新高一下學(xué)期暑假作業(yè)14個(gè)專題解析版

第01練空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理.積累運(yùn)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一向量的概念與向量的?！鞠蛄扛拍睢考扔写笮∮钟蟹较虻牧拷凶鱿蛄浚ㄈ缥锢碇械氖噶浚核俣取⒓铀俣?、力），只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）.在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量.【向量的幾何表示】用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如Q、前，…字母表示，用小寫字母w、…表示.有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為I同、或，單位向量表示長(zhǎng)度為?個(gè)單位的向量；長(zhǎng)度為0的向量為零向量.【向量的?！壳拇笮?，也就是標(biāo)的長(zhǎng)度（或稱模），記作I凝i.【零向量】長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作另，零向量的長(zhǎng)度為0,方向不確定.【單位向量】長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量屈（與屈共線的單位向量是第一）.|AB|【相等向量】長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性.知識(shí)點(diǎn)二平行向量（共線）1、平行向量：方向相同或相反的非零向量.如果z,b.康非零向量且方向相同或相反（向量所在的直線平行或重合），則可即位；〃E〃：任一組平行向量都可移動(dòng)到同一條直線上，因此平行向量又叫共線向量，任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任一向量平行.2、共線向量：如果幾個(gè)向量用同一個(gè)起點(diǎn)的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上，這樣的一組向量稱為共線向量.零向量與任一向量共線.說(shuō)明：（1）向量有兩個(gè)要素：大小和方向.（2）向量之與向量芯共線的充要條件是：向量a與向量6的方向相同或相反，或者有一個(gè)是零向量.共線向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量.知識(shí)點(diǎn)三兩向量的和或差的模的最值【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】向量的雖然有大小和方向，但也還是可以進(jìn)行加減.就像速度是可以加減的一樣，向量相加減之后還是向量.當(dāng)兩個(gè)向量相加時(shí)，有G+芯、向+|芯，當(dāng)且僅當(dāng)；與E方向相同時(shí)取得到等號(hào)；也有|；+與之后-國(guó)，當(dāng)且僅當(dāng)；與三方向相反時(shí)取得到等號(hào).另外還有Ia-bl'lal+lbh當(dāng)且僅當(dāng)a與b方向相反時(shí)取得到等號(hào)?；Ia-al-Ibll，當(dāng)且僅當(dāng)；與詁向相同時(shí)取得到等號(hào).知識(shí)點(diǎn)四向量數(shù)乘和線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】（1）實(shí)數(shù)與向量Z的積是一個(gè)向量，記作入；，它的大小為|入胃=囚|七，其方向與入的正負(fù)有關(guān).若|入胃/），當(dāng)心＞0時(shí)，入；的方向與；的方向相同，當(dāng)入＜0時(shí)，入？的方向與之的方向相反.當(dāng)入=0時(shí)，Xa與a平行?對(duì)于非零向量a、b,當(dāng)￥0時(shí)，有2〃1502=計(jì)（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則①1a=a；（-1）a=a：②（A41）a=^（B）a=M（入a）＜③（X+n）a=為a+〃a；④入（a+b）=^a+^b.一般地，入；ni而“做Z，E的一個(gè)線性組合（其中，入、n均為系數(shù)）.如果工=入會(huì)口6，則稱1可以用；，該性表示. 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）已知向量無(wú)，萬(wàn)，則“存在實(shí)數(shù)2,使得所=而”是"沌方共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的判定定理，即可求解.【解答】解：存在實(shí)數(shù)2,使得而=/1元，則所，萬(wàn)共線，故充分性成立，欣萬(wàn)共線，當(dāng)方為零向量時(shí)，m=An,不一定成立，故必要性不成立，故”存在實(shí)數(shù)2,使得所=而”是“沌萬(wàn)共線”的充分而不必要條件.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.(2022?江西模擬)已知向量1=(2,4)/=(-2,機(jī))，S.\a+b\=\a-b\,則m=( )A.6 B.1 C.—D.23【分析】由已知條件結(jié)合向量模的求法可得,4=0,再代入坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解答】解：由題意可得|3+日「=|萬(wàn)一日『，HPa2+2ab+b2=a2-2ab+b2,可得2萬(wàn)=0,又6=(2,4),b=(-2,m),即有2x(-2)+4m=0.解得m=l,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量模的求法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.(2022?洛陽(yáng)模擬)已知向量4=(1,sin。),B=(-l,cos。)，則“。=、”是“。區(qū)”的( )4A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的平行公式，即可求解.【解答】解：當(dāng)6=?時(shí)，3=(1,—),6=(-1,--).?.Tx(_*)=*x(-1),a//b,故充分性成立,向量I=(l,sin。)，6=(-l,cos0),a//b3 7則cos6=-sin。，解得tan6=-l,。=一乃+2左1伏wZ)或。=一乃+2%乃伏wZ),故必要性不4 4成立，故團(tuán)?是“而的充分不必要條件.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的平行公式，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z（2022?遼寧模擬）已知點(diǎn)。為A48c的重心，/13=3,4C=6,4=與，點(diǎn)0是線段8P的中點(diǎn)，則|而|為（ ）A.2 B.- C.G D.-\o"CurrentDocument"2 2【分析】由已知可得"=g（布+就），AQ=^（AB+AP）,然后根據(jù)向量模的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.【解答】解：由已知可得#=1（布+衣），AQ=-（AB+AP）,~. 1—1- |4--1 所以Z0=3Z8+5（”+ZC）］=5（5/3+§4C）,所以|而|=gXJ（yJ5+1jC）=；xJg宿+'就2+2xgxgx"就=-x2>/3=y/i,2故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的概念以及模的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.（2022?烏魯木齊模擬）若平面向量0與B=（l,-1）方向相同，且|1|=2近，則1=（ ）A.（-應(yīng)，尤） B.（應(yīng),-應(yīng)）C.（-2,2） D.（2,-2）【分析】根據(jù)題意可設(shè)）=4不，且；1>0,再根據(jù)模長(zhǎng)公式列方程求出2即可.【解答】解：因?yàn)镚與5=（1,-1）方向相同，可設(shè)2=2?=（2,-2）,且兒>0,又因?yàn)閨3|=2五，所以 ,解得；1=2,所以方=（2,-2）.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.（2022?榆林二模）已知|方|=|而|=2,|歷|=1,則|/+3礪|=（ ）A.2 B.4 C.V10 D.V15【分析】由|方|=|而|=|赤-方|,兩邊平方可得OAOB=^,再由向量|況+3麗|=J（5+3麗》展開(kāi)代入求解即可.【解答】解：由題意，可得|方|=|次|=|而-勿|,即OA=（OB-OA）2=OB2-2OAOB+OA,又|西=2,|函=1,代入可得4=1-2次?礪+4,解得d?麗=L2所以|萬(wàn)i+3而1=J（0^+3歷尸=4亦+6宓?礪+9礪'=j4+6xl+9=4,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算和模的求法，是基礎(chǔ)題.（2021?浙江模擬）已知為單位向量，向量C滿足|2^+1|=|,4|,則|1-5］的最大值為（）A.V2 B.2 C.V3 D.3［分析］由12?+1日G可知|己-（-巴）|=」萬(wàn)石|,所以d的終點(diǎn)的軌跡是以--的終點(diǎn)為圓心，口萬(wàn)萬(wàn)|為半徑的圓，修-3|的最大值是圓心與［的終點(diǎn)之間的距離加上半徑,即為|在一（-2）|+/舊將,再將其化成。，石的模和夾角可解得.【解答】解：設(shè)g與不的夾角。