高數(shù)下冊第十章習題詳解

習題10-1.寫出下列級數(shù)的前五項:(1)y—tf(2+n)2(2)Zn=l1-3 (2n-l)2-4(2〃)（(1)y—tf(2+n)2(2)Zn=l1-3 (2n-l)2-4(2〃)（3）工(4)Xn=1n\解：⑴**+]+/+*+(2)11-31-3-51-3-5-7 1-3-5-7-922-424624682-4-6-810+…⑶±_±⑶±_±+±_±+±1020304050(4)1! 2! 3! 4! 5!-r-1———r-1—+…?2' 32 45 5" 652.寫出下列級數(shù)的一般項2.寫出下列級數(shù)的一般項:I 2 」/q\IClClCl) F + + F??,;1-53-75-97-113 5 7 93 5 7 9 11 13 /人 4 p + (幻1 4 9 16 25 36x\[x+ + + +■?■2 2-42-4-62-4-6-8(1〉0).解：⑴(2)In-(2”-1)(2”+3)（3）―㈠）”竺工；⑷??x￡2nn\3.解：⑴(2)In-(2”-1)(2”+3)（3）―㈠）”竺工；⑷??x￡2nn\3.判定下列級數(shù)的斂散性:(1)co Z(，+i-?)；n=l(2)Z

n=l(2〃一1)(2〃+1)1-22-31 +…n(n+1)sin—+sin—￡ +2—2\ln+1+\[n);(5)12〃+l3579+…；怎-2"航)(a>0);n=ln=l解：(1)因為S〃=￡+1—yfn)+(y/n—y/n—\)+...(V2—1)]=5/〃+1—1,〃=18 則limS“->8,所以2(J"+l-?)發(fā)散;(2)1(2(2)1(2〃一1)(2”+1)2〃+1)貝IjS=V—( )T—(Hf8),所以 收斂;〃tf22)1-12k+l2 占(2〃-1)(2〃+1)S=(1--)+(---)+...(-一一—)=1 ，收斂TOC\o"1-5"\h\z” 2 23n〃+1 〃+1(4)由于limsin^wO,發(fā)散18 6(5)因為〃“=+2—2>//+1+yjn— +2-J”+1—(>/77+1—yfn) 1]J.+2+ +1 +1+y/n所以S〃=Z(c n=_"n= 7r)=”/c 7=一-7= rM〃+2+〃+1\lk+\+dky/n+2+y/n+lJ2+J1limS“=_」廠=]-加〃T8V24-V1(6)由于則級數(shù)發(fā)散；”T8yJ3(7)TOC\o"1-5"\h\zlimE，=lim(踵一至心丘01至Tim^r=lim^ r—lim- ?—〃T8 ”->83乙”T8 ]〃T8 ]~3 ~2收斂(8)由于lim =1,發(fā)散AT82n+1(9)2(2"必一2"必)=一6+2〃赤，所以級數(shù)收斂n=l(10)由于lim——？-；—=-,發(fā)散…(1+與en

.證明下列級數(shù)收斂，并求其和:11+ + H F +?44-7710 (3〃-2)(3〃+證明：由于則級數(shù)收斂，且其和:lims.則級數(shù)收斂，且其和:lims.=lim；a〃—>8 n—>oo。 ?！ㄊ?，D.若級數(shù)“與￡匕,都發(fā)散時，級數(shù)土匕,）的收斂性如何？若其中一個n=l n=l n=l收斂，一個發(fā)散，那么，級數(shù)￡仇土匕,）收斂性又如何？n=l解：當級數(shù)與豆匕都發(fā)散時，級數(shù)￡（〃“土匕j不一■定收斂：如￡，與￡（-'）n=l n=） n=l 〃=]〃 〃=] 〃都發(fā)散，而￡d」）=o+o+...收斂；“=1〃〃若其中一個收斂，一個發(fā)散，則級數(shù)￡（露±匕）發(fā)散，證明如下：H=|假設(shè)級數(shù)“發(fā)散，則存在￡。>0,對任何的自然數(shù)N,總存在自然數(shù)11=1%>N和兄,有|（〃“加+ ）+3no+2+&2）+???+（〃/+B+4+4）|-|ai1o+i+…+〃"h+jN￡o，所以該級數(shù)發(fā)散。習題10-2(1)1.用比較判別法或其極限形式判定下列各級數(shù)的斂散性:(1) + + +??

2-53-64-7 5+1)?(〃+4)(2)1+W(2)1+W357+…(3)一十丁+f+???+ 7+???；13252 (2〃-1)2(4)(sin2>+(sin4了62+…+(sin2n)6"+…(3)一十丁+f+???+ 7+???；13252 (2〃-1)2(4)(sin2>+(sin4了62+…+(sin2n)6"+…(5) + +…+ +??1+a1+a"1+a"(a>0)；..7T.7C .7Tsm—4-sm—+sin—+???4-sm—+??

2 4 8 2"解：(1)由于(n+1)(〃+4)n-n1 工1十，且工、收斂，故原級數(shù)收斂;(2)1 1 "1由于，2工，且發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散;2n—1n 〃=]n(3)1 1 8I由于一Jw-V，且之二收斂，故原級數(shù)收斂;(2〃-1>/I? ￡〃2(4)由于也竺(J_,且等比級數(shù)we收斂，故原級數(shù)收斂;6 6 〃=16(5)由于」一<-U則當0<aWl時，原級數(shù)發(fā)散；當。>1時，原級數(shù)收1+a"a"斂;(6)7Csin—由于lim—乙=1,n->ao幾由于級數(shù)￡二收斂，故原級數(shù)收斂?！?122"2.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1),4 5九+21H——4——+…4 1-…3233 3"3<2!33-3!’+,

22 33sin-+2sin-!7+3sin-^+---+nsin—+???

