微觀粒子運動模型建立試題

微觀粒子運動模型建立試題24.（20分）導體切割磁感線的運動可以從宏觀和微觀兩個角度來認識.如圖所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中，金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F作用下，在導線框上以速度v做勻速運動，速度v與恒力F方向相同；導線MN始終與導線框形成閉合電路.已知導線MN電阻為R，其長度L恰好等于平行軌道間距，磁場的磁感應強度為B忽略摩擦阻力和導線框的電阻.XX祝A/其XKXXXXXKKXXXKXXAfXXKX（1）通過公式推導驗證：在金時間內(nèi)，F(xiàn)對導線MN所做的功W等于電路獲得的電能W電，也等于導線MN中產(chǎn)生的熱量Q;（2）若導線MN的質(zhì)量m=8.0g、長度L=0.10m，感應電流/=1.0A，假設(shè)一個原子貢獻一個自由電子，計算導線MN中電子沿導線長度方向定向移動的平均速率vg（下表中列出一些你可能會用到的數(shù)據(jù)）；6阿伏伽德羅常數(shù)NA6.0X1023mol-1元電荷e1.6X10-19C導線MN的摩爾質(zhì)量以6.0X10-2kg/mol（3）經(jīng)典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞.展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子的運動模型；在此基礎(chǔ)上，求出導線MN中金屬離子對一個自由電子沿導線長度方向的平均作用力f的表達式.11、【2014海淀查漏補缺】一段橫截面積為S的直金屬導線，單位體積內(nèi)有n個自由電子，電子的質(zhì)量為m，電子的電荷量為e。該導線通有電流時，電子定向運動的平均速度用v表示。（1）求導線中的電流I。（2）按照經(jīng)典理論，電子在金屬中運動的情形是這樣的：在外加電場可通過加電壓實現(xiàn)）的作用下，自由電子發(fā)生定向運動，便產(chǎn)生了電流。電子在運動的過程中要不斷地與金屬離子發(fā)生碰撞，將動能交給金屬離子（微觀上使其熱運動更加劇烈，宏觀上產(chǎn)生了焦耳熱），而自己的動能降為零，然后在電場的作用下重新開始加速運動（為簡化問題，我們假定：電子沿電流方向做勻加速直線運動），經(jīng)加速運動一段距離后，再與金屬離子發(fā)生碰撞。電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示。請從宏觀和微觀相聯(lián)系的角度，結(jié)合能量轉(zhuǎn)化的相關(guān)規(guī)律，求金屬導體的電阻率。按照經(jīng)典電子理論，電子在金屬中運動的情形是這樣的：在外加電場的作用下，自由電子發(fā)生定向移動，便產(chǎn)生了電流，電子在運動的過程中要不斷地與金屬離子發(fā)生碰撞，將動能交給金屬離子，而自己的動能降為零，然后在電場的作用下重新開始加速運動（看成勻加速運動），經(jīng)加速一段距離后，再與金屬離子發(fā)生碰撞，電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示，電子運動的平均速度用表示，導體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)量為n，電子的質(zhì)量為m，電子的電荷量為e，電流的表達式I=nqsv.請證明金屬導體的電阻率P二自由程L設(shè)長度為自由程的導體兩端的電壓為U，則根據(jù)歐律得到，電阻R=U/I①根據(jù)電阻定律得，R=PL/S導體中電流的微觀表達式I=nqsv在自由程內(nèi)，電子在電場力作用作用下，速度從0加速到V,由動能定理得eU=1/2mV2又平均速度v=0+V/2⑤聯(lián)立上述五式得到，金屬導體的電阻率P=2mv/ne2L.得證.24.（20分）對于同一物理問題，常?？梢詮暮暧^與微觀兩個不同角度進行研究，找出其內(nèi)在聯(lián)系，從而更加深刻地理解其物理本質(zhì)。（1）一段橫截面積為S、長為l的直導線，單位體積內(nèi)有n個自由電子，電子電量為e。該導線通有電流時，假設(shè)自由電子定向移動的速率均為v。（a）求導線中的電流I；（b）將該導線放在勻強磁場中，電流方向垂直于磁感應強度B，導線所受安培力大小為F安，導線內(nèi)自由電子所受洛倫茲力大小的總和為F，推導F^=F。