)max|x(t)y(t)|atb二、鄰域定義2稱集合{P|d(PP}

的U(P,

稱為鄰域的中0 0 0 0心，稱為鄰域的半徑.在不需要特別指出是什么樣的半徑時，也簡稱為P0

的鄰域，并記為U(P).0不難看出：點列{Pm

P0

的充分必要條件是對任意0，存在N，當mN時有：Pm

U(P).0容易驗證鄰域具有下面的基本性質：1)PU(P)；對于U(P和U(PPU(PU(P，則存在1 2 1 2U(P) U(P)U(P)3 1 2對于QU(P，存在U(QU(P；對于P，存在U(Q和U(P滿足U(QU(P)定義3：兩個非空的點集A,B間的距離定義為dA,B inf dP,QPA,QB如果A,B中至少有一個是空集，則規(guī)定dA,B0；若BX，則記dA,BdA,XAB，則dAB0。定義4：一個非空的點集E的直徑定義為：EsupdP,QP,QE當E時，規(guī)定0。顯然，E0E 至多只有一個元素。若EE為有界集。定義5：稱X1 2

, ,Xn

|Xi

A,iAi

的直積，記為X X1

Xn

或Aii1定義6：若Ini1

IIi

a,bi

I為nRn中的區(qū)間；如果所有Ii

I左閉右開)區(qū)間。如果所有的Ii

IRnIi

是直線上的無界區(qū)間，則稱IRn注：R2中的有界區(qū)間即矩形，R3中的區(qū)間即長方體，因此Rn中的區(qū)間有時也稱為“長方體”.E為有界集的充要條件是存在有界區(qū)間IEE為有界集的充要條件是存在E0

U(x0

,)定義7：Ini1

Ii,I

ai,bi

,稱Ini1

biai)為區(qū)間IIni1

Ii.當然，這里約定000，當a時，aa.注：R1中的區(qū)間體積即區(qū)間的長度，R2中的區(qū)間體積即矩形面積＝長×寬，R3中的區(qū)間體積即長方體體積＝長×寬×高，因此規(guī)定Rn中的區(qū)間體積＝n§2、聚點、內點、界點教學目的1、深刻理解內點、外點、界點、聚點、孤立點的概念，弄清它們的區(qū)別與聯(lián)系.E3、了解Bolzano--Weierstrass定理.本節(jié)要點內點、外點、界點、聚點、孤立點及開核、導集、閉包、邊界及孤立點集等概念.本節(jié)難點對一個已知的點集E，求這些相關的點集.授課時數1學時——————————————————————————————一、歐氏空間中各類點的定義P0P0

E0,使得U(P,)EEo0為E的外點：0,使得U(P,) E，E的外點的全體記為Ec.0

E0,有U(P,E且U(P,)Ec

，記為E0（4）P0

0E0,有U(P,)(Ep0

0})，E的聚點的全體稱為E的導集，記為E'P0P0

E0,使得U(P,Ep}0 0E0,U(P,E0注：聚點、邊界點不一定屬于E，內點、孤立點一定屬于E.EE

{E的孤立點全體}E'

EEE例1（1）令EQ，則EE

ER，E1,k,則E'1,k,則E', 2 3

1對一切k

(k1,2,3,

的孤立二、聚點的等價定義定理1下面三個陳述是等價的：（1）P0

E'；（2）對0(P,E0 0（3）E中有各項互異的點列P

P,k

Pkk k 0 k 0證明（1）（2）是顯然的．（2）（3）：因為P,1{PEP

P,1{PE，則0 0 1 0 0PE

P.令

mindP,P

1，則UP,

中至少有一點P

E且1 1 0 1

1 0 2 0 1 2PP，

P.令 mindP,P,1，則UP,

E且 2 0 2 1 2

2 0 3 0 2 3PPi0,1,2.這樣繼續(xù)下去，便得到點列P且滿足要求.3 i k（10

k

UP,UP,EP0

E'.