2 22 23 T(4)q(〃!)2右(3〃)!；(6)(7)Y—.

n=l°(6)〃+3解：(1)由于lim2i=limWm=lim上2-=』<1,則原級數(shù)收斂;〃T8 “T8〃+2 〃T83(/1+2) 33”3叫(〃+1)!(2)由于lim4=lim=lim-^J=3>l,則原級數(shù)發(fā)散；“T8 〃f00 3n\ne(n+1)nn(n+1)sin(w+1) sinJ第(3)由于limW=lim g^=lim—與一=1，由上面知級數(shù)TOC\o"1-5"\h\z"〃 nsin— sin—2〃 2n8 1￡sin(收斂，所以原級數(shù)收斂；w=i 2K“+l)!flim乂a=lim9上"=lim 竺^ =0<1,則原級數(shù)收斂;n—>oo〃 n—><?(〃!)n->oo3(3〃+2)(3〃+1)(3〃)!ln(n+1)lim"=lim苑咿廠“=lim[ln(〃+D=0<l,則原級數(shù)收斂;"tooisln(〃) ”T82\/〃+lIn〃?2"(n+1)5訓lim=lim-(^---)!-=lim(—)"=e>\,則原級數(shù)發(fā)散;n—>oo〃 n—>oo 〃 n—?<?〃n!(“+1)2lim4±L=lim-^L=lim1(巴士§2=!<1,則原級數(shù)收斂;“TOO "Toon ”T83n 3F3.用根值判別法判定下列各級數(shù)的斂散性:(1)⑶zn=\n~T(1)⑶zn=\n~T(4)En=l3”1+e"nI.其中fa(〃-8),4,b,a均為正數(shù);n-\(6)y— (x>0,lima,,=a,an>0).MHE解：(1)由于lim/I=lim---=-<l,則級數(shù)收斂；n—>ao7 n—>ao5〃+25(2)由于lim@7=Hm(l+1)"=e>l，則級數(shù)發(fā)散；〃T8Y M->00M(9)” [(1+-)']nnconcos*nnconcos*,-- 8!」(6)￡—六"； (7)Z(M+e二-2).“=1/ 〃=1(3)由于lim防\lim =lim =—>1,則級數(shù)發(fā)散；TOC\o"1-5"\h\z?—>00Y AT0O2 n—>00 2 2(4)由于lim亞'=lim/_43<1,則級數(shù)收斂；〃->8 "-?8。]+e”e(5)由于lim瘋=lim2=2,當2<1時，級數(shù)收斂；當2>1時，級數(shù)發(fā)〃-8 ”T8a?aa a散；當2=1時，無法判斷;a(6)由于lim瘋=lim±=?，當a=o時，發(fā)散;當o<a<8時，有當日<1,即x<Z8 "TOCQ〃Q a該級數(shù)收斂；當2>1,即x>a,該級數(shù)發(fā)散；當工=1,即x=a,根值法不能判斷.a a4.判別下列級數(shù)的斂散性：(2)￡("+?si吟;n=l ](3)(1-sinl)+(；-sin；)+…+14-siJ)+…；⑷出(1+方)+11111+3+、(1+1)+…；/L、C?九 ?兀 ?兀2sin—+2-sin—+---+2-sin—+???；3 32 3"

u(〃+D(獷解：(1)lim^-H±L=lim4n—>ao〃 8,,(n+2)n+1sin-^r(2)lim=lim 〃/八”.7C(〃+1)sin—=lim(〃+2)"(〃+2)sin^y

(n+l)nsing=lim(/n-2)=oo,n—>oo發(fā)散1.1——sin—

由于lim^^

n—>oo /_\2n=〃-〃=0且Z-V收斂，所以級數(shù)收斂;(4)2lnQ十二) 2由于!吵一片—=i而級數(shù)z彳收斂，則原級數(shù)收斂;(5)2"sin￡

由于lim=1,乙〃87wTT且zw收斂，則原級數(shù)收斂;〃=i3ncos3"由于2n;r7n——<—，2"〃+l=收斂,〃->8〃 〃->872 2~T則原級數(shù)收斂;(7)由于lim(7)由于lim〃-2 =lim12(二)11(—)22n'= 2〃》=lim(----)2=(2Ine)2=4,(洛必達求解)(洛必達求解)8 ] 4且￡(二)收斂,〃=12〃則原級數(shù)收斂。習題10—3.選擇題(D設(shè)常數(shù)左＞0,則級數(shù)￡(—1)"?(C).〃=1〃（A）發(fā)散； （B）絕對收斂;（C）條件收斂；（D）收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān).解析：滿足交錯級數(shù)的條件（1）字>〃向=七"（2）n （72+1）攵十〃lim〃“=孚=0,所以級數(shù)收斂，由于lim—J=l,則發(fā)散，所以原n級數(shù)條件收斂；⑵設(shè)a>0為常數(shù)，則級數(shù)cos?）（C）.（A）發(fā)散；（B）條件收斂； （C）絕對收斂；（D）條件收斂與a有關(guān).1-cos—2sin2-解析：因為lim 叢=——空=2,'is/。\2 /〃\2（?。?（力2n 2n級數(shù)絕對收斂。則級數(shù)Z（l—cos￡）收斂，所以原⑶已知級數(shù)￡（-1產(chǎn)?！?2,

?=1￡。21=5,則級數(shù)等于(C).7?=1 ?=1(A)3； (B)7； (08；解析：￡%=￡(-1)%+2(￡。2.7-￡(-1)%)=8n=\ n+1 n=l n+l(D)9.2.判別下列級數(shù)是否收斂？若收斂的話，是絕對收斂還是條件收斂?(2)y(-i)n,—；￡ 〃8"_x'_ 1 n4-1(3)￡(-1)"-'sin4； (4)^(-1)"-'In—；n=l 〃 n=l 〃(5)￡(7)"，J;(6)-」-+」 !_+」 (a不為負整數(shù))1+a2+a3+a4+aIn2In3In4In51.it1 .n—sin—+1.it1 .n—sin—+—sin n33 n44(10)級數(shù)收斂，又因為P=K則發(fā)散，所以原級數(shù)條件收如⑻ 1+21 2+21_3+21 4+211+1y/\2+1y/23+1G4+14,1 .1 .1 .1sm-v-sinr+smr-sin—+???.I222 32 42解：（1）滿足交錯級數(shù)的條件〃“=」=〉〃"+]=T!=且lim〃"=二=0,則7ny/n+l〃-8yjn]（2）考慮級數(shù)￡—L,由于lim況=lim如里？=』＜1收斂，所以原念〃8" 〃,，"T8 1 8級數(shù)絕對收斂；,I1 sin-j 1 .（3）考慮級數(shù)limsin丁，由于lim—#-=1，且級數(shù)￡一收斂，則limsinf7收斂，原級數(shù)絕對收斂；.〃+18n+1 也一（4）滿足交錯級數(shù)的條件，考慮級數(shù)flnS由于limT—=1,則n=l n …[n￡ln四發(fā)散，原級數(shù)條件收斂；〃=1〃2（5）滿足交錯級數(shù)的條件，考慮級數(shù)Y—,由于?=1〃！2（?+i）21而4="見=絲＞1,級數(shù)￡二發(fā)散，原級數(shù)條件收斂；"T8〃,， 2" 〃+1 M〃！~n\（6）滿足交錯級數(shù)的條件，考慮級數(shù)由于之—1_發(fā)散，則原級M〃+aM〃+a數(shù)條件收斂;1 1 1（7）滿足交錯級數(shù)的條件，考慮級數(shù)—，由于——ln（n+l） ln（n+l）n8 1t」一發(fā)散，則原級數(shù)條件收斂；（8）之（一滿足交錯級數(shù)的條件，考慮級數(shù)由于〃=1 〃+1yfn n=i〃+1y/nlim--r=1>則之發(fā)散，則原級數(shù)條件收斂；1川。+1? ￡〃+i5TOC\o"1-5"\h\z（9）考慮級數(shù)￡擊.導，由于4rsinW<擊，且X』收斂，n=l71 〃+1 71 /?4-171 71H1 _貝”ETsin上收斂，原級數(shù)絕對收斂；n=\71 〃+1.J_ooi sin： i xi（10）考慮級數(shù)fsing,由于四一i^=l,且X』收斂，貝losing收n=l〃 〃 n=l〃n2斂，原級數(shù)絕對收斂。.已知正項數(shù)列也｝單調(diào)遞減，且級數(shù)￡（-1）"見發(fā)散，試問￡（」-）”的斂,1 ,1a?+1散性解：由于正項數(shù)列他｝單調(diào)遞減，且級數(shù)發(fā)散，由交錯級數(shù)性質(zhì)可”=1知lima.HO,又因為lim匹=J（二一）"=」一<1,則之（―L；■戶收斂?！?"t8V\+1 an+\ 怎%+1?f_iV1.證明變號p-級數(shù)Z ?當p>l時絕對收斂；當0<p41時條件收?=inp斂.證明：滿足交錯級數(shù)的條件〃,,=」>〃,川=』7且1i1114=11111；=°則原級數(shù)收斂；考慮級數(shù)￡乙，則可知當p>i時收斂，原級數(shù)絕對收斂,