，由|2己+可=|小5|可知|己_（_巴）|=」小秋|,所以乙的終點(diǎn)的軌跡是以-巴的終點(diǎn)為圓心，,m石|為半徑的圓，|e-B|的最大值是圓心與B的終點(diǎn)之間的距離加上半彳仝，即為|5-（-巴）|+口鼠5.+—+a-b+—15,|= +cos0+—|cos0\故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、向量模、向量和差幾何意義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.（2022?呂梁一模）在A/18C中，。為BC的中點(diǎn)，EB=2AE,AF=2FC,EF與AD交于G,AG=AAD，則兒=( )【分析】由就=彳（荏+%）=予荏+與方，結(jié)合點(diǎn)E、G、廠三點(diǎn)共線求解即可.【解答】解：由A4BC中，。為BC的中點(diǎn)，EB=2AE,AF=2FC,EF與AD交于G,AG=AAD,則而=々方+衣）=2方+、萬(wàn)，由點(diǎn)E、G、尸三點(diǎn)共線，TOC\o"1-5"\h\zm.i32 32則一+—=1,\o"CurrentDocument"2 4解得4=9,9故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.一0一 一（2021?新鄉(xiāng)二模）在A48c中，荏=±（在+衣）,。為8c邊的中點(diǎn)，則（）A.3亞=7麗 B.1AE=3EDC.2AE=3ED D.3AE=2ED【分析】由于。為8c邊的中點(diǎn)，川得方+衣=2亞，結(jié)合已知即可求解向量后，質(zhì)的關(guān)系式.【解答】解：因?yàn)?。?c邊的中點(diǎn)，所以方+衣=2萬(wàn)，因?yàn)榱=3（4B+4C）,10所以力￡=己而，WiJ2AE=3ED.5故選：c.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.二.填空題（共6小題）（2022?呼和浩特一模）已知菱形45CD的邊長(zhǎng)為3,NB4D=120。，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,C。上，且滿足礪=反1，1=2而，則I荏+布=3.【分析】根據(jù)題意，有菱形的性質(zhì)川得ZC=2,由數(shù)乘向量的性質(zhì)可得E是BC的中點(diǎn)，尸是C。的中點(diǎn)，則有/E+4尸=Z8+8E+4O+￡）尸=2（Z8+4O）=q4C,即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，菱形48CQ的邊長(zhǎng)為2,2840=120。，則N"4C=60°,必有/。=2,又由屁=就，CD=2CF,則E是8c的中點(diǎn)，尸是C￡）的中點(diǎn)，則荏=在+而，AF=AD+DF,.一. .一一3 - - ③ .則荏+萬(wàn)=而+詬+而+加=］（荏+用）=3就,而/C=2,則|荏+簫|=3,故答案為：3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，涉及向量加法的定義，屬于基礎(chǔ)題.（2022?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)三模）設(shè)。，h是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量%+2,與8G+總的方向相反，則左=_-4_.【分析】向量質(zhì)+28與82+n的方向相反，宜接列出關(guān)系式，根據(jù)向量相等，求出”的值.【解答】解：向量質(zhì)+25與82+元的方向相反，可得%+2日=?81+痛）”<0）,;.%=8,，2=kt,得I=—>2k=-4.故答案為：-4【點(diǎn)評(píng)】本題考查相等向量與相反向量，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.（2021?貴溪市校級(jí)模擬）若向量方=-3而，則向量方與向量函共線.對(duì)（判斷對(duì)錯(cuò)）【分析】根據(jù)平面向量的共線定理，判斷即可.【解答】解：向量方=-3而，根據(jù)平面向量的共線定理知，向量通與向量而共線.故答案為：對(duì).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.（2021?蕪湖模擬）已知G,b,0是單位向量，a+b+c=0,則【分析】由1+5+3=6得萬(wàn)+很=-己，兩邊平方得）石值，可求得|G-B|=值.【解答】解：由方+否+1=6得力+不=-1,.?.（2+不）2=（-1>，Va,b,5是單位向量，;f'la-b——,2:.\a-b\=yl（a-b）2=故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量和差、數(shù)量積、模的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.（2022?重慶模擬）點(diǎn)M在A48c內(nèi)部，滿足2記+3麗+4就=0,則Samc：Saa^=3:4一【分析】分別延長(zhǎng)A/Z至。，MB至E,A/C至尸，使A/￡>=2M4,ME=3MB.MF=4MC,結(jié)合題意得出M足ADEF的用心，5兇皿=S.“.=S4”，再計(jì)算Sw與邑初的面枳比?【解答】解：根據(jù)題意，分別延長(zhǎng)至。，MB至E,MC至尸，使= ME=3MB,MF=4MC,如圖所示：[\\2MA+3MB+4MC=0,^MD+ME+MF=0,所以點(diǎn)M是ADE尸的重心，所以S.oe= =S.fd)設(shè)5.￡=1,則$如=9；=：,5^吠=9)=Z3o 24所以^AMAC:^AMAB= ,(SO故答案為：3:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積計(jì)算問(wèn)題，也考查了三角形重心的性質(zhì)以及平面向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.(2022?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)三模)在AJ8C中，AB=2,AC=\.。是8c邊上的中點(diǎn)，則而?冊(cè)的值為-3.—2—【分析】把益=絲土生和反就-荏代入要求的式子化簡(jiǎn)可得結(jié)果.2TOC\o"1-5"\h\z . -2 ?2_._,AB+AC—?―?AC-AB~1-4 3【解答】解：ADBC^~ (AC-AB)=——―=—=\o"CurrentDocument"2 2 2 2故答案為：一之.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求向量的模的方法，把要求的式子化為 廣?(4C-48),是解題的關(guān)鍵.(2020?濱州三模)已知O是三角形ZBC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足OA+2OB+mOC=0,叢儂=-,c7TOC\o"1-5"\h\z則實(shí)數(shù)旭=( )A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)條件可以得出-‘云=,況+2而，并設(shè)-巴反=的，這樣即可得出力，

3 3 3 3B,"三點(diǎn)共線，畫出圖形，并得到心四=/_=3,從而解出m的值.S*bc3+m7【解答】解：如圖，^--OC=-OA+-OB=OM,則：3 3 3A,B,M三點(diǎn)共線；反與兩共線反向，O=—；\CM\3+m.SmobIgglm4S^bc\CM\3+m71【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，4，B,C三點(diǎn)共線的充要條件：OC=xOA+yOB,且x+y=l,共線向量基本定理，三角形的面積公式.（2017?寶雞三模）己知點(diǎn)尸是圓：丫2+爐=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/，B,C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且荏?而=0,則|沙+方+京|的最大值為（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【分析】由題意畫出圖形，把刀+麗+方用向量的與礪表示，再利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得|百+而+定|的最大值.【解答】解：由在.耳心=0,得48_L8C,即NABC=90°,.14C為A48c外接圓的直徑，如圖所示；設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則用+方+正=（而+宓）+（而+麗）+（而+反）=3所+麗，???P是圓》2+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，:.\Pd\=2,:.\PA+PB+~PC\=\3PO+OB\”3|而|+|礪|=3x2+l=7,當(dāng)麗與麗共線時(shí)，取得最大值7；故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了平面向量的數(shù)量枳運(yùn)算問(wèn)題，也考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,

