機器人學導論第五章解讀課件

機器人學導論第五章靜力和速度——新疆大學機械工程學院機器人學導論第五章靜力和速度——新疆大學1第五章速度和靜力概述在本章中，我們將機器人操作臂的討論擴展到靜態(tài)位置問題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運用這些概念去分析操作臂的運動。我們將討論作用在剛體上的力，然后應(yīng)用這些概念去研究操作臂靜力學應(yīng)用的問題。關(guān)于速度和靜力的研究將得出一個稱為操作臂雅克比的實矩陣。第五章速度和靜力概述2矢量的導數(shù)（5-1）位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點的線速度。式5-1可以看出，可以通過計算Q相對于坐標系{B}的微分進行描述。左上標B是表明相對于坐標系{B}進行的微分矢量的導數(shù)3像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標系中描述，器參考坐標系用左上標注明，如果在坐標系{A}中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫為給出速度表達式像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標系中描述，器參考坐標系用左4經(jīng)常討論的是一個坐標系元旦相對于某個常見的世界參考坐標系的速度，而不考慮任意坐標系中一般點的速度。對于這種情況定義一個縮寫符號那么是坐標系{C}的原點在坐標系A(chǔ)中表示的速度，盡管微分是相對于坐標系{U}進行的經(jīng)常討論的是一個坐標系元旦相對于某個常見的世界參考坐標系的速5角速度矢量角速度矢量用符號表示。線速度描述了點的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標系總是固連在剛體上，所以可以用角速度描述坐標系的旋轉(zhuǎn)運動。圖5-2在圖5-2中，描述了坐標系{B}相對于坐標系{A}的旋轉(zhuǎn)。實際上的方向就是{B}相對于{A}的瞬時旋轉(zhuǎn)軸，的大小表示旋轉(zhuǎn)速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標中描述，例如，就是坐標系{B}相對于{A}的角速度在坐標系{C}中的描述。角速度矢量角速度矢量用符號表示。線速度描述了點的一種6在參考坐標系非常簡單可用一種簡化的表示方法這里，為坐標系{C}相對于某個已知坐標系{U}的角速度。例如就是坐標系{C}的角速度在坐標系{A}中的描述，盡管這個角速度是相對于坐標系{U}的。在參考坐標系非常簡單可用一種簡化的表示方法75.3剛體的線速度和角速度線速度把坐標系固連在一剛體上，要求描述相對于坐標系{A}的運動,如圖5-3所示。這里已經(jīng)認為坐標系{A}是固定的。此時我們假定不隨時間變化。則Q點相對于坐標系{A}的運動是由于或隨時間的變化引起的。

5.3剛體的線速度和角速度線速度8角速度我們討論兩坐標系的原點重合，相對線速度為0的情況。(1)時（5-10）(2)時（5-11）角速度9線速度和角速度同時存在的情況（5-13）這是把原點的線速度加到式（5-12）中，得到了從坐標系{A}觀測坐標系{B}的普遍公式。線速度和角速度同時存在的情況105.4對角速度的進一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數(shù)學方法正交矩陣導數(shù)的性質(zhì)我們可以推出正交矩陣和某一反對稱矩陣的一種特殊關(guān)系。對于任何n×n正交矩陣R，有（5-14）當n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉(zhuǎn)矩陣，對式（5-14）求導得5.4對角速度的進一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-111定義S為反對稱矩陣，因此正交矩陣的微分與反對稱矩陣之間存在如下特性，可以寫為定義12由于參考系旋轉(zhuǎn)的點速度假定固定矢量相對于坐標系{B}是不變的，在另一個坐標系{A}中的描述為由于坐標系{B}的旋轉(zhuǎn)，代入表達式，得將代入有(5-24)由于參考系旋轉(zhuǎn)的點速度假定固定矢量相對于坐標系{B13反對稱陣和矢量積如果反對稱陣S的各元素如下：(5-25)定義3×1的列矢量(5-26)容易證明(5-27)反對稱陣和矢量積如果反對稱陣S的各元素如下：14與式（5-24）聯(lián)立可得與式（5-24）聯(lián)立可得155.5機器人連桿的運動連桿間的速度傳遞操作臂是一個鏈式結(jié)構(gòu)，每一個連桿的運動都與它的相鄰連桿有關(guān)。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。5.5機器人連桿的運動連桿間的速度傳遞16如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個由于關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標系{i}，上述關(guān)系可寫成圖5-6其中如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一17在方程式5-43兩邊同時左乘可以得到連桿i+1的角速度相對于坐標系{i+1}的表達式：在方程式5-43兩邊同時左乘可以得到連桿i+1的18坐標系{i+1}原點的線速度等于坐標系{i}原點的線速度加上一個由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于在坐標系{i}中是常數(shù)，所以有，（5-46）兩邊同時左乘得（5-47）從一個連桿到下一個連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計算出最后一個連桿的角速度和線速度，注意，這兩個公式是按照坐標系{N}表達的，如果用基坐標系來表達角速度和線速度的話，就可以用去左乘速度，向基坐標系進行旋轉(zhuǎn)變換。