安徽大學(xué)06-07-2A《量子力學(xué)》試題及答案

《量子力學(xué)》試卷第《量子力學(xué)》試卷第10頁共4頁2006—20072學(xué)期《 量子力學(xué) 》考試試卷（A卷）（時(shí)間120分鐘）院系 專業(yè) 姓名 學(xué)號(hào)題號(hào)題號(hào)一二三四五六七總分得分得分得分用球坐標(biāo)表示，粒子波函數(shù)表為r,,，粒子在立體角d中被測(cè)到的幾率是。在表象中的泡利矩陣= 。z x一維諧振子的能級(jí)表達(dá)式是 。量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)(x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)(x展開：n(x)cn n

(x)，則展開式系數(shù)c分）分）分

的表達(dá)式是 。n一維諧振子升、降算符??的對(duì)易關(guān)系是 。二、簡(jiǎn)答題（每小題 5 分，共 25何謂正常塞曼效應(yīng)？何謂反常塞曼效應(yīng)？何謂斯塔克效應(yīng)？7（?2,?z

的共同本征函數(shù)是什么？相應(yīng)的本征值又分別是什么？什么是簡(jiǎn)并、簡(jiǎn)并度？波爾原子理論的兩大要點(diǎn)是什么？什么是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系？軌道理論在量子力學(xué)中是否存在？得分得分證明：厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。得分得分氫原子處于狀態(tài)(r,,)

1R (r)Y ,) 3

(r)

(,)。試求：R22 21 10R2

21 1）））

能量算符?、角動(dòng)量平方算符2z?的可能取值；z上述三個(gè)量取各可能值的幾率；上述三個(gè)量的平均值。13（1）粒子在二維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，V0

0xa,0ya其它區(qū)域試寫出能級(jí)和能量本征函數(shù)（能量最低的兩個(gè)態(tài)；（2）加上微擾 Hxy求最低的兩個(gè)能級(jí)的一級(jí)微擾修正。安徽大學(xué)2006—2007學(xué)年第2學(xué)期《量子力學(xué)》考試試題（A）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題5分，共25分）用球坐標(biāo)表示，粒子波函數(shù)表為r,,，粒子在立體角d中被測(cè)到的幾率是Pdr,,2r2dr0

0 1在

表象中的泡利矩陣z

。1 0En

(n1)2

,n=0,1,2…量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)(x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)n

(x)展開：(x)cn n

(x)，則展開式系數(shù)cn

的表達(dá)式是cn

n

(x),(x)*(x)(x)dxnn一維諧振子升、降算符aa的對(duì)易關(guān)系是 [a,a]1二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共25分）何謂正常塞曼效應(yīng)？何謂反常塞曼效應(yīng)？何謂斯塔克效應(yīng)？解：在強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條的現(xiàn)象稱為正常塞曼2）在弱磁場(chǎng)中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為(2j1)條（偶數(shù)）（1）原子置于外電場(chǎng)中，它發(fā)出的光譜線會(huì)發(fā)生分裂的現(xiàn)象稱為斯塔克效應(yīng)（2）7L2,L）z

