貴州省黔東南六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A）（ 含答案 ）

第20頁(yè)/共20頁(yè)黔東南六校聯(lián)盟2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考試卷高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章、第二章.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是合題目要求的．1.已知向量，，則的值為（）A. B.9 C.－7 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：D2.已知向是，，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.4 C.－2或4 D.【答案】C【解析】【分析】求出，再由垂直向量的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】，由，得，解得或－2．故選：C.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角的定義可得結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€即直線垂直于軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.4.在平行六面體中，設(shè)，，，M，P分別是，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基底表示以及線性運(yùn)算表示向量.【詳解】由題意，，分別是，的中點(diǎn)，如圖，所以.故選：C5.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等，則滿足條件的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】【分析】分類討論截距為零和截距不為零兩種情況，列出截距式計(jì)算即可.【詳解】分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，，即；②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，則，即.綜上所述，直線共2條．故選：B.6.關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與且有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合判斷存在兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的m范圍即可.【詳解】令且，則且，即圓的上半部分，只需恒過(guò)的直線與且有兩個(gè)交點(diǎn)即可，如上圖，當(dāng)與半圓相切時(shí)，得，當(dāng)過(guò)時(shí)，，當(dāng)過(guò)時(shí)，，綜上，.故選：C7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由時(shí)，恒成立，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性即可得解.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，由，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B.8.在圓冪定理中有一個(gè)切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點(diǎn)，QCD為割線，則．如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線BT垂直AP于點(diǎn)T，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，進(jìn)而求得，再利用基本不等式即可得到答案【詳解】連接，在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，平方得，將代入可得，因?yàn)?，所以，所以，在，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào),故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知兩條平行直線：和：之間的距離小于，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A.0 B.1 C.2 D.－1【答案】AC【解析】【分析】由兩條平行直線間距離可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，即可得出答案.【詳解】直線：和：平行，則，兩條平行直線間距離，解得且，故0和2符合要求.故選:AC．10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若的最小正周期是，則B.當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)都可以表示為C.當(dāng)時(shí)，D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A.根據(jù)正切函數(shù)最小正周期公式計(jì)算即可；對(duì)于B.整體代入正切函數(shù)的對(duì)稱中心公式計(jì)算即可；對(duì)于C.寫(xiě)出函數(shù)解析式代入計(jì)算即可；對(duì)于D.整體代入正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出關(guān)于的單增區(qū)間，再根據(jù)題意列出不等式計(jì)算出取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑菚r(shí)，，則，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以令，，解得，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，，故C選項(xiàng)不正確；令，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因?yàn)?，所以由，得，由，得，所以的取值范圍是，故D選項(xiàng)不正確．故選:BCD11.過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.弦AB的長(zhǎng)度的最小值為B.當(dāng)弦AB最短時(shí)弦所在的直線方程為C.弦AB的長(zhǎng)度的最小值為D.當(dāng)弦AB最短時(shí)弦所在的直線方程為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、最短弦長(zhǎng)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，，所以在圓內(nèi)，，當(dāng)AB⊥PC時(shí)，弦AB最短，最短弦長(zhǎng)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確.，所以當(dāng)最短時(shí)，，此時(shí)直線的方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：CD12.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，E?F?G?H分別為???的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為2 D.二面角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線垂直、線面平行、點(diǎn)面距離、二面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，，所以，A選項(xiàng)正確，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，，由于平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.，所以到平面的距離為，C選項(xiàng)正確.平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，為銳角.，所以不是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為_(kāi)__________．【答案】或【解析】【分析】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑列出方程，求出切線方程.【詳解】①直線的斜率不存在時(shí)滿足，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，所以切線方程為，即．