坐標系{i+1}原點的線速度等于坐標系{i}原點的線速度加上19例5.3圖5-8所示是具有兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂.計算出操作臂末端的速度，將它表達成操作臂末端的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標系{3}表示，一種是用坐標系{0}表示。圖5-8兩連桿操作臂圖5-9兩連桿操作臂的坐標系布局例5.3圖5-8所示是具有兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂.計算出20首先將坐標系固連在連桿上，計算連桿變換如下首先將坐標系固連在連桿上，計算連桿變換如下21運用式（5-45）和式（5-47）從基坐標{0}依次計算出每個坐標系原點的速度，其中基坐標系的速度為0。（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）運用式（5-45）和式（5-47）從基坐標{0}依次計算出每22式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對于基坐標的表達，用旋轉(zhuǎn)矩陣對它們作旋轉(zhuǎn)變換，即（5-56）通過這個變換可以得到（5-57）式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對于基坐標的表達，235.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導數(shù)。例如假設(shè)有6個函數(shù)，每個函數(shù)有6個獨立變量：5.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導數(shù)。例如假設(shè)有6個函數(shù)24由多元函數(shù)求導法則得在任一瞬時，x都有一個確定的值，J(X)是一個線性變換。在每個新時刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時變的線性變換。由多元函數(shù)求導法則得在任一瞬時，x都有一個確定的值，J(X)25在機器人學中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來，比如(5-64)式中θ是操作臂關(guān)節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達式附加了左上標，以此來表示笛卡爾速度所參考的坐標系。對于通常的6關(guān)節(jié)機器人，雅克比矩陣是6×6階矩陣，是6×1維的，也是6×1維的。這個6×1笛卡爾速度矢量是由一個3×1的線速度矢量和一個3×1的角速度矢量組合起來的：(5-65)在機器人學中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速26寫出例5.3中的雅克比矩陣由例5.3的結(jié)果式（5-55）可寫出坐標系{3}的雅克比表達式式（5-57）可寫出坐標系{0}的雅克比表達式（5-66）（5-67）寫出例5.3中的雅克比矩陣（5-66）（5-67）27雅克比矩陣參考坐標系的變換已知坐標系{B}中的雅克比矩陣，即我們關(guān)心的是給出雅克比矩陣在另一個坐標系{A}中的表達式。由于因此可以得到雅克比矩陣參考坐標系的變換已知坐標系{B}中的雅克比矩陣，即28顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標系的變換：顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標系的變換：295.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈式結(jié)構(gòu)自然讓我們想到力和力矩是如何從一個連桿向下一個連桿傳遞的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩。我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定義一下特殊符號：=連桿i-1施加在連桿i上的力=連桿i-1施加在連桿i上的力矩。5.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈式結(jié)構(gòu)自然讓我們想到30建立連桿坐標系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿的靜力和靜力矩的平衡關(guān)系建立連桿坐標系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重31將繞坐標系{i}原點的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和力矩的描述開始，從末端連桿到基座進行計算就可以計算出作用于每一個連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號連桿向低序號連桿進行迭代求解。