n=\〃 n=l〃00 1當0<pKl時，發(fā)散，則原級數(shù)條件收斂。

習題10—41.求下列基級數(shù)的收斂域：(1)x+2x*+3/+…/C、(1)x+2x*+3/+…(2)——+—-—+--1223242(5)(7)xx2x3—+ + 22-42-4-6++++??(5)(7)xx2x3—+ + 22-42-4-6++++???21!22-2!23-3!24-4!產(chǎn)— ?2n-1學T嚴許(9)y^zlx2-2

〃=1/2:X+———22+1(6)臺高(8)￡(-1廣

”=1(10)2332+1—++―23-334-34解：(1)由于解：(1)由于A=lim+=lim〃q=l,〃+1則基級數(shù)的收斂區(qū)間是(-1,1),但當x=±l時發(fā)散，所以收斂域(-1,1)；1則基級數(shù)的收斂區(qū)間是(-1,1),⑵由于/?=1向|+|=1而-2^—=1則基級數(shù)的收斂區(qū)間是(-1,1),〃(〃+1)2當％=±1時，有粵=3則級數(shù)在3=±1也收斂，所以級數(shù)的收斂域［-1,1］；\n\n"1(3)由于R=lim2=lim2；"!=2(〃+i)=8,所以級數(shù)的收斂域〃〃2,,+1(n+l)!(-00,4-00);2"(4)由于R=]imn—?ao=Iim (4)由于R=]imn—?ao乙 乙 N(/1+1)2+1則級數(shù)的收斂域(5)與(3)相似，收斂域(-?,+?)；I(6)由于 -=3,當x=—3時/=(—l)"L(n+l)-3(n+1)收斂，當x=3時駕='發(fā)散，則級數(shù)的收斂域[-3,3)；1(7)R= = ⑵；D：=[im2〃=°°所以級數(shù)的收斂域2nl(-oo,+oo);2(8)由于R=Hm2=lim-?-=i，則級數(shù)的收斂半徑為R=i，因而〃〃+1TOC\o"1-5"\h\z產(chǎn) 1收斂區(qū)間卜-1|<1即(0,2),當x=0時，級數(shù)2(-1產(chǎn)-|2發(fā)散；當x=2時，級數(shù)n￡(-1)"-叱收斂，所以收斂域為(0,2］；n=i ?2〃—1則級數(shù)的收斂半徑為R=2,因而(9)由于R=limF=limWr[則級數(shù)的收斂半徑為R=2,因而2"+|* 1收斂區(qū)間,卜2即(-收斂區(qū)間,卜2即(-后,血)，當》=土友時,〃=i 2(10)由于A=iim'=lim*==i，則級數(shù)的收斂半徑為R=1，因而"T8"TOO，71+1收斂區(qū)間上一5|<1即(4,6),當x=4時，級數(shù)￡(-1)"一，收斂；當x=6時，級“1yJn數(shù)發(fā)散，所以收斂域為［4,6)。n=\5/〃2.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù):a y〃+2\+2x+3x2+4x}+■■■； (2)Y—— ;￡("+1)("+2)

(3)S(-i)fx"Tn=l(4)y^-Zf4n+1丫(4)y^-Zf4n+1(5)x+—+—+-??,并求之一-—的和.3 5 占(2〃-1)2"解：(1)因為limVi同=lim后=1，且當x=±i時該基級數(shù)發(fā)散，所以收斂區(qū)域為(-1,1),設(shè)其和函數(shù)為/(x),對Vx(-1,1),/(%)=1+2x+3x2+4x3+???=n=l當國<1時，j/(x)Jr=jfntn~ 1則/W=(--)'=-~"(|x|<1)1+x(1+x)11dt 1則/W=(--)'=-~"(|x|<1)1+x(1+x)111-x (1-x)(2)因為HmJ 7一-=i>/?=1當彳=±1時￡ 收斂，所[出叫(〃+l)(n+2) 9(〃+1)(〃+2)以收斂區(qū)域為[-1,1],設(shè)f(x)=Z/:/7當國<1時，八x)=Z-，W=1(714-1)(/14-2) ?=1〃+1r*)=Xx"=Zx"-i=1__1故/'(x)=J( l)Jr=-ln(l-x)-x,則n=ln=0 X qt2/(x)=—ln(l—f)—tdt=(1—x)ln(l—x)+x——,/(x)=8 y〃+2白(〃+1)(〃+2)(18 y〃+2白(〃+1)(〃+2)1X=12,(3)因為Z(T)M〃收斂區(qū)域為(T，l)設(shè)其和函數(shù)為了(X)，對Vx(-1,1),n=\/(x)=1-2x+3x2-4x3+???=^(-I)"-1nxn^,當國<1時n—\x x8 Jf(xMt= 力=Z(-x)"=+0 0n=\ 〃=1 1+X（4）因為hm'=i，且》=±1時2

an-?oon=0i （4）因為hm'=i，且》=±1時2

an-?oon=0i _8_/_i\4n+l力和自導「都發(fā)散’其收斂元5工9域為（一1,1）,設(shè)尸（x）= F—?x4n+\4/1+1?,在收斂域|x|＜l內(nèi)求導，得F(X)=X44-X8???+/4“_%=r7由/(0)=0,既得O(x)=f二?=-ln—+-arctanx-x(\x\<1)J1-Z24l-x2 '1n 三1（5）因為Hm+=i，且、=±1時工大cc/_i\2n-l和都發(fā)散，其收斂〃=02/7-1x3X52/1-1Xd 1 (-…-I F…,3 5 2〃一1在收斂域國＜1內(nèi)求導，得11-X2由產(chǎn)(0)由產(chǎn)(0)=0,既得O(x)=rdt1.1+xzi?八

