《角的平分線的性質(zhì)》課件1

角的平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用1復(fù)習(xí)兩個(gè)定理1．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

∵

OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．2．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離

相等的點(diǎn)在角的平分線上．

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．復(fù)習(xí)兩個(gè)定理1．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2回顧

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形

各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線的性質(zhì)得

PD=PE

及

PE=PF．進(jìn)而PD=PE=PF．于是問(wèn)題得證．回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)3追問(wèn)

點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？

這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？這說(shuō)明：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．分析：“雙垂距離推角分”略證：（用已證結(jié)論）∵PD

=PE

=PF（已證），又PD⊥AB，PF⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．追問(wèn)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明：三角形的三條角平4思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形

各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線的性質(zhì)得

PF=PG

及

PG=PH．進(jìn)而PF=PG=PH．得證．類比的想法類比

如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形類比的想法類比如圖，△ABC的∠5類比

（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角的平分線有什么關(guān)系？這說(shuō)明：三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)角的角平分線交于一點(diǎn)．分析：“雙垂距離推角分”略證：（用已證結(jié)論）∵PF

=PG

=PH（已證），又PF⊥AB，PH⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．類比（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰6應(yīng)用

如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？應(yīng)用如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一7有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．各邊作垂直，標(biāo)垂足．（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為又點(diǎn)P在∠AOB平分線上，回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．∴△ODF≌△OEF．1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，“角分雙垂推相等”得PD=PE相等的點(diǎn)在角的平分線上．△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF∴∠DOP=∠EOP，∴∠DOP=∠EOP，例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF=EF．3．一般的分析方法：已知可推什么？求證從哪里來(lái)？找常見(jiàn)基本圖與基本說(shuō)法等．可以先思考核心步驟再展開(kāi)寫(xiě)以免干擾思路．∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，又PD⊥AB，PF⊥AC，應(yīng)用

如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？分析：可以從定理1入手也可以從定理2入手總之找角平分線交點(diǎn)有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？應(yīng)用如圖，為了促8已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．作圖：分別作∠BAC和∠ABC的平分線，兩線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．課下可以試試證明．已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等9發(fā)展

已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．分析：（1）根據(jù)之前的研究，在三角形內(nèi)部，兩條角平分線的交點(diǎn)符合要求；（2）在三角形的外部呢？

有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？發(fā)展已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．10∴∠ODP=∠OEP=90o．∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，∴∠DOP=∠EOP．∵∠DPF=∠ODP+∠DOP，∴∠DOP=∠EOP，∴PD是∠EPF的平分線（定理2）．處理這個(gè)問(wèn)題分3步走：思路調(diào)整：少用一次全等又PF⊥AB，PH⊥AC，∴△ODF≌△OEF．1．我們?cè)谶@階段學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，需注意區(qū)分它們的條件和結(jié)論，以免發(fā)生混淆．“角分雙垂推相等”得PD=PE當(dāng)已知，想定理2“角分雙垂推相等”得PD=PE例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF=EF．∵PD=PE=PF（已證），在△PDF≌△PEF中到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上．2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線，目前常見(jiàn)的輔助線以補(bǔ)全基本圖為主．當(dāng)已知，想定理2作法：如圖（1）作△ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為O1；（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．∴∠ODP=∠OEP=90o．作法：如圖11則O1，O2，O3，O4即為所求．作法：如圖（1）作△ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為O1；（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．則O1，O2，O3，O4即為所求．作法：如圖12到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上．回答之前的問(wèn)題：不加“角的內(nèi)部”定理2是不對(duì)的．還有其他點(diǎn)符合要求到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上13例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．分析：標(biāo)圖1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”

當(dāng)已知，想定理2

當(dāng)求證，想定理12．平行線用以轉(zhuǎn)換角的位置例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段A14例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．整理思路：處理這個(gè)問(wèn)題分3步走：先用定理2證等角再用平行關(guān)系換角的位置最后用定理1再證距離相等例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段A15∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，∴PD是∠EPF的平分線（定理2）．∴∠1

=∠2．注意鑒別易混定理．∵PE∥AB，∴∠1

=∠3．同理，∠2

=∠4．∴∠3

=∠4．∴△ABC中，AD平分∠BAC．∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．證明：∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，注意鑒別易混定理．∵PE∥AB16例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．分析：標(biāo)圖已知可推？“角分雙垂推相等”得PD

=PE△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF求證何來(lái)？△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF△ODP≌△OEP△ODF≌△OEF可能來(lái)自全等例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA17分析：“雙垂距離推角分”2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線，目前常見(jiàn)的輔助線以補(bǔ)全基本圖為主．進(jìn)而PF=PG=PH．得證．在△PDF≌△PEF中例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？發(fā)展已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．（1）根據(jù)之前的研究，在三角形內(nèi)部，兩條角平分線的交點(diǎn)符合要求；∵PF=PG=PH（已證），1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”在△ODF與△OEF中∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為又PD⊥AB，PF⊥AC，∴∠DOP=∠EOP，回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．希望大家多嘗試，多比較，多思考，多積累，逐步做到會(huì)-對(duì)-好．在△PDF≌△PEF中例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．整理思路：1．“角分雙垂推相等”得PD