結(jié)果如下用旋轉(zhuǎn)矩陣進行變換得到最重要的連桿之間的靜力“傳遞”表達式：將繞坐標系{i}原點的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和32除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機構(gòu)本身來平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點積：對于關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)的情況，可以計算出關(guān)節(jié)驅(qū)動力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計算靜態(tài)作用下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關(guān)節(jié)力。除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機構(gòu)33例5.7在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量（可以認為該力是作用在坐標系{3}的原點上）。按照位形和作用力的函數(shù)給出所需的關(guān)節(jié)力（見圖5-12）。圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端連桿開始向機器人的基座計算：例5.7圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端34于是有可將這個關(guān)系寫成矩陣算子：于是有可將這個關(guān)系寫成矩陣算子：355.10力域中的雅可比功具有能量的單位，所以它在任何廣義坐標系下的測量值都相同。特別是在笛卡爾空間做的功應(yīng)當?shù)扔陉P(guān)節(jié)空作的功式中F是一個作用在末端執(zhí)行器上的6×1維笛卡爾力-力矩質(zhì)量，δχ是一個作用在末端執(zhí)行器的6×1維無窮小笛卡爾位移矢量，τ是6×1維關(guān)節(jié)力矩矢量，δθ是6×1維無窮小的關(guān)節(jié)位移矢量。式(5-91)也可寫成5.10力域中的雅可比功具有能量的單位，所以它在任何廣義36雅克比矩陣的定義為因此可以寫出對所有的δθ，上式均成立，因此有對上式兩邊轉(zhuǎn)置，可得式5-96從一般意義上證明了里5.6中兩連桿操作臂的特殊情況：雅克比的轉(zhuǎn)置將作用在手臂上的笛卡爾力映射成了等效雅克比矩陣的定義為因此可以寫出對所有的δθ，上式均成立，因此37關(guān)節(jié)力矩。當?shù)玫较鄬τ谧鴺讼祘0}的雅克比矩陣后，可以由下式對坐標系{0}中的力矢量進行變換：注意，式（5-97）是一個非常有趣的關(guān)系式，它可將一個笛卡爾空間的兩變換為一個關(guān)節(jié)空間的兩而無需計算任何運動學函數(shù)的逆解。關(guān)節(jié)力矩。當?shù)玫较鄬τ谧鴺讼祘0}的雅克比矩陣后，可以由下式38速度和靜力的笛卡爾變換根據(jù)6×1維的剛體廣義速度表達式進行討論：同樣，考慮6×1維的廣義力矢量表達式，即很自然的想到將這些量從一個坐標系映射到另一個坐標系。速度和靜力的笛卡爾變換根據(jù)6×1維的剛體廣義速度表達式進行討39這里，用矩陣算子的形式寫出式（5-45）和式（5-47），將坐標系{A}中的廣義速度矢量變換為在坐標系{B}中的描述。這里涉及的兩個坐標系之間的連接是剛性的，所以在式(5-45)中出現(xiàn)的被置零式中叉乘又可看成是矩陣算子這里，用矩陣算子的形式寫出式（5-45）和式（5-47），將40現(xiàn)在式（5-100）將一個坐標系的速度與兩一個坐標系的速度聯(lián)系起來，這個6×6算子被稱為速度變換矩陣，用符號表示，因此可將是（5-100）表示成緊湊的形式：已知{B}中的速度值，為了計算在{A}中的速度描述，可以對是（5-100）求逆：即現(xiàn)在式（5-100）將一個坐標系的速度與兩一個坐標系的速度聯(lián)41同樣，由式（5-80）和（5-81）可得6×6的矩陣，它可將在坐標系{B}中的廣義力矢量變換成在坐標系{A}中的描述，即為可以寫成緊湊形式式中用來表示一個力—力矩變換速度和力變換矩陣與雅克比矩陣相似，可把不同坐標系中的速度和力聯(lián)系起來。參照雅克比矩陣，有同樣，由式（5-80）和（5-81）可得6×6的矩陣，它可將42機器人學導論第五章靜力和速度——新疆大學機械工程學院機器人學導論第五章靜力和速度——新疆大學43第五章速度和靜力概述在本章中，我們將機器人操作臂的討論擴展到靜態(tài)位置問題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運用這些概念去分析操作臂的運動。我們將討論作用在剛體上的力，然后應(yīng)用這些概念去研究操作臂靜力學應(yīng)用的問題。關(guān)于速度和靜力的研究將得出一個稱為操作臂雅克比的實矩陣。第五章速度和靜力概述44矢量的導數(shù)（5-1）位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點的線速度。式5-1可以看出，可以通過計算Q相對于坐標系{B}的微分進行描述。左上標B是表明相對于坐標系{B}進行的微分矢量的導數(shù)45像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標系中描述，器參考坐標系用左上標注明，如果在坐標系{A}中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫為給出速度表達式像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標系中描述，器參考坐標系用左46經(jīng)常討論的是一個坐標系元旦相對于某個常見的世界參考坐標系的速度，而不考慮任意坐標系中一般點的速度。