是中檔題則實(shí)數(shù)2的值為AD>ABDM-DN的最小值為.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值Z.B.C(6,0)AD!IBC(6,0)以8c為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系積可得關(guān)于是中檔題則實(shí)數(shù)2的值為AD>ABDM-DN的最小值為.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值Z.B.C(6,0)AD!IBC(6,0)以8c為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系積可得關(guān)于x的二次函數(shù)（2020?天津）如圖，在四邊形中設(shè)M(x,0),則N(x+l,0),其中Q.【分析】以8為原點(diǎn)，以BC為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|而|=1數(shù)量積即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出；I的值，再設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量40=(1,0)【解答】解：以8為原點(diǎn)DA7=(x-|.-苧)，DA?=(x-1,-竽),TOC\o"1-5"\h\z c ?7 71 1?DM-DN=(x-^)(x-^)+=^=x2-4x+-^=(x-2)2+y,當(dāng)x=2時(shí)取得最小值，最小值1 13故答案為：--6 24D【點(diǎn)評(píng)】本題考查/向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.(上海)已知平面向量G、b.c^&a±b,且{|町，向，|?|}={1,2,3},則|1+B+d|的最大值是_3+有【分析】分別以日出所在的直線為x,y釉建M直角坐標(biāo)系，分類討論：當(dāng){團(tuán)，|萬(wàn)|}={1，2], |c|=3,設(shè)c=(x,y),則x2+y2=9,則a+b=(\+x,2+y),有\(zhòng)a+b+c\=yl(x+\)2+(v+2)2的最大值，其幾何意義是IMI/+/=9上點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(-1,-2)的距離的最大值；其他情況同理，然后求出各種情況的最大值進(jìn)行比較即可.【解答】解：分別以G石所在的直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，①當(dāng){|叫，防|}={1,2},|c|=3,則3+B=(l,2),設(shè)d=(x,y),則/+/=9,/.G+B+c=(l+x,2+^),.?.舊+E+C|=J(x+l)2+(y+2)2的最大值,其幾何意義是圓x2+/=9上點(diǎn)(X/)與定點(diǎn)(-1,-2)的距離的最大值為3+"(0+2)2+(0+1>=3+石；②且{|叫，防|}={1,3}.|c|=2,則)+不=(1,3),x2+y2=4,B1=(1+x,3+y)「.舊+」+11=J(x+1)2+(u+3)2的最大值，乂幾何意義是MlX24-y2=4上點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(一1,一3)的距離的最大值為2+J(0+l)2+(0+3)2=2+而,(3){|3|,|*||={2,3},|c|=l,則萬(wàn)+B=(2,3)，設(shè)了=(x,y),則x2+y2=1G+B+1=(2+x,3+y):]a+b+c\=J(x+2)2+(y+3>的最大值，其幾何意義是在圓丫2+V=i上取點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(-2,-3)的距離的最大值為1+"(0+2)2+(0+3>=1+vl+V13<3+V5,2+Vio<3+>/5,故+B+的最大值為3+石.故答案為：3+石【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的模的求解，解題的關(guān)鍵是圓的性質(zhì)的應(yīng)用：在圓外取點(diǎn)，使得其到圓上點(diǎn)的距離的最大值：r+d(r為該圓的半徑，d為該點(diǎn)與圓心的距離).[拓展練TOC\o"1-5"\h\z(2019?廣元模擬)在A18C中，NBZC=90。，AB=\,ZC=2,設(shè)點(diǎn)P,0滿足"=2萬(wàn)，AQ=(l-A)AC,AeR,^jQCP=-2,則2=( )A.- B.- C.- D.23 3 3【分析】如圖所示，由麗?麗=-2,可得(而-而)?(萬(wàn)-X)=-2.又不=2萬(wàn)，AQ=(1-A)AC.AeR.可得[(1-㈤祝-而]?(/1而-祈=-2,展開(kāi)利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【解答】解：如圖所示，?.?麗?麗=-2,(AQ-AB)■(AP-7C)=-2.又N=4方，AQ=(1-A)1C,AeR.[(1-A)AC-AB]■(2AB-AC)=-2,.-.[(I-2)A+l]ACA)AC2-kAB=-2,?.?在M8C中，N84c=90°,AB=\,AC=2,JC-ZB=0,AC2=4,宿=1,-4(l-2)-2=-2,解得故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量三角形法則及其應(yīng)用、向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.（2013?浙江模擬）己知AJ6C中，AB±AC,\AB-AC\=2,點(diǎn)M是線段8c（含端點(diǎn))上的一點(diǎn)，且加.(次+就)=1,則|萬(wàn)7|的取值范圍是【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)8(0,c),C(b,0),D(b,c),M(x,y).由|而-祝|=|而|=2,可得〃+c2=4.由向量的平行四邊形法則可得：在+衣=1萬(wàn)，可^AM(AB+AC)=AMAD=(x,y)(b,c)=bx+cy=\.\'AM\=yjx2+y2.利用數(shù)量積的性質(zhì)可得。2+丁)(從+,2)…(加+少)2,可得"777^!，即|而|又;+上=1，可得2 2be1=(反+①)(±+上)=/+/+也+鮑，于是r+v”1,進(jìn)而得出.ba ha【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(0,c),C(fe,0),D(b,c),M(x,y).v\~AB-7C\^CB\=2,ft2+c2=4.?/AS+JC=AD,AM-(AB+AC)=AM-AD=(x.y)-(b,c)=bx+cy=\.|翔|=6+/,(x2+y2)(從+c2y.(bx+cy)2,4(x2+/).」，Qx~+V…萬(wàn),即|...~?若|而|=1,v|^A7||JD|cos6?=l,那么1、M、。三點(diǎn)共線，即M為8c和40交點(diǎn)，此時(shí)/A/=l,矛盾，舍去./.1=(Ax+cy)(—+—)=x2+/+型，姆i,hc hc??,b>0，c>0?X..0,y...O,.?.一+乂，i,艮|]Jx2+j?,,1.(當(dāng)且僅當(dāng)工=0或y=0時(shí)取等號(hào)).【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題.第02練平面向量的數(shù)量積Z^vx_Z^vx_積累運(yùn)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量Z，E如果以。為起點(diǎn)，作示=W，0B=b-那么射線。f,08的夾角。叫做向量；與向量E的夾角，其中2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量Z，E的夾角為。，那么我們把iZEcos。叫做；與E的數(shù)量積，記做a,b即：a-b=lailbcos0.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即：0*a=0.注意：①a?b表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cos。決定：②符號(hào)在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“X”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：OWOWm（2）投影：E在；上的投影是一個(gè)數(shù)量|gcosO,它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若2=（XI，川），b=（X2，V2），則a?=》陽(yáng)+九23、cos8=3、cos8=向量的夾角公式：向量的模長(zhǎng):向量的模長(zhǎng):4、5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：Z與E的數(shù)量積Z?E等于Z的長(zhǎng)度面與E在Z的方向上的投影|&COS。5、知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)Z，E都是非零向量，彳是與E方向相同的單位向量,;與哀口夾角為0，則:—?—?—?—>—*（1）a?e=e?a=la|cos0；（2）Z1EoZ-E=0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)a.，b方向相同時(shí)，a?b=lallbl；當(dāng)a，b方向相反時(shí)，a?b="Iallbl；特別地：a?a=lal2或I司=式Q（用于計(jì)算向量的模）（4）cosO=T~^-（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）lallbl（5）|a,b|W|allfcl2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a，b=b，a；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（入a）?b=A（a?b）=a，（入b）；（3）分配律：（a?b>?cRa，（b?C）【平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（l±b）2=l2±2l?b+b2.