0 0 k 0 0三、開核、邊界、導集之間的關系定理2設A B，則A'B'，

B0

，AB．定理3ABA'B'ABAB證明1因為AABBAB2A'AB'B'AB'A'B'AB'.另一方面，任取PABPA'BPA且PB.于是 0，使1 0，使2

P,A，1P, ，2取,1 2

，則UP,AUP,AUP,B這說明PAB'，這與PAB'矛盾.所以PA'B'，即AB'A'B'綜合以上兩個方面，即有AB'A'B'.（2）ABABAB'ABAB'AA'BB'AB.證畢4（Bolzano-Weierstrass定理）Rn中的有界點列必有收斂子列．（證略）——————————————————————————————作業(yè)：P49 2, 3, 4, 5練習題ER1R2R1R2EEEE0E各是有哪些點構成的.設A B，證明A'B'，A0B0，AB．§3、開集、閉集、完備集教學目的1、掌握開集、閉集和完備集的概念、性質及相關定理（對偶性定理及運算方面的定理）.2、理解Heine--Borel有限覆蓋定理.本節(jié)要點開集、閉集和完備集的概念、性質及相關定理.本節(jié)難點Heine--Borel有限覆蓋定理.授課時數2學時——————————————————————————————一、開集、閉集的定義E0

E E為開集（EEEE為閉集（E緊挨的點不跑到E外）注：EE

EE

{E的孤立點全體}，故EE等價于E'E（E E說明：E（E E

顯然）E是閉集，只要證EEEE（EE顯然1：開區(qū)間(ab為開集證明任取x(a,b)取xa,xb},則U(x,)(a,b)從而x是(a,b)的內點，故(ab是開集。例2：閉區(qū)間[a,b]為閉集.證明x[ab]c,取min{xa,xb},則U(x,)ab]c,從而[a,b]的接觸點都在[a,b]內，從而[a,b]是閉集。注：閉集為對極限運算封閉的點集.即：A為閉集當且僅當A中的任意收斂點列收斂于A中的點.(E)定理1 對任何ERn，E是開集，E'和E都是閉證明（）E是開集只要證(E)任取xE，由內點的定義知0,使得U(x,)E.任取yU(x,)取'd(x,y)則U(y,')U(x,)E從而y為E的內點，從而U(x,)E，所以x為E的內點，即x(E)，從而E (E)，即E為開集.E'是閉集。只要證E'

E'任取xE'

0,有U(x,(E'{x})x'U(x,)(E{})，有x'E'（當'mind(x,x'),d(x,x')}時，有xU(x',')U(x,)，從而U(x,)(E{})，即x為E的聚點，從而E

E'。利用(E)'(EE')'E'(E')'E'E'E'E可得E為閉集.EE內的最大開集。二、開集與閉集的對偶性(Ec)(E)ca）(E(Ec)(E)cEEcEEc為開集。證明：E為開集，即xE0,使得U(x,E，從而U(x,Ec

，從而x不是Ec的接觸點，也即Ec的接觸點一定在Ec內，從而CECE，即Ec為閉集.E為閉集，即EE，任取xEc，假如xEc的內點，則xExEExE內，這與xEc矛盾，所以Ec中的點都為Ec的內點，即Ec為開集。三、開集的性質Rn任意多個開集之并仍為開集；3)有限個開集之交仍為開集。注：無限多個開集的交不一定為開集，如：E (0,1/n),nRn中只有空集和Rn既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：E[0,1)四、閉集的性質Rn為閉集；任意多個閉集之交仍為閉集；3)有限個閉集之并仍為閉集。注：無限多個閉集的并不一定為閉集，如：E [0,11/n]n說明：不僅Rn中開集具有以上三性質，一般距離空間也有此性質，在拓撲空間中以上三性質則是描述開集概念的三公理.五、完備集1ERnEE'E.（1）.(2)沒有孤立點的集合是自密集.2ERnEE'E.注：完備集是自密閉集，也就是沒有孤立點的閉集.——————————————————————————————作業(yè)：P49 6, 8, 11練習題1、證明每個閉集必是可數個開集的交，每個開集必是可數個閉集的并.2設f(x)Rn上的實函數，證明：f(x)是連續(xù)函數的充分必要條件是對任意開集GR1,f1(G) Rn3f(xaE{x|f(x是開集，而E {x|f(x)a}14f(xE(x