對于這種情況定義一個縮寫符號那么是坐標系{C}的原點在坐標系A(chǔ)中表示的速度，盡管微分是相對于坐標系{U}進行的經(jīng)常討論的是一個坐標系元旦相對于某個常見的世界參考坐標系的速47角速度矢量角速度矢量用符號表示。線速度描述了點的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標系總是固連在剛體上，所以可以用角速度描述坐標系的旋轉(zhuǎn)運動。圖5-2在圖5-2中，描述了坐標系{B}相對于坐標系{A}的旋轉(zhuǎn)。實際上的方向就是{B}相對于{A}的瞬時旋轉(zhuǎn)軸，的大小表示旋轉(zhuǎn)速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標中描述，例如，就是坐標系{B}相對于{A}的角速度在坐標系{C}中的描述。角速度矢量角速度矢量用符號表示。線速度描述了點的一種48在參考坐標系非常簡單可用一種簡化的表示方法這里，為坐標系{C}相對于某個已知坐標系{U}的角速度。例如就是坐標系{C}的角速度在坐標系{A}中的描述，盡管這個角速度是相對于坐標系{U}的。在參考坐標系非常簡單可用一種簡化的表示方法495.3剛體的線速度和角速度線速度把坐標系固連在一剛體上，要求描述相對于坐標系{A}的運動,如圖5-3所示。這里已經(jīng)認為坐標系{A}是固定的。此時我們假定不隨時間變化。則Q點相對于坐標系{A}的運動是由于或隨時間的變化引起的。

5.3剛體的線速度和角速度線速度50角速度我們討論兩坐標系的原點重合，相對線速度為0的情況。(1)時（5-10）(2)時（5-11）角速度51線速度和角速度同時存在的情況（5-13）這是把原點的線速度加到式（5-12）中，得到了從坐標系{A}觀測坐標系{B}的普遍公式。線速度和角速度同時存在的情況525.4對角速度的進一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數(shù)學方法正交矩陣導數(shù)的性質(zhì)我們可以推出正交矩陣和某一反對稱矩陣的一種特殊關(guān)系。對于任何n×n正交矩陣R，有（5-14）當n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉(zhuǎn)矩陣，對式（5-14）求導得5.4對角速度的進一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-153定義S為反對稱矩陣，因此正交矩陣的微分與反對稱矩陣之間存在如下特性，可以寫為定義54由于參考系旋轉(zhuǎn)的點速度假定固定矢量相對于坐標系{B}是不變的，在另一個坐標系{A}中的描述為由于坐標系{B}的旋轉(zhuǎn)，代入表達式，得將代入有(5-24)由于參考系旋轉(zhuǎn)的點速度假定固定矢量相對于坐標系{B55反對稱陣和矢量積如果反對稱陣S的各元素如下：(5-25)定義3×1的列矢量(5-26)容易證明(5-27)反對稱陣和矢量積如果反對稱陣S的各元素如下：56與式（5-24）聯(lián)立可得與式（5-24）聯(lián)立可得575.5機器人連桿的運動連桿間的速度傳遞操作臂是一個鏈式結(jié)構(gòu)，每一個連桿的運動都與它的相鄰連桿有關(guān)。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。5.5機器人連桿的運動連桿間的速度傳遞58如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個由于關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標系{i}，上述關(guān)系可寫成圖5-6其中如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一59在方程式5-43兩邊同時左乘可以得到連桿i+1的角速度相對于坐標系{i+1}的表達式：在方程式5-43兩邊同時左乘可以得到連桿i+1的60坐標系{i+1}原點的線速度等于坐標系{i}原點的線速度加上一個由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于在坐標系{i}中是常數(shù)，所以有，（5-46）兩邊同時左乘得（5-47）從一個連桿到下一個連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計算出最后一個連桿的角速度和線速度，注意，這兩個公式是按照坐標系{N}表達的，如果用基坐標系來表達角速度和線速度的話，就可以用去左乘速度，向基坐標系進行旋轉(zhuǎn)變換。坐標系{i+1}原點的線速度等于坐標系{i}原點的線速度加上61例5.3圖5-8所示是具有兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂.計算出操作臂末端的速度，將它表達成操作臂末端的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標系{3}表示，一種是用坐標系{0}表示。圖5-8兩連桿操作臂圖5-9兩連桿操作臂的坐標系布局例5.3圖5-8所示是具有兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂.計算出62首先將坐標系固連在連桿上，計算連桿變換如下首先將坐標系固連在連桿上，計算連桿變換如下63運用式（5-45）和式（5-47）從基坐標{0}依次計算出每個坐標系原點的速度，其中基坐標系的速度為0。