②G-E）G+E）=:-b2. （b*c）力（I-b）-o從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣.知識(shí)點(diǎn)三數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量W與E不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角仇并且還有這樣的公式：cosO=二?一通IaI-|b|過(guò)這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了.知識(shí)點(diǎn)四向量的投影【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩個(gè)向量的數(shù)量積及其性質(zhì)：（1）a#b=lallb|cos<a?b>：a-Z-b<=>a*b—0（a?b為非零向量）；|寸=￡|^j=^a2+b2+c2.2、向量的投影：|芯3。=宅醛&稱為向量E在2方向上的投影.Ia|TOC\o"1-5"\h\z.已知|G|=1,|B|=2,且G，伍+萬(wàn))，則2在不上的投影向量為( )--1-1_A.-b B.b C.一一b D.-b4 4【分析】由先求出小5,先表示出i在b上的投影，再結(jié)合投影向量概念即可求解.【解答】解：因?yàn)?所以1,(G+B)=0,CP52+5-ft=0,1512+5-6=0?又因?yàn)閨萬(wàn)|=1,設(shè)%N的夾角為0,所以心很=-1方在6上的投影為；|碼?cosOu制，所以。在在上的投影向量為回與"石=%石=-1幾聞時(shí)4故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的意義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.2.已知|川=|加=2,且G與否夾角120。，則&在a+很上的投影為( )A.1 B.-1 C.y/3 D.-y/3【分析】利用1在5上的投影為如空包，即可得出答案.13+6|【解答】解：5.6=|5||6|cosl20°=2x2x(-l)=-2,(a+b)2=a2+2a-b+b2=4+2x(-2)+4=4,所以|1+B|=2,a-(a+b)=a2+ab=4+(-2)=2,TOC\o"1-5"\h\z所以5在5+5上的投影為限伍t")=±^Z=l,\a+b| 2故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積，向量的投影，屬于基礎(chǔ)題..已知向量萬(wàn)=(0,1),6=(1,0)，則4在不上的投影向量為( )A.亞 B.—b C.—a D.回2【分析】可求G在坂匕的投影，然后即可得出G在不上的投影向量.【解答】解：向量G=（O,1）,B=（l,百），則石在B上的投影為：亙心=迫，|6| 2a在鼠上的投影向量為走了.4故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了投影和投影向量的定義及求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z4.已知。為A48C的外心，若/8=1,則方?芯=（ ）I ?A.—— B.- C.-1 D.-2 3【分析】過(guò)圓心。作于點(diǎn)。，而在?瓦=布?（而+9），由此容易得解.【解答】解：如圖，過(guò)圓心。作OO_L48于點(diǎn)。，則。為Z8中點(diǎn)，ABAO=AB（AD+Dd）=ABAD+ABDd=\AB\\AD\=\x^=^.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知。為A48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^（OA+OB）-^B=（OB+OC）~BC=G,AB=4,AC=2,則而前）A.-8 B.8 C.-6 D.16【分析】由題意可知，。是AJ8C的外心，利用數(shù)世積投影意義即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)M，N分別為4B,8c的中點(diǎn)，（OA+OB）AB=（dB+OC）BC=0,2OMAB=0,2ONBC=0,OM,ON是邊48,8c的中垂線，OA=OB=OC,。是\ABC的外心，AOBC=AO（AC-AB）=AdAC-AdAB=^AC2~^AB故選：c.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積投影意義，屬于中檔題..若|1|=近，⑻=1,且則(1+B)石的值為( )A.-1 B.1 C.42 D.G【分析】直接根據(jù)數(shù)量積定義，向量垂直即可求解.【解答】解：???|引=近，|6|=1, :.ab=O,；.(a+b)?b=a?b+b~=0+l~=1,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積定義，向量垂直，屬基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)G為單位向量，|5|=2,當(dāng)1,。的夾角為？時(shí)，方在2上的投影向量為( )A1- D- △1- C百-A.—c B.c C.—e D?—c2 2 2【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合投影向量的概念求解即可.【解答】解■:由題意可知：a-e=2xlx—=1,2則石在G上的投影向量為?！?=G,\e\\e\故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題.8.如圖，在等腰梯形488中，AB=BC=2,CD=3,BC=4BE,則0?詼=( )【分析】以C。的中點(diǎn)。為原京，建之平而宜角坐標(biāo)系，叮出。，C,A,￡的坐標(biāo)，再由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可得解.【解答】解：以CO的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)橄郉C所以4(—1,所以所以。=(-所以C4-OE故選在.MBC因?yàn)橄郉C所以4(—1,所以所以。=(-所以C4-OE故選在.MBC中E分別是8c邊上的三等分點(diǎn)ZE的值是(結(jié)合已知條件得答案BC)(AC【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，遇到規(guī)則圖形，一般建立坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算可簡(jiǎn)化試題難度，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題【分析】作圖，根據(jù)向量三角形法用刀，就表示出通故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題..在中，N8=60。，AB=6,BC=5,則在?而=( )A.-155/3 B.-30 C.-15 D.15【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的夾角求解即可.【解答】解：在A4BC中，NB=60°,AB=6,BC=5,則在辰=|兩辰|cos(180°-60°)=6x5x(-；)=-15,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的夾角，屬基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z.若向量石，刃滿足|町=1,仍|=2,a(2a+3b)=5,則1與石的夾角為( )4 7r 2乃 57rA.— B.— C.— D.—6 3 3 6【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量夾角的運(yùn)算求解即可.【解答】解：已知向量不滿足|萬(wàn)1=1,仍|=2,5(25+36)=5,則2/+37石=5,即1.B=1,設(shè)萬(wàn)與B的夾角為。，則cos。=&&=」-\a\\b\1x2則1與B的夾角為工.3故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二.多選題(共2小題)12.已知向量而，方的夾角為石，且|玩|=G，|萬(wàn)|=2,則而-力和而在后方向上的投影的6數(shù)量分別等于( )

A.4BA.4B.2C.1【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積計(jì)算模長(zhǎng)，根據(jù)投影的定義計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值.【解答】解：向量而，萬(wàn)的夾角為巳，|玩|=G，|萬(wàn)|=2,6TOC\o"1-5"\h\z所以而?萬(wàn)=V^x2xcos工=2Gx^^=3:6 2所以(而一))2=而2-2而?力+萬(wàn)2=3-2x34-4=1,所以|玩-)|=1；所以所在萬(wàn)方向上的投影的數(shù)量為IinICOS0=yfixcos—=yjix^-=—.6 2 2故選：CD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，也考查了投影的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.13.在AJ8C中，BC=2,8c邊上的中線/。=2,則下列說(shuō)法正確的有( )A.JC2A.JC2+J52=10C.'ABAC=2B.—<cosA<15D.N比1。的最大值為30。【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用判斷力、B、C、。的結(jié)論.【解答】解：在A48C中，8c=2,8c邊上的中線40=2,對(duì)于4:vZ.ADB+ZADC=1cosZADB+cosZADC=0,由余弦定理知,AD由余弦定理知,AD2+BD2-c2

