2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件

第3講立體幾何中的向量方法第3講立體幾何中的向量方法高考定位以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，常與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點為二面角的求解，均以解答題的形式進行考查，難度主要體現(xiàn)在建立空間直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確計算上.高考定位以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，常與1.(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)真

題

感

悟1.(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1解析

法一

以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).解析法一以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.法二

如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的中點，則PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1與BC1所成的角是∠MNP或其補角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，法二如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC答案

C在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠2.(2019·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.(1)證明由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.2.(2019·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE所以可取n＝(0，－1，－1).設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，所以可取n＝(0，－1，－1).1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法考

點

整

合1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法考點整2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件熱點一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【例1】

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.熱點一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系(1)BE⊥DC；證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E為棱PC的中點，得E(1，1，1).(2)因為AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又BE平面PAD，所以BE∥平面PAD.證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，探究提高1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的定理，如在(2)中忽略BE平面PAD而致誤.探究提高1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)慕馕鼋⒁訢為坐標(biāo)原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系.令正方體的棱長為3，可得D(0，0，0)，A(0，3，0)，A1(0，3，3)，C1(3，0，3)，D1(0，0，3)，B(3，3，0)，M(1，3，1)，N(3，2，1).解析建立以D為坐標(biāo)原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x答案

①③答案①③熱點二利用空間向量計算空間角角度1求線面角或異面直線所成的角【例2－1】

(2019·浙江卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點.(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.熱點二利用空間向量計算空間角(1)證明：EF⊥BC；(1)證明連接A1E.因為A1A＝A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如圖，以點E為原點，分別以射線EC，EA1為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz.(1)證明連接A1E.(2)解設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z).(2)解設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.設(shè)平面A1BC探究提高1.異面直線所成的角θ，可以通過兩直線的方向向量的夾角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.2.直線與平面所成的角θ主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角φ求得，即sinθ＝|cosφ|，有時也可分別求出斜線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩方向向量的夾角(或其補角).探究提高1.異面直線所成的角θ，可以通過兩直線的方向向量的【訓(xùn)練2】

(2019·鄭州模擬)如圖，在棱長均為2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為棱A1B1與BB1的中點，M，N為線段C1D上的動點，其中M更靠近D，且MN＝C1N.【訓(xùn)練2】(2019·鄭州模擬)如圖，在棱長均為2的正三棱(1)證明由已知得△A1B1C1為正三角形，D為棱A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，則AA1⊥C1D.又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1平面ABB1A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∵A1E平面ABB1A1，∴C1D⊥A1E.易證A1E⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D平面AC1D，∴A1E⊥平面AC1D.(1)證明由已知得△A1B1C1為正三角形，D為棱A1B1(2)解取BC的中點O，B1C1的中點O1，則AO⊥BC，OO1⊥BC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，易知n＝(1，0，0)是平面BCC1B1的一個法向量，(2)解取BC的中點O，B1C1的中點O1，則AO⊥BC，2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件角度2計算二面角【例2－2】

(2019·長郡中學(xué)模擬)如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD＝AE.(1)求證：AF∥平面CBD；(2)求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值.角度2計算二面角(1)求證：AF∥平面CBD；(1)證明取DE中點G，連接FG，AG，CG.由條件CF綊DG，∴CFGD為平行四邊形，∴FG∥CD.又FG平面CBD，CD平面CBD，∴FG∥平面CBD.同理AG∥平面CBD.又FG∩AG＝G，F(xiàn)G平面AFG，AG平面AFG.∴平面AFG∥平面CBD，又AF平面AFG，所以AF∥平面CBD.(1)證明取DE中點G，連接FG，AG，CG.(2)解

∵EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，∴EF⊥平面ADE，又AD＝DE，故可以AE中點H為原點，AE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)解∵EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，∴EF⊥設(shè)平面BCD的法向量為n2＝(x，y，z)，設(shè)平面BCD的法向量為n2＝(x，y，z)，探究提高1.二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補角.2.利用向量法求二面角，必須能判定“所求二面角的平面角是銳角或鈍角”，否則解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?探究提高1.二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直【訓(xùn)練3】

(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐A－BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°.(1)求證：BE⊥平面ACE；(2)若直線CE與平面ABC所成的角為45°，求二面角E－AB－C的余弦值.【訓(xùn)練3】(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐A－BCDE所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因為平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，所以AC⊥平面BCDE.又BE平面BCDE，所以AC⊥BE.又BE⊥EC，AC，CE平面ACE，且AC∩CE＝C，所以BE⊥平面ACE.所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.(2)解因為直線CE與平面ABC所成的角為45°，平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，所以∠BCE＝45°，所以△EBC為等腰直角三角形.記BC的中點為O，連接OE，則OE⊥平面ABC，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)解因為直線CE與平面ABC所成的角為45°，平面BC2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.(1)求證：AC⊥SD；(1)證明連接BD，設(shè)AC交BD于點O，連接SO.由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，(1)證明連接BD，設(shè)AC交BD于點O，連接SO.由題意知所以二面角的大小為30°.所以二面角的大小為30°.(3)解在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.由于BE平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在點E，使BE∥平面PAC，此時SE∶EC＝2∶1.(3)解在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.由于BE探究提高1.空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運算進行判斷.2.空間向量求解探索性問題：(1)假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論；(2)在這個前提下進行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.若由此推導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.探究提高1.空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件(1)證明因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.又因為AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD.(2)解過點A作AD的垂線交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD，AM，AD平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).(1)證明因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以令z＝1，則y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1，1).又因為平面PAD的一個法向量為p＝(1，0，0)，令z＝1，則y＝－1，x＝－1.(3)解直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下：因為點G在PB上，(3)解直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下：因為點G在PB上1.利用空間向量求解二面角時，易忽視二面角的范圍，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯.2.空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，各類角、距離以向量的方式表達出來，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運算問題.應(yīng)用的核心是充分認識形體特征，進而建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的運算解答問題，達到幾何問題代數(shù)化的目的，同時注意運算的準(zhǔn)確性.1.利用空間向量求解二面角時，易忽視二面角的范圍，誤以為兩個2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件第3講立體幾何中的向量方法第3講立體幾何中的向量方法高考定位以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，常與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點為二面角的求解，均以解答題的形式進行考查，難度主要體現(xiàn)在建立空間直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確計算上.高考定位以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，常與1.(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)真

