課題學(xué)習(xí)最短路徑問題優(yōu)秀完美課件初中數(shù)學(xué)1

第1課時課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)第1課時課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？依據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，路線（3）是最近的.知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？依據(jù)“兩點如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.l(1)(2)(3)A如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？ABlC依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”知，

AC=BC.如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到A地,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，l1，l2于點C，D，連接AC，BD.（3）連接A′B′，分別交直線如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.CEC.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.知識點1兩點一線型1.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用,感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想.學(xué)習(xí)目標如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.lBA課堂導(dǎo)入相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.BlA知識點1兩點一線型你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？新知探究這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最?。緽lA作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？如圖：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖，點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最?。緽lAC解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應(yīng)該怎么找呢？BlA你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最小？B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.ABlC你能證明這個結(jié)論嗎如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：ADD.分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.小明先拿橘子再拿糖果，然后回到你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.所以小明先到點D處拿橘子，再到點E處拿糖果，最后回到點C處，按照這樣的路線所走的路程最短.（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.知識點1兩點一線型小明先拿橘子再拿糖果，然后回到由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.（2）作點C關(guān)于OB的對稱點C2；如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.知識點1兩點一線型依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.CB′ABlC′ADD.證明：在直線l上任意取一點如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水,如何選擇自來水廠的位置,可使用的水管最短？解：如圖,作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′,連接AB′交河邊a于點P,則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.ABaB′P跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個知識點

兩線一點型如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到A地,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？A新知探究知識點兩線一點型如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l1l2A你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2A如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的l1l2A作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.A1NA2Ml1l2A作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，知識點3兩線兩點型如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；（3）連接A′B′，分別交直線如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2AA1NA2M解析：通過軸對稱的原理，把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短的問題.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.知識點3兩線兩點型如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？B知識點3兩線兩點型A新知探究如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l2l1BA你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.l2l1BA作法：分別作點A，B關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，B1，連接A1B1分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.B1MA1N如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.解析：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短問題，四邊形AMNB的周長的最小值為AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依據(jù)的是兩點之間，線段最短.l2l1BAB1MA1N如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊解析：1.某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走的路程最短.?CABO隨堂練習(xí)1.某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；（2）作點C關(guān)于OB的對稱點C2；（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.所以小明先到點D處拿橘子，再到點E處拿糖果，最后回到點C處，按照這樣的路線所走的路程最短.?CABOC1EC2D解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；?CABOC2.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？?Al1l2B?2.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，解析：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′；（2）作點B關(guān)于直線l2的對稱點B′；（3）連接A′B′，分別交直線l1，l2于點C，D，連接AC，BD.所以先到點C設(shè)卡檢查，再到點D設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，按照這樣的路線所走的路程最短.?Al1l2B?B′A′CD解析：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′；?Al1l1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.隨堂練習(xí)1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，∵AC⊥CD，BD⊥CD，ADD.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．依據(jù)：兩點之間，線段最短.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.∠A′CE=∠BDE，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∵AC⊥CD，BD⊥CD，作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，解：如圖，作點C關(guān)于AB的對2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.分析：點C，D為線段AB同側(cè)的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求.ACDD′BE2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．知識點3兩線兩點型如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？知識點3兩線兩點型如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.形AMNB的周長最小.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，如圖，點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最小？C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求.解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？3.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.ACBADBEPCBP+EP的最小值CP+EP的最小值CE的長分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸C最短路徑問題兩線一點型點在直線同側(cè)兩線兩點型兩點一線型點在直線異側(cè)BlACB′ABlCl1l2AA1NA2Ml2l1BAB1MA1N課堂小結(jié)最短路徑兩線一點型點在直線同側(cè)兩線兩點型兩點一線型點在直線異如圖,牧童在A處放牛,家在B處,A,B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD,若點A到河岸CD中點距離為600,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家,所走的最短距離為多少？ACDB分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.拓展提升如圖,牧童在A處放牛,家在B處,A,B到河岸的距離分別為ACC處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；∴△A′CE≌△BDE（AAS），∴CE=DE，A′E=BE.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.知識點3兩線兩點型則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∵AC⊥CD，BD⊥CD，這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？ACDBEA′.解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，連接A′B交CD于點E.∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.