)limsup{|f(x')f(x'')|:x',x''O

E}0 0

(x0,)為f(x)在x0

E處的振幅，若f(x)在閉集E上定義，則對任意實數t{xE:(x)t}為閉集.§4直線上的開集、閉集及完備集的構造教學目的介紹直線上的開集，閉集及完備集構造.本節(jié)要點直線上開集構造定理尤為重要，由它演繹出閉集，完備集構造定理.本節(jié)難點直線上開集構造定理.授課時數2學時——————————————————————————————本節(jié)所討論的點集都是R1的子集．一、直線上的開集、閉集的構造定義設G是開集，若非空開區(qū)間()G，且G，就稱(是G的一個構成區(qū)間．定理：直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數個互不相交的開區(qū)間的并。之集.孤立點的閉集定為互不相交的閉區(qū)間之并。⑶Rn中的開集一般不能表示成至多可數個互不相交的開區(qū)間之并，但總可表示成至多可數個互不相交的半開半閉區(qū)間之并.二、R中有關緊性的兩個結論⑴Bolzano-Weierstras

ERnE點列a,a1 2

,a,3a （a ,

,a ,

，,a ）1a=（2

11 12 13,a ,a ,21 22

14 1n，,a ）24 2na=（a ,a ,a ,a ，,a ）3 31 32 33 34 3n注：對無限維空間不一定成立。⑵Heine-Borel有限覆蓋定理Fi

iIF（FUi

i

:iI} 中存在有限個開集U,U1 2

, ,Un

,它同樣覆蓋F.注：Heine-Borel有限覆蓋定理的逆命題也成立.可數覆蓋定理FRni

iIF（FUi

，則Ui

:iI},U,n中存在可數個開集U,U,n1 2

它同樣覆蓋F提示內點，以及有理點全體在Rn中稠密和有理數全體是R三、直線上完備集的構造如：Cantor集對[0,1]區(qū)間三等分，去掉中間一個開區(qū)間，然后對留下的兩個閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個開區(qū)間，此過程一直進行下去，最后留下的點即為Cantor集.⑴定義：令GIin,j

(n)第第n次去掉的開區(qū)間留下的閉區(qū)間1Ii i1(1)I(1) i1,2i2Ii(2)iIii1,2, 22nIi(n)i2n1I(n)ii1,2,2nP[0,1]G[0,1]GcCantor⑵Cantor集的性質分割點一定在CantorCantorP[0,1]G[0,1]GcGIiP0，去掉的區(qū)間長度和

1

n,i2n1

(n)1 3 13nn1

123注：第n次共去掉2n1個長為1/3n的開區(qū)間P沒有內點證明xP,x必含在“去掉手續(xù)進行到第n次”時留下的2n個長為1/3n的互不相交的某個閉區(qū)間中I(n).i0,13n

時，有I(n)U(x,),但由Cantor集的作法知，我們要對繼續(xù)三等i分去掉中間一個開區(qū)間，從而U(x,)內至少有一點不屬于P，所以x不可能是P的內點。P證明：xP0,有U(x,P{x}),由Cantorn,