L2,Lz

的共同本征函數(shù)是球諧函

,（3）lmL2Ylm

(,)l(l1)2Ylm

(,

LY(zlm

,)分）lm什么是簡(jiǎn)并、簡(jiǎn)并度？答：量子力學(xué)中，把處于不同狀態(tài)、具有相同能量、對(duì)應(yīng)同一能級(jí)的現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并。（3分）把對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)的不同狀態(tài)數(shù)稱為簡(jiǎn)并度。（2分）《量子力學(xué)》考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁共5頁玻爾原子理論的兩大要點(diǎn)是什么？而只能沿著其中一組特殊的軌道運(yùn)動(dòng)。玻爾假設(shè)沿這一組特殊軌道運(yùn)動(dòng)的電子處于穩(wěn)定狀態(tài)(EE1 2射，都只能在兩個(gè)定態(tài)之間以躍遷的方式進(jìn)行（3）量子躍遷的頻率條件：只有當(dāng)電子由一個(gè)定態(tài)躍遷到另一個(gè)定態(tài)時(shí)，才產(chǎn)生輻射的吸收或發(fā)射現(xiàn)象，電子由能量為E 定態(tài)躍遷到能量為E的定態(tài)時(shí)所吸收或發(fā)射的輻射頻率，m n（2分）什么是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系？軌道理論在量子力學(xué)中是否存在？解：由于具有粒子—波動(dòng)兩重性，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不能同時(shí)具有確定值，稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（3分）軌道理論在量子力學(xué)中是不存在的。（2分）三、證明題（每小題 10 分，共 10 分）11．證明：厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證一：已知且當(dāng)證一：已知且當(dāng)k≠l，因?yàn)槭嵌蛎芩惴?，它的本征值都是?shí)數(shù)，即，所以（2分）式的共扼復(fù)式可寫為 。以右乘上式兩邊并對(duì)變量的整個(gè)區(qū)域積分，得以*左乘k

式兩邊，并對(duì)變量的整個(gè)區(qū)域積分得

（2分）（2分）由厄密算符定義，有 （2分）即上兩等式的左邊相等，因而這兩等式的右邊也相等：或者 已知 ，所以《量子力學(xué)》考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁共5頁這就是我們所要證明的結(jié)果：m 證二：設(shè)A為厄密算符， 、是Am

（2分）A A

，

A

， 且

A。m m m n n n m n,A,A0,AA ,m n m n m n m nAn m

An m

n

A m

,。n。因AA因m

，故有

， ,0，m nm 即 與m 四、計(jì)算題（每小題20分，共40分）12．氫原子處于狀態(tài)(r,1R(r)Y ,) 3R(r)Y (。試求：2 21 10

2

11）

?、角動(dòng)量平方算符2z分量?的可能取值；z））

上述三個(gè)量取各可能值的幾率；上述三個(gè)量的平均值。

e42 2

nlm

(r,,)，能量En

22n

，L的本征值為l(l，Lz

的本征值為m。本題中，氫原子所處的狀態(tài)為 和 二本征態(tài)的疊加。在這二本征態(tài)中，210 211n2,l1,m0或1。e4 e4故H只可能取值E

（2分（因二本征態(tài)對(duì)應(yīng)的能量2 22

82e4同為E（2分）平均值HE （2分）2 2 22只可能取值1()222（2分1（2分平均值22（2分）《量子力學(xué)》考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁共5頁《量子力學(xué)》考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第《量子力學(xué)》考試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁共5頁2L0、（2分02z

1（2分出現(xiàn)

的幾4 34

3 1 3 3率為 （2分）平均值L

0 （2）2 4

z 4 4 413（1）粒子在二維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，V

0xa,0ya，其它區(qū)域試寫出能級(jí)和能量本征函數(shù)（能量最低的兩個(gè)態(tài)；（2）加上微擾 Hxy能級(jí)和能量本征函數(shù)為E()nn

n

n

n,

,, （3分） ma 2 nx ny(0)nn12

sin 1 sin 2 ,阱內(nèi),下同a a a

（3分）E(，本征函數(shù)為2 x y(0) sin sin 。11 a a a第一激發(fā)態(tài)是二重簡(jiǎn)并的，能級(jí)E(),本征函數(shù)為 () sin sin

（1分）

yax a y

（2分）() sin sin a a a (2)基態(tài)能級(jí)的一級(jí)修正等于Ha均值，

y 4 xysin2 sin2 dxdy a2（3）E(1)(0) H (0) 11 11 11 a

0 0 a a 4對(duì)于

和，容易算出H的矩陣元為H H

a

H H

a o

（2）

在

,

子空間中，H的矩陣表示為 H a

（3）

由det H

E)

，可解