∠A′CE=∠BDE，在△A′CE和△BDE中,

∠A′EC=∠BED，

A′C=BD，∴△A′CE≌△BDE（AAS），∴CE=DE，A′E=BE.∴AE=600，則AE+BE=A′E+BE=1200.C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，ACDBEA′.解：延長AC第1課時課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)第1課時課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？依據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，路線（3）是最近的.知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？依據(jù)“兩點如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.l(1)(2)(3)A如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？ABlC依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”知，

AC=BC.如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到A地,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，l1，l2于點C，D，連接AC，BD.（3）連接A′B′，分別交直線如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.CEC.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.知識點1兩點一線型1.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用,感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想.學(xué)習(xí)目標如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.lBA課堂導(dǎo)入相傳古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.BlA知識點1兩點一線型你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？新知探究這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最小？BlA作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？如圖：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖，點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最?。緽lAC解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應(yīng)該怎么找呢？BlA你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最?。緽′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.ABlC你能證明這個結(jié)論嗎如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：ADD.分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.小明先拿橘子再拿糖果，然后回到你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.所以小明先到點D處拿橘子，再到點E處拿糖果，最后回到點C處，按照這樣的路線所走的路程最短.（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.知識點1兩點一線型小明先拿橘子再拿糖果，然后回到由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.（2）作點C關(guān)于OB的對稱點C2；如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.知識點1兩點一線型依據(jù)“垂線段最短”可知（2）是最短的.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.CB′ABlC′ADD.證明：在直線l上任意取一點如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水,如何選擇自來水廠的位置,可使用的水管最短？解：如圖,作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′,連接AB′交河邊a于點P,則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.ABaB′P跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個知識點

兩線一點型如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到A地,應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？A新知探究知識點兩線一點型如圖,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某處牧這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l1l2A你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2A如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的l1l2A作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.A1NA2Ml1l2A作法：過點A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，知識點3兩線兩點型如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；（3）連接A′B′，分別交直線如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.l1l2AA1NA2M解析：通過軸對稱的原理，把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短的問題.△AMN周長的最小值為AM+MN+AN=A1A2.知識點3兩線兩點型如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后去B地開會，最后回到A地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？B知識點3兩線兩點型A新知探究如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將A地抽象為一個點，將草地邊和河邊抽象為兩條直線.l2l1BA你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達的意思嗎？這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.l2l1BA作法：分別作點A，B關(guān)于直線l1，l2的對稱點A1，B1，連接A1B1分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.B1MA1N如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.解析：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短問題，四邊形AMNB的周長的最小值為AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依據(jù)的是兩點之間，線段最短.l2l1BAB1MA1N如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊解析：1.某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表示桌面，其中OA桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走的路程最短.?CABO隨堂練習(xí)1.某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，如圖所示，OA，OB分別表解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；（2）作點C關(guān)于OB的對稱點C2；（3）連接C1C2，分別交OA，OB于點D，E，連接CD，CE.所以小明先到點D處拿橘子，再到點E處拿糖果，最后回到點C處，按照這樣的路線所走的路程最短.?CABOC1EC2D解：（1）如圖所示，作點C關(guān)于OA的對稱點C1；?CABOC2.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，先到公路l1上設(shè)卡檢查，再到公路l2上設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？?Al1l2B?2.如圖，為了做好交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從點A處出發(fā)，解析：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′；（2）作點B關(guān)于直線l2的對稱點B′；（3）連接A′B′，分別交直線l1，l2于點C，D，連接AC，BD.所以先到點C設(shè)卡檢查，再到點D設(shè)卡檢查，最后到點B處執(zhí)行任務(wù)，按照這樣的路線所走的路程最短.?Al1l2B?B′A′CD解析：（1）如圖，作點A關(guān)于直線l1的對稱點A′；?Al1l1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.隨堂練習(xí)1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，∵AC⊥CD，BD⊥CD，ADD.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．依據(jù)：兩點之間，線段最短.利用軸對稱,平移等變化解決簡單的最短路徑證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.∠A′CE=∠BDE，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∵AC⊥CD，BD⊥CD，作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.C處，請你幫他設(shè)計一條行走路線，解：如圖，作點C關(guān)于AB的對2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.分析：點C，D為線段AB同側(cè)的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求.ACDD′BE2.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線分析：本題可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河岸CD的同側(cè)，請在河岸CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.作圖問題：在直線l上求作一點C，使AC+BC最短．知識點3兩線兩點型如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？知識點3兩線兩點型如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.形AMNB的周長最小.如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請確定點E的位置.解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.相傳古