條件概率與乘法公式課件

§1.3條件概率

引例

袋中有7只白球,3只紅球,白球中有4只木球,3只塑料球;紅球中有2只木球,1只塑料球.現(xiàn)從袋中任取1球,假設每個球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,問它是木球的概率是多少？設

A

表示任取一球，取得白球；B

表示任取一球，取得木球.條件概率與乘法公式古典概型§1.379§1.3條件概率引例袋中有7只白球,3只紅球所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計木球426塑球314小計731080所求的概率稱為在事件A發(fā)生的條件下解列表白球紅球小計木

設A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為定義從而有81設A、B為兩事件,P(A)>0,則稱（1）古典概型可用縮減樣本空間法（2）其他概型用定義與有關公式條件概率的計算方法82（1）古典概型可用縮減樣本空間法（2）其他條件概率也是概率,故具有概率的性質：

非負性

歸一性

可列可加性

83條件概率也是概率,故具有概率的性質：非負性歸一例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔.求2張都是假鈔的概率.解一令A

表示“其中1張是假鈔”.B表示“2張都是假鈔”由縮減樣本空間法得下面兩種解法哪個正確？84例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任解一令A表利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式85利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式85

某廠生產的燈泡能用1000小時的概率為0.8,能用1500小時的概率為0.4,求已用1000小時的燈泡能用到1500小時的概率解令A

燈泡能用到1000小時

B

燈泡能用到1500小時所求概率為例1(類似于教材P.28例3)例186某廠生產的燈泡能用1000小時的概率解令例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔.求2張都是假鈔的概率.解一令A

表示“其中1張是假鈔”.B表示“2張都是假鈔”由縮減樣本空間法得下面兩種解法哪個正確？例287例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任解一令A表解二令A

表示“抽到2張都是假鈔”.B表示“2張中至少有1張假鈔”則所求概率是（而不是?。?所以88解二令A表示“抽到2張都是假鈔”.B表示“2張中例3盒中裝有5個產品,其中3個一等品，2個二等品,從中不放回地取產品,每次1個,求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解

令Ai

為第

i次取到一等品（1）例389例3盒中裝有5個產品,其中3個一等品，2個解令A(3)提問：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更簡單（2）90(3)提問：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更簡單(4)91(4)91條件概率與無條件概率之間的大小無確定關系若一般地條件概率無條件概率92條件概率與無條件概率若一般地條件概率無條件概率92例4

為了防止意外,礦井內同時裝有A與B兩兩種報警設備,已知設備A

單獨使用時有效的概率為0.92,設備B

單獨使用時有效的概率為0.93,在設備A失效的條件下,設備B有效的概率為0.85,求發(fā)生意外時至少有一個報警設備有效的概率.設事件A,B

分別表示設備A,B有效

已知求解例493例4為了防止意外,礦井內同時裝有A與B兩設事件A,解由即故解法二94解由即故解法二94B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式

全概率公式與Bayes公式B295B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式全概率每100件產品為一批,已知每批產品中次品數(shù)不超過4件,每批產品中有

i件次品的概率為i01234P0.10.20.40.20.1從每批產品中不放回地取10件進行檢驗,若發(fā)現(xiàn)有不合格產品,則認為這批產品不合格，否則就認為這批產品合格.求(1)一批產品通過檢驗的概率(2)通過檢驗的產品中恰有i

件次品的概率例5例596每100件產品為一批,已知每批產品中i0解設一批產品中有

i件次品為事件Bi,i=0,1,…,4A

為一批產品通過檢驗則已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式與Bayes公式可計算P(A)與97解設一批產品中有i件次品為事件Bi,i=0,結果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.08098結果如下表所示i0稱為后驗概率，它是得到了信息—A

發(fā)生,再對導致

A

發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正i較大時，

稱P(Bi)為先驗概率，它是由以往的經驗得到的，它是事件

A

的原因

本例中，i較小時，99稱為后驗概率，它是得到了信息—A發(fā)生,再對導致A例6由于隨機干擾,在無線電通訊中發(fā)出信號“?”,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.7,0.2,0.1;發(fā)出信號“—”,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.0,0.1,0.9.已知在發(fā)出的信號中,“?”和“—”出現(xiàn)的概率分別為0.6和0.4,試分析,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為“?”還是“—”的概率哪個大？解設原發(fā)信號為“?”為事件