女（2）正方體密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量。為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面碰撞的機會均等；與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。利用所學力學知識，導出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關(guān)系。（注意：解題過程中需要用到、但題目中沒有給出的物理量，要在解題時做必要的說明）23.解：（1）（a）設(shè)也時間內(nèi)通過導體橫截面的電量為*，由電流定義式得TOC\o"1-5"\h\zI_Aq_neSvAt_$AtAt（1）每個自由電子所受的洛倫茲力"洛_evB設(shè)導體中共有N個自由電子，N_nSl導體內(nèi)自由電子所受洛倫茲力的總和F_Nl_nSlevBR安培力F安_IBl_neSvBl，所以F=F安:S^（2）一個粒子每與器壁碰撞一次給器壁的沖量A_2mvvAtR面積為S、高為vAt的柱體內(nèi)的粒子總數(shù)為N_nSvAt（如圖所示），由于與向各個方向碰1N'=1nSvAt撞的幾率相等，所以與面積S的器壁碰撞的粒子數(shù)占總數(shù)的6，即6I_N'AI_4nSmv2AtAt時間內(nèi)粒子給面積為S的器壁的總沖量為3F_—_1nSmv2面積為S的器壁上所受的壓力At3f_F_1nmv2單位面積的器壁所受的壓力S3一種看不見的未知粒子跟靜止的氫原子核正碰，測出碰撞后氫原子的速度是3.3X1。7m/s，該未知粒子跟靜止氮原子核正碰時，測出碰撞后氮原子核的速度是4.4X106m/s.已知氫原子核的質(zhì)量是mH，氮原子核的質(zhì)量是14mH，上述碰撞都是彈性碰撞，求未知粒子的質(zhì)量.這實際上是歷史上查德威克測量中子質(zhì)量從而發(fā)現(xiàn)中子實驗，請你根據(jù)以上查德威克的實驗數(shù)據(jù)計算，中子的質(zhì)量與氫核的質(zhì)量mH有什么關(guān)系？解析：未知粒子與氫核和氮核均發(fā)生彈性碰撞，所以可據(jù)動量守恒和機械能守恒分別列方程求出碰后被碰核的速度，即可由已知條件找出未知粒子的質(zhì)量.設(shè)未知粒子質(zhì)量為m，初速度為v0，與氫核碰后二者速度分別為V]和v「，與氮核碰后二者速度分別為七和V」，據(jù)動量守恒定律得：11碰氫核：mvo=mV]+mHV「碰氮核：mvo=mv2+14mHV2/，根據(jù)碰撞過程中機械能守恒，對氫核：7mvj=幺mv「+2my」2111對氮核：'mv°2='mv：+2X14mHV2'22m2秫解以上四式得：v「=就+眺誨vo，v2'=院+1物^voV]m+14m所以巧=歐+泓頁，代入數(shù)據(jù)解得m=mH，即未知粒子的質(zhì)量等于氫核的質(zhì)量.1909-1911年英國物理學家盧瑟福與其合作者做了用任粒子轟擊金箔的實驗.發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)a粒子穿過金箔后仍沿原來的方向前進；少數(shù)a粒子卻發(fā)生了較大角度的偏轉(zhuǎn)；極少數(shù)a粒子偏轉(zhuǎn)角度超過了90°；有的甚至被彈回，偏轉(zhuǎn)角幾乎達到了180°.這就是a粒子散射實驗.為了解釋這個結(jié)果，盧瑟福在1911年提出了原子的核式結(jié)構(gòu)學說：在原子的中心有一個很小的核，叫做原子核，原子的全部質(zhì)量都集中在原子核里，帶負電的電子在核外空間里繞著核旋轉(zhuǎn).（1）請你利用a粒子散射實驗結(jié)果估算原子核的大?。ūＡ粢晃挥行?shù)字）.（2）若該a粒子距離這個金核r1時，其速度為v1，加速度為a1，則在距離這個金核r2時，其速度v2和加速度a2各為多少？（下列公式或數(shù)據(jù)為已知：點電荷的電勢U=kQ/r,k=9.0X109Nm2/C2，金原子序數(shù)79，a粒子質(zhì)量ma=6.64X10-27kg，a粒子速度v=1.6X107m/s，電子電量e=1.6X10-19C.解析：（1）由于是估算，我們可以取極少數(shù)被彈回的a粒子為研究對象.當a粒子的速度減為0時，a粒子與金原子核間的距離最小約等于金原子核的半徑.利用能量轉(zhuǎn)化與守恒定律進行計算.

