微元法處理速度關(guān)聯(lián)問題

微元法處理關(guān)聯(lián)速度類問題湖北省恩施高中陳恩譜因高中教材不講授相對(duì)運(yùn)動(dòng)，關(guān)聯(lián)速度也較少進(jìn)行理論分析，因此，當(dāng)學(xué)生遇到稍微復(fù)雜點(diǎn)兒的關(guān)聯(lián)速度類試題時(shí)，普遍感覺理解和分析的困難，即便教師著意補(bǔ)充了前兩個(gè)方面的內(nèi)容，很多學(xué)生還是覺得難以想象。其實(shí)，所有這類問題，全部可以用微元V一用幾何圖示的方法一直觀的展現(xiàn)和計(jì)算，這對(duì)絕大部分學(xué)生來說，就比相對(duì)運(yùn)動(dòng)、關(guān)聯(lián)速度的思路容易理解得多?！纠?】如圖1所示，當(dāng)小車A以恒定的速度v向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于B物體，下列說法正確的是（）勻加速上升B物體受到的拉力大于B物體受到的重力勻速上升B物體受到的拉力等于B物體受到的重力［解析］本題是很常規(guī)的繩連接問題，將A車的速度沿繩、垂直繩分解，用沿繩方向分速度相等即可輕松解決。下面以微元法來解本題。設(shè)A車在極短時(shí)間Z內(nèi)向左運(yùn)動(dòng)一小段距離七，則B的位移與A的位移關(guān)系如圖所示，由幾何關(guān)系，有：x=xcos0兩邊除以Z，得v=vcos0在此基礎(chǔ)上，易得B答案正確?！纠?】如圖所示，細(xì)繩一端固定在天花板上的O點(diǎn)，另一端穿過一張CD光盤的中央小孔后拴著一個(gè)橡膠球，橡膠球靜止時(shí)，豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊沿.現(xiàn)將CD光盤按在桌面上，并沿桌面邊緣以速度v勻速移動(dòng)，移動(dòng)過程中，CD光盤中央小孔始終緊挨桌面邊線，當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為e時(shí)，小球上升的速度大小為（）A.vsineB.vcoseC.vtaneD.vcote［解析］本題按常規(guī)思路，需要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)的分解合成，對(duì)很多學(xué)生來說這是有一定理解困難的。若是采用微元法，則問題卻變得簡單而直接。設(shè)光盤在極短時(shí)間△，內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)一小段位移X，由幾何關(guān)系易知，小球水平位移也為X，豎直位移為y=xcos0兩邊除以時(shí)間△，，得小球上升的速度（豎直速度）為v=vcos0小球的位移為X=（X2+y2=x\1+cos20兩邊除以At，得小球的速度為v'=v\/1+cos20【例3】如圖3所示，頂角e=60°、光滑V字形軌道AOB固定在豎直平面內(nèi)，且AO豎直.一水平桿與軌道交于M、N兩點(diǎn)，已知桿自由下落且始終保持水平，經(jīng)時(shí)間t速度由6m/s增大到14m/s（桿未觸地），則在0.5t時(shí)，觸點(diǎn)N沿傾斜軌道運(yùn)動(dòng)的速度大小為（g取10m/s2）（）A.10m/sB.17m/sC.20m/sD.28m/s［解析］本題按常規(guī)思路，需要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)的分解合成，對(duì)很多學(xué)生來說這是有一定理解困難的。若是采用微元法，則問題卻變得簡單而直接。桿做自由落體運(yùn)動(dòng)，0.5t時(shí)刻，其豎直下落的速度為v=%+1=10m/s2設(shè)桿在極短時(shí)間At內(nèi)豎直下落位移為x，則由幾何關(guān)系，有觸點(diǎn)N沿傾斜軌道運(yùn)動(dòng)的位移為x=x/cos0兩邊除以At，得v=v/cos0=20m/s【例4】如圖所示為豎直黑板，下邊為黑板的水平槽，現(xiàn)有一三角板ABC，ZC=30°.三角板上A處固定一大小不計(jì)的滑輪，現(xiàn)讓三角板豎直緊靠黑板，BC邊與黑板的水平槽重合，將一細(xì)線一端固定在黑板上與A等高的Q點(diǎn)，另一端系一粉筆頭（可視為質(zhì)點(diǎn)）.