備戰(zhàn)2023年重慶數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)知識點10解直角三角形（解析版）

精練10-解直角三角形I.如圖，某輛自行車放在水平的地面上，車把頭下方A處與坐墊下方8處在平行于地面的水平線上，測得AB=54cm,AC,BC與A8的夾角分別為45°與60°.（1）求點C到A8的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：&F.4,詆=1.7）作 于點 則/CMA=NCMB=90°,（2）若點C到地面的距離CD為30cvn,坐墊中軸E與點B的距離BE為4cm（坐墊E可按軸線BC上下伸縮調(diào)節(jié)）.茜茜根據(jù)自己身高比例，坐墊E（參考數(shù)據(jù)：&F.4,詆=1.7）作 于點 則/CMA=NCMB=90°,D 【解答】解：過點C'：ZCAM=45",ZCfiA/=60°,：.AM=CM,BM=―—,tan60"\"AB=54(cm),CM+―—=54,tan60°.,.點C到AB的距離為35.1.,.點C到AB的距離為35.1cm；D?.?坐墊E到地面的距離為70cm時，乘坐該自行車最舒適,

...點E到AB的距離為70-30-35.1=4.9(cm),過點E作硒于點N,貝l]EN=4.9(cm),NENB=9Q°,?:NEBN=NCBM=60°,：.BE=——?弋5.8(cm)sin60°V3_2■:原BE為4cm,，需將BE調(diào)長5.8-4=1.8(cm).2.某小區(qū)擬建設(shè)地下停車庫入口，將原步行樓梯入口AC改造為斜坡AO.已知入口高A8=3m,坡面AC的坡度i=l：I,新坡面坡角NAOB=30°.(1)求斜坡底部增加的長度CO為多少米？(保留根號)(2)入口處水平線AE=5m,地下停車庫坡道入口上方點E處有懸掛廣告牌EF,EF1.BD,EF=Q.5m.若一輛高度為2米的貨車沿斜坡AO駛?cè)胲噹?，行進(jìn)中是否會碰到廣告牌的下端尸？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：加F.4,73^1.7)【解答】解：⑴I?坡面AC的坡度i=l：1,：.AB：BC=l：1,：.BC=AB=3m,ZADB=30°,...tan/AO8=_^=tan30°=返，BD 3:.BD=MAB=3Mm),：.CD=BD-BC=(373-3)(zn),答：斜坡底部增加的長度CO為(3百-3)米：(2)若一輛高度為2米的貨車沿斜坡AO駛?cè)胲噹欤羞M(jìn)中不會碰到廣告牌的下端凡理由如下：如圖，延長EF交AO于G,過F作FHJ_A。于H,由題意得：NAEG=90°,AE//BD,：.ZEAG=ZADB=30a,