,及某個i，使U(x,)I(n),而I(n)的兩個端點定在P3n i i中，從而x為P的聚點，當然不為孤立點。P的勢為 （利用二進制，三進制證明）證明思路：把[0,1]區(qū)間中的點都寫成三進制小數，則Cantor集的作法中去掉的點為小數位出現1的點的全體，從而Cantor集為小數位只是0,2的點的全體，作對應（三進制數）aa

a a a0.1 2 3

（二進制數）12 3

2 2 2說明：三等分的端點有必要特殊考慮，因為它有兩種表示，如0.1000000…=0.0222222…（三進制小數）0.2000000…=0.1222222…注:Cantor集中除了分割點外,還有大量其他點.——————————————————————————————作業(yè)：P50 12, 13練習題ECantor集的余集的構成區(qū)間的中點所成之集，求E.證明用十進位小數表示[0,1]6AA.疏朗集的余集是否一定為稠密集？第三章測度論（總授課時數8學時）教學目的引進外測度定義，研究其性質，由此過渡到可測集本章要點要引導學生注意外測度與測度之間的重要差別，測度概念抽象，要與具體點集諸如面積體積等概念進行比較.§1、外測度教學目的1、掌握外測度的定義及其基本性質.2、理解區(qū)間及有理點集的外測度及其證明方法.本節(jié)要點外測度的定義及其基本性質.本節(jié)難點外測度的定義.授課時數2學時——————————————————————————————一、引言(1)Riemann積分回顧（分割定義域）(R)b

f(x)dxlim

f，

xx ，

xa ||0

i i1

i i i

i1 i i積分與分割、介點集的取法無關。幾何意義（非負函數：函數圖象下方圖形的面積。（2）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）記E {x:y f(x)y}，y y，則i i1 i i1 i i(L)[a,b]

f(x)dxlimn0i1

mEi i問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?達布上和與下和上積分（外包（達布上和的極限）ba下積分（內填）ba二、Lebesgue外測度(外包)

f(x)dxlim||0f(x)dxlim||0

ni1ni1

Mxi imxi i定義：設ERn，稱非負廣義實數(R{}R*)mEinf|Iii1

|:EI,Ii1i

為開區(qū)間}ELebesgue下確界：是數集S的下界，即xSx是數集S的最大下界，即0,xSxmEinf|Iii1

|:EI,Ii1i

為開區(qū)間}0,開區(qū)間列{Ii

},使得EI且i1im*E|Iii1

|m*E即：用一開區(qū)間列{Ii

}“近似”替換集合E例1設E是[0,1]中的全體有理數，試證明E的外測度為0.證明：由于E為可數集，故不妨令}E[0,1]Q{r,r,r,}0,作開區(qū)間

1 2 3 則EI且i1i

I (ri

,r2i1

2i1

),i1,2,3,|I| ，i 2i1i1 i1從而m*E ，再由的任意性知m*E0思考：１.設E是平面上的有理點全體，則E的外測度為0提示：找一列包含有理點集的開區(qū)間I(ri i1

,r2i2 i1

2i

)(r i2

,r 2i2 i2

2i

),(r,ri1 i

)QQ,i1,2,3,x0提示：找一列包含x軸的開區(qū)間 I (ri i

1,ri

1)( 2i1

2i1

),ri

Z，i1,2,3,Lebesgue[0,1]中的有理數全體，是否這可數個開區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數個點外）.注：對可數個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列（如Cantor集的余集的構成區(qū)間）2．Lebesgue外測度的性質mE0EmE0單調性：若A則mAmB證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應的下確界反而大。次可數可加性m*(n1

A) m*An nn1證明：對任意的0,由外測度的定義知，對每個A都有n一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間I