2ADBDAD2+CD2-b2八

+ =0,2ADCD化筒得，/+/=10,即4c2+"2=10,故/正確；^^c：7bac^(ad+~db)(ad-15b)=Jd-麗2=4-1=3,故c錯(cuò)誤；對(duì)于8：在A48C中，由余弦定理知，cosZSJC=-—-—土… 一三，當(dāng)且僅當(dāng)2bc2bcbe 0由4可知，由C選項(xiàng)可知Z8ZC=3=bccos4,/.he= cosJ2 3 3則cos4.J——cosJ?解得：cosX..-?故一”cos4.1,故8錯(cuò)誤;4c4c24c對(duì)于。：cosNBAD=。二'二1="24c4c24c7T■：0<ABAD<-,2所以N84O的最大值為30。，故￡)正確;故選：AD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.三.填空題(共2小題).已知向量6方向相反，且|刈=4,|用=5,則2在在方向上的數(shù)量投影為_(kāi)-4_.【分析】根據(jù)投影的定義，應(yīng)用公式1在不方向上的數(shù)量投影為|S|cos7r,求解即可.【解答】解：向量G，不方向相反，且|G|=4,|坂|=5,根據(jù)投影的定義可得：a在石方向上的數(shù)量投影為|2|cos;r=T.故答案為：-4.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用.解答關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式，是基礎(chǔ)題..已知向量G,B滿足|萬(wàn)|=1,仍|=2,G與彼的夾角為半，貝力3-2'=【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求解.【解答】解：由題意可得限行=|G|?出|-cos也=lx2x(-1)=-1，15-2b\=yj(a-2b)2=y/a2-4ab+4b2=J-4x(-l)+4x4=瓦，故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.城 ->-■能力提升練.如圖，48是圓C的弦，已知|ZB|=2,則荏?畫=2.【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CO_L48,垂足為。.可得配=而+配，DC-AD=0,AD=-AB=\.再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.2【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作。J.48,垂足為。.AC=AD+DC,DC-AD=0,AD=-AB=\.2AB-AC=2AD-（AD+DC）=2AD+2AD?DC=2AD=2.故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的垂經(jīng)定理、向量垂直與數(shù)量積直角的關(guān)系、向量的三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題..在A48c中，ZJ=-,ZC=-,|BC|=4,則荏在聲方向上的投影為-2區(qū).3 4 - 3―【分析】先根據(jù)正弦定理求出邊48的長(zhǎng)度，再由題意得出向量而與G1的夾角為120。，利用投影的定義即可求解.【解答】解：在A48c中，ZJ=-,ZC=-,|BC|=4,3 4

,ri.訓(xùn)但ABBC 4xV4巫由正弦定理得：--=--,AAB=—=^-=—!—sinCsinJ 。3 3T又根據(jù)題意：?.?向M方9次的夾角為60。，.?.向量次的夾角為120。，則而在萬(wàn)方向上的投影為|密卜85120。=半噸《120。=-半.故答案為：-巫.3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用.18.已知AJ8C三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系所在平面內(nèi)，點(diǎn)8、C分別在x、y軸正半軸上滑動(dòng)，ZBAC=~,ABCA=-,AB=\,則Hi?麗的最大值為3+百.2 6 ~2 -【分析】建系，利用坐標(biāo)法通過(guò)向量數(shù)量積構(gòu)建函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)思想求解.TT TT【解答】解：?.?在&48C中N84C=工，ZBCA=-,AB=\,2 6BC=2,AC=6如圖以直線zb為新的橫軸/軸，以ii線/c為新的縱軸y軸建立新的直角坐標(biāo)系,則4(0,0),B(l,0),C(0,V3),BC中點(diǎn)P為(上,—).設(shè)點(diǎn)。為(x,y),則點(diǎn)。在以為直徑的圓尸上，又圓尸方程為(x-1)2+(y-曰＞=1,令,y-—=cos62G.A令,y-—=cos62G.A——=sin022百.口y=——+sm”2OAOB=4。?BO=(x,y)?(x-1,y)=f-x+/=(—+cos0)2-(—+cos0)+(—+sin0)2=1+1--+6sinJ=Ly^sinO,6wR,：.方?麗的最大值為3+VJ.2故答案為：3+JJ.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積，坐標(biāo)法，函數(shù)思想，屬中檔題.19.已知平面向量自,可滿足|2?一1|=2,設(shè)@=4+4^,5=不+￡,若1?展￡,2,則回的取值范圍為_(kāi)［百-1-石+1］一【分析】設(shè)［=21-1，結(jié)合題意可得5= ,從而化簡(jiǎn)LG?員2可得3?a2-a-c+-cZ,5,進(jìn)而可得公，|5--c|? ,根據(jù)向量三角不等式可求解.4 2【解答】解：設(shè)5= ，則B=M+￡=g((1+④_四_1))=;(1/,vtab?2,2,3(a-c\,4,故3,a2-a-c+-c2.,5,4即6I”V5,又畤|=1,??.l|a-1c|-|ic||?\a\?||a-1c|+||c||,即行-L,伍|”指+1，故答案為：［百-1,>/5+1］.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量運(yùn)算的綜合應(yīng)用及向量三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

I拓展練I拓展練20.已知向量滿足|刈=技|=1,43=-；忑=4+機(jī)員機(jī)為非零的實(shí)數(shù)），設(shè)向量扇d的夾角為a,有下列四個(gè)命題.其中正確的命題有①（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）.①存在m,使得16|=|d|;②不存在機(jī)，使得G_LC；③當(dāng)變化時(shí)，cosa的最大值為1；④當(dāng)〃7變化時(shí)，cosa的最小值為-2【分析】①將云=）+加石兩邊平方，再由|川=恒|=1,解關(guān)于〃7的方程，即可；②由ac=\--rn=0,解之即可:2③先由平面向量夾角公式求得cosa③先由平面向量夾角公式求得cosa=y/m2—+I再令cosa=1,觀察方程是否有解，可進(jìn)行排除;3 1一”3 1④不妨取cosa=——，根據(jù)方程-/ 2==一一有解，推出cosa的最小值不可能為——.4 IQm+1 4 2【解答】解：①因?yàn)椋?萬(wàn)+）行，所以11-I-2ma-b+m2b2=1+2mx（—+=/w2—w+1,若存在〃7,使得則〃/一加+1=1,解得初=0或1,因?yàn)榧訛榉橇愠?shù)，所以旭=1,即①正確；②若萬(wàn)則H=2?m+mB）=）2+〃疝石=1一1加=0,解得m=2,即②錯(cuò)誤；③由①②知，ac=\--m?|c|=\/m2-zw4-1?i 1-- 1——m所以cosa=a0=f=l5l-l^ly/m2-7n+l1--/W2yjm21--/W2yjm2—m+1=1,解得〃7=0,與加為非零實(shí)數(shù)相矛盾，即③錯(cuò)誤;④取cosa④取cosa=-一，則3，化簡(jiǎn)得5川+7"L15=0,該方程有解,即存在實(shí)數(shù)“使得cosa=-3<-j，故④錯(cuò)誤.故答案為：①.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的綜合，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.21.在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,0,滿足|刀目麗|。歷1=2，ROA+OB+OC=0,則I萬(wàn)1=_26_;平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)尸，M滿足|萬(wàn)|=1,而=而，則|麗的最大值是.【分析】利用向量線性運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出麗?3=-2,進(jìn)而根據(jù)AB=OB-OA,平方后計(jì)算出|而『=12,從而求出［481=2 ；然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P（cos0,sin0）,表達(dá)出mM+；os6,譚雪和|麗|2=3sin（e-2）+?,利用一:角函數(shù)有界性求出最大值.