故答案為：或.14.已知圓關(guān)于直線（a，b為大于0的數(shù)）對(duì)稱，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由題意得直線過(guò)圓心，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】圓的圓心為，由題意得：直線過(guò)圓心，所以，又，，所以．（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取“＝”）．故答案：.15.已知，，且，則實(shí)數(shù)___________．【答案】－2【解析】【分析】根據(jù)可以判斷，均為實(shí)數(shù)得出，再根據(jù)不等式限制取值范圍即可【詳解】由題意知，均為實(shí)數(shù)，則，即或．又，則，則，故．故答案為：－216.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是______；的最大值為_(kāi)_____．【答案】①.②.12【解析】【分析】如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對(duì)稱性可得六邊形為正六邊形.故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.已知點(diǎn)，，，H是的垂心．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的外接圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，求出直線的方程，聯(lián)立方程組求出兩直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）先得到邊和邊的中垂線方程，進(jìn)行聯(lián)立得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式算出半徑，即可得到答案【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直線的方程為即，又∵，∴所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為，聯(lián)立直線與的方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】邊的中垂線方程為，因?yàn)椋赃叺闹写咕€的斜率等于，因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，故邊的中垂線的方程為：，所以聯(lián)立兩條中垂線得解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）求證：EF//平面ABCD；（2）求直線DE，BF所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞先證明線線平行，繼而證明線面平行；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間角的計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖連∵幾何體為正方體，∴，∴EF∥BD∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD；【小問(wèn)2詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系令，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，DE，BF所成角的余弦值為19.2022年11月卡塔爾世界杯即將到來(lái)，這是世界足球的一場(chǎng)盛宴．為了了解全民對(duì)足球的熱愛(ài)程度，組委會(huì)在某場(chǎng)比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了1000名觀眾進(jìn)行對(duì)足球“喜愛(ài)度”的調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求m的值并估計(jì)這1000名觀眾評(píng)分的中位數(shù)；（2）若評(píng)分在“90分及以上”確定為“足球發(fā)燒友”，現(xiàn)從“足球發(fā)燒友”中按區(qū)間與兩部分按比例分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)闹腥我膺x取兩人作進(jìn)一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間的概率．【答案】（1），87.5（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)求法求得中位數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣的知識(shí)求得與兩部分抽取的人數(shù)，然后結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)y為觀眾評(píng)分的中位數(shù)，由前三組的概率和為0.375，前四組的概率和為0.625，知，所以，則；【小問(wèn)2詳解】以樣本的頻率作為概率，評(píng)分在“90分及以上”確定為“足球迷發(fā)燒友”，現(xiàn)從“足球速發(fā)燒友”中按分層抽樣抽取5人，則從評(píng)分在區(qū)間的“足球速發(fā)燒友”中抽取3人，記為A，B，C，從評(píng)分在區(qū)間的“足球速發(fā)燒友”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進(jìn)一步的訪談的所有事件為：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個(gè)基本事件，這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，共9個(gè)基本事件，則選取的2人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)上的概率．20.如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，G是PC上一點(diǎn)，且，.（1）求證：平面平面PAB；（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)M，連接MD，ME，則，.又，，所以，，所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.因?yàn)椋?因?yàn)槠矫嫫矫鍼AD，平面平面，，所以平面PAD.因?yàn)槠矫鍼AD，所以.因?yàn)椋云矫鍼AB，所以平面PAB.又平面EFG，所以平面平面PAB.（2）解法—：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在等腰三角形PAD中，，，因?yàn)?，所以，解得，則，所以，，所以.易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.解法二：由（1）可知平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD，所以.在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，連接HB，則是直線PB與平面ABCD所成的角.在等腰三角形PAD中，，，因?yàn)椋?，解得，在直角三角形PHB中，.所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及直線與平面所成角的正弦值的求解，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.試題要求考生能根據(jù)題干中的信息正確分析出圖形中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，對(duì)邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)要求較高.21.已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別是，，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，且的面積為．（1）求A的大小及的值；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理求得A,根據(jù)面積求出，根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得答案；（2）由已知結(jié)合（1）的結(jié)論求得b,利用余弦定理求得BC的長(zhǎng)，在和中分別用余弦定理，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理得，可得，又，，，，解得，