安徽省銅陵2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

銅陵一中、安徽師大附中2021?2022學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考

數(shù)學(xué)（理科）（時(shí)間：120分鐘分值：150分）注意事項(xiàng)：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上..回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共六十分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z.已知z（l+2i）=&+6i,則同=（ ）A.1 B.V2 C.2 D.75.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則“q<0”是“S3<S2”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.已知a=log010.4,b=log041.1,c=O,4-0-1，則（）A.h<a<c B.h<c<a C.c<a<h D.a<c<h.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖（每一刻度長(zhǎng)為1）的是（ ）

A.6.A.C.7.A.4M，其中?！辏?。,乃），則?八乃sin6+一I6A.6.A.C.7.A.4M，其中?！辏?。,乃），則?八乃sin6+一I6B.已知在aABC中，a、b、71A=——671A=—43D.--5c分別為角A、8、。的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件等差數(shù)列｛勺｝和｛2｝的前〃項(xiàng)和分別記為S,與7；,若浮72514B.—25。=3,b=3，,兀A=一3A=216nC13+42_3〃+4'則D.4225B.。=4,D.a=2,21C.—258.如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為a,A5為圓錐底面圓的直徑，。是圓弧A5的中點(diǎn)，。是8.母線SA的中點(diǎn)，則異面直線SC與3。所成角的余弦值為（ ）5A.35A.39,已知函數(shù)/（x）=binH+|cosH，則下列說(shuō)法正確是（）9,A.f（x）的最小正周期為萬(wàn)B.f（x）的最小值為也=/(A.f（x）的最小正周期為萬(wàn)B.f（x）的最小值為也=/(x)C.D./(x)=正在-54W，o上有解10.如圖，aABC中，。為AB上靠近5的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CO上，設(shè)而=￡,AC=h^—.一 一21AF=X4+yb,則一+一的最小值為（ ）xy'BA.6 B.7 C,4+20 D.4+2611.如圖，A/WC為正三角形，且邊長(zhǎng)為20,其中點(diǎn)A、8在平面a同一側(cè)，點(diǎn)Cea,與平面a57r所成的角為匚，則點(diǎn)A到平面a的最大距離是（ ）A.1072 B.20 C.1。6 D.30—4-cix+4xW012.已知函數(shù)f（x）=1 '"恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）lnx+2ar,x>0A.1-8,-B.（一*-1）4—,0）c. [—相,。） D.（一初,0）U（L+°°）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.x-y>0.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件（2x+y—640,則x+y取最大值時(shí)最優(yōu)解為.y>-1.已知曲線、=〃比1+xlnx在x=l處的切線方程為y=〃+〃，則肛=..已知三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，F(xiàn)A_L平面ABC,PA=4,AB=5AC=1,BC=2,若D為PA上的點(diǎn)，且D4=l，過(guò)點(diǎn)。作球。的截面，則截面面積的最小值是..若對(duì)任意的正數(shù)X、九不等式（女2丁一%）（111工-111曠）一歿40恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必答題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（-）必考題：共60分.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=5,5,,=121.（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式以及s“；（2）若數(shù)列〃=/，求數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和.已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且aABC的外接圓半徑為2.若（a+/?）（sinA+sin8）=csinC+bsinA,（1）求角。的大?。海?）求aABC面積的最大值..已知數(shù)列｛《,｝滿足％=1，4加=3―?。?4+1+（”（1）設(shè)么=%.一1，求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛q｝的前2〃項(xiàng)和邑”..如圖，已知四棱錐P-A6C。中，四邊形ABC。