大學(xué)線性代數(shù)2矩陣代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2矩陣代數(shù)A，BABA的各列的線性組合，以B同樣，ABBA例如，ABmBmAABnAnB矩陣乘法恒等式：ImAAAIn逆矩陣的概念僅對(duì)方陣有意義。ARn中的b，Ax=bx=A-1b初等矩陣：將單位矩陣進(jìn)行一次初等行變換所得的矩陣。mxnAA的結(jié)果。設(shè)對(duì)單位矩陣Im進(jìn)行初等行變換所得初等矩陣為E，對(duì)A進(jìn)行相同初等行變換的結(jié)果可寫為EA。因?yàn)槌醯刃凶儞Q可逆，所以必有另一行變換將E變回I。設(shè)該“另一行變換”對(duì)應(yīng)初等矩陣為F，結(jié)合上一行，F(xiàn)對(duì)E的作用可寫為FE=I。因此，每個(gè)初等矩陣均可逆。nAIn時(shí)，AA變?yōu)镮nInA-1。求A-1：將增廣矩陣[A I]進(jìn)行行化簡(jiǎn)，若A可逆，則[A I]~[I 將[A I]行變換為[I A-1]的過程可看作解n個(gè)方程組：Ax=e1,Ax=e2,...Ax=en這n個(gè)方程組的“增廣列”都放在A的右側(cè)，就構(gòu)成矩[A e1e2...en]=[A I]如果我們只需要A-1的某一列或某幾列，例如需要A-1的j列，只需解方程組Ax=ej，而不需要求出整個(gè)A-1。[注：根據(jù)此條可以導(dǎo)出利用克拉默法則求逆矩陣的公式]可逆矩陣定理對(duì)于n階方陣，以下命題等價(jià)：AAnAnAx=0Ax|->AxRnb，Ax=b（有且僅有唯一解？）ARnx|->AxRnRnnxnBAB=BA=IAT可逆ARn的一個(gè)基ColA=Rndim(Col(A))=nrank(A)=nNul(A)=0dim(Nul(A))=0det(A)≠0 <=> AA0AAA再次強(qiáng)調(diào)，以上命題僅對(duì)n階方陣等價(jià)。對(duì)于mxn（m≠n）則未必分塊矩陣乘法兩個(gè)矩陣A、B相乘，要求A的列數(shù)等于B的行數(shù)，因此若要使分塊后的矩陣能夠應(yīng)用乘法，分塊時(shí)A的列分法必須與B的行分法一致，而A的行分法與B的列分法可以任意。例如A有5列B有5行，A分塊為3列/2列，那么B就要分為3行/2行。AB到：AB=[col1(A) col2(A)...coln(A)][row1(B) row2(B)...rown(B)]T=sigma(colk(A)rowk(B)) (1≤k≤n)每個(gè)colk(A)rowk(B)本身也是一個(gè)mxp矩陣（假設(shè)A為mxn矩陣，B為nxp矩陣）。單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣。LU如果A可化為階梯形U，且化簡(jiǎn)過程中僅使用行倍加變換（將一行倍數(shù)加到它下面的另一行），那么由于每次初等變換均等價(jià)于相應(yīng)初等矩陣與A相乘，所以A到U的變換過程可表示為：Ep...E1A=U于是A可表示為A=LU，其中L=(Ep...E1)-1，即L=E1-1...Ep-1由于單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣，所以L為單位下三角矩陣。量，以上運(yùn)算結(jié)果仍在該集合中。子空間：非空，對(duì)加法和標(biāo)量乘法封閉（非空且封閉則必包含零向量）。v1v2vpVSpan(v1v2vpVAmxnAx=0x集合是A的零空間，是Rn的子空間，空間中的任意向量vAmxn，A的列的所有線性組合是A的列空間，是Rm的子空間，空間中的任意向量vAx=v子空間的維與向量的維：向量中元素?cái)?shù)量是向量的維；子空間的基的向量的數(shù)量是子空間的維。A=rank(A)Anrank(Adim(Nul(A)n矩陣的主元列構(gòu)成列空間的基若A，B均為nxn矩陣，則detAB=(detA)(detB) [注：一般來說det(A+B)≠detA+detB]AnxndetAA2x2矩陣，那么由A|detA|若A是一個(gè)3x3矩陣，那么由A的列確定的平行六面體的體積為|detA|（若A為2x2矩陣，兩列為v1，v2，那么平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為0，v1，v2，v1+v2）（若A為3x3矩陣，三列為v1，v2，v3，那么平行六面體的八個(gè)頂