VtanZEAG=^-=tan30° AE=5m,TOC\o"1-5"\h\zAE 3.?.EG=V^.AE=.W^(w),3 3\o"CurrentDocument"：.FG=EG-EF=^H--0.5=(5VS--A)(m),3 3 2在RtAFGH中，NFGH=90°-NE4G=90°-30°=60°,sinZFGH=l^-=sin60°=近，F(xiàn)G 2:.FH='J^-FG=^-X(SV3___1)=立-近-2.075(/n)>2m,2 2 3 2 2 4??若一輛高度為2米的貨車沿斜坡AD駛?cè)胲噹?，行進(jìn)中不會碰到廣告牌的下端F.3.如圖，在同一剖面內(nèi)，小明在點4處用測角儀測得居民樓的頂端廠的仰角為27°,他水平向右前進(jìn)了30米來到斜坡的坡腳B處,沿著斜坡BC上行25米到達(dá)C點，用測角儀測得點尸的仰角為54°,然后，水平向右前進(jìn)一段路程來到了居民樓的樓底E處，若斜坡BC的坡度為3：4,請你求出居民樓的高度.（測角儀的高度忽略不計，計算結(jié)果精確到01米.）參考數(shù)據(jù)：sin27--0.45,tan27°七0.51,sin54°心0.81,tan54°-1.38)AO于點G,AO于點G,。于點H,居民樓1【解答】解：如圖，過點C作CG_L得矩形CGHE,:.CE=GH,CG=EH,在RtZ\BCG中，BC=25米，CG：BG=3：4,...CG=EH=15米，8G=20米,A B GH0在rsfh中，AH=AB+BC+GH=3O+2O+G〃=50+CE,VZMG=27",，F(xiàn)H=A”?tan27°,：.EF+\5^(50+CE)X0.51,在RtZSFCE中，；NFCE=54°,.,.EF=CEXtan54°=1.38CE,...L38CE+152(50+C￡)X0.51,解得ce=12區(qū)L,87.,?EA1.38CEF6.7(米)，居民樓EF的高度約為16.7米.4.如圖，在某海域內(nèi)有一小島P,在以P為圓心，半徑r為6&海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一輪船自東向西航行，它在A處測得小島尸位于北偏西45°的方向上，當(dāng)這艘輪船行駛4海里后到達(dá)8地，此時觀測小島P位于B地北偏西30°的方向上.(1)求A、P之間的距離；(結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：我F.41,76^2.45)(2)該輪船由B地繼續(xù)向西行駛(473-4)海里到達(dá)C地，此時觀測小島P位于C地北偏西15°的方向上，同時接到總部通知，由于突發(fā)狀況，該輪船必須駛離東西航線并沿北偏西某航向行駛，那么該輪船由C處開始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避開小島P周圍的暗礁安全通過這一海域？西NB40=45°,AB=4海里，設(shè)尸O=x海里，則4O=x海里，：.BD=AD-AB=(x-4)海里,在RtZXPB。中，VBD=PDtan30°,-4=&x,3：.x=2(3+V3),:.PA=?1PD=Mx=*^+2F}%13.4(海里)，答：A,P之間的距離約為13.4海里；(2)因為r-PD=6如-2(3+百)=6&-6-2百--1V0,所以無觸礁的危險；設(shè)輪船無觸礁危險的新航線為射線CH,作PELCH,垂足為E,當(dāng)P到CH的距離PE=S歷海里時，有sin/PCE=Fl,PC設(shè)C￡)=y海里，TBC=(45/3-4)海里，

在RtZ\P8O中，PD=2(3+V3)海里，ZBPD=30°,：.BD=PDtan30°,.,.v+4a/3-4=2(3+V3)X近,3解得y=6-2a，：.CD=(6-2V3)海里，???pc=VpD2+DC2=7(6+2V3)2+(6-2>/3)2=4^，.?.sinNPC￡=f5_=^^=近，PC4V62/.ZPCE=60°,，60°+15°=75°,...該輪船由C處開始沿北偏西至少75度的方向航行才能避開小島P周圍的暗礁安全通過這一海域.5.如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在A處測得小島C在北偏東70°方向，2小時后漁船到達(dá)B處，測得小島C在北偏東45°方向，已知該島周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁.（參考數(shù)據(jù)：sin70°-0.94,cos70°*0.34,tan70°—2.75,（1）求8處距離小島C的距離（精確到0.1海里）：（2）為安全起見，漁船在8處向東偏南轉(zhuǎn)了25°繼續(xù)航行，通過計算說明船是否安全？（1）如圖，過點（1）如圖，過點C作CNL4。于M,CN_LBE于N,由題意得，NCAO=90°-70°=20°,ZCBD=90°-45°=45°,AB=14X2=28海里，■:NCBD=45°,在Rt/XCAM中，VtanZACA/=M,CM