B1原發(fā)信號為“—”為事件

B2收到信號“不清”為事件A例6100例6由于隨機干擾,在無線電通訊中發(fā)出信解設原發(fā)信號已知：可見,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為“?”的可能性大101已知：可見,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為101作業(yè)P47習題一2527293132習題102作業(yè)P47習題一252729習每周一題3

問題第3

周

17世紀,法國的CDMere注意到在賭博中一對骰子拋25次,把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利.但他本人找不出原因.后來請當時著名的法國數(shù)學家帕斯卡(Pascal)才解決了這一問題.這問題是如何解決的呢?103每周一題3問題第3周§1.3條件概率

引例

袋中有7只白球,3只紅球,白球中有4只木球,3只塑料球;紅球中有2只木球,1只塑料球.現(xiàn)從袋中任取1球,假設每個球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,問它是木球的概率是多少？設

A

表示任取一球，取得白球；B

表示任取一球，取得木球.條件概率與乘法公式古典概型§1.3104§1.3條件概率引例袋中有7只白球,3只紅球所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計木球426塑球314小計7310105所求的概率稱為在事件A發(fā)生的條件下解列表白球紅球小計木

設A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為定義從而有106設A、B為兩事件,P(A)>0,則稱（1）古典概型可用縮減樣本空間法（2）其他概型用定義與有關公式條件概率的計算方法107（1）古典概型可用縮減樣本空間法（2）其他條件概率也是概率,故具有概率的性質：

非負性

歸一性

可列可加性

108條件概率也是概率,故具有概率的性質：非負性歸一例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔.求2張都是假鈔的概率.解一令A

表示“其中1張是假鈔”.B表示“2張都是假鈔”由縮減樣本空間法得下面兩種解法哪個正確？109例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任解一令A表利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式110利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式85

某廠生產的燈泡能用1000小時的概率為0.8,能用1500小時的概率為0.4,求已用1000小時的燈泡能用到1500小時的概率解令A

燈泡能用到1000小時

B

燈泡能用到1500小時所求概率為例1(類似于教材P.28例3)例1111某廠生產的燈泡能用1000小時的概率解令例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔.求2張都是假鈔的概率.解一令A

表示“其中1張是假鈔”.B表示“2張都是假鈔”由縮減樣本空間法得下面兩種解法哪個正確？例2112例2從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任解一令A表解二令A

表示“抽到2張都是假鈔”.B表示“2張中至少有1張假鈔”則所求概率是（而不是?。?所以113解二令A表示“抽到2張都是假鈔”.B表示“2張中例3盒中裝有5個產品,其中3個一等品，2個二等品,從中不放回地取產品,每次1個,求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解

令Ai

為第

i次取到一等品（1）例3114例3盒中裝有5個產品,其中3個一等品，2個解令A(3)提問：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更簡單（2）115(3)提問：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更簡單(4)116(4)91條件概率與無條件概率之間的大小無確定關系若一般地條件概率無條件概率117條件概率與無條件概率若一般地條件概率無條件概率92例4

為了防止意外,礦井內同時裝有A與B兩兩種報警設備,已知設備A

單獨使用時有效的概率為0.92,設備B

單獨使用時有效的概率為0.93,在設備A失效的條件下,設備B有效的概率為0.85,求發(fā)生意外時至少有一個報警設備有效的概率.設事件A,B

分別表示設備A,B有效

已知求解例4118例4為了防止意外,礦井內同時裝有A與B兩設事件A,解由即故解法二119解由即故解法二94B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式

全概率公式與Bayes公式B2120B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式全概率每100件產品為一批,已知每批產品中次品數(shù)不超過4件,每批產品中有

i件次品的概率為i01234P0.10.20.40.20.1從每批產品中不放回地取10件進行檢驗,若發(fā)現(xiàn)有不合格產品,則認為這批產品不合格，否則就認為這批產品合格.求(1)一批產品通過檢驗的概率(2)通過檢驗的產品中恰有i

件次品的概率例5例5121每100件產品為一批,已知每批產品中i0解設一批產品中有

i件次品為事件Bi,i=0,1,…,4A

為一批產品通過檢驗則已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式與Bayes公式可計算P(A)與122解設一批產品中有i件次品為事件Bi,i=0,結果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080123結果如下表所示i0稱為后驗概率，它是得到了信息—A

發(fā)生,再對導致

A

發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正i較大時，

稱P(Bi)為先驗概率，它是由以往的經驗得到的，它是事件

A

的原因

本例中，i