=PE2．△ODP≌△OEP3．△ODF≌△OEF需要OD

=OE，∠DOF

=∠EOF分析：“雙垂距離推角分”例如圖，OC是∠AOB的平分線，P18∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∴∠DOP

=∠EOP．又PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD

=PE．在Rt△ODP與Rt△OEP中可按板塊書(shū)“擴(kuò)寫(xiě)”∴Rt△ODP≌Rt△OEP．∴OD

=OE．在△ODF與△OEF中∴△ODF≌△OEF．∴DF

=EF．證明：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，可按板塊書(shū)“擴(kuò)寫(xiě)”∴Rt△ODP19例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．分析：標(biāo)圖已知可推？“角分雙垂推相等”得PD

=PE△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF求證何來(lái)？△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF△PDF≌△PEF△PDF≌△PEF可能來(lái)自全等例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA20例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．思路調(diào)整：少用一次全等1．“角分雙垂推相等”得PD

=PE2．外角∠OPD＝∠OPE3．△PDF≌△PEF例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA21有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？相等的點(diǎn)在角的平分線上．3．△PDF≌△PEF∴∠ODP=∠OEP=90o．例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．相等的點(diǎn)在角的平分線上．分析：“雙垂距離推角分”1．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF“角分雙垂推相等”得PD=PE類比（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角的平分線有什么關(guān)系？希望大家多嘗試，多比較，多思考，多積累，逐步做到會(huì)-對(duì)-好．∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，同理，∠2=∠4．又PF⊥AB，PH⊥AC，最后用定理1再證距離相等∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．4．有時(shí)候解決問(wèn)題的方法不止一種，步驟難度可能差不多也可能有優(yōu)劣．PD=PE及PE=PF．點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90o．又點(diǎn)P在∠AOB平分線上，∴∠DOP=∠EOP，

PD=PE．會(huì)-對(duì)-好∵∠DPF=∠ODP+∠DOP，

∠EPF=∠OEP+∠EOP，∴∠DPF=∠EPF．在△PDF≌△PEF中∴△PDF≌△PEF．∴DF=EF．證明：有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？∵PD⊥OA，PE⊥22小結(jié)1．我們?cè)谶@階段學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，需注意區(qū)分它們的條件和結(jié)論，以免發(fā)生混淆．2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線，目前常見(jiàn)的輔助線以補(bǔ)全基本圖為主．3．一般的分析方法：已知可推什么？求證從哪里來(lái)？找常見(jiàn)基本圖與基本說(shuō)法等．可以先思考核心步驟再展開(kāi)寫(xiě)以免干擾思路．小結(jié)1．我們?cè)谶@階段學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，需注意區(qū)分它們的條件和結(jié)234．有時(shí)候解決問(wèn)題的方法不止一種，步驟難度可能差不多也可能有優(yōu)劣．希望大家多嘗試，多比較，多思考，多積累，逐步做到會(huì)-對(duì)-好．小結(jié)4．有時(shí)候解決問(wèn)題的方法不止一種，步驟難度可能差不多也可能有241．如圖，△ABC的角平分線AP和外角平分線BP相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P也在∠BCD的平分線上．作業(yè)1．如圖，△ABC的角平分線AP和外角平分線BP相交于點(diǎn)P，25作業(yè)2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF交AD于點(diǎn)G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論．作業(yè)2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥A26同學(xué)們，再見(jiàn)！同學(xué)們，再見(jiàn)！27角的平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用28復(fù)習(xí)兩個(gè)定理1．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

∵

OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．2．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離

相等的點(diǎn)在角的平分線上．

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．復(fù)習(xí)兩個(gè)定理1．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．29回顧

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形

各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線的性質(zhì)得

PD=PE

及

PE=PF．進(jìn)而PD=PE=PF．于是問(wèn)題得證．回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)30追問(wèn)

點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？

這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？這說(shuō)明：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．分析：“雙垂距離推角分”略證：（用已證結(jié)論）∵PD

=PE

=PF（已證），又PD⊥AB，PF⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．追問(wèn)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明：三角形的三條角平31思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形

各邊作垂直，標(biāo)垂足．由角的平分線的性質(zhì)得

PF=PG

及

PG=PH．進(jìn)而PF=PG=PH．得證．類比的想法類比

如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形類比的想法類比如圖，△ABC的∠32類比

（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角的平分線有什么關(guān)系？這說(shuō)明：三角形的相鄰兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)角的角平分線交于一點(diǎn)．分析：“雙垂距離推角分”略證：（用已證結(jié)論）∵PF

=PG

=PH（已證），又PF⊥AB，PH⊥AC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．類比（2）點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的相鄰33應(yīng)用

如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？應(yīng)用如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一34有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．各邊作垂直，標(biāo)垂足．（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為又點(diǎn)P在∠AOB平分線上，回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．∴△ODF≌△OEF．1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，“角分雙垂推相等”得PD=PE相等的點(diǎn)在角的平分線上．△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF∴∠DOP=∠EOP，∴∠DOP=∠EOP，例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF=EF．3．一般的分析方法：已知可推什么？求證從哪里來(lái)？找常見(jiàn)基本圖與基本說(shuō)法等．可以先思考核心步驟再展開(kāi)寫(xiě)以免干擾思路．∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，又PD⊥AB，PF⊥AC，應(yīng)用