!h=”二(*D于是當國＜1時有X3X5于是當國＜1時有X3X5X+一+一+…+3 52n-l2〃一1_8 1y￡(2〃-1)2"8至n=l(2〃_1)(后產(chǎn)手苫=餐（3+2揚1一正習題10—5.求下列函數(shù)的麥克勞林公式：/(x)=xer； (2)/(x)=cos2x；(3)/(x)=tanx(展開到含有V的項為止).解：(1)由于e*=1+!*+工工2+…+J-》"+…TOC\o"1-5"\h\z1! 2! 〃！I 1 i 產(chǎn)貝1」/(%)=祀、=*+—/+—/+—.+ x"+—x,,+1(0<6><1)1! 2! (?-1)! n\Y Y X(2)由于cosx=l 1 1 f(-1)" 1■…令x=2x,貝ij2! 4! 2nl7 22〃/(x)=cos2x=1-2x2+-X4+???+(-l)n—/〃+o(x2n)3 2n\(3)tanx=/(0)+/,(0)x+ x2+ x2+o(x3)=x+x34-f?(x3)2.求下列函數(shù)展開成關(guān)于上的累級數(shù)，并求收斂區(qū)間：ln(a+x)(a>0); (2)優(yōu)；(3)——— ; (4)sin2x；x2+3x+2]x； (6)arcsinx；VI+x2cos-； (8)ln(l+x-2x2).解：(1)由于ln(l+x)=￡且二"，貝ij〃=0 〃x x=9 x/iv-ixln(〃+x)=Ina+ln(l+—) >lna+V (一)",xg(-a,a)67 ”=o naax=寸竽，由于lim烏-=[im〃=°°，貝1J收斂區(qū)間為(-<?,+<?)〃=0 〃? n->oca“+]n->ooTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1產(chǎn)(3)由于"一=—-一且'=x~+3x+2x4_12 _1_[ x+1〃=o2s i? rx 1則/ =Z(T)"x"-wZ(T)"(R"=Z(T)P一訶*(-M)X十JX-rZn=o 乙n=0 乙n=o 乙2 4 2n 8 In(4)由于COSX=1 +—+???+(-1)〃——+--=V(-l)w——)(|x|<+00)2! 4! 2n\ ￡ 2n! 111 1 1JL y'2"X j2n-\貝IJsii?x="1-cos2x)=：5Z(T)"然=Z(T嚴X”,刎<+8)2 22”=o (2〃), n=l(2〃)！/u、t+t工八\ai a(a—\)2 a(a—…(a—〃+1)n 人(5)由于(1+x)=l+ar+— -x+???+- -x+???,令2! n\a=——，x=x29可得：2

-r^==x\1+(6)=耳1+上(-1)"-r^==x\1+(6)x+“D"符”E”).r*dtarcsinx= /Jo?1―.r*dtarcsinx= /Jo。 2 2-4 2-4-6 232-45(7)由于8“吃號”則令馬得小吃謂鏟必+8)(8)由于ln(l+x-2x2)=ln(l-x)+ln(l+2x)得到；kkln(l+x-2x2)=ln(l-x)+ln(l+2x)=-ZW一(2x)”=Z〃〃(一1尸2〃一1i2.將(一1尸2〃一1i2|nV1 1 ?f-lV1解：/(x)=lgx=-^=-—ln(l+x-l)=--— (x-l)n(0<x<2)In10In10 InlOt^n.將/(x)=G展開為關(guān)于x-1的基級數(shù)，并求其收斂區(qū)間.解：該題即是求該函數(shù)在x=l處的泰勒展開式。叫獷”…中方及⑴=也嗜止嘰甲[2(E)一小在此，若n<0,則n!=(-l)”.所以f(x)=G=l+：(x_l)+^(x_l)2+~+^P^[2(〃_l)-3]!(x-l)"+/;(x).2 22! Zn\而,3[2(〃1)3[=],當*=耐,/(])=],收斂；當x=-l時，/(-l)=oo18V2nl故收斂區(qū)間為(-1,1]..將八外=一一展開為x-2泰勒級數(shù).X*+5x4-6TOC\o"1-5"\h\z加 1 1111 11解： = = x2+5x+6x+2x+34,./x-2 5},zx-24 5產(chǎn) 1 1則/(x)=X(T)"(而一-r)(x-2r(|x-2|<4).將函數(shù)COSX展開成X+囚的幕級數(shù).3乩0 /TC冗、/兀、 , 冗、、TC解：COSX=COS(X4-y-y)=COS(X+y)COSy+Sin(X+—)Sin-

18 (X+1)2" G(X+1)”"T則cosX=5X(-1)"r：1+ s](~0°,+oo)2M(2〃)！ (2〃+l)!.將4展開成關(guān)于x+4的塞級數(shù).x~= =1+ =r'l=1+名(T)"("+l)(xT)”；% /J=1 X\XJ〃=|i cc oo n==1+￡(T)"(〃+1)[(x+4)-5]=1+￡(T)"(〃+1)￡c：(T)"'(x+4)’5"X n=l n=\ i=08.將e；展開為x-a的事級數(shù).(axO).x x-a, x-a1,、- +] ―<x-a)解：由于e"=e"=eea=eea則：Xea=e+—(x-a)d -(x-a)d 1 (x-a)n-￥?-+oo)a2la~ n\an習題10-61.求下列各數(shù)的近似值，精確到10、TOC\o"1-5"\h\zV240; (2)In2(3) ；(4) ./ 1 ￡ 1 1解：（1）歷5=#35_3=341一5戶由二項展開式（9）,取二=上，x=-4,34 5 34參照例1,解得儂^=2.71828ln2的值就是Inx的展開式在x=2的值，即I2(-1)3

