《微積分(應(yīng)用型)》教學(xué)課件-第四章

不定積分第四章不定積分第四章CONTENT4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分4.1.2不定積分的性質(zhì)4.1.3不定積分的幾何意義4.1.4基本積分表

4.2湊微分法4.2.1湊微分法的概念4.2.2湊微分法舉例

4.4分部積分法4.4.1分部積分公式4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的情形4.4.4形如，的積分4.4.5被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形4.3變量代換法4.3.1變量代換法的概念4.3.2三角代換4.3.3雙曲代換4.3.4倒代換4.5

其他積分方法4.5.1簡(jiǎn)單游離分式函數(shù)的積分4.5.2三角函數(shù)有理式的積分4.5.3無理函數(shù)的積分CONTENT4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1.14.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1【本節(jié)導(dǎo)引】（1）已知一平面曲線過點(diǎn)（1,1），且曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為2x,求這條曲線的方程．（2）一個(gè)物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)它在任意時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的速度為v=gt，求該物體的位移函數(shù)．【本節(jié)導(dǎo)引】（1）已知一平面曲線過點(diǎn)（1,1），且曲線上任意定義4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定理4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定理4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.24.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.24.1.1原函數(shù)與不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

例4.1.1求4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念例4.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

例4.1.2求函數(shù)的不定積分.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念例4.4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的概念，可以推得如下性質(zhì)：4.1.2不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的概念4.1.3不定積分的幾何意義

由

f(x)的原函數(shù)族所確定的無窮多條曲線y=F(x)+C稱為f(x)的積分曲線族。在f(x)的積分曲線族上，對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)x=x0處的點(diǎn)的切線斜率相等，這就是不定積分的幾何意義．4.1.3不定積分的幾何意義由f(x4.1.4基本積分表

根據(jù)不定積分的概念，可以推得如下性質(zhì)：4.1.4基本積分表根據(jù)不定積分的概念，可4.1.4基本積分表

例4.1.3求4.1.4基本積分表例4.1.34.1.4基本積分表

例4.1.4求例4.1.5求4.1.4基本積分表例4.1.4求【小結(jié)】

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該：

①理解不定積分的概念；

②掌握不定積分的性質(zhì)；

③理解不定積分的幾何意義；

④掌握求原函數(shù)的基本積分公式．【小結(jié)】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該：4.2湊微分法4.2【本節(jié)導(dǎo)引】

在掌握了不定積分的概念之后，我們進(jìn)一步研究求解不定積分常用的方法——換元積分法．換元積分法簡(jiǎn)稱換元法，是指把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法．換元法通常分為第一類換元法（湊微分法）和第二類換元法（變量代換法）．【本節(jié)導(dǎo)引】在掌握了不定積分的概念之后，我們4.2.1

湊微分法的概念4.2.1湊微分法的概念4.2.1

湊微分法的概念4.2.1湊微分法的概念4.2.2湊微分法舉例

例4.2.1求4.2.2湊微分法舉例例4.2.14.2.2湊微分法舉例

例4.2.2求

例4.2.3求4.2.2湊微分法舉例例4.2.24.2.2湊微分法舉例

例4.2.4求4.2.2湊微分法舉例例4.2.44.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例【小結(jié)】

在求解不定積分時(shí)，首先應(yīng)觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，看能否通過湊微分法去解決．如果可以，應(yīng)“能湊盡量湊，能靠盡量靠（即往基本積分表上靠）”．【小結(jié)】在求解不定積分時(shí)，首先應(yīng)觀察被積函數(shù)的4.3變量代換法4.3【本節(jié)導(dǎo)引】【本節(jié)導(dǎo)引】4.3.1

變量代換法的概念4.3.1變量代換法的概念4.3.2三角代換

例4.3.1求4.3.2三角代換例4.3.1求4.3.2三角代換

例4.3.2求4.3.2三角代換例4.3.2求4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.3雙曲代換4.3.3雙曲代換4.3.4倒代換

