笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立

PAGEPAGE14課程論文課程：數(shù)學(xué)簡史題目：笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立學(xué)院：教育技術(shù)學(xué)院學(xué)院：教育技術(shù)學(xué)學(xué)生姓名：侯元軍學(xué)號：201076000208笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立（201076000208侯元軍10級教育技術(shù)學(xué)（1）班）【摘要】17世紀(jì)數(shù)學(xué)的最大成就是創(chuàng)立了解析幾何和微積分學(xué),為變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué)大廈的形成和發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何學(xué)的主要創(chuàng)立者之一。本文通過簡要論述和概括解析幾何之父——笛卡爾的生平、笛卡爾解析幾何思想的成因以及解析幾何的建立及其影響，以此來呈現(xiàn)偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾的光輝人生和解析幾何的創(chuàng)立的背景及意義。【關(guān)鍵字】笛卡爾解析幾何變量數(shù)學(xué)代數(shù)幾何十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線運(yùn)動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先歐式幾何的那套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。一、認(rèn)識解析幾何之父（一）生平簡介笛卡爾是法國偉大的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和物理學(xué)家。1596年5月31日他出生在法國都蘭的貴族家庭，自幼喪母，體弱多病，8歲入拉弗來什公學(xué)讀書。教師考慮到他的特殊情況，允許他每天早上晚起多睡。但笛卡爾利用這段時間進(jìn)行晨讀，并養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣。傳說笛卡爾是躺在床上觀察蟲子在天花板上爬行的位置，激發(fā)了靈感，使他產(chǎn)生了坐標(biāo)的概念。笛卡爾博覽群書，曾自述：“別人學(xué)的，我都學(xué)了。我并不以此為滿足，那些認(rèn)為最奇怪，最不尋常的有關(guān)各種科學(xué)的書，凡是我能搞到的，我都要把它們讀完?！彼泻玫乃伎剂?xí)慣，每當(dāng)讀書時，總是把書拿來先弄清作者的主要意圖，隨之讀完開頭的部分就細(xì)細(xì)品味，并力求得出下面的結(jié)論。1612年他入普瓦界大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位，后去巴黎當(dāng)律師。1618年參軍，部隊(duì)到荷蘭南部的小城布勒達(dá)時，一次巧遇街頭小報(bào)上在征解數(shù)學(xué)難題，笛卡爾成功的應(yīng)解，這使他對數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，并堅(jiān)定他終身研究數(shù)學(xué)的決心。1619年11月部隊(duì)到達(dá)多瑙河上的一個小鎮(zhèn)時，他不斷思考——怎樣把代數(shù)應(yīng)用到幾何中去。他曾說：“我想去尋求一種新的，包含兩門學(xué)科的好處，而又沒有它們?nèi)秉c(diǎn)的方法?！彼谥铝ρ芯繑?shù)學(xué)中一門完全嶄新的領(lǐng)域，這個領(lǐng)域后來被牛頓稱之為解析幾何。1621年他退伍去荷蘭、瑞士、意大利旅行。1625年返回巴黎.1628年定居荷蘭進(jìn)行研究與寫作，這時他研究哥白尼學(xué)說，1634年寫成《論世界》一書。1637年出版了《新光學(xué)》、《氣象學(xué)》和《幾何學(xué)》。1644年笛卡爾出版了《哲學(xué)原理》，1646年出版了《論心靈的各種感情》等重要著作。同年冬，笛卡爾應(yīng)瑞典女王克利斯提娜的邀請移居斯德哥爾摩為女王講授哲學(xué)，后因感染肺炎，于1650年2月11日去世，享年54歲。（二）主要貢獻(xiàn)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾，生前因懷疑教會信條受到迫害，長年在國外避難。他的著作在他生前或被禁止出版或被燒毀，他死后多年還被列入“禁書目錄”。但在今天，法國首都巴黎安葬民族先賢的圣日耳曼圣心堂中，莊重的大理石墓碑上鐫刻著“笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個為人類爭取并保證理性權(quán)利的人”。笛卡爾的著作，無論是數(shù)學(xué)、自然科學(xué)，還是哲學(xué)，都開創(chuàng)了這些學(xué)科的嶄新時代?！稁缀螌W(xué)》是他公開發(fā)表的唯一數(shù)學(xué)著作，雖則只有117頁，但它標(biāo)志著代數(shù)與幾何的第一次完美結(jié)合，使形形色色的代數(shù)方程表現(xiàn)為不同的幾何圖形，許多相當(dāng)難解的幾何題轉(zhuǎn)化為代數(shù)題后能輕而易舉地找到答案.他的主要著作都是在荷蘭完成的，其中1637年出版的《方法論》一書成為哲學(xué)經(jīng)典。這本書中的3個著名附錄《幾何》《折光》和《氣象》奠定了笛卡爾在數(shù)學(xué)、物理和天文學(xué)中的地位。在《幾何》中，笛卡爾分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，指出：希臘人的幾何過于抽象，而且過多的依賴于圖形，總是要尋求一些奇妙的想法。代數(shù)卻完全受法則和公式的控制，以致于阻礙了自由的思想和創(chuàng)造。他同時看到了幾何的直觀與推理的優(yōu)勢和代數(shù)機(jī)械化運(yùn)算的力量。于是笛卡兒著手解決這個問題，并由此創(chuàng)立了解析幾何。所以說笛卡爾是解析幾何的創(chuàng)始人。笛卡爾一生作出了多方面的貢獻(xiàn)，他在1634年寫的《宇宙學(xué)》，包含當(dāng)時被教會視為“異端”的觀點(diǎn)：他提出地球自轉(zhuǎn)和宇宙無限；他提的漩渦說是當(dāng)時最權(quán)威的太陽起源理論；他還提出了光的本性是粒子流的假說，并認(rèn)為在廣袤無垠的太空中存在著極其精細(xì)的以太。他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)。直到二三百年以后，笛卡爾的這些觀點(diǎn)仍具有很高的研究價值。（三）傳奇故事１６４７年深秋的一個夜晚，在巴黎近郊，兩輛馬車疾馳而過。馬車在教堂的門前停下。身佩利劍的士兵押著一個瘦小的老頭兒走進(jìn)教堂。他就是近代數(shù)學(xué)