中，ZABC=90°,ABIICD,AB=\，BC=CD=PA=2,直線Q4在平面PC。內(nèi)投影恰好是aPCO中CD邊的中線PM，且Q4_LA￡>.（1）求證：平面PABJ_平面P8C；（2）若N為AB上一點(diǎn)、,滿足AB=3AN,求平面PAW與平面PBC所成銳二面角余弦值..已知函數(shù)，/（x）=ex4-cosx-ar,g（x）為的導(dǎo)函數(shù).jr(1)證明：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間0,-內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)升；(2)若“(x)=/(x)-&cos(x+?),且”(x)在(0,24)上單調(diào)遞減，試探求。的取值范圍.(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多答，則按所做的第一題計(jì)分.(x=a+fsina.已知直線/：〈 ， 。為參數(shù)).[y=b+tcosa7T(1)當(dāng)&=一時(shí)，求直線/斜率；6⑵若P(a,6)是圓O:V+y2=i6內(nèi)部一點(diǎn)，/與圓O交于A、B兩點(diǎn),且|/利、|OP|、歸即成等比數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程..已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|x+2].(1)求不等式/(x)N2x+3解集；⑵若的最小值為人,且實(shí)數(shù)。、b、c滿足a伍+c)=h求證：2a2+b2+c2>S-參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共六十分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的..已知z(l+2i)=7i+5^i,則口=( )A.1 B.V2 C.2 D.6【答案】B【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算求出復(fù)數(shù)z,從而得到乞，再由復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算可得.【詳解】由題得 4+何(V5+V5i)(l-2i)3相_危，所以彳=KI+@i，Z=l+2i=(1+2i)(l-2i)="T-工】 5 5故選：B.

.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為5"，則“q<0”是“S、<SJ的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用§3-52=%和=W判斷力與。的關(guān)系，即可得到答案.3<SJ的充的必要條件;【詳解】若4<0,且4?%="；>（），，叫<。，，S3-S2=%<。，貝3<SJ的充的必要條件;若S3<S?,則53-52=/<0，又a-G=a；>0,，4<0，則"S3<S?”是“q<0”則則“q<0”是“S3<S2"的充要條件.故選：C..已知a=log。/04,b=log041.1,c=o,4"°1,則（）A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性把仇c與0,1比較，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椤?lt;a=log。?0.4<log010.1=1,b=log041.1<0,c=O,4-01>0.b<a<c.故選：A..以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖（每一刻度長(zhǎng)為1）的是（ ）exexD.尸詞e2x(x+e2xB.y= !—X【答案】D【解析】【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性、極小值、奇偶性及其函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合題圖可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，y=—，則TOC\o"1-5"\h\zX X當(dāng)o<x<工時(shí)，y<o,此時(shí)函數(shù)y=￡二單調(diào)遞減，2 x當(dāng)x>L時(shí)，y>0,此時(shí)函數(shù)y=￡二單調(diào)遞增，則y極小值=y,=2e>2,與題圖不符;2 x 戶,對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一2<x<0時(shí)，y=（x+2）e*<0,與題圖不符；Xe同 / 、 el-2^已網(wǎng) 鈔M對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=77的定義域?yàn)閧x|xHO},?.?一=■□?,故函數(shù)y=H為偶函數(shù)，與題圖不符;對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)丁=系的定義域?yàn)閧x|xro},且丁=系>02\x\ l> 2|x|當(dāng)x<0時(shí)，y=-—,，=1（J）〉。,即函數(shù)丁=系在（y,0）上單調(diào)遞增,2x 2x2 2|x|'當(dāng)x>0時(shí),ex,e(x-1)y=——>y=―,,2x 2x當(dāng)x>0時(shí),e-c當(dāng)o<x<i時(shí)，y<o,此時(shí)函數(shù)丫=中單調(diào)遞減,2kl當(dāng)Z時(shí)，/>0,此時(shí)函數(shù)y味單調(diào)遞增，則y極小值=y…產(chǎn)題圖相符?