?,.tan70°=28+CMtCM解得CM^\6,在RtABCA/中，BC=yf^CM=16如%22.6（海里），答：8處距離小島C的距離約為22.6海里；（2）在RtZXBCN中，ZCBN=45°+25°=70°,BC=16&海里,；.CN=BC,sinNCBN165/2X0.94-21.2（海里），?,-21.2>20,二能安全通過，答：能安全通過.首鋼滑雪大跳臺是世界上首個永久性的單板大跳臺,首鋼滑雪大跳臺是世界上首個永久性的單板大跳臺,其優(yōu)美的造型，獨特的設(shè)計給全球觀眾留下深刻的印象，大跳臺場地分為助滑區(qū)、起跳臺、著陸坡和終點區(qū)域4個都分，現(xiàn)將大跳臺抽象成如圖的簡圖，尸C表示運送運動員上跳臺的自動扶梯，C。表示助滑區(qū)，口△￡>￡：//表示起跳臺，E8表示著陸坡.已知NC初=60°,ZEBF=30°,在助滑區(qū)。處觀察到頂點C處的仰角是30°,且自動扶梯的速度是2mk,運送運動員到達(dá)跳臺頂端C點處需要30秒，BE=24m,DE//BF,CA、（1）（1）求大跳臺AC的高度是多少米（結(jié)果精確到0.1團(tuán)）(2)首鋼滑雪大跳臺主體結(jié)構(gòu)采用裝配式鋼結(jié)構(gòu)體系和預(yù)制構(gòu)件，“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道面寬35米，面板采用10mm耐候鋼，密度為7850依/萬),求鋪裝“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道的耐候鋼總重量是多少噸(結(jié)果精確到1噸).(V2^L41,遙=1.73)【解答】解：(1)根據(jù)題意可知：AC=2X30=60(w),答：大跳臺AC的高度是60米；(2)如圖，過點。作。MLC4于點M,得矩形AMDG,矩形。得矩形AMDG,矩形。GNE,在RtAACF中，CF=60m,乙CFA=60°,.,.4C=CF,sin60Q=60X叵=30如(m),2在RtZXEBN中，NEBN=3Q°,BE=24m,：.EN=l-BE=\2m,2：.AM=DG=EN=12m,：.CM^AC-AM=(3(h/3-12)m,'：DE//BF,...NC￡)M=NE=30°,：.CD=2CM=2(30百-12)=60百-24七79.8m，；.耐候鋼的體積=79.8*35義10一2+24X35X1(/2=36.33(m3),二耐候鋼總重量=36.33X7850七285190(噸).答：賽道的耐候鋼總重量約為285190噸.7.5G時代，萬物互聯(lián).互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，共建智慧生活.網(wǎng)絡(luò)公司在改造時，把某一5G信號發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺CD上，已知山坡BC的坡度為1：2.4.眼睛距地面1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是37°.向前步行6米到達(dá)8處，再延斜坡8c步行6.5米至平臺點C處，測得塔頂M的仰角是50°.若A.B、C、￡)、M、N在同一平面內(nèi)，且A、B和C、D、

N分別在同一水平線上.（1）求平臺CO距離地面的高度；（2）求發(fā)射塔MN的高度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.6,cos37°”0.8,tan37°弋0.75,sin50°g0.77,cos50°^0.64,tan50"弋1.20）【解答】（【解答】（1）解：如圖，過點Q作于尸，過點尸作于尸，過點尸作FEJ_MN于E,?山坡BC的坡度為1：2.4,BC=6.5米,設(shè)CG=x,則8G=2.4x,二/+(2.4x)2=6.52,解得x=皂，2:.CG=HN==米,8G=6米，2(2)解：；CG=〃N=5米，BG=6米，2：.AG=12米，由題意知NMQ尸=37°,ZMFE=50°,設(shè)E尸=a米，則PQ=4〃=(a+12)(米)，Vtan500=鳴”20,EF??ME='1.2。,

Vtan37°=亞=0.75,PQ：.MP=3.（a+12）,4ME+EN+NH=MP+PH,二1.2。+1.6+&=3（a+2）+1.6,24解得4=期米，9，MN=1.2a+1.6-18.9（米）.8.如圖，為了測量陶行知紀(jì)念館A8的高度，小李在點C處放置了高度為1.5米的測角儀CD,測得紀(jì)念館頂端A點的仰角NAOE=51°,然后他沿著坡度i=l：2.4的斜坡b走了6.5米到達(dá)點凡再沿水平方向走4米就到達(dá)了紀(jì)念館底端點正(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin51°-0.78,cos51°-0.63,ta據(jù)1°-1.23)(1)求點。到紀(jì)念館AB的水平距離；(2)求紀(jì)念館AB的高度約為多少米？C【解答】解：(1)延長AB交水平線于點M,過下作FN_LCM于N,延長OE交AM于〃，則四邊形HMCO為矩形，.?.〃M=CO=1.5米，DH=CM,?斜坡CF的坡度i=l：2.4,?FN_1??—>CN2.4:.CN=2AFN,VCF=6.5米，:.BM=FN=25（米），CN=6（米），尸=4米，