奠基人、偉大的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾。由于他在著作中宣傳科學(xué)，觸犯了神權(quán)

，因而遭到了當(dāng)時教會的殘酷迫害。

才學(xué)里，燭光照射在圣母瑪麗亞的塑像上。塑像前是審判席。被告席上的笛

卡爾開始接受天主教會法庭對他的宣判：“笛卡爾散布異端邪說，違背教規(guī)，褻

瀆上帝。為純潔教義，蕩滌謬誤，本庭宣判笛卡爾所著之書全為禁書，并由本人

當(dāng)庭焚毀?！钡芽栂肷贽q，但士兵立即把他從被告席上拉下來，推到火盆旁，

笛卡爾用顫抖的手拿起一本本凝結(jié)了他畢生心血的著作，無可奈何地投入火中。

笛卡爾１５９６年生于法國。８歲入讀一所著名的教會學(xué)校。主要課程是神

學(xué)和教會的哲學(xué)，也學(xué)數(shù)學(xué)。他勤于思考，學(xué)習(xí)努力，成績優(yōu)異。２０歲時，他

在普瓦界大學(xué)獲法學(xué)學(xué)位。之后去巴黎當(dāng)了律師。出于對數(shù)學(xué)的興趣，他獨(dú)自研

究了兩年數(shù)學(xué)。１７世紀(jì)初的歐洲處于教會勢力的控制之下。但科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)

開始顯示出一些和宗教教義離經(jīng)背道的傾向。笛卡爾和其他一些不滿法蘭西政治

狀態(tài)的青年人一起去荷蘭從軍體驗(yàn)軍旅生活。

說起笛卡爾投身數(shù)學(xué)，多少有一些偶然性。有一次部隊(duì)開進(jìn)荷蘭南部的一個

城市，笛卡爾在街上散步，看見用當(dāng)?shù)氐?/p>

佛來米語書寫的公開征解的幾道數(shù)學(xué)

難題。許多人在此招貼前議論紛紛，他旁邊的一位中年人用法語替他翻譯了這幾

道數(shù)學(xué)難題的內(nèi)容。第二天，聰明的笛卡爾興沖沖地把解答交給了那位中年人。

中年人看了笛卡爾的解答十分驚訝。巧妙的解題方法，準(zhǔn)確無誤的計(jì)算，充分顯

露了他的數(shù)學(xué)才華。原來這位中年人就是當(dāng)時有名的數(shù)學(xué)家貝克曼教授。笛卡爾

以前讀過他的著作，但是一直沒有機(jī)會認(rèn)識他。從此，笛卡爾就在貝克曼的指導(dǎo)