故選：D.3D.--53D.--55【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得cos[e+2]=[,然后利用同角關(guān)系式即求.cos【分析】利用誘導(dǎo)公式可得cos[e+2]=[,然后利用同角關(guān)系式即求.cos16+?4 「/c、八兀（兀1兀=〉。，又?！辏?,乃），。+=￡丁，=5 6\66故選：C..已知在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（ ）是（ ）, . 4nAa=39b=4,A=一6, .7rC.a=l?b=2,A=一4【答案】BjiB.〃=4,b=3,A=一32ttD.。=2,Z?=3,A=—3【解析】【分析】利用正弦定理求出sin8的值，結(jié)合大邊對(duì)大角定理可判斷各選項(xiàng).4x1【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理可得.DbsinA22 ■且力〉。，故aABC有兩解;sinB= =-=—>sinAa3 3對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理可得.D方sinA 30 .且〃<a,故aABC只有一解:sinB= = -= <sinAa4 8對(duì)于C對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理可得如八皿a2義與_反],故aABC無(wú)解;27r對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?=二]，則角A為△ABC的最大內(nèi)角，且?！慈?，故△A5C無(wú)解.3故選:B..等差數(shù)列｛《,｝和也｝的前“項(xiàng)和分別記為S”與7；,若爭(zhēng)=端“則色冷14B.——14B.——2521C.—2542D.——25【答案】D【解析】U-,+【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將yj變形為數(shù)列的前〃項(xiàng)和的比的形式，即可求得答案.a【詳解】｛勺｝和｛〃｝為等差數(shù)列，TOC\o"1-5"\h\z故。3+田2 01+014T（al+au）Su6x7 4?以一梟2b,_kbi+b7）_8_3x7+4—25故選：D..如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為夜，A3為圓錐底面圓的直徑，C是圓弧A3的中點(diǎn)，。是母線SA的中點(diǎn)，則異面直線SC與3。所成角的余弦值為（ ）Aa rW C非 DMA. 15. L.L）. 3 5 10 10【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OB、QS所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線SC與8。所成角的余弦值.【詳解】解：連接0。、OS,因?yàn)锳B為圓錐底面圓的直徑，C是圓弧AB的中點(diǎn)，則AC=BC,為A8的中點(diǎn)，則OC_LAB,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、08、QS所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾A=0，AO=l,易知SO_LA8,則SOuJs*-4。2=1，

所以，8(0,1,0)、C(l,0,0),。1°，一；，；)、(0,0,1),_ ( 31、 一?―- SC-^D 亞SC=(l,0,-l),如［。,-5，?,則cos<SC如=園憫=三酒=一價(jià)2因此，異面直線SC與BO所成角的余弦值為33.10故選：C.9.已知函數(shù)/(x)=binH+|cosH，則下列說(shuō)法正確的是()A./(x)的最小正周期為7 B.f(x)的最小值為絲c./(?一工)=/(3) d.y(x)=3在一葛，。上有解【答案】D【解析】Z 、乙) 7 2) ,???/(x)是以'為周期的函數(shù)，當(dāng)xw0,y時(shí)，f(x)Z 、乙) 7 2) ,???/(x)是以'為周期的函數(shù)，當(dāng)xw0,y時(shí)，f(x)=|sinx\+|cosx\=sinx+cosx=V2?！改?乃則x+ ,4|_44_/.1<x/2sin+ (V2,...函數(shù)/(x)的最小正周期為工，函數(shù)外力的最小值為1,由/仁)=sin?+cosW=^^H/(O)=l,故C錯(cuò)誤sin(x+?),故AB錯(cuò)誤，【詳解】/(xh——)=sinx-\——+cosx-\——=Icosx\+Isinx\=f(x),TT由X-R=sm>/2, /（x）=0在--—'0上有解，故DTT由X-R=sm故選：D.10.如圖，aABC中，。為A3上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)/在線段8上，設(shè)荏=￡，AC=b，-._ _ 21AF=xa+如町+］的最小值為（）A.6 B.7 C.4+2夜 D.4+26【答案】D【解析】__..__. 3【分析】由題意，用向量AD,AC表示出向量AF，根據(jù)點(diǎn)F在線段CD上可得到-x+y=\,再根據(jù)基本不等式即可求得答案.【詳解】由于。為AB上靠近8的三等分點(diǎn)，—2——故AO=—A8,3所以AF=xa+yb=xAB+yAC=—AD+yAC,又因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段8上，所以^x+y=l,221.2l、/3x x.3x2y故一+—=（一+一）（丁+?。?4+:;-+=,TOC\o"1-5"\h\zxyxy2 2yx由題意可知x>0,y>0,故2+_1=4+三+型24+2百，xy 2yx3x2y 出 G-1當(dāng)且僅當(dāng)丁=一時(shí)，即x=l-空,y= 時(shí)，等號(hào)取得，2yx 3 2故選：D..