：.DH=CM=6+4=\0（米），答：點D到紀(jì)念館AB的水平距離為10米;（2）在 中，DH則AH=OH?tan/4OE=10Xtan51°*12.3（米），：.AB=AM-：.AB=AM-BM=AH+HM-BA/=12.3+1.5-2.5??11.3（米），但因冬奧燃起的冰雪消費熱潮仍在持續(xù)中國滑雪場、冰雪產(chǎn)業(yè)正在逐步形成.如圖，是某度假村興建的專業(yè)滑雪場地，小南在觀景臺A處向前走15米到達(dá)觀景點B處，測得滑雪場頂端E的仰角為22°,沿著坡度為1：2.4的斜坡走了26米到達(dá)坡底C處，然后往前走93米到達(dá)滑雪場底端。處.A、B、C、。、E、M、N在同一平面內(nèi)，EDLMD,BN1.MD,AMLMD,AB//MD.（參考數(shù)據(jù)：sin220-0.37,cos22°弋0.93,tan22°40.40）（1）求觀景臺4處到坡底C的水平距離CM；（2）求滑雪場頂端E到C￡＞的距離EO的長（結(jié)果精確到1米）.交OE于交OE于F,【解答】解：（1）延長ABVEDIA/D,BN上MD,AM1MD,AB//MD,.".AM//BN//FD,BFA.EF,，四邊形AMNB和四邊形BNDF是平行四邊形,/.°AMNB和□BNDF是矩形,在RtZ\BCN中，典=_A_,BC=26,B?+C*=Bd,CN2.4設(shè)BN=x,CN=2.4x,：.x1+(2.4x)2=262,解得：x=10,工BN=10,CN=24,?..四邊形AMNB是矩形，4B=15,：.MN=AB=15,：.CM=MN+CN=15+24=39(米)，答：觀景臺A處到坡底C的水平距離CM為39米；(2)?.?四邊形BN￡＞尸是矩形，BN=10,C￡)=93,CN=24,；.FD=BN=IO,BF=DN=CN+CD=24+93=117,在RtZ\BEF中，tan/EBF=EE.=tan22°,BF：.EF=BF'tan22°:^117X0.40=46.8,：.ED=EF+FD=56.S^51(米).答：滑雪場頂端E到CD的距離ED的長約為57F.10.如圖，梯形ABC。是一個攔河壩的截面圖，壩高5米，背水坡40的坡度為1：1.2.為了提高河壩抗洪能力，防汛指揮部決定加固河壩，若壩頂CO加寬1米，新的背水坡E尸的坡角a為30°,河壩總長400米.（1）求大壩底端A尸需加寬多少米？（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：百“1.73,&41.41）（2）某工程隊每天加固150立方米，工程隊能否在30天內(nèi)完成河壩加固？（體積=底面積X高）則四邊形E//GQ為矩形，：.HG=ED=\米，?.?坡AO的坡度為1：1.2,0G=5米，?,.AG=5X1.2=6米，：.AH=AG-GH=6-1=5（米），在RtZXEFH中，ZF=30°,.?.FH=_^L=-^-=5百心8.65（米），tanFV3_3C.AF^FH-AH=S.65-5=3.65^3.7（米），答：大壩底端AF需加寬約為3.7米：（2）需加固的土方量為：lx（1+3.7）X5X400=4700（立方米），2工程隊每天加固150立方米，工程隊30天內(nèi)完成的土方量為：150X30=4500（立方米），V4500<4700,工程隊不能在30天內(nèi)完成河壩加固，是安裝熱水器的側(cè)面示意圖.已知屋面AE的傾斜角NE4O為22°,長為3米的真空管A8與水平線AO的夾角為37°,安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米.（1）真空管上端8到水平線A。的距離.（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°生巨，cos37°tan37°gS,sin22°*旦，cos22°七至，5 5 4 8 16

tan22°40.4）圖1tan22°40.4）圖1圖2【解答】解：（1）過B作BFLAD于F.在RtZ\ABF中，sin/BAF=典，AB則BF=ABsin/BAF=3sin37°-3xS=1.8（米）5答：真空管上端8到AO的距離約為1.8米；（2）在Rlz^AB尸中，cos/84F=空，AB貝I]AF=ABcosNB4F=3Xcos37°七2.25（米），'：BFLAD,CDLAD,BC//FD,二四邊形8尸DC是矩形.：.BF=CD,BC=FD,VEC=0.5米，：.DE=CD-CE=1.3米，在RtZXEA。中，AD則AO=——55——&Jj_1=3.25（米），tanZEAD0.4：.BC=DF^AD-AF=3.25-2.25?=1.0（米）,答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為1.0米.99°圖2 12.如圖所示，已知BC是水平面，AB.AD.CD是斜坡.AB的坡角為42°,坡長為200米，A。的坡角為60