對于極少數(shù)被彈回的a粒子，受到很強的排斥力，可以認為它幾乎接近原子核；它先做減速運動，當速度減為0后，反向加速.當a粒子的速度減為0時，a粒子與金原子核間的距離最小，約等于金原子核的半徑；此過程中a粒子的動能轉(zhuǎn)化為電勢能.k&Q2屆任mV2=r，解得：r=f代入數(shù)據(jù)解得：r=4X10-i4m.(2)有牛頓第二定律和庫侖定律得kQq/r2=ma故有a2/ai=ri2/r22解得a2=(ri/r2)2ai忽略金原子內(nèi)電子產(chǎn)生電場的影響，有能量守恒定律，有:kQq/r+1/2mv<2=kQq/n+1/2mV2金ta1a1金a2a2V=.'10.96(--—)+V2、估算類1980年一架英國戰(zhàn)斗機在威爾士上空與一只禿鷹相撞，飛機墜毀。小小2、估算類1980年一架英國戰(zhàn)斗機在威爾士上空與一只禿鷹相撞，飛機墜毀。小小例1：據(jù)報道，的飛鳥撞壞龐大、堅實的飛機，真難以想象。試通過估算，說明鳥類對飛機飛行的威脅，設(shè)飛鳥的質(zhì)量m=1kg，飛機的飛行速度為V=800m/s，若兩者相撞，試估算鳥對飛機的撞擊力。分析與解：首先合理建立模型，鳥與飛機相撞時，鳥的動量發(fā)生變化，由動量定理可知，鳥與飛機間必有沖力作用。因鳥飛行的速度遠小于飛機的速度，可認為鳥的初速為零，因鳥的質(zhì)量相對飛機的質(zhì)量要小得多，所以兩者相撞后飛機的速度基本不變，鳥與飛機一起以飛機的初速運動。而鳥與飛機接觸的時間可理解為：鳥與飛機相撞時其長度改變所需的時間，對于鳥的長度可近似取為L=0.2m，t=L/V。設(shè)鳥對飛機的撞擊力為F，以鳥為研究對象，由動量定理有：Ft=mV，日球m尸1x800-F===可3xlON0.2由上可見，鳥對飛機飛行具有很大的威脅，故在大型飛機場通常要設(shè)有驅(qū)趕飛鳥的設(shè)置。二、變質(zhì)量類例2：一場雨的降雨量為2小時內(nèi)7.2cm積水高。設(shè)雨滴落地時的速度相當于它從61.25m高處自由下落時獲得的速度，取g=10m/s2求雨落地時對每平方米地面產(chǎn)生的平均壓力為多大？

分析與解：因題中的已知條件為總降雨量的多少，而需要求解的是雨在落地時對地的平均沖力。故可以把所降總雨量分成若干個小部分，設(shè)每一小部分雨滴的質(zhì)量為Q,每部分對應的時間為△《，對各小段應用動量定理求得雨滴在該段所受的合外力。當雨滴的落地速y-hoh=35m/s度相當于由61.25m高處自由下落時的獲得的速度時（一"呂—），因雨滴的線度很小，故雨滴與地面相撞的時間極短，此時雨滴的重力相對于沖力而言，可以忽略不計。雨滴對地面的沖力即可認為為雨滴所受的合外力。設(shè)雨滴對每地面的平均沖力為F，由動量定理：△mV=F^t，對所有部分求和得：乙匕，即：MV=Ft，M為地面所降雨的總質(zhì)量：M=pSh，所以雨落地時對每平方米地面產(chǎn)生的平均壓力為:二PphJlgh10sx7.2^10-2x-72x10x61.25r=—===U.J5DJN￡￡2x3600例3：如圖所示，由高壓水槍豎直向上噴出的水柱，將一質(zhì)量為M的小鐵盒開口向下倒頂在空中。