列近似替換A）I ,I ,

I 且Inm,Inm,An

n1 n

m1nm從而

I ，且

m*An

|Inmm1

|m*A n 2nn1

n1

nm|I |nm

|I |nm

(m*An

)2n

m*A nn,m1可見

n1m1 n1

n1m*(n1

A)n

|I |nm

m*A n由的任意性，即得m*(n1

n1m1 n1A) m*An nn1（1）一般證明都是從大的一邊開始，因為外測度的定義用的是下確界（2）外測度的次可數可加性的等號即使,B不交也可能不成立（集，但有:若d(,B)0則m(AB)m(A)m*(B)IiIiABIiA中的點，一部分含有B例2對任意區(qū)間I，有mE|I|.思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣2n例32n證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為I(n)i

i1,2,從而2nm*(P)m*(I(n))2n

2n

|I(n)

|

12n0 故mP0

i1i

ii1

3ni1

3注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數并仍為零集.——————————————————————————————作業(yè)：P75 1, 2練習題如果將外測度的定義改為“有界集EE理？AB，問在什么條件下有m*(AB)m*BER1，是否必有？EmE0mE的正數cE，1使mE c1§2可測集教學目的1、深刻理解可測集的定義，學會用Caratheodory條件驗證集合的可測性.2、掌握并能運用可測集的性質.本節(jié)要點學會用Caratheodory條件驗證集合的可測性.本節(jié)難點用Caratheodory條件驗證集合的可測性.授課時數2學時——————————————————————————————Lebesgue外測度(外包)mEinf|Iii1

|:EIi1ii

且I為開區(qū)間} 0,開區(qū)間列{Ii

EIi1i

m*E

|Iii1

|m*E即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E

兩兩不交)m*(A)

m*An一、可測集的定義

n1 n

nn1TRn,mTmE)m*Ec)（Caratheodory條件E為Lebesgue可測集，此時E的外測度稱為E的測度，記作mE.注：Lebesgue開始也是利用外測度與內測度相等定義可測集，但此方法對處理問題很不方便，故我們采用上述方法.例1：零集E必為可測集Rn，有mTmE)m*Ec)m(E)m*)m*)從而mTmE)m*Ec)E為可測集。二、Lebesgue可測集的性質E可測（即TRn,有mTmE)m*Ec)AEBEc,mAB)mm*(B)證明：(充分性）Rn令ATEBTEc即可(必要性)令TABBAi

可測，則下述集合也可測 Ac,AB,AB,AB,A, i1 ii1 i若AB則TRn，有m(AB))mA)m*B)注:上式由前面可測集的等價刻畫立刻可得若A兩兩不交，則（測度的可數可加性）im(i1

A)mAi ii1若A,B可測，AB,mA,則有可減性m(BA)mBmA證明：RnmTmEm*Ec)易知Ac可測ABAB

Bc)cABABc也可測。若當A為兩兩不交時，A可測已證明，則通過令

A1A可把一般情形轉化i i1 i

n n i1 i為兩兩不交的情形，通過取余即可證明nAi1 iBABRn，有mTm(AB))m*(AB)c)(m(1)m*(2))(m(3)m*(4))m*((1)(2))m((3)(4))（B可測）m*((1)(2)(3)(4))（A可測）m*)從而mTmABm*AB)c)下面證明若A兩兩不交，則m

A)mAi證明：TR

i1

ii1nnmTmTnn

A)*T

A)c)mT

A)*T

A)c)ni1 in

i1 i

i1 i

i1 i

mTA)m*T

A)c)ii1從而

i1 imT mTA)m*T(

A)c)ii1

i1 imT(A))*T(A)c) （）i1 i i1 i另外顯然有mTmT(A))m*T(A)c)i1 i i1 i從而Ai1

可測，并用Ti1

A代入（*）式，即得結論i2：設[0,1]AA

,A滿足條件

mAn1，則

A必有正測度。1 2 n

ii1

i1 in n n證明：m(A)m(((A)c)c)m([0,1](A)c)i1 i

i1 n

i1 nm([0,1]Ac)m([0,1])m(Ac)i1 i i1 i1ni11n

m([0,1]A)i(1mA)nmAi

(n1)0單調可測集列的性質

i1 i1

是遞增的可測集列，則m(limA

)limmAn n n n n

是遞減的可測集列且mA

m(lim

)limmAn 1 n n n n（1）左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數列極限，(2)中的條件mA1