（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）運用式（5-45）和式（5-47）從基坐標{0}依次計算出每64式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對于基坐標的表達，用旋轉(zhuǎn)矩陣對它們作旋轉(zhuǎn)變換，即（5-56）通過這個變換可以得到（5-57）式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對于基坐標的表達，655.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導數(shù)。例如假設(shè)有6個函數(shù)，每個函數(shù)有6個獨立變量：5.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導數(shù)。例如假設(shè)有6個函數(shù)66由多元函數(shù)求導法則得在任一瞬時，x都有一個確定的值，J(X)是一個線性變換。在每個新時刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時變的線性變換。由多元函數(shù)求導法則得在任一瞬時，x都有一個確定的值，J(X)67在機器人學中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來，比如(5-64)式中θ是操作臂關(guān)節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達式附加了左上標，以此來表示笛卡爾速度所參考的坐標系。對于通常的6關(guān)節(jié)機器人，雅克比矩陣是6×6階矩陣，是6×1維的，也是6×1維的。這個6×1笛卡爾速度矢量是由一個3×1的線速度矢量和一個3×1的角速度矢量組合起來的：(5-65)在機器人學中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速68寫出例5.3中的雅克比矩陣由例5.3的結(jié)果式（5-55）可寫出坐標系{3}的雅克比表達式式（5-57）可寫出坐標系{0}的雅克比表達式（5-66）（5-67）寫出例5.3中的雅克比矩陣（5-66）（5-67）69雅克比矩陣參考坐標系的變換已知坐標系{B}中的雅克比矩陣，即我們關(guān)心的是給出雅克比矩陣在另一個坐標系{A}中的表達式。由于因此可以得到雅克比矩陣參考坐標系的變換已知坐標系{B}中的雅克比矩陣，即70顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標系的變換：顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標系的變換：715.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈式結(jié)構(gòu)自然讓我們想到力和力矩是如何從一個連桿向下一個連桿傳遞的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩。我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定義一下特殊符號：=連桿i-1施加在連桿i上的力=連桿i-1施加在連桿i上的力矩。5.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈式結(jié)構(gòu)自然讓我們想到72建立連桿坐標系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿的靜力和靜力矩的平衡關(guān)系建立連桿坐標系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重73將繞坐標系{i}原點的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和力矩的描述開始，從末端連桿到基座進行計算就可以計算出作用于每一個連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號連桿向低序號連桿進行迭代求解。結(jié)果如下用旋轉(zhuǎn)矩陣進行變換得到最重要的連桿之間的靜力“傳遞”表達式：將繞坐標系{i}原點的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和74除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機構(gòu)本身來平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點積：對于關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)的情況，可以計算出關(guān)節(jié)驅(qū)動力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計算靜態(tài)作用下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關(guān)節(jié)力。除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機構(gòu)75例5.7在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量（可以認為該力是作用在坐標系{3}的原點上）。按照位形和作用力的函數(shù)給出所需的關(guān)節(jié)力（見圖5-12）。圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端連桿開始向機器人的基座