【解答】解：因?yàn)閨而|=）而日麗|=2,方+礪+反=0,所以麗=-（而+玩），兩邊平方得：OA=-（OB+OC）=OB2+2OBOC+OC2,即4=4+2麗?3+4,解得：OBOC=-2,因?yàn)榈?而一萬(wàn)，所以萬(wàn)=OBi+OAA2-2OAOB=4+4+4=\2,因?yàn)閨荏|...0所以|行|=2』；可得到M5C是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為26，如圖，以《為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在直線為x軸，垂直48為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，。(0,3),8(2后0),因?yàn)閨不|=1,所以設(shè)尸(cos/si“),6(g[0,2%),由西=而可得：M是線段PC的中點(diǎn)，則MC^+COS0,"sin。),mil?d-izi2,>/^+cosezr.2,3+sin02373.n3n則|BM|=( 2V3)+( )=—+^sin0——cos9_.z.4、37=3sin(^-y)+—?當(dāng)sin("§=l時(shí)，|麗2=3sin(e-§+子取得最大值，最大值為日.l49故答案為：2-73,—?4【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.22.在梯形/8CO中，/8//。。,/。=1,48=3,。。=1,五彳=；荏,。M與8。相交于點(diǎn)0.若MP=-MC,則福.麗=-；若就.血=3,N為線段4c延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ3 ~9~ 2福?麗的最小值為.【分析】易知，\CDQ^\MBQ,且四邊形40cM為菱形，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，將福?麗表示成以赤，萬(wàn)為基底的向量運(yùn)算，即可得解：設(shè)麗=4就，由就?而=g,可求得|就卜1,再將福?麗表示成以劉，就為基底的向量運(yùn)算，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，得解.【解答】解：由題意知，\CDQ^\MBQ,且四邊形ZOCM為菱形，所以口=型=烏=LMQBQBM2所以福.麗=(75+DQ)(AP-AD)=(AD+-~DB)(AM+MP-AD)=[亞+1(而-而)].(」而」而-麗=d劉」力)?,而一2?！?3-4k1-3 3 3 3 3 3 3 9 9 9 9iS.CN=A.AC,則麗=(/i+l)X,一一3因?yàn)?c/8=巳，2所以(75+反)「萬(wàn)=而?赤+1，三=布.赤+!，2=q,所以而「港=-3，所以|/C『=mo+oc|2=mo+—48『=4。+_ad.ab+_ab=1+--(-1)+-x9=1,所以14cl=1.所 以 ———1————1—1———NQNB=(NC+CQ)?(AB-AN)=(-AAC--AD)-[AB-(A+l)AC]=[-AAC--(AC--AB}\[AB-(^^\)AC]1,,,11,. ---1——?2 1 ■,2 1 1 *--”---?二[一僅+-)AC+§卜[AB-(2+\)AC]=~AB+(4+-)(2+\)AC+[-(2+-)--(2+1)]/8ACTOC\o"1-5"\h\z=A2--A+-=a--)2+—,3 3 6 36所以當(dāng)2=1時(shí)，而?麗取得最小值，為空.6 36故答案為：.9 36【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的線性和數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.23.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連著等腰直角三角形，等腰直角三角形上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，正方形N8C。的邊長(zhǎng)為1,〃為正方形CEFG上的任一點(diǎn)，則而.正的最大值為一2久人c/\D【分析】設(shè)E4=AEF,\EH[=—2.BEAH=(BC-i-CE)(AD+DH),將上式展開(kāi)，根據(jù)向量點(diǎn)積的運(yùn)算公式得到原式等于2+(,2e[O,l],進(jìn)而得到最終結(jié)果.一一5【解答】解：設(shè)可=/1防,|￡77|=3；1,由圖形得到：BEAH=（BC+CE）-（AD+~DH）,展開(kāi)得至lj屁?而?歷+》?麗+屋?而+屋?麗，而向量和而向量夾角等于通和麗的夾角等于￡,4CE向量和通向量夾角等于前和近的夾角等于工，4=~BC-JD+BC~DH^-CE-7b^CE'DH=1+（也+也.也+更I也2 2 2 2 2=2+y,A€[0,l],當(dāng);1=1時(shí)取得最大值為：2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.第03練 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示.積累運(yùn)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)■積的坐標(biāo)表示'模、夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量Z，E如果以。為起點(diǎn)，作示=Z，0B=b.那么射線CM，08的夾角。叫做向量？與向量E的夾角，其中2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量Z，E的夾角為。，那么我們把iZEcose叫做；與E的數(shù)量積，記做a,b即："a?b=Nlbicos0.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即："6*；=0.注意：①a?b表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cos。決定；②符號(hào)在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“X”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：OWOWiT.（2）投影：芯在；上的投影是一個(gè)數(shù)量|gcos。，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若〉=（xi,川）,b=（X2，及3則a?b=xix2tW2,cos^3、向量的夾角公式：4、向量的模長(zhǎng)：卜卜后5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：Z與E的數(shù)量積Z等于Z的長(zhǎng)度而與謙W的方向上的投影|HcosO的積.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果ei、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任-二，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)人1、入2，使?=X］，+X2同?2、基底：不共線的ei、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底.3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行.（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.知識(shí)點(diǎn)三平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐標(biāo)表示：若：、彳為平面直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量；，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+y"J,使得a=xi+yj我們把（x,y）稱為a的坐標(biāo).表達(dá)式為a=xi+〉j=（x,y）知識(shí)點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標(biāo)表示，一般表示為之=（x,y）,意思為以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以（x,y）為終點(diǎn)的向量，它的模為"=八2+丫2.若芯=（m,〃），則atb=（x+m，y+n）,則a-b=（x-m，y~w）;a*b=（xm,ny）f入a=（Ax,Ay）.【典型例題分析】例：已知平面向量Z,e滿足：z=（-i,2）,：?；且尼卜則向量三的坐標(biāo)為（%2）或（-4,-2） .解：根據(jù)題意，設(shè)石=（x,y）,若E1Z，有E?；=0，則-x+2y=0,①，若其|=2泥"+/=20,②，聯(lián)立①②,可得y2,、xz+y=20解可得（x "，貝ijb=（4,2）或（-4,-2）；故答案為（4,2）或（-4,-2）.ly=2ly=-2這個(gè)題就是考察了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，具體的可以先設(shè)4=（X,y）,根據(jù)題意，由E1Z，可得-戶2了=0,①，由￡|=2泥，可得②，聯(lián)立①②兩式，解可得x、y的值，即可得小的坐標(biāo).這也是常用的一種方法.知識(shí)點(diǎn)五平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a=Gi，川），b=（42，”），則6〃a（ 0）=不以-%第=。.一.選擇題(共12小題).已知點(diǎn)4(1,0),8(2,2),向量而=(2,-1),則向量就=( )A.(1,2) B.(-1,-2) C.(3,1) D.