ln2=l--+^-+2 3Yy?0.9461I

7*7!(3)由sinx二x--+—+…得至!!：3!?0.9461I

7*7! 1 r…n-1 1 3*3!5*5!J0 3*3!5*5!(4)利用一^―=l-x+x?-x3+…得至(J—T-=1-x4+x8-x12+???1+x l+x/7^76M：(1一丁+/一產(chǎn)+…)公=1-《+與卜。尸0.49402.利用歐拉公式將e,sinx展開成x的基級數(shù)解：由于*=cos6+isin。fe'sinx取的虛部,x.X2xn (1+i*八.、(1+02 (1+0"?e=l+x+—+…+——+ >?)=l+(l+?)x+-———+???+-———x+???2!n! 2! 〃！(1+1)2=2i,(1+ =-2+2z,(l+z)4=-4,(1+i)4n=(-4)"習題10—7.證明下列各等式：八、/0,m*n,(Ucosnxcosnvcax=< ;J-R [7t,m=n\/n\r?. . [o,mW”,sinnxsinAnxdx=<Jr [n,m—n.證明略，積分互換。.將下列函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)：f(x)=3x2+1,-Tt<X<Tt； (2) =j[sin解：(1)，是按段光滑的，它可以展開成傅里葉級數(shù)11f"12 .If7. 3x2sinnx6xcos/ix|”12(7)"an= j(x)cosnxdx=3xcosnxdxH—cosnxax= 1 ； _篦= ；-兀J 冗3f 乃J一n nnnF1. 1r/r1. 1r/r1 , . 1 1—sinxcosnxdx=——[sin(l-n)x+sin(l+n)x]dx= —[cos(n-1)^-1]4Jo 乃J02 4〃一一1=—3x+1sinnxdx=0

TCJ"f(X)=7r+1+2 2——COSMXn=lk/是按段光滑的，它可以展開成傅里葉級數(shù)11 1「乃. 2aQ=-\f(x)dx=—sinxdx=一

乃J-7 乃Jo n

CO,m=3,5,*,?=5 21 ,〃=2,4,6…[tvn21a. . 111么=sinxsinnxdx=I—[cos(l-n)x-cos(l+n)x]dx=071Jo 乃J02則\12( 1 0f(x)= >——： cos2nx%萬占4r_13.將下列函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并分別作出原函數(shù)與傅立葉級數(shù)的和函數(shù)在[-兀,兀]上的圖形./(x)=2sin-,-n<x<n; (2)/(x)=|e*~n-x<n?3 [0, 0<x<n.解：(1)/是按段光滑的，它可以展開成傅里葉級數(shù)2sin—=2sin—=031Vc?1Vc?XJnan=— 2sin-cosnxor=0"乃L3. 4i.x. . 3n-l3〃+l,b=一sin—sinnxar=—cos x—cos xdx=) 3 ) 3 3百((-1戶3n3n-l3〃+1\/41-3(-1)"3、41-3(-1)"3、3/1-1 3〃+1sinnx,x￡(一乃，乃)/是按段光滑的，它可以展開成傅里葉級數(shù)(sinnji-ncosnx)|^=(sinnji-ncosnx)|^=4.把函數(shù)/(x)=7C彳0<X<71展開成傅里葉級數(shù)，并由它推出(1)71, 1 1 1 1 1—=1H 1 1 57111317(3)V3/(x)=7C彳0<X<71展開成傅里葉級數(shù)，并由它推出(1)71, 1 1 1 1 1—=1H 1 1 57111317(3)V3 ,1 1 1 1 16 5 7 11 13 17解：函數(shù)/（x）及其延拓后的圖像是按段光滑的，故它可以展開成傅里葉級數(shù),12=0,an=—1°(--)cosnxdx+n1加41「"萬 AA—I—cosnxclx—0,)Jo4,11萬.,1sinnxdx4-——sinniztr=——cosnx乃J04 4n-n1 cosnx4n〃’"一2〃1所以，當xe（TF,0）3。，乃）時:0,n=2nf（x）=z"=i2n-lsin(2〃-l)x上式右端收斂于。；當時，由于嗚）=?所以TOC\o"1-5"\h\z7r li 1——=\—+ +???4 35 7TC 11 1 1 i、I—= + 所以43915277171Tl—= 1 =127171Tl—= 1 =12-3+5-7+，,+3-9+T5-27,-當式時,當式時,由于坦=5,所以TOC\o"1-5"\h\zV3.. 1 1 1 1 1 .= (1 1 1 ??I2 5 7 11 13 17則旦=671則旦=671-5+7-11+13-17習題10—81.將函數(shù)/(x)=2/(04x4力分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：具體過程參照總習題十(A)六1AH0_.2 、I)f(x)=一Z[(F一一)(-1)"--]sinnx(0<x<兀)7t〃=]n n n②1Y1(2)/(x)+8>———cosnx[0<(2)/(x)念〃-.將函數(shù)/(x)=Y(04x4m展開為余弦級數(shù)，并由此求級數(shù)￡二的和.n=\〃解：=—fx3dx;4J。 23xcosnxdxo“2? ,6;rcos”xsinnxdx= ； 3xcosnxdxo“2? ,6;rcos”xsinnxdx= ； xcosnxdx=6;tcosm ； +°sinnxdx=6;tcosm12(1-cos"a ，n7T一3oo/(x)<+Z

乙fl=l6/rcosM12(1-cos+~^FTn2-3Xcosnx FZ2〃=]n24n7tcosnx.2儲 -(-1Y1x2=—+4^-~~，cosnx,xe(-1,左)，這是一的正弦傅里葉級數(shù)。n=l〃Parseva/等式：設(shè)f(x)在[-肛句上可積或平方可積，則成立等式取〃x)=F取〃x)=F則:匚"&令_+16之MY3.設(shè)/(x)3.設(shè)/(x)的周期為2,且/*)=,1,-l<x<0;0<x<1;將其展開成傅立葉級數(shù).解：函數(shù)是按段光滑的，系數(shù)為'f(x)dx='f(x)dx=必工十及心+卜Tdx=_“ 2〃“=JJ(x)cosnjvxdx=J產(chǎn)cos〃“=JJ(x)cosnjvxdx=J產(chǎn)cosnjtxdx+￡2cosn/rxdx+Ji-cosnnxdx=~ ~ 22sin—+-2_

njc""=/]/("),出n兀xdx=1on7r? 1-2cos——xsmn7ixdx-\-「sinn/rxdx+f.-sinn;rxdx= -J。 J2 nn.區(qū)則〃上小江學+34n〃萬n兀,3 n兀1—2cos—I 2? )JcosnjixH -sinn7tx}n7i在(-;,;)上展開成傅立葉級數(shù),并求級數(shù)L的和.解：/(x)是偶函數(shù)，則2=0,可得=42=42xcos2n;rxdx=—Jon'(2n+l)“、1 29cos2(2〃+l)mc,1 /1、〃“)=丁”自(2〃+l>上5"町)可得,2 "^(2n+l)2=T2展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).^<x<l2解：(1)把/展開為正弦級數(shù)，對/作奇延拓，則a?=0,n=0,1,2,???,