下開始了對數(shù)學(xué)的深入研究。所以有人說，貝克曼“把一個業(yè)已離開科學(xué)的心靈

，帶回到正確、完美的成功之路”。１６２１年笛卡爾離開軍營遍游歐洲各國。

１６２５年回到巴黎從事科學(xué)工作。為綜合知識、深入研究，１６２８年變賣家

產(chǎn)，定居荷蘭潛心著述達(dá)２０年。

幾何學(xué)曾在古希臘有過較高的發(fā)展，歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼都對圓

錐曲線作過深入研究。但古希臘的幾何學(xué)只是一種靜態(tài)的幾何，它既沒有把曲線

看成一種動點(diǎn)的軌跡，更沒有給出它的一般表示方法。文藝復(fù)興運(yùn)動以后，哥白

尼的日心說得到證實(shí)，開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動的三大定律，伽利略又證明了炮彈

等拋物體的彈道是拋物線，這就使幾乎被人們忘記的阿波羅尼曾研究過的圓錐曲

線重新引起人們的重視。人們意思到圓錐曲線不僅僅是依附在圓錐上的靜態(tài)曲線

，而且是與自然界的物體運(yùn)動有密切聯(lián)系的曲線。要計(jì)算行星運(yùn)行的橢圓軌道，

要求出炮彈飛行所走過的拋物線，單純靠幾何方法已無能為力。古希臘數(shù)學(xué)家的

幾何學(xué)已不能給出解決這些問題的有效方法。要想反映這類運(yùn)動的軌跡及其性質(zhì)

，就必須從觀點(diǎn)到方法都要有一個新的變革，建立一種在運(yùn)動觀點(diǎn)上的幾何學(xué)。

古希臘數(shù)學(xué)過于重視幾何學(xué)的研究，卻忽視了代數(shù)方法。代數(shù)方法在東方（

中國，印度，阿拉伯）雖有高度發(fā)展，但缺少論證幾何學(xué)的研究。后來，東方高

度發(fā)展的代數(shù)傳入歐洲，特別是文藝復(fù)興運(yùn)動歐洲數(shù)學(xué)在古希臘幾何學(xué)和東方代

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上有了巨大的發(fā)展。

笛卡爾在數(shù)學(xué)上的杰出貢獻(xiàn)就在于將代數(shù)和幾何巧妙地聯(lián)系在一起，從而創(chuàng)

造了解析幾何這門數(shù)學(xué)學(xué)科。

１６１９年在多瑙河的軍營里，笛卡爾用大部分時間思考著他在數(shù)學(xué)中的新

想法：能不能用代數(shù)中的計(jì)算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到

一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁－－使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩

條互相垂直且交于原點(diǎn)的數(shù)軸作為基準(zhǔn)，將平面上的點(diǎn)的位置確定下來，這就是

后人所說的笛卡爾坐標(biāo)系。笛卡爾坐標(biāo)系的建立，為用代數(shù)方法研究幾何架設(shè)了

橋梁。它使幾何中的點(diǎn)Ｐ與一個有序?qū)崝?shù)偶（x,y)構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系。

坐標(biāo)系里點(diǎn)的坐標(biāo)按某種規(guī)則連續(xù)變化，那末，平面上的曲線就可以用方程

來表示。笛卡爾坐標(biāo)系的建立，把過去并列的兩個數(shù)學(xué)研究對象“形”和“數(shù)”

統(tǒng)一起來，把幾何方法和代數(shù)方法統(tǒng)一起來，從而使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)有了一個新的突

破。

關(guān)于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對科學(xué)目的和科

學(xué)方法的狂熱追求，新幾何的影子不時縈繞腦際。１６１９年１１月１０日這一

天，笛卡爾做了一個觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動時劃出一條美妙的曲

線，然后一個黑點(diǎn)停在有方格的窗紙上，黑點(diǎn)到窗欞的距離確定了它的位置，夢

醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說

，他的夢象一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標(biāo)幾何，由于教會勢力的控制

，笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想未能及時公諸于世。為避免教會的迫害，１６３７年

，也就是奇妙夢幻的１８年春秋以后，笛卡爾在荷蘭匿名出版了《科學(xué)中正確運(yùn)