題

感

悟1.(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1解析

法一

以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).解析法一以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系.法二

如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的中點，則PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1與BC1所成的角是∠MNP或其補角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，法二如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC答案

C在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠2.(2019·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.(1)證明由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.2.(2019·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE所以可取n＝(0，－1，－1).設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，所以可取n＝(0，－1，－1).1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法考

點

整

合1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法考點整2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件熱點一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【例1】

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.熱點一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系(1)BE⊥DC；證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E為棱PC的中點，得E(1，1，1).(2)因為AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又BE平面PAD，所以BE∥平面PAD.證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，探究提高1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的定理，如在(2)中忽略BE平面PAD而致誤.探究提高1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)慕馕鼋⒁訢為坐標(biāo)原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系.令正方體的棱長為3，可得D(0，0，0)，A(0，3，0)，A1(0，3，3)，C1(3，0，3)，D1(0，0，3)，B(3，3，0)，M(1，3，1)，N(3，2，1).解析建立以D為坐標(biāo)原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x答案

①③答案①③熱點二利用空間向量計算空間角角度1求線面角或異面直線所成的角【例2－1】

(2019·浙江卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點.(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.熱點二利用空間向量計算空間角(1)證明：EF⊥BC；(1)證明連接A1E.因為A1A＝A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如圖，以點E為原點，分別以射線EC，EA1為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz.(1)證明連接A1E.(2)解設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z).(2)解設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.設(shè)平面A1BC探究提高1.異面直線所成的角θ，可以通過兩直線的方向向量的夾角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.2.直線與平面所成的角θ主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角φ求得，即sinθ＝|cosφ|，有時也可分別求出斜線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩方向向量的夾角(或其補角).探究提高1.異面直線所成的角θ，可以通過兩直線的方向向量的【訓(xùn)練2】

(2019·鄭州模擬)如圖，在棱長均為2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為棱A1B1與BB1的中點，M，N為線段C1D上的動點，其中M更靠近D，且MN＝C1N.【訓(xùn)練2】(2019·鄭州模擬)如圖，在棱長均為2的正三棱(1)證明由已知得△A1B1C1為正三角形，D為棱A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，則AA1⊥C1D.又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1平面ABB1A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∵A1E平面ABB1A1，∴C1D⊥A1E.易證A1E⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D平面AC1D，∴A1E⊥平面AC1D.(1)證明由已知得△A1B1C1為正三角形，D為棱A1B1(2)解取BC的中點O，B1C1的中點O1，則AO⊥BC，OO1⊥BC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，易知n＝(1，0，0)是平面BCC1B1的一個法向量，(2)解取BC的中點O，B1C1的中點O1，則AO⊥BC，2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件角度2計算二面角【例2－2】

(2019·長郡中學(xué)模擬)如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD＝AE.(1)求證：AF∥平面CBD；(2)求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值.角度2計算二面角(1)求證：AF∥平面CBD；(1)證明取DE中點G，連接FG，AG，CG.由條件CF綊DG，∴CFGD為平行四邊形，∴FG∥CD.又FG平面CBD，CD平面CBD，∴FG∥平面CBD.同理AG∥平面CBD.又FG∩AG＝G，F(xiàn)G平面AFG，AG平面AFG.∴平面AFG∥平面CBD，又AF平面AFG，所以AF∥平面CBD.(1)證明取DE中點G，連接FG，AG，CG.(2)解

∵EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，∴EF⊥平面ADE，又AD＝DE，故可以AE中點H為原點，AE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)解∵EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，∴EF⊥設(shè)平面BCD的法向量為n2＝(x，y，z)，設(shè)平面BCD的法向量為n2＝(x，y，z)，探究提高1.二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補角.2.利用向量法求二面角，必須能判定“所求二面角的平面角是銳角或鈍角”，否則解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?探究提高1.二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直【訓(xùn)練3】

(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐A－BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°.(1)求證：BE⊥平面ACE；(2)若直線CE與平面ABC所成的角為45°，求二面角E－AB－C的余弦值.【訓(xùn)練3】(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐A－BCDE所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因為平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，所以AC⊥平面BCDE.又BE平面BCDE，所以AC⊥BE.又BE⊥EC，AC，CE平面ACE，且AC∩CE＝C，所以BE⊥平面ACE.所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.(2)解因為直線CE與平面ABC所成的角為45°，平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，所以∠BCE＝45°，所以△EBC為等腰直角三角形.記BC的中點為O，連接OE，則OE⊥平面ABC，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)解因為直線CE與平面ABC所成的角為45°，平面BC2021年高考理數(shù)第二輪第3講-立體幾何中的向量方法課件(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值