粉筆頭最初與C重合，且細(xì)線繃緊。現(xiàn)用一水平向左的力推動(dòng)三角板向左移動(dòng)，保證粉筆頭緊靠黑板的同時(shí)，緊靠三角板的AC邊，當(dāng)三角板向左移動(dòng)的過程中，粉筆頭會(huì)在黑板上留下一條印跡，關(guān)于此印跡，以下說法正確的是：（）若勻速推動(dòng)三角板，印跡為一條直線若勻加速推動(dòng)三角板若變加速推動(dòng)三角板無論如何推動(dòng)三角板A.B.C.D.印跡為一條曲線印跡為一條曲線印跡均為直線，且印跡與AC邊成75°角［解析］教學(xué)實(shí)踐表明，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)固然簡潔明快很多學(xué)生無法理解老師究竟在講什么，而如果采用微元法講解本題，學(xué)生普遍覺得好理解。如右圖所示，設(shè)三角板在極短時(shí)間At內(nèi)向左運(yùn)動(dòng)位移為x，則粉筆頭沿斜面上升的距離也為x，粉筆頭對(duì)地的位移為Ax，則由幾何關(guān)系易知，無論如何向左推動(dòng)三角板，印跡均為直線，且印跡與AC邊成75°角。但是【例5】在一大型超市小偷被保安發(fā)現(xiàn)，小偷一以不變速度七沿著直線AB逃跑，保安以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)小偷.某時(shí)刻小偷在F處，保安在D處，F(xiàn)D±AB（如圖），試求此時(shí)保安的加速度的大小.（弧可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分）［解析］要解決這個(gè)問題，高中階段幾乎只能用微元法。經(jīng)過一段極短的時(shí)間At，保安和小偷各運(yùn)動(dòng)一段路程后，兩者的位置如圖所示，則有x=vAtx且0=—=TLpx=vAtx聯(lián)立，得保安軌跡半徑為:v丁p=TLv1X1V2X2設(shè)小環(huán)經(jīng)過一段極短的時(shí)間t下落一小段距離y，小環(huán)的速度增加為設(shè)小環(huán)經(jīng)過一段極短的時(shí)間t下落一小段距離y，小環(huán)的速度增加為v1，此時(shí)重物上升的速度為v2,則有：y=2gt2=dtan0，v=vsin0=gtsin01—gt2+25g2t3V2=gtd—而sin0=tan0，則有:2dvid,一-則此時(shí)保安的加速度的大小為：a=M=旱PL【例6】如圖所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，B處在A處正下方距離為d處，則下列說法正確的是小環(huán)剛釋放時(shí)輕繩中的張力一定大于2mg小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于t2小環(huán)下降速度最大時(shí)，輕繩中的張力一定等于2mg4,小環(huán)從A處開始能夠下降的最大高度為3d［解析］本題B、D選項(xiàng)學(xué)生基本上都能應(yīng)付，筆者在此著重分析A、C選項(xiàng)。按常規(guī)思路，我們需要根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓定律，算出小環(huán)、重物速度隨時(shí)間變化的函數(shù)，然后對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。但是，若用微元法，則更簡單直接。(1)A選項(xiàng):可知繩中張力大于2可知繩中張力大于2mg.Vg2t2則重物上升的加速度為：a=f=4—t2d當(dāng)取t一0時(shí)，易知a=0.則繩中張力等于2mg.(2)C選項(xiàng)：當(dāng)小環(huán)速度最大時(shí)，小環(huán)加速度為零，經(jīng)過一段極短的時(shí)間At，小環(huán)的速度和重物的速度關(guān)系及其變化如圖所示，由圖極易看出，重物速度v2的大小增大了，即重物具有豎直向上的加速度，則繩中張力大于2mg.更細(xì)致的分析如下：此時(shí)V］垂直于繩方向分速度七方向變化產(chǎn)生的加速度(向心加速度，沿繩向右上指向滑輪)為：