不可少，如An

（2）若A是遞減集列，lim

AnAlim

n nA

n1 nn n n n1 nAn1

A(A1

A)(AAnn1)ABmA，則m(B)mBmA——————————————————————————————作業(yè)：P75 5, 6練習題0EE的任一子集可測？設

}是可測集列，且

，則m(lim

)0n nn1

n nE的外測度等于包含它的開集G的測度的下確界，即mEinf{mG:EG,G為開集}BRn

的子集，A可測，證明等式m(AB)m(AB)m(A)m(B)§3 可測集類教學目的1、熟悉并掌握用開集、閉集、G

F

型集刻畫可測集的幾個定理，弄清可測集類和Borel集類之間的關系.2、了解一些集合可測的充要條件.本節(jié)要點可測集類和Borel集類之間的關系.本節(jié)難點可測集類和Borel集類之間的關系.授課時數2學時——————————————————————————————一、可測集1I是可測集，且mII|（1）零集、區(qū)間、開集、閉集、G

型集（可數個開集的交F

型集（可數個閉集的并）.Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個或可數個）運算得到）都是可測集。（2）開集、閉集既是G

F

型集；F無理數集是G

型集，但不是GF

型集；型集。有理數集可看成可數個單點集的并，而單點集是閉集；通過取余G

F

型集相互轉化（并與交，開集與閉集互換）二、可測集與開集、閉集的關系E可測，則0，存在開集GEGm(GE)即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集（可測集“差不多”就是開集或閉集，從而可測集基本上是至多可數個開區(qū)間的并。E可測，則0FFEm(EF)（）當mE時，由外測度定義知0,存在開區(qū)間列{Ii

}，使得EIi1i

且m*E|Iii1

|m*E令GIi1i

,則G為開集，E且EmG

mI i

|I |mEii1 i1從而（這里用到mE）m(GE)mGmE(2)當mE時，這時將E分解成可數個互不相交的可測集EEi1 i

(mEi

)Ei

應用上述結果，存在開集Gi

，使得EGi i

m(Gi

E)i 2i令G

，則G為開集，E且i1 i

mGE)m(GE)m(G

E))i1 i i1 i

i1

i1 im((GE))

m(GE) i1 i i

i i 2i若(1)已證明，由Ec可測可知

i1 i10，存在開集GEcG且m(GEc).FGcFFE且m(EF)m(EFc)m((Ec)cFc)m(FcEc)m(GEc)例2設ER若0,開集GEG且mGE)E1 1證明：對任意的

，Gn

（開集，使得EGn

且m(Gn

E)n令OGn1

，則O是G

型集且EO1m(OE)0

m(OE)m(Gn

E)

n,n1,2,3,從而EO(OE)為可測集.例3：設E為[0,1]中的有理數全體，試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集。}E,r,r,}1 2 3開集：G(r ,r)i1 i閉集：空集.

2i1 i

2i1E*為[0,1]E*集。開集:(0,1)閉集：F[0,1](r

,r)i1 i

2i1 i 2i1三、可測集與G

F

集的關系E可測，則存在G

型集OEOm(OE)0可測集可由G

型集去掉一零集，或F

型集添上一零集得到。EF

HHE且m(EH)0證明：若(1)已證明，由Ec可測可知G

型集OEc

O且m(OEc)0HOcHF

型集，HE且m(EH)m(EHc)m((Ec)cHc)m(HcEc)m(OEc)0(1)E可測，則存在G

型集O,使EO且m(OE)0證明：1，存在開集

E

且m(G

E)1令OGn1

n，則O為G

nEO

n n nm(OE0

m(OE)m(Gn

E)1,n1,2,3,n例5：設E為[0,1]中的有理數全體，試各寫出一個與E只相差一零測度集的G

F

型集。 1 1 GO

r

n ,

n n1 i1

2i1

2i1F型集：空集注：上面的交與并不可交換次序.6：E*為[0,1]中的無理數全體，試各寫出一個與E*只相差一零測度集的G型集或F型集。G(0,1)