(-3,-1)【分析】根據(jù)點(diǎn)4,8的坐標(biāo)可求出向量瓦J的坐標(biāo)，然后根據(jù)配=工-瓦5即可求出向量衣的坐標(biāo).【解答】解：JC=BC-A4=(2,-l)-(-l,-2)=(3,l).故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..已知向量方=(4,-4),礪=(-5,-1),則;而等于( )A.(3,1) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(1,-3)【分析】由題意，利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算可得結(jié)果.【解答】解：?.?向量況=(4,T),礪=(-5,-1),.?.存=麗-方=(-9,3)則;而=(一3,1),故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z.已知向量1=(加-1,1),6=(2,4),若萬(wàn)〃5,則實(shí)數(shù)加=( )\o"CurrentDocument"3 3A.1 B.-1 C. - D.——2 2【分析】利用向量平行的等價(jià)條件得4(m-l)-2=0,從而求得.【解答】解：???5=(m-U)，5=(2,4),atlb,4(/n-1)-2=0,解得機(jī)=3；2故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..已知向量3=(1,-1),b=(2,m),且a/石，那么實(shí)數(shù)用的值是( )D.D.1【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，得出結(jié)論.【解答】解：\?向量2=(1,-；),b-(2,w).且石//在，r.1xm2=0,故實(shí)數(shù)m=-l,故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z.已知向量萬(wàn)=(1,2),B=(3,-l),c=(1,2).若I//伍+B)，則4=( )A.-- B.- C.-- D.-6 5 4 4【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，列方程求出/I即可.【解答】解：?.?向量3=(1,2),6=(3,-1),c=(l,A),a+b=(4,1),若［//()+&,則1=42,A=—>4故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題..已知不=(2=),b=(k,2),若I//B,則無(wú)等于( )A.4 B.±2 C.-2 D.2【分析】利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求解.【解答】解：㈤,b=(k,2),且石//在,2x2-r=0,解得k=±2,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題..已知向量6、B滿足d=(-3,0),6=(0,-4),則|方_不|=( )A.1 B.3 C.5 D.7【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)1-不=(-3,4),再利用模長(zhǎng)公式求解即可.【解答】解：因?yàn)椴?(一3,0),ft=(0,-4).所以d=(-3,4)?所以|1-B|=5,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..已知G,4滿足|萬(wàn)|=3,行|=2,\a+b\=4,則|2d-不|=( )A.V19 B.歷 C.后 D.>/\0【分析】由已知求得石石，再由|23一上|=J(23-B)2,展開(kāi)后代入數(shù)量積求解.【解答】解：由|刈=3,忸|=2,|。+印=4,得16=|1+ +2晨B+戶=9+223+4,解得)石=3.:.\2a-b\=yj(2a-b)2=yj4a2-4ab+b2=^36-4x|+4=后.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題..平面向量石與石的夾角為60。，5=(3,0),|6|=1,則|]-2'等于( )A.>/3 B.V7 C.4 D.12【分析】可求出⑷=3,然后根據(jù)?萬(wàn)-2i|=J(a-2&2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出答案.【解答】解：???|可=3,歷|=1,<a,b>=60°,\a-2b|=7a2-45-6+4h2=^13-4x3xlx1=>/7.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..已知向量1=(1,3),\b\=45,且1與5的夾角。=工，則|3-2》|=( )4A.乖 B.2后 C.M D.2M【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得但-28)2=^+4廬-4晨6,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，向量。=(1,3),則=則有伍—2^)2=片+4戶-417=10,故|G-2$|=加，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題..在&48c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=b=5,c=8,/是zMBC內(nèi)切圓的圓心，若刃= + 則x+y的值為( )【分析】建系，根據(jù)坐標(biāo)法，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想即可求解.【解答】解：如圖，?.?a=b=5,c=8,.?.A/18C內(nèi)切圓的圓心/在48邊高線OC上(也是48邊上的中線)，OA=OB=4,OC=JBC2-0B。=45。-4。=3，以48直線為x軸，AB的垂向平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則4-4,0),5(4,0).C(0,3).設(shè)418c內(nèi)切圓的半徑為『，根據(jù)等面積算法可得：^ABOC=^(AB+BC+AC)r,：.；x8x3=；x(8+5+5)xr,4 4解得〃=5，故內(nèi)心/為(0與)，.?.萬(wàn)=(4$，荏=(8,0),就=(4,3),,,,AI=xAB+yAC，4/.(4,-)=x(8,0)+y(4,3),TOC\o"1-5"\h\z[4=8x+4y(2x+y=l x=—【點(diǎn)評(píng)】本題考查面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想，坐標(biāo)法，屬基礎(chǔ)題.12.在正方形中，E為4B的中點(diǎn),尸為CE的中點(diǎn)，則即=( )3—1— 3— 1— 1— — 1— 1—A.-AB+-ADB.一一AB+-AD C.-AB+ADD.一一AB+-AD4 4 4 4 2 4 2【分析】由平面向量的線性運(yùn)算逐步表示即可得解.TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：由題可知利用平面向量的線性運(yùn)算AD=BC,BE=-BA,CF=-CE,2 2則/脛+醞=亞+；區(qū)=而+；(詬一冊(cè))=標(biāo)+；(；曲—布)—1—1—1—I—=AD一一AB一一AD=-AD一一AB.4 2 2 4_■11所以8尸=--AB+-AD,4 2故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.二.填空題(共6小題).已知G=(l,JI),B=(cosasin。)，則12+|的取值范圍是_[02_4]_.【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量不+2^=(l+2cos仇>/J+2sin。),進(jìn)一步利用向量的模和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：由于1=(1,G),在=(cos。,sin。)；所以萬(wàn)+2B=(l+2cos6?,>/J+2sine)；所以|d+2b|=^(1+2cos0)~+ +2sin0)~—《8+8sin(0+—)>當(dāng)sin(9+今=1時(shí)，團(tuán)+2彼」=4,6當(dāng)sin(6+》=-l時(shí)，|5+2A|m,,=0；o故|d+2?|的取值范圍是[0,4].故答案為：[0，4].【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性膜的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題..已知向量萬(wàn)=(2,1),5=(1,3),則I萬(wàn)+11=5.【分析】可求出向量a+N的坐標(biāo)，然后即可得出|5+3|的值.【解答】解：?.?萬(wàn)+很=(3,4),.1.15+h|=5.故答案為；5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..已知1是兩個(gè)單位向量，設(shè)力=猛+〃],且滿足；1+〃=4,若-e2-a^a-ex\,則I,1=2.【分析】根據(jù)題意作出草:圖，利用平面幾何的性質(zhì)，可證"土〃，再根據(jù)力+〃=4,可得4=〃=2,再利用-《2I，可得4,弓的夾角，再根據(jù)|，|=2|q+gI，再利用數(shù)量公式即可求出|可.【解答】解：根據(jù)題意作出草圖，令A(yù)F=e]>AE=e2?AB= >AD=jue2,a= 4- ?由平行四邊形法則，得BC=4D= ,ADIIBC,???I11=11一萬(wàn)1=1萬(wàn)一Ml，/]EF\=\CE\=\CF\,???