如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？分析：可以從定理1入手也可以從定理2入手總之找角平分線交點(diǎn)有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？應(yīng)用如圖，為了促35已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．作圖：分別作∠BAC和∠ABC的平分線，兩線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．課下可以試試證明．已知△ABC，在它的內(nèi)部求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等36發(fā)展

已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．分析：（1）根據(jù)之前的研究，在三角形內(nèi)部，兩條角平分線的交點(diǎn)符合要求；（2）在三角形的外部呢？

有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，符合要求嗎？發(fā)展已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．37∴∠ODP=∠OEP=90o．∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，∴∠DOP=∠EOP．∵∠DPF=∠ODP+∠DOP，∴∠DOP=∠EOP，∴PD是∠EPF的平分線（定理2）．處理這個(gè)問(wèn)題分3步走：思路調(diào)整：少用一次全等又PF⊥AB，PH⊥AC，∴△ODF≌△OEF．1．我們?cè)谶@階段學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，需注意區(qū)分它們的條件和結(jié)論，以免發(fā)生混淆．“角分雙垂推相等”得PD=PE當(dāng)已知，想定理2“角分雙垂推相等”得PD=PE例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF=EF．∵PD=PE=PF（已證），在△PDF≌△PEF中到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上．2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線，目前常見(jiàn)的輔助線以補(bǔ)全基本圖為主．當(dāng)已知，想定理2作法：如圖（1）作△ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為O1；（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．∴∠ODP=∠OEP=90o．作法：如圖38則O1，O2，O3，O4即為所求．作法：如圖（1）作△ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為O1；（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．則O1，O2，O3，O4即為所求．作法：如圖39到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上．回答之前的問(wèn)題：不加“角的內(nèi)部”定理2是不對(duì)的．還有其他點(diǎn)符合要求到角兩邊距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi)角的平分線或者在外角的平分線上40例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．分析：標(biāo)圖1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”

當(dāng)已知，想定理2

當(dāng)求證，想定理12．平行線用以轉(zhuǎn)換角的位置例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段A41例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．整理思路：處理這個(gè)問(wèn)題分3步走：先用定理2證等角再用平行關(guān)系換角的位置最后用定理1再證距離相等例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段A42∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，∴PD是∠EPF的平分線（定理2）．∴∠1

=∠2．注意鑒別易混定理．∵PE∥AB，∴∠1

=∠3．同理，∠2

=∠4．∴∠3

=∠4．∴△ABC中，AD平分∠BAC．∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．證明：∵點(diǎn)D到PE和PF的距離相等，注意鑒別易混定理．∵PE∥AB43例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．分析：標(biāo)圖已知可推？“角分雙垂推相等”得PD

=PE△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF求證何來(lái)？△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF△ODP≌△OEP△ODF≌△OEF可能來(lái)自全等例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA44分析：“雙垂距離推角分”2．有些幾何問(wèn)題的解決需要添加輔助線，目前常見(jiàn)的輔助線以補(bǔ)全基本圖為主．進(jìn)而PF=PG=PH．得證．在△PDF≌△PEF中例如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)P在線段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．求證：點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？發(fā)展已知△ABC，求作一個(gè)點(diǎn)O，使其到三角形三邊都相等．思路：過(guò)點(diǎn)P分別向三角形回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．（1）根據(jù)之前的研究，在三角形內(nèi)部，兩條角平分線的交點(diǎn)符合要求；∵PF=PG=PH（已證），1．“點(diǎn)到角兩邊的距離相等”在△ODF與△OEF中∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，（2）分別作△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為又PD⊥AB，PF⊥AC，∴∠DOP=∠EOP，回顧如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．希望大家多嘗試，多比較，多思考，多積累，逐步做到會(huì)-對(duì)-好．在△PDF≌△PEF中例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．整理思路：1．“角分雙垂推相等”得PD

=PE2．△ODP≌△OEP3．△ODF≌△OEF需要OD

=OE，∠DOF

=∠EOF分析：“雙垂距離推角分”例如圖，OC是∠AOB的平分線，P45∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∴∠DOP

=∠EOP．又PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD

=PE．在Rt△ODP與Rt△OEP中可按板塊書(shū)“擴(kuò)寫(xiě)”∴Rt△ODP≌Rt△OEP．∴OD

=OE．在△ODF與△OEF中∴△ODF≌△OEF．∴DF

=EF．證明：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，可按板塊書(shū)“擴(kuò)寫(xiě)”∴Rt△ODP46例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．分析：標(biāo)圖已知可推？“角分雙垂推相等”得PD

=PE△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF求證何來(lái)？△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF△PDF≌△PEF△PDF≌△PEF可能來(lái)自全等例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA47例如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．F是OC上另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF

=EF．思路調(diào)整：少用一次全等1．“角分雙垂推相等”得PD

=PE2．外角∠OPD＝∠OPE3．△PDF≌△PEF例如圖，O