, 21 “、.nnx . 2.nnx , 2.n兀x , 21 .nnb=—\f(x)sm ax=-2xsin dx+->(Z-x)sin dx= 7sin——"/J。III l(〃乃J22/ - 己—"軟+][l,n=4k+lsin-^-[l,n=4k+lsin-^-=<0,n=2k—>b

2 n[—1,n—4k+3On=2k, =0,1,2,…21 —，〃=我+3(42+3)2兀2所以當xe（0,/）時，由收斂定理得到〃、4/V㈠嚴.(2〃-1)乃x rnn/(x)=—L7S_Vs,n ； ,xe[0,/]乃?=1(2n-1) I（2）把/展開為余弦級數(shù)，對/作偶式周期延拓，則或=0,或=0,〃=1,2,…,2f，2、nc, 2(4n7rx, 2/f、nnx,7J0/(-^)cos——ax=yjo-xcos——axJ,(/—x)cos——dx=21( 7cosnn21( 7cosnn+cos 1(〃萬I 221

nn\*< T,〃=4k+2 ?=0,12???—2,n—4k+1,4k+3所以當X￡（0,/）時，由收斂定理得到〃、I2/ n7c、、njrx/(x)=5+-——y々(cos〃乃+cos--1)cos—j—6.設(shè)周期函數(shù)/(x)的周期為27t.證明：(1)如果f(x-7C)=-f(x),則f(x)的傅里葉系數(shù)a0=09a2k=09b2k=0,(%=1,2,…)；(2)如果f(x—r)=f(x),則f(x)的傅里葉系數(shù)％+產(chǎn)0也“|=0,(0=L2,??1

cos2kxdx~-2ncos2kxdx-0,/(x)sin2kxdx. 「f(x-7r]cos2kxdx=-cos2kxdx~-2ncos2kxdx-0,/(x)sin2kxdx.令*=1一冗,a?k=一~~jf(^)cos2ktdt=-a2k=0;b2k=_J*/(x)sin2Axdr=——J”f(x-7V)s\n2kxdx=——令x=t—兀,b2k=一~-jf(f)sin2ktdt=-b2k=0.(2)〃"/(x)cosnxdx=，J/(x)cosnxdx4--￡/(x)cosnxd￥,一1)力=-J。/(r)cosntcosnTrdt,令x=/-4,—j/(x)cos/?xdr=—￡一1)力=-J。/(r)cosntcosnTrdt,bn=jf(x)sin/?xtir=~~Jf(x)sin/?xrfx+—f(x)sinnxtZr,令x=Z-^,—j/(x)sinnxdx=—￡T/(Z-^)sinn(r-乃)dt=—￡/(r)sinntcosn兀dt,故cos(2n+l);r=-l也〃+]=0.習題10-9.設(shè)籃球架上的籃筐到地面的距離為3.05m,一學生投籃未進，籃球落到地面后反彈到原來高度的40%處，落地后又反彈，后一次反彈的高度總是前一次高度的40%.這樣一直反彈下去，試求籃球反彈的高度之和.2解：記。0=3.05,則有?！?]=1〃〃/=0,1,2,…；=3.05lim—?5.08M M⑸ …1二35h=5.08—佝=2.03m.2000年保險公司可以保證預定年利率一直是6.5%,兒十年不變.某人每年在保險公司存入1000元（每年按復利計算）.試求（1）10年后，投資額累積（即本息和）是多少?（2）要存入多少年后才能存到10萬元？(1)S1O=1000(1+6.5%)'°+1000(1+6.5%)9+…+1000(1+6.5%)解:=1000(1+6.5%)(1+6.5%)'°-1

6.5%*14371.56Sn=1000(1+6.5%)"+1000(1+6.5%)”t+…+1000(1+6.5%)解:=1000(1+6.5%)(1+6.5%)'°-1

6.5%*14371.56Sn=1000(1+6.5%)"+1000(1+6.5%)”t+…+1000(1+6.5%)/ 、(1+6.5%)"-1=1000(1+6.5%)^1_=100000/ Jl+6.5%)-1(1+6.5%)^ 』—=100、 '6.5%于是,,/i,、(l+6.5%)“一1，"十口In7.565生上口(1+6.5%) =100,于是〃= 1,答案就是〃=、 ) 6.5% In1.065總習題十（A）一、選擇題1.若級數(shù)發(fā)散，貝ij（）.n=l（A）可能limun=09也可能lim〃“工0n—>oc n—?oo（C）一定lim”=8n->coA級數(shù)n.若級數(shù)收斂，則（）.n=l（A）￡““收斂n=l（c）nJ.下列級數(shù)條件收斂的是（）.（A）Vn]解析D交錯級數(shù)萊布尼茨判別法In7.565]In1.065-+1*31.2(B)一定lim““w0