|樂(lè)|=|萬(wàn)I，AAJECMFC,Z.DAC=Z.ACB>：.ABAC=Z.ACB，.\| |=| |,：.\'AD\^~AB\.即|丸1|=|〃[|,/.2=±^,,/2+/z=4> /I=〃=2,B[J3=2e,+2e2????平行四邊形/8C。為菱形，設(shè)/bad=e,即向量?的夾角為e,*/|-e21=15-|>q—e2|=|2e2+q|,BP-e212=|2e2+e)|2,/.1+1-2cos。=4+1+4cos。，即6cos。=-3,- 1 _2ncos8=——, u=t2 3__I2k.121=21q+6|=2JI+1+2cos——=2.故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.16.已知平面向量。=(m,T),B=(-l,m+3),若。與不反向共線，則實(shí)數(shù)用的值為1.I2 i【分析】根據(jù)石與B反向共線，設(shè)征=41，2<0,然后得出，“,再求出加的值[-4Z=m+3即可.【解答】解：與不反向共線，TOC\o"1-5"\h\z.?.設(shè)5 2<0,(-1,/n+3)=A(tn>—4),[mA=1 .?[A=—1?( ?FL2<0,解得< .[-42=w+3 =1故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..已知向量而=(2a,a+l),萬(wàn)=(0,a),若(而+2斤)_L(而-2斤)，貝U實(shí)數(shù)【分析】由已知可得玩+2萬(wàn)，玩-2萬(wàn)的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為0列式求得實(shí)數(shù)a的值.【解答】解：\?玩=(2a,a+1),n=(0,a),in+2n=（2a,3a+1）,in-2n=（2a,l-a）（若（而+2斤）_L（所-2亓），則（而+2元）?（周-2萬(wàn)）=0,/.4a2+(3a+1)(1-a)=0,BPa2+2a+1=0,解得a=-l.故答案為：-1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題..已知肝=-2萬(wàn)月，若々(1,2)、￡(3,-1),則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)(5,T)_.【分析】設(shè)處點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)向量相等列方程組求出x、y的值即"J.【解答】解：設(shè)點(diǎn)F(xj),因?yàn)楦?-2砥，々(1,2)、￡(3,-1),所以(x—1,y—2)=-2(3—x,—1—y)?即[1j+2x,解得廣，[y-2=2+2y[y=-4所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,T).故答案為：(5,T).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

.已知平面向量原不滿足|B|=2,5與另-a的夾角為150。，記而=布+(1t)6。€尺)，則I而I的取值范圍為( )A.詆+oo) B.[y[2,+oo) C.[1,+oo) D.[-,+?)【分析】根據(jù)條件標(biāo)=布+(1-歷，可知若沌25起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可.【解答】解：如圖，設(shè)?=歷,1=5則5-1=荏，故2084=30°,因?yàn)榉?癡+(1—肪,其中r+(l—)=l,則若麗石④起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，即在直線Z8上,所以當(dāng)而J.荏時(shí)，|所|最小為1,無(wú)最大值，故|所|的取值范圍為[1，+00).故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的應(yīng)用，主要考查了三點(diǎn)共線與向量之間的關(guān)系，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于中檔題..已知平面向量G,b,5m與在不共線)，滿足|1-5|=|司=JI,\c-a\=\c-b\=\,設(shè)c=2a+^(2,//e/?),則；1+〃的取值范圍為( )7 77 7A?(f,§]U[2，+8)B.[-?2]C.[2,+oo) D.(-oo,2][分析]根據(jù)題干可設(shè)C(>/2,0)?OC=c=(5/2,0),由|了-d|=|--丐|=1,可知向量a與B的終點(diǎn)在以C為圓心，以1為半徑的圓周上，畫出圖像后根據(jù)圓的對(duì)稱性即可進(jìn)行求解.【解答】解：設(shè)c(應(yīng),0),?.?？=反=(0,。)，設(shè)萬(wàn)=次,5=麗，v|c-a|=|c-6|=l,OC-OA=AC,OC-OB=BC,..|7?|=|前|=1,

故8在以c為圓心，以1為半徑的圓上，即a-jir+v=i,?.?\a-b\=y/2,即|8-而|=|瓦I|=JI,:.CA1CB,如圖1: _— _]__ _J7~OC=OP+PC,?：OP=-（OA+OB）,\PC\=—,A=1,〃=1,此時(shí)/I+〃取最大值2,

OC=AOA+OC=AOA+pOB，)+〃(2 1 22+=此時(shí)；1+〃取得最小值4,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示，以及圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.21.在中，AB=221.在中，AB=2,4c=3,\4MA+3MB+2MC\的最小值為(3娓6娓廠3娓6娓廠37249c. 8C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出點(diǎn)1、BC的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出4MA+3MB+2MC的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)算求出結(jié)果.【解答】解：以點(diǎn)8為原點(diǎn)，8c所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系,所以8(0,0),C(4,0),所以8(0,0),C(4,0),2ABBC2x2x4 16所以點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)為ZBcos4BC=2xU=U168sin/.ABC= -cos2ZABC=16點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為Z8-sin48c=2x虱5=嫗16 8所以所以設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,0). 11 11所以M4=(--x,8A/C=(4-x,0),TOC\o"1-5"\h\z, . 、 ii 274MA+3麗+2祝的橫坐標(biāo)為4(--x)+3(-x)+2(4-x)=——9x8 24必+3麗+2流的縱坐標(biāo)為4乂^^+3乂0+2乂0=^^.8 2故4MA+3MB+2MC的坐標(biāo)為弓-9x,占叵14M4+3MB+2MC|=J(y-9x)2+(^y^)2,由于（萬(wàn)-9x）2…0,所以當(dāng)x=3時(shí)，|4忘+3赤+2沅I的最小值為士叵.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，向量的模和坐標(biāo)之間的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型.22.如圖，在A48c中，￡>是線段8c上的一點(diǎn)，且m=4而，過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線AB,4C于點(diǎn)M,N,若而=2方，麗=〃恁（4>0,〃>0）,則；?的最小值是（ ）C.2C.26-4 D.26+2TOC\o"1-5"\h\z【分析】7b=7B+BD=7B+-~BC=AB+-(AC-JB)=-JB+-7c,把刀」而，4 4 4 4 A I _ 1/C=-4N代入上式，再根據(jù)三點(diǎn)M、D、N共線求得義與〃的關(guān)系，然后把;"轉(zhuǎn)化為關(guān)于4的函數(shù)，可解決此題.【解答】解；AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC,4 4 4 4由前7=4萬(wàn)，麗=〃配得荏=,商，1C=-~AN,代入上式得標(biāo)=巨翔+」—麗，4 〃 42 4//又因?yàn)椤辏、N三點(diǎn)共線，所以-^-4---=1,所以?—=4——,所以424〃 〃丸2---2+--4..2,1/1---4-2>/3-4.4 2v2當(dāng)且僅當(dāng)%=3，即；1=6時(shí)等號(hào)成立，所以；I—!■的最小值為26-4.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量線性運(yùn)算及基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.二.填空題(共2小題).已知平面向量玩，萬(wàn)，且|而+斤|=2,|比-萬(wàn)|=1.若平面向量2滿足|4+玩|=|萬(wàn)貝lJ|G|的最大值_石_.【分析】首先對(duì)兩式|而+后|=2,|而-萬(wàn)|=1平方相加，然后利用三角不等式得|5|-|w|?\a+m\=\ii\,基本不等式得2(而？而|+|萬(wàn),從而求出|刈的最大值.【解答】解：住1|加+方|=2,|而一萬(wàn)|=1.得比2+斤2+2比?斤=4,m2+n2-2m-n=\,兩式相加得2(m2+n2)=5>又伍+而|=|