利用倒代換可以消掉或簡(jiǎn)化被積函數(shù)分母中的因子，因此倒代換一般用于分母次數(shù)比分子次數(shù)高的被積函數(shù)中．

例4.3.3求4.3.4倒代換利用倒代換可以消掉或簡(jiǎn)化被積函4.3.4倒代換

例4.3.4求4.3.4倒代換例4.3.4求4.3.4倒代換4.3.4倒代換【小結(jié)】

本節(jié)介紹了幾類常用的代換方法，可使不定積分變得易解，但這些方法不是萬能的，它們只是最基本的方法．在解題過程中，讀者還需多試幾種方法，靈活地求解不定積分．【小結(jié)】本節(jié)介紹了幾類常用的代換方法，可使不定4.4分部積分法4.4【本節(jié)導(dǎo)引】前面講解的湊微分法和變量代換法是基本的積分方法，它們是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法則推導(dǎo)出來的，雖然應(yīng)用廣泛，但也有一定的局限性．例如，對(duì)于

，

這類積分，就無法采用這兩種方法求解．下面我們學(xué)習(xí)另一種基本積分方法——分部積分法，它是在函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的．【本節(jié)導(dǎo)引】前面講解的湊微分法和變量代換法是基本的積分方法，4.4.1

分部積分公式4.4.1分部積分公式4.4.1

分部積分公式

例4.4.1求4.4.1分部積分公式例4.4.14.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形

例4.4.2求4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形

例4.4.3求4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的情形

例4.4.4求

例4.4.5求4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的4.4.4形如

，

的積分

例4.4.6求4.4.4形如，4.4.4形如

，

的積分

例4.4.7求4.4.4形如，4.4.5

被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形

例4.4.8求4.4.5被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形4.4.5

被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形

例4.4.9求4.4.5被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形【小結(jié)】

本節(jié)的積分方法可總結(jié)為：分部法，有規(guī)律，u,v選取是前提．v要容易求，vdu要容易積．

分部積分法的關(guān)鍵是要掌握如何正確地選擇u，一般規(guī)律如表所示：【小結(jié)】本節(jié)的積分方法可總結(jié)為：分4.5其他積分法4.5【本節(jié)導(dǎo)引】

到目前為止，我們已經(jīng)討論了湊微分法、變量代換法和分部積分法，這些方法已基本上解決了初等函數(shù)求不定積分的問題．但有一些連續(xù)初等函數(shù)用這些方法“積不出來”，如有理分式函數(shù)、三角有理式、無理函數(shù)等，它們求不定積分的方法也有一定的規(guī)律，下面通過幾個(gè)例子來總結(jié)這三種函數(shù)求不定積分的方法．【本節(jié)導(dǎo)引】到目前為止，我們已經(jīng)討論了湊微分法4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分

例4.5.1求4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分例4.4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分

例4.5.2求4.5.1簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分例4.4.5.2

三角有理分式函數(shù)的積分

例4.5.3求4.5.2三角有理分式函數(shù)的積分例4.4.5.3無理函數(shù)的積分

例4.5.4求4.5.3無理函數(shù)的積分例4.5.4【小結(jié)】

本節(jié)主要供學(xué)有余力的讀者閱讀參考．對(duì)于求解不定積分問題，讀者應(yīng)能做到不斷總結(jié)積分方法，適當(dāng)?shù)囟嘧鲆恍╊}目，以掌握比較便捷的求解不定積分的方法．【小結(jié)】本節(jié)主要供學(xué)有余力的讀者閱THANKSTHANKS不定積分第四章不定積分第四章CONTENT4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分4.1.2不定積分的性質(zhì)4.1.3不定積分的幾何意義4.1.4基本積分表

4.2湊微分法4.2.1湊微分法的概念4.2.2湊微分法舉例

4.4分部積分法4.4.1分部積分公式4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的情形4.4.4形如，的積分4.4.5被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形4.3變量代換法4.3.1變量代換法的概念4.3.2三角代換4.3.3雙曲代換4.3.4倒代換4.5

其他積分方法4.5.1簡(jiǎn)單游離分式函數(shù)的積分4.5.2三角函數(shù)有理式的積分4.5.3無理函數(shù)的積分CONTENT4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1.14.1不定積分的概念和性質(zhì)4.1【本節(jié)導(dǎo)引】（1）已知一平面曲線過點(diǎn)（1,1），且曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為2x,求這條曲線的方程．（2）一個(gè)物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)它在任意時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的速度為v=gt，求該物體的位移函數(shù)．【本節(jié)導(dǎo)引】（1）已知一平面曲線過點(diǎn)（1,1），且曲線上任意定義4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定理4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定理4.1.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.24.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義4.1.24.1.1原函數(shù)與不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

例4.1.1求4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念例4.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念

例4.1.2求函數(shù)的不定積分.4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念例4.4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的概念，可以推得如下性質(zhì)：4.1.2不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的概念4.1.3不定積分的幾何意義