如圖，aABC為正三角形，且邊長(zhǎng)為20,其中點(diǎn)A、8在平面a的同一側(cè)，點(diǎn)Cea,與平面a所成的角為1,則點(diǎn)A到平面a的最大距離是(A.iQx/2 B.2A.iQx/2 B.20C.10>/3D.30【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A、8分別作AM_La、BNLa,垂足分別為點(diǎn)M、N,連接CM、CN,分析可知當(dāng)平面ABCJ■平面a時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)M、C、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)A到平面a的距離最大，計(jì)算出NACM的值，即可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)A、3分別作AM_La、BNLa,垂足分別為點(diǎn)〃、N,連接CM、CN,如下圖所示:當(dāng)平面ABC_L平面a時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)M、C、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)A到平面。的距離最大,此時(shí)N4CM=萬(wàn)一生一色=三，則AM=4Csin生=10匹.3124 4故選：A.X?—4ca+4x(0.已知函數(shù)/(x)=< '—恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()lnx+2a￥,x>0【答案】C【解析】【分析】分類討論，當(dāng)時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/(X)至多有一個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，分別討論函1

a<——數(shù)/(x)=lnx+2aV,xe(0,+oo),/(x)=x2-4ax+4,xe(-oo,0],的零點(diǎn)情況，進(jìn)而可得， 2e，ci<—1f1n? ?I <a<0 ,或(a=_N，或2e,即求.[a=-l[-l<a<0【詳解】當(dāng)aNO時(shí)，/(x)=f-4m:+4在(-oo,0]上單調(diào)遞減，又/(0)=4,所以函數(shù)/(x)在(-8,0]上沒(méi)有零點(diǎn)，/(X)=\nx+2ax在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)在R上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a<0時(shí)，/(x)=lnx+2ax,xe(0,+<?)f'(x}=-+2a=^^-,令/'(x)=0,得x=_L,TOC\o"1-5"\h\zxx 2a.?.xe(O,-」-)時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；xe(-'-,8)時(shí)，ff(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞2a 2。減，= -時(shí)，函數(shù)/(x)有最大值，一(]= ，即時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+8即時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn),1"一：)一1>0,即一，<。<0時(shí)，函數(shù)在(0,+。。)上有兩個(gè)零點(diǎn);對(duì)于/(力二％2-4ax+4,xe(T?,0],對(duì)稱軸為x=2?,函數(shù)=f-4ar+4在(一8,0]上最小值為/（2a）=（2a）2-4a.2a+4=4-4a2,又40）=4,.?.當(dāng)〃2。）＞0,即一1＜。＜0,函數(shù)/（力在（-8,0］上沒(méi)有零點(diǎn),當(dāng)/（2。）=0,即a=_l,函數(shù)f（x）在（―⑼上有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)/（2a）＜0,即a＜T,函數(shù)f（x）在（to,0］上有兩個(gè)零點(diǎn)；Q＜ ＜。V0所以要使函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)則J 2e,或,=或2e,U＜-11q=-1 ［-1＜4＜0解得av—1或 ＜。＜0；2e綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。＜-1或一」-＜。＜0.2e故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是分別研究函數(shù)/（x）=lnx+%X,》6（0,+。。）與/（》）=*2-4依+4,xe（-oo,0］的零點(diǎn)情況，通過(guò)分類討論即可解決.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.fx-y＞0.若實(shí)數(shù)x,＞滿足約束條件2x+y-6W0,則x+y取最大值時(shí)最優(yōu)解為.