n—(D)一定lim〃〃=0.(B)￡(-l)〃u〃收斂n=l(D)Z““發(fā)散.n=I⑻￡(-1)4.4.級數(shù)上(一1)"［，^-?］是().(A)條件收斂(C)發(fā)散(A)條件收斂(C)發(fā)散(D)斂散性不確定.則交錯級數(shù)萊布尼茨判別法，收斂,又因為發(fā)散，所以級數(shù)條件收斂;n=l.基級數(shù)?在(-O0,+8)內(nèi)的和函數(shù)s(x)=().〃=oTOC\o"1-5"\h\z(A)e-? (B)/ (0-e-? (D).00Yn , 00f—]\nY2n解析：A由于e，=￡上令x=-x2,可得n=0〃， n=0 〃?[x, [-71,0], 1.函數(shù)〃x)=42.1和函數(shù)g(x)=2；,在[-2,2]上在指定區(qū)間上()x~sin—,(0,k],/(x)、g(x)都滿足狄利克雷條件.〃x)滿足狄利克雷條件，g(x)不滿足狄利克雷條件.g(x)滿足狄利克雷條件，/(X)不滿足狄利克雷條件./(x)、g(x)都不滿足狄利克雷條件.解析D找定義7.由函數(shù)/(x)=V在［7,1］上的傅立葉級數(shù)1+二￡邛cos〃m可得￡印之TOC\o"1-5"\h\z3兀金" 六"值為()(D)(A)反 (B) (0.(D)6 6 12解析：D令x=0可得￡印=-三占n212二、填空題解析：由于^―= =-(— L_),則=±4n2-l(2n+l)(2n-l)22n-\2n+\ tf4n2-l2.基級數(shù)的收斂區(qū)間為仁(2〃+1)1解析：/?=lim—=lim1rJ-=1?則卜一1|<1得收斂區(qū)間為(0,2)2〃+3.函數(shù)"》)=￡在(-1,1)內(nèi)的基級數(shù)展開式為.TOC\o"1-5"\h\z1 解析：由于；一=y(-i)Mxn則/(x)=y(-i)nxn+31+xn=o n=0.級數(shù)￡近弓叵當a滿足時收斂，在發(fā)散.解析：由于兒=近1二①三=_ 4_ 與p級數(shù)做比較，當nana(>Jn+2+y/n-2)a+—>1liUtz>—時級數(shù)收斂，當a+’Wl即agl時級數(shù)發(fā)散；2 2 2 2.設(shè)有級數(shù).(四)"，若則該級數(shù)的收斂半徑2 ?-**a3n=0 4 um+1」為.解析：R=lim3=lim六=21im?=：〃toc0”+[ ?-><?""+ln->aoa〃+]Dq〃+l.基級數(shù)￡(〃-l*的和函數(shù)為n=l解析：因為 (M-l)x"=X2+2x3+3x4+-??=X2(1+2x+3x2+-??)貝U由設(shè)n=i/(》)=1+2%+3/+-.則/5)=1+2》+3/+4;"..=2心”1〃=1TOC\o"1-5"\h\z當國vl時，jf(x)dt=Jntn~}dt=^xn= 9有0 o〃=1 n=l 1-Xf(x)=(—)'=—^(|x|<1)所以原級數(shù)的和函數(shù)為一J\-x (1-x)11 (x-1)三、判斷題（對者打Y,錯者打x,并說明理由）.若正項級數(shù)fx收斂，則級數(shù)收斂（）."=1 "=]解析：〃“收斂，HmM,=0于是對V￡=i，訓，當〃>n時，=1/I—>00既有04〃“<1從而當〃>N時，又知收斂，根據(jù)比較原則，級數(shù)￡說收斂。?=1.若級數(shù)￡““發(fā)散，則[吧",產(chǎn)0（）.”=1解析：x反例n.若正項級數(shù)收斂，貝（）.〃->8u”=1 %1解析：X反例nTOC\o"1-5"\h\z.若級數(shù)“收斂，則級數(shù)￡（“"+4）（4>0）收斂（）.“=| ”=1解析：X反例4=1則￡（1+（_1）"3發(fā)散n n.若級數(shù)和級數(shù)工匕都發(fā)散，則級數(shù)工區(qū)+匕）發(fā)散（）?H=1解析：X,匕=--則+匕收斂n n.若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)Z“,,也發(fā)散（）.n=l ”11 0 8解析：x〃,,=(-1)2二^級數(shù)發(fā)散，但級數(shù)￡““收斂〃 n=l四、計算題.判斷下列級數(shù)的斂散性：⑴￡(l-cos_)S>0)； (2)n=l 〃 n=tJ-乙na, , 8sin—(3)y(_i)?-'lJ2L(k>o)； (4)Y—Zfn 3〃

nn—sinn(7)后〃一In〃/aS2"加Zrn=l〃(8)V*n-tan—./i=l 乙則當p〉J時，收斂；當2則當p〉J時，收斂；當2 2解：（1）因為lim解：（1）因為lim(豹2P g產(chǎn)TOC\o"1-5"\h\z2n 2n時，發(fā)散.（〃+1）2向⑵由于lim誓=lim三啜'=lim2；「；+i=：,則級數(shù)收斂;“too〃乙、乙 D（3）滿足萊布尼茲級數(shù)的條件?〉〃用="組1,lim〃"=*=O,（〃+1）’ /I—>Q0 〃/k+n所以級數(shù)收斂，由于lim—J=l,則￡當發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂;〃->8 1n（4）由于lim」—=1，且￡二收斂，則原級數(shù)收斂；不（5）級數(shù)滿足萊布尼茲級數(shù)的條件，交錯級數(shù)，單調(diào)趨于零，且一--?-n-sinnn則原級數(shù)條件收斂；（6）由于lim『:=limJ=0，級數(shù)收斂；（7）級數(shù)滿足萊布尼茲級數(shù)的條件，交錯級數(shù)，單調(diào)趨于零，且々一?n-\nnn則原級數(shù)條件收斂；（8）tanx?x,x在0附近，即在有限項之后tan- -，從而/Jtan—~—,ffl]2"2" 2"2"后者級數(shù)收斂，故收斂

.求下列級數(shù)的收斂域:(1)之呼/二1； (2)之2H2X+1， W 2"n解：(1)令旨=￡,則在該級數(shù)中f的收斂域是[-1』；x+l>O,-(x+l)<x-l<x+l^xe[0,+oo];x+l<O,-(x+l)>x-1>x+1—>無解。收斂域xe[0,+co);(2)該級數(shù)=g+￡(-1)"

2 〃=i丫(2)該級數(shù)=g+￡(-1)"

2 〃=i一~~?=工+迂(-1)"-^；=-+^y(-i),,

2"-2(〃+2)2 ￡>2"+2(n+2)2 7令-r，則級數(shù)之(-i)" —r=￡(-i",這與原級數(shù)同斂散，并且該級數(shù)2T(n+2)5 “a2虧(”+2尸I丫〃 ??史2 1對一切〃成立，，/出 的收斂域為fe(Tl),于是—r6(-l.l),|.v"|<22("+2尸->卜|<寸22(〃+2尸一收2斤("+2尸注：函數(shù)/'")=2(1+2)2在X￡[1,-KO)上嚴格單調(diào)遞減.所以，收斂域^￡卜五,正).求下列級數(shù)的收斂區(qū)間:2 12 1 (2)￡(1+與-"x".念n(1)y―-—；￡(2〃-1)(2〃)解：(1)由于解：(1)由于A==1則收斂區(qū)間為(-1,1);(2)由于limj(l+,)"=Um。+[)"二1，則R=e,收斂區(qū)間為(-e,e)n->xi 〃 n—>oo 〃 6.求下列幕級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑:(2)￡3"+(-2)%+產(chǎn)