由

f(x)的原函數(shù)族所確定的無窮多條曲線y=F(x)+C稱為f(x)的積分曲線族。在f(x)的積分曲線族上，對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)x=x0處的點(diǎn)的切線斜率相等，這就是不定積分的幾何意義．4.1.3不定積分的幾何意義由f(x4.1.4基本積分表

根據(jù)不定積分的概念，可以推得如下性質(zhì)：4.1.4基本積分表根據(jù)不定積分的概念，可4.1.4基本積分表

例4.1.3求4.1.4基本積分表例4.1.34.1.4基本積分表

例4.1.4求例4.1.5求4.1.4基本積分表例4.1.4求【小結(jié)】

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該：

①理解不定積分的概念；

②掌握不定積分的性質(zhì)；

③理解不定積分的幾何意義；

④掌握求原函數(shù)的基本積分公式．【小結(jié)】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該：4.2湊微分法4.2【本節(jié)導(dǎo)引】

在掌握了不定積分的概念之后，我們進(jìn)一步研究求解不定積分常用的方法——換元積分法．換元積分法簡(jiǎn)稱換元法，是指把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法．換元法通常分為第一類換元法（湊微分法）和第二類換元法（變量代換法）．【本節(jié)導(dǎo)引】在掌握了不定積分的概念之后，我們4.2.1

湊微分法的概念4.2.1湊微分法的概念4.2.1

湊微分法的概念4.2.1湊微分法的概念4.2.2湊微分法舉例

例4.2.1求4.2.2湊微分法舉例例4.2.14.2.2湊微分法舉例

例4.2.2求

例4.2.3求4.2.2湊微分法舉例例4.2.24.2.2湊微分法舉例

例4.2.4求4.2.2湊微分法舉例例4.2.44.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例4.2.2湊微分法舉例【小結(jié)】

在求解不定積分時(shí)，首先應(yīng)觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，看能否通過湊微分法去解決．如果可以，應(yīng)“能湊盡量湊，能靠盡量靠（即往基本積分表上靠）”．【小結(jié)】在求解不定積分時(shí)，首先應(yīng)觀察被積函數(shù)的4.3變量代換法4.3【本節(jié)導(dǎo)引】【本節(jié)導(dǎo)引】4.3.1

變量代換法的概念4.3.1變量代換法的概念4.3.2三角代換

例4.3.1求4.3.2三角代換例4.3.1求4.3.2三角代換

例4.3.2求4.3.2三角代換例4.3.2求4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.2三角代換4.3.3雙曲代換4.3.3雙曲代換4.3.4倒代換

利用倒代換可以消掉或簡(jiǎn)化被積函數(shù)分母中的因子，因此倒代換一般用于分母次數(shù)比分子次數(shù)高的被積函數(shù)中．

例4.3.3求4.3.4倒代換利用倒代換可以消掉或簡(jiǎn)化被積函4.3.4倒代換

例4.3.4求4.3.4倒代換例4.3.4求4.3.4倒代換4.3.4倒代換【小結(jié)】

本節(jié)介紹了幾類常用的代換方法，可使不定積分變得易解，但這些方法不是萬能的，它們只是最基本的方法．在解題過程中，讀者還需多試幾種方法，靈活地求解不定積分．【小結(jié)】本節(jié)介紹了幾類常用的代換方法，可使不定4.4分部積分法4.4【本節(jié)導(dǎo)引】前面講解的湊微分法和變量代換法是基本的積分方法，它們是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法則推導(dǎo)出來的，雖然應(yīng)用廣泛，但也有一定的局限性．例如，對(duì)于

，

這類積分，就無法采用這兩種方法求解．下面我們學(xué)習(xí)另一種基本積分方法——分部積分法，它是在函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的．【本節(jié)導(dǎo)引】前面講解的湊微分法和變量代換法是基本的積分方法，4.4.1

分部積分公式4.4.1分部積分公式4.4.1

分部積分公式

例4.4.1求4.4.1分部積分公式例4.4.14.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形

例4.4.2求4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘積的情形

例4.4.3求4.4.2被積函數(shù)為冪函數(shù)（多項(xiàng)式）與指數(shù)函數(shù)、三角函4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的情形

例4.4.4求

例4.4.5求4.4.3被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的4.4.4形如

，

的積分

例4.4.6求4.4.4形如，4.4.4形如

，

的積分

例4.4.7求4.4.4形如，4.4.5

被積函數(shù)由某些復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的情形