【答案】（2,2）【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出不等式組表示的可行域，再根據(jù)z的幾何意義求解即可.【詳解】實(shí)數(shù)x,y表示的可行域如圖所示：2x+y_6=0,解得！=2,即AO)^-z=x+y,則丁=一》+2,z表示直線y=-x+z的y軸截距.當(dāng)直線y=-x+z過(guò)A(2,2)時(shí)，z取得最大值，此時(shí)最優(yōu)解為(2,2).故答案：(2,2).已知曲線y=me*T+xlnx在x=l處的切線方程為y=2x+〃，則"=.【答案】-1【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得m=1,再由切點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果.【詳解】Vy=meJ!~'+xlnx,/.y'=me'~l+lnx+l.又曲線y=/〃e*T+xlnx在x=l處的切線方程為y=2x+〃，可得m+0+l=2,解得m=1,所以y=e*T+xlnx,切點(diǎn)為(1,1),代入直線方程得可得1=2x1+〃，即“=-1.故答案為：-1..已知三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，？4_L平面ABC，PA=4,AB=6AC=1,BC=2,若。為Q4上的點(diǎn)，且D4=l，過(guò)點(diǎn)。作球。的截面，則截面面積的最小值是.【答案】3萬(wàn)【解析】【分析】先求出三棱錐的外接球的半徑/?=逐，過(guò)點(diǎn)。作截面圓和0。垂直，則此時(shí)截面圓的面積最小，求出截面圓的半徑，即得解.【詳解】解：如圖，因?yàn)锳8=J5，AC=1，BC=2,所以AB?+AC2=8。2,所以NB4C=90,設(shè)球心為0,aABC的斜邊的中點(diǎn)為。I,則。1為AABC外接圓的圓心，Q4的中點(diǎn)為E,球的半徑為R,連接ORQAOE,則OE=AO,=1,AE=2=00］，所以r=正+展=小.過(guò)點(diǎn)。作截面圓和0。垂直，則此時(shí)截面圓的面積最小，0D=df+f=&此時(shí)截面圓的半徑r=Q后一應(yīng)=73，所以截面圓的面積為萬(wàn)產(chǎn)=3乃.故答案為：3兀P16,若對(duì)任意正數(shù)X、九不等式（3e2y—才）（111工一111），）一0/0恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】［生?,田）【解析】【分析】令，=2>0，/（0=（3e2-r）lnr,則。2/（7入冰，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在（0,+8）上的最y 眄大值，即可得出實(shí)數(shù)〃的取值范圍.【詳解】對(duì)任意的正數(shù)X、九不等式（3e2y-x）（lnx-lny）-ayWO恒成立，/\則aN3e2In—,令f=—>0,/（r）=（3e2 ,其中（>0,則」，I y）yyrt/\3e~-f［ 3c** —r?）=-—―ln/=——t 令9（f）=3e2—f-tint,其中f〉0,則"'（f）=-（2+lnf）.當(dāng)0<f<4■時(shí)，夕'。）>（）,此時(shí)函數(shù)夕（。單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí),

1當(dāng)時(shí),

1”(/)<0,此時(shí)函數(shù)0(f)單調(diào)遞減，故e(r)max當(dāng)0<r<±時(shí)，9?(r)=3e2-z(l+lnr)>3e2+/>0,即因?yàn)楹瘮?shù)在[*,+(?)上單調(diào)遞減，且°卜2)=0,當(dāng)C<r<e2時(shí)，<t>(r)>0,即/'(r)>0；當(dāng)r>e2時(shí)，即e”由上可知，函數(shù)/")在(O,e))上單調(diào)遞增，在卜2,+0。)上單調(diào)遞減，故/。)3=/(*=462,則。之生?.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[生?,+8).故答案為：[4e2,+8).三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必答題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(-)必考題：共60分17.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且為=5,SH=121.(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式以及s“：(2)若數(shù)列求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和7；.【答案】(I)an=2n-\,S“=〃2：_1z_4〃+3、⑵7^=q(3-^-)-oD【解析】【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列｛4｝的公差，再結(jié)合已知條件列方程求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出或，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】,、 隆=4+2d=5 [a.=1設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,依題意，\ ……，解得一,i) [S“=llq+55d=121 [d=2則a“=4=2〃-1,5“=%；=a),所以｛《,｝的通項(xiàng)公式是4=2〃-1,Sn=n2.