1 1 F

r

n ,

n n1 i1

2i1

2i1類似可證：若ER則存在G

型集OEO且mOmE（稱OE的等測包）證明:由外測度定義知1,{In

}，使得EIi1ni

且m*E|Inii1

|m*E1n令G In i1

則Gn

為開集，EG且nm*EmGn

mI ni

|I |m*E1ni ni1 i1令O

，則O為

型集，且OE,mOm*En1 n ——————————————————————————————作業(yè)：P75 8, 9, 11BRn

的子集，證明不等式

練習題m(AB)m(AB)m(A)m(B)E(Rn可測的充要條件是0，存在開集GEFE，使得m(GF.E(Rn可測的充要條件是：存在開集G1

E及G2

CE，使m(G1

G)2§4不可測集教學目的了解不可測集的構造思路和步驟.本節(jié)要點無.本節(jié)難點無.授課時數2學時存在不可測集（利用選擇公理構造，教材p73;1970，R.Solovay蘊涵選擇公理）（利用Cantor函數和不可測集構造）參見：《實變函數》周民強,p87第四章可測函數（總授課時數10學時）由于建立積分的需要，我們還必須引進一類重要的函數——Lebesgue可測函數，并討論其性質和結構.§1可測函數及其性質教學目的本節(jié)將給出可測函數的定義并討論其基本性質教學要點可測函數有若干等價的定義.它是一類范圍廣泛的函數,并且有很好的運算封閉性.可測函數可以用簡單函數逼近,這是可測函數的構造性特征.本節(jié)難點可測函數與簡單函數的關系.授課時數2學時——————————————————————————————可測函數定義定義：設f(x)是可測集E上的實函數(可取)，若aR,E[fa]

可測，則稱f(x)是E上的可測函數.可測函數的性質性質1零集上的任何函數都是可測函數。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數并仍為零集性質2簡單函數是可測函數若EnEi1 i

(E可測且兩兩不交，f(x)在每個Ei

上取常值ci

f(xE上的簡單函數；n

1 xEf(x)

c (x) 其中

(x) ii

0 xEEi1 i注：Dirichlet函數是簡單函數3Ef(x)必為可測函數f(xEf(xx0

E處連續(xù)若0,0,使得f(O(x0

,

E)O(f(x0

),)對比：設f(x)為a,b上有限實函數，f(x)在x0

(a,b)處連續(xù)若limf(x)f(x)xx0 0即0,0,當|xx0即0,0,當xO

|時，有|f(x)f(x0時，有f(x)O

)|(x0即0,0,使得f(O

,

)O

(f(x0

),)(x,)0

(f(x0

),)f(x)x0

[a,b]處連續(xù)(對閉區(qū)間端點則用左或右連續(xù))證明：xEfafxa,由連續(xù)性假設知，對f(x)ax

0,使得f(O(x,)x

E)O(f(x),

(a,)即O )E

.令Ga]

O G)(x,x [f且另外

xE[fa]

(x,xGE( O(x,[fa] x所以

)E (O(x,[fa] x

E)E[fa]故E[fa]

E[fa]GE為可測集

( O(x,[fa] x

)EGE，性質4R中的可測子集E上的單調函數f(x)必為可測函數。證明：faRIa的集合為可測集

inf{x|f(x)a}f單調增知下面E[IE

) 當Ia

{x|f(x)a}[fa]

E(Ia

) 當Ia

{x|f(x)a}⒊可測函數的等價描述⒈定義：f(x)Ef(x)E上可測（即（1）aRE[fa]

可測）(2) aRE 可測[fa](3)aRE 可測[fa](4) aRE 可測[fa](5)a,bR,ab,E[afb]

可測（充分