已知水以恒定速度V0從橫截面積為S頂在空中。已知水以恒定速度V0從橫截面積為S的水槍中持續(xù)不變噴分析：鐵盒能處于平衡，是因為鐵盒受水對鐵盒的沖力作用。可取時間t內(nèi)到達鐵盒的水為研究對象，設(shè)其質(zhì)量為m，由動量定理求得水柱對鐵盒的沖力。再由水在向上運動時是以重力加速度g作勻減速運動，求出鐵盒距水槍的高度。解：設(shè)在時間t內(nèi)到達鐵盒的水的質(zhì)量為m，速度為V，以這部分水為研究對象，設(shè)水柱對鐵盒的沖力為F，因水柱與鐵盒的作用時間極短，所以此過程中可忽略水柱的重力。由動量定理有：Ft=mX2V，在時間t內(nèi)從水槍中噴出的水的質(zhì)量為：m'=PSVot，因水槍連續(xù)噴水，所以時間t內(nèi)到達鐵盒水的質(zhì)量°為：m=m‘=PSV0t，由于水槍噴出的水柱在豎直方向以重力加速度作勻減速運動，故：一碓=浴當鐵盒倒頂在空中時，由平衡條件有：F=Mg，綜合以上各式得：紹八5時

三、綜合型例4：火箭發(fā)動機產(chǎn)生的推力F等于火箭在單位時間內(nèi)噴出的推進劑質(zhì)量M與推進劑速度V的乘積，即F=MV。質(zhì)子火箭發(fā)動機噴出的推進劑是質(zhì)子，這種發(fā)動機用于在外層空間中產(chǎn)生的微小推力來糾正衛(wèi)星的軌道或姿態(tài)。設(shè)一臺質(zhì)子發(fā)動機噴出的質(zhì)子流的電流I=1.0A，用于加速質(zhì)子的電壓U=5.0X104V，質(zhì)子質(zhì)量m=1.6X10-27kg，求該發(fā)動機的推力(取2位有效數(shù)字)。分析與解：因題中已給出發(fā)動機的推力：F=MV。故只需求出質(zhì)子流的速度及質(zhì)子流的總質(zhì)量即可求出相應的推力。質(zhì)子是通過電場的加速而獲得一定的速度，其速度的大小可由動能定理求得。再由電流的定義可求出質(zhì)子的電量，并得出質(zhì)子的個數(shù)及總質(zhì)量M。設(shè)質(zhì)子流的速度為V，因質(zhì)子是通過加速電場加速，qU=-mV2v=[^L由2，有：—設(shè)單位時間內(nèi)噴出質(zhì)子的總質(zhì)量為M，則M=nm，由電流的定義：'，Q=ne，又因為：F=MV，又因為：F=MV，綜合以上各式得:穹T耳乓M3E0Fy￡V1.際1儼例5：根據(jù)量子理論，光子的能量E與動量p之間的關(guān)系式為E=pc，其中c表示光速，由于光子有動量，照到物體表面的光子被物體吸收或反射時都會對物體產(chǎn)生壓強，這就是"光壓"，用I表示。一臺二氧化碳氣體激光器發(fā)生的激光，功率為P。，射出的光束的橫截面積為S，當它垂直照射到一物體表面并被物體全部反射時，激光對物體表面的壓力F=2p