用推理和尋求真理的方法論》一書。書中抨擊繁瑣哲學(xué)，倡導(dǎo)科學(xué)為人類造福，

主張人應(yīng)該主宰自然。笛卡爾的哲學(xué)思想，反映了１７世紀(jì)法國資產(chǎn)階級反對封

建主義，發(fā)展生產(chǎn)，發(fā)展科學(xué)的歷史要求。對當(dāng)時的科學(xué)發(fā)展有著決定性的影響。

《幾何學(xué)》是該書的一篇附錄。在這篇附錄中笛卡爾介紹了他所創(chuàng)立的解析幾何

幾何學(xué)。１７世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展很大程度上歸功于笛卡爾的解析幾何學(xué)。

作為附錄的《幾何學(xué)》雖是這位偉大哲學(xué)家的唯一一篇數(shù)學(xué)論文，然而它的歷史

價值卻使笛卡爾的名字千古流芳。

１７６０年２月１１日笛卡爾在斯德哥爾摩病逝。由于教會的阻止，僅有幾個友人為其送葬。其著作在他死后也被教會列為禁書?？墒?，這位對科學(xué)作出巨大貢獻(xiàn)的學(xué)者卻受到廣大科學(xué)家和革命者的敬仰和懷念。法國大革命之后，笛卡爾的骨灰和遺物被送進(jìn)法國歷史博物館。其墓碑上鐫刻著：

笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個為爭取和捍衛(wèi)理性權(quán)利而奮斗的人。二、笛卡爾的解析幾何思想成因（一）從當(dāng)時的哲學(xué)背景看笛卡爾被廣泛認(rèn)為是西方近代哲學(xué)的奠基人，他第一個創(chuàng)立了一套完整的哲學(xué)體系。哲學(xué)上，笛卡爾是一個二元論者以及理性主義者。笛卡爾認(rèn)為，人類應(yīng)該可以使用數(shù)學(xué)的方法――也就是理性――來進(jìn)行哲學(xué)思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。（他舉出了一個例子：在我們做夢時，我們以為自己身在一個真實(shí)的世界中，然而其實(shí)這只是一種幻覺而已，參見莊周夢蝶）。他從邏輯學(xué)、幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)了4條規(guī)則：除了清楚明白的觀念外，絕不接受其他任何東西；必須將每個問題分成若干個簡單的部分來處理；思想必須從簡單到復(fù)雜；我們應(yīng)該時常進(jìn)行徹底的檢查，確保沒有遺漏任何東西。笛卡爾將這種方法不僅運(yùn)用在哲學(xué)思考上，還運(yùn)用于幾何學(xué)，并創(chuàng)立了解析幾何。這就是他解析幾何思想的成因之一。（二）從當(dāng)時的數(shù)學(xué)背景看當(dāng)時的數(shù)學(xué)狀況。一般的坐標(biāo)思想在古希臘時代就已經(jīng)產(chǎn)生了，例如古希臘的希帕蘇斯在研究天球時就引進(jìn)過點(diǎn)的坐標(biāo)；同樣，還有古希臘時期的阿波羅尼奧斯，他在推導(dǎo)圓錐曲線的過程中也有過點(diǎn)的坐標(biāo)思想；還有法國的奧雷斯姆，他用“經(jīng)度”和“緯度”兩個坐標(biāo)來表示平面上的坐標(biāo)，并且在這里還有函數(shù)表示的思想。當(dāng)時對曲線的研究非常重視，即有很多的數(shù)學(xué)家追求一種用一般的方式處理曲線的問題，笛卡爾認(rèn)識到了使用數(shù)量方法的重要性，而且認(rèn)識到了代數(shù)和幾何結(jié)合起來考慮問題的關(guān)鍵。故而，解析幾何的又一關(guān)鍵數(shù)學(xué)思想是把曲線和曲面用代數(shù)方程的形式表達(dá)出來。當(dāng)然，笛卡爾之所以能產(chǎn)生這種想法，也是有深刻的背景的。例如在他之前，法國的大數(shù)學(xué)家韋達(dá)對笛卡爾產(chǎn)生了非常重要的影響。韋達(dá)有兩個主要科學(xué)工作：一個是將代數(shù)運(yùn)用到幾何的想法，另一個就是引進(jìn)了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號體系?？梢哉f韋達(dá)是和笛卡爾的解析幾何走的最近的數(shù)學(xué)家，但是為什么韋達(dá)沒有能夠創(chuàng)立解析幾何呢，就是因?yàn)樗?dāng)時考慮的代數(shù)方程僅限于齊次的情況，而笛卡爾則沒有局限在僅僅只考慮齊次方程的情形。前人的工作為笛卡爾的解析幾何思想提供了重要的源泉，笛卡爾正是在這些人的工作的基礎(chǔ)之上而得到了解析幾何中一些非常重要的成果。這在數(shù)學(xué)自身來說，即代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想，這些都是解析幾何生時的數(shù)學(xué)背景。當(dāng)時的數(shù)學(xué)背景或許也是他解析幾何思想的成因之一。（三）從他自身方面看笛卡爾有極富成效的學(xué)習(xí)方法，這也是他解析幾何思想的成因之一。他有自己獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法.他在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于弄清作者的意圖,因此,他讀書時常常是只讀開頭的部分,一但弄清作者的意圖后,那些應(yīng)由作者得出的結(jié)論,他總是力求自己得出。他在學(xué)習(xí)歐幾里得《幾何原本》時,一方面他為書中數(shù)學(xué)表示出的簡潔、令人信服的邏輯推理所吸引。另一方面他感到歐幾里得《幾何原本》中的每一個證明總是在追求某種新的、往往是奇巧的想法。通過前輩們關(guān)于代數(shù)與幾何關(guān)系的討論,笛卡爾發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學(xué)金礦—代數(shù)。他認(rèn)為代數(shù)與其說是一門數(shù)學(xué),不如說是一種推理方法,這種有效的推理方法使思考和運(yùn)算步驟變得簡單,并且無需費(fèi)很大的腦力。在一系列的實(shí)踐過程中,他看到了數(shù)量方法的必要性,科學(xué)的需要和對方法的興趣推動了笛卡爾對解析幾何的研究。三、解析幾何的創(chuàng)立（一）代數(shù)與幾何的關(guān)系在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,代數(shù)與幾何有著同樣深遠(yuǎn)的淵源,由于歐氏幾何是建立在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?公理的體系上的,使幾何看起來比算術(shù)、代數(shù)要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)枚?因此人們把結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)僅限于幾何學(xué),這種觀點(diǎn)嚴(yán)重影響了算術(shù)、代數(shù)的發(fā)展,從那時起,就決定了代數(shù)從屬于幾何的地位。甚至到了十六世紀(jì),代數(shù)從屬于幾何的地位也未得到根本改善,那怕是韋達(dá)高超的代數(shù)學(xué),也是為幾何服務(wù)的。（二）笛卡爾的解析幾何1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時的這個“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個意思一樣。

笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點(diǎn)。

從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。

為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。笛卡爾的解析幾何，使用的是坐標(biāo)法.這種方法是在平面上建立點(diǎn)的坐標(biāo)（x，x），用坐標(biāo)（x,y）表示點(diǎn)的位置，于是一條曲線就可以用關(guān)于變數(shù)x和y的代數(shù)方程來表示.這樣，笛卡爾把一個幾何問題通過坐標(biāo)歸結(jié)為代數(shù)方程式，用代數(shù)方法研究方程的性質(zhì)，然后再翻譯成幾何語言，得出圖形的幾何性質(zhì).笛卡爾用這種方法研究了含有兩個未知數(shù)的二次方程，并得出一般二次方程分別表示橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的結(jié)論.解析幾何的創(chuàng)立，開始了用代數(shù)方法解決幾何問題的新時代.從古希臘時起，在西方數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，幾何學(xué)似乎一直是至高無上的.一些代數(shù)問題，也都要幾何方法解決.解析幾何的產(chǎn)生，改變了這種傳統(tǒng)，在數(shù)學(xué)思想上可以看作是一次飛躍.代數(shù)方程和曲線、曲面聯(lián)系起來。（三）解析幾何的應(yīng)用解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學(xué)的時期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何：在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點(diǎn)上，影片門在另一個焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。

運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。（四）解析幾何的作用解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。1、笛卡爾希望通過解析幾何引進(jìn)一個新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實(shí)，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點(diǎn)時，必須分別考慮交點(diǎn)在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時，則不須加區(qū)別。2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)構(gòu)造成一個具有兩種作用的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達(dá)到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點(diǎn)來求三次和四次方程的實(shí)根的著名方法），拉格朗日曾把這些優(yōu)點(diǎn)寫進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善?！笨梢哉f十