【小問(wèn)2詳解】2〃一1由（1）知，an=2n-l,即有b“=——,1 1 3因此1 1 3因此=3+于'+ +2n-32n-\ + 4111 12〃一11亨“一聲）2/1-1_1112〃一15"-5+2F+F++F―_5^-5+x~~i F7r一丁歷一^F一_F7r1——

534n+3-To-2x5,,+i*所以北=:（3—若）?o318.已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且aABC的外接圓半徑為2.若（a+〃）（sinA+sinB）=csinC+/?sinA,（1）求角。的大小；（2）求aABC面積的最大值.2兀【答案】（1）—3（2）石【解析】【分析】（1）邊角互換結(jié)合余弦定理可得；（2）由外接圓半徑和正弦定理求出c,再由余弦定理和重要不等式可得而的最大值，然后可解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可知（a+6）2=02+刈，即/+臺(tái)2一=_"所以cosC="一+"—二=一工,由C€（0,乃），所以C=如.2ab2 3【小問(wèn)2詳解】由于三角形外接圓的半徑為2則-vj=4,c=26sinC=cr-^-b1-\-ab>3ab（a=b時(shí)取等）：.ab<4(Sq=-(ab\-sinC=>/3.\a/ujl/max2',max19.已知數(shù)列｛4｝滿足4=l,an+l=3~(~iran+1+(~ir.（1）設(shè)么=%“T，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和邑“.【答案】（1）bn=2"-i(2)S2n=3-2n+1-3n-6【解析】【分析】⑴先化簡(jiǎn)/=安14+粵工,再推導(dǎo)出*等于一個(gè)常數(shù),即可求解:（2）結(jié)合第一問(wèn)，先求出數(shù)列｛%｝的滿足的規(guī)律，然后再求和.【小問(wèn)1詳解】由已知有：an+x2?！?，n=2k-^-\,kgZan+Ln由已知有：an+x所以+1=a2n-\+19%+1=%+i+1=%“+2=2a(a.6+2=%_]+2=2(%1T+D=2(bn+0，其中4+l=q+l=2,所以數(shù)列｛々+1｝為以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.所以b,,+l=2x2"T=2",得2=2"-1.【小問(wèn)2詳解】由(1)知：bn=a2n_t=2"-I,%”=2a2.1=2(2"-1),所以S2n=⑵-1)+⑵-1)+⑵-1)+…+(2"-1)+2[(2,-1)+(22-1)+(23-1)+???+(2"-1)]=3[Qi-1)+(22-1)+⑵―1)+…+(2"-1)]=3(2l+22+23+...+2n)-3n=3x=3-2,,+l-3/?-6-20.如圖，已知四棱錐P-A8CO中，四邊形ABC。中，Z4BC=9O°,AB//CD,AB=1.BC=CD=PA=2,直線Q4在平面PC。內(nèi)的投影恰好是△PCD中CD邊的中線尸M，且Q4_LA￡>.B C（1）求證：平面PA6_L平面PBC；（2）若N為AB上一點(diǎn),滿足AB=3AN,求平面PMZV與平面PBC所成銳二面角余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；⑵137190190-【解析】【分析】（1）證明48cM是矩形可得小=AM,取尸M中點(diǎn)O,證明AO_L平面PCD,再證B4_L平面ABCD即可推導(dǎo)作答.（2）以A為原點(diǎn)，射線分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐P-A8C。中，點(diǎn)M是8中點(diǎn)，則CM='C￡）=1=A8,而AB//CD,則四邊形ABCM是

2平行四邊形，又NABC=90°,則平行四邊形ABCM是矩形，AM//BC,AM=BC=2=PA,取PM中點(diǎn)。，連AO,如圖,則AOJ_PM,因直線附在平面PC。內(nèi)的投影恰好是aPCZ)中CO邊的中線PM，即平面小M_L平面PCD,而平面？AMc平面PCD=PM,AOu平面以M,于是得AO_L平面PCD,又COu平面PCD,即CD1AO,因CD_LAM,AMr^AO=A,AAf,AOu平面Q4M，則有81平面Q4M，而R4u平面Q4M，于是得CZ5_LQ4,因曰_LA￡>，CDC\AD^D,CQ,40u平面A8CO,則有Q4_L平面ABC。，又6Cu平面A8CO,因此，BC1PA,而B(niǎo)CJ.AB,ABr>PA=A，4氏勿(=平面月45，從而有8C_L平面QAB，因BCu平面PBC,所以平面平面尸BC.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，AB,A〃,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，射線AB,AM,AP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0,0,0),B(1,O,O),M(0,2,0),P(0,0,2),C(l,2,0),而AB=3AN,有N(；,0,0),于是得向量麗=(；,0,-2),PM=(0,2,-2),P5=(l,0,-2),PC=(1,2,-2).—z、 In,PN-—x.-2Z1—0 一設(shè)平面PMV的法向量為〃=(x，y,zj,則J3 ，令4=1,得”=(6,1,1),[n-PM=2yt-2z(=0設(shè)平面PBC的法向量為m=(9,%，Z2)，則f沅?9=%2-2Z2=0,令Z2=l,得加=(2,0,1)，(沅?PT=42+2y2-2z2=0

設(shè)平面PAW與平面0BC所成銳二面角大小為夕，則cos0=|cos〈肛ri)cos0=|cos〈肛ri)|=137190190\m\\n\V22+l2-V62+l2+l2所以平面尸MV與平面PBC所成銳二面角余弦值是生叵19021.已知函數(shù)，f(x)=e~x+cosx-ax,g(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間0,-內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)X。；(2)若“(x)=/(x)—0cos[x+?J,且”(x)在(0,24)上單調(diào)遞減，試探求。的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)a>l-e-2)r【解析】【分析】(1)當(dāng)。=0時(shí)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷；(2)”(x)在(0,2%)上單調(diào)遞減，則”'(x)W0在(0,2萬(wàn))上恒成立，繼續(xù)將“'(x)W0這個(gè)不等式進(jìn)行參變分離進(jìn)行處理即可.【小問(wèn)1詳解】”=0時(shí)，f^x)=e~x4-cosx,則g(x)=/'(x)=-e-*-sinx,jrg'(x)=e-*-cosx,令〃(x)=g'(x),貝！]=+sinx,顯然xe0,—時(shí)，6'(x)單調(diào)遞增，〃'(0)=-1<0,力']1^=1一/5>0,所以存在使得〃'(r)=0,當(dāng)xe(O,f)時(shí)，〃'(x)<0,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；又〃(0)=g'(0)=0, = =e2>0,所以存在唯一的點(diǎn)/e(0,3,使得g'&)=0.當(dāng)xc(O,Xo)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe卜o，?時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)增：所以％為g(x)的極小值點(diǎn)，得證.由題意可知”（力=6-"+sinx-or在（0,24）上單調(diào)遞減,則〃，（x）=-e~x+cos不一々<0在（0,24）上恒成立，參變分離得+cosx，xe（0,2^）,令0（"=一""+cosx,xg（0,2^）,”（X）=6一"-sinx,當(dāng)xe（冗,2兀）時(shí)，°'（工）=""-sinx>0恒成立，所以夕（x）在（乃,24）上單調(diào)遞增;當(dāng)工￡（0,4）時(shí)，（p^x）=-e~x-cosx單調(diào)遞增，^（0）=-e°-cos0=-2<0,/（,）=_6號(hào)_85'=等一6年>0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在