I〃解：(1)收斂半徑R=加二旺=Hm =M=3,且卜-1)|<3vm—>?a”+] \>g n+\-32n+2則收斂區(qū)間為(-2,4)；⑵記4=⑵記4=3"+(-2)"

n,由于Hmn—>qo=；則收斂半徑R=；,且|(x+l)|<；,4 7收斂區(qū)間為(--,--).33.將函數(shù)小)二十展成'的基級數(shù)."X)=公㈠廣峙尸=Z(T)1 (-3,3)“n=l J n=l J.求下列基級數(shù)的收斂域及和函數(shù).00 X2Vn(n+l)xn； (2)V—xn.n=l n=l加解：(i)因為lim-ulim"心=1，且當x=±i時，級數(shù)發(fā)散，其收斂〃T8 n—>00〃域為(-1,1),設(shè)其和函數(shù)為/(x),則/(x)=￡〃(〃+l)x",xe(-l,l),在收斂區(qū)域"=1內(nèi)積分，得：8 8 2j：=J。z〃(〃+力=二以"=q_x)2(w<d所以/⑴=[■(1^]=占^國”)五、證明題.設(shè)%>0且limy= ,證明￡可發(fā)散.?->?>n=l證明:由極限定義知，對V￡>0Jm>0,使得對一切n〉m滿足：|叫-4|<三A A從而有：〃?！啊礎(chǔ)-a不妨取￡=—,則。”>—>0.2n再結(jié)合調(diào)和級數(shù)的發(fā)散，由柯西的級數(shù)收斂準則知該級數(shù)發(fā)散。.證明：若收斂，則￡%絕對收斂.n=1〃

證明：(反證法)假設(shè)級數(shù)不絕對收斂，即￡同不收斂，從而三￡(,>0,VN>0,mp>0滿足:也空1+團遂+?+也竺』2￡則在這P項中，至少由一項大于某個給定的大于0的數(shù)，N+lN+2N+p記這個數(shù)為國2￡,>0,于是Mm|2M￡',￡'是給定的數(shù)。M另外由級數(shù)收斂，故▼￡>0,3/7'>0,\/〃>"滿足：a?2<€^\a?\<E.由N的任意性，只要取N=N',則出現(xiàn)矛盾。從而級數(shù)絕對收斂。en.設(shè)%14M(a“，bn>0,n=1,2,…)，試證：a?b“(1)如果收斂，則￡a.收斂；(2)如果發(fā)散，則發(fā)散.TOC\o"1-5"\h\zn=l n=l n=l n=l證：由于0<也4&。-="，故a“+iWM%,故由比式判別法知，當%bn I收斂，則收斂；發(fā)散，則發(fā)散.n=) n=l n=I六、傅立葉級數(shù)的計算1.將f(x)=x在(0,2)上展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：(1)把/展開為正弦級數(shù)，對/作奇式周期延拓，則a“=0,n=0,1,2,???,b=f\sin^^-dx=---cosn兀=-(-l)n+l,n=2J02nnnn所以當xe(0,2)時，由收斂定理得到?4?4嬴㈠嚴.n7TX/八小

sin^—(0<x<2)(2)把/展開為余弦級數(shù)，對/作偶式周期延拓，則么=0,"=1,2,…,*2xdx=2

on=2k-\=-(21)2尸2f2n7rx4n=2k-\=-(21)2尸q“=_xcos ax=——7cos(n^-l)=——7[(-1)-1]=2Jo2n7V nna2k=°(Z=1,2,…)

所以當xe(0,2)時，由收斂定理得到j(luò)/(x)*lf_8 %的￡(2左-1)2/ 22.將cosx在0<x〈兀內(nèi)展開成以2兀為周期的正弦級數(shù)，并在-2兀4工42兀寫出該級數(shù)的和函數(shù).解：bn=—￡CQSxsmnxdx=~￡[sin(〃+l)x+sin(〃-1)/]公=712ncos(〃+l)712ncos(〃+l)乃n2-\cos(n-1)^=1一(一1)n—1-2n-7r^n2-1)sinnx.cosx=J￡[1-(T)“']Jsinnx.7Cn=\L 」乃(〃一1C0S%在-2兀4x42兀上滿足：分段單調(diào)有界，又是連續(xù)的，故該級數(shù)在任意一點收斂于函數(shù)值本身.于是在-2兀4x42兀有:2n冗n=lL 」乃sinnx—<cos￡(—21，2萬)，工工0,土乃2n冗n=lL 」乃sinnx—<cos￡(—21，2萬)，工工0,土乃

l,x=0,±2乃

-1,工=±乃3.將f(x)=2+|x|(-14x41)展開成以2為周期的傅立葉級數(shù)，并由此求級數(shù)￡4的和.解：f(x)=2+\x\=2—r—1<r<02+；ME''是ID的偶函數(shù)，由于小)是按段光滑的，因此，可以展開成傅里葉級數(shù)，而且這個級數(shù)為余弦級數(shù),aQ=—(J2-xdx+J。2+xdx)=52rf0_ 、nnxan=2[J-i(2-x)cos-^~,ri-、nnxfr

ax+(2+x)cos—ax]=2——(2-x)sinn7Tnnx 4-4n/rx22ntcCOS|014 (2+x)sin1n7Tnjrx4n/rxcos 萬2(2〃-1)2由收斂定理，在區(qū)間(-1,1)上,

5 4W1/W=_ 2Zzo2cos(2〃1)乃X2兀*(2〃-1)令x=0,則有,1 1 乃2]+.H 卜 .+???=32 (2〃-1> 8設(shè)?,111S=1+—+—+-??+—+???c , 1 1S]=l+ F )+…1 32 (2〃-I)?c 1 1 1S2=F+F+-..+ -+???2242 (2石因為qs=s、+s1$2=.所以S-4s-4乃2_12-31一11_一不總習題十（B）1-求級數(shù)Z昌商的和?n=2（n解：由于< 1 1 _1§1(1 1_._j_fyX_J__yj__馬(〃2—1)2"?5+l)(〃7)2"一步加力—而一]馬獷7TL，A'" . 1/111、 V-11 1 1: 1 1 *=； 1. 1 1._且〉—=In (x<1),/ =-/—： >-In -=-In2,占〃1-x11 ￡2"n-\2￡2〃tn-\ 21122W1 1 1 1cd1 1 1'2、W-5、二7.商二2二產(chǎn)?瓦1=2(盲西?商-5-〒)一^2(山2蔡),7： 1 11 5s2所以>="!——=-(-ln2-21n2+-)=---ln2￡(〃2-1)2"22 4 84

.設(shè)〃[=2,〃“+]=；(〃,+!),〃=1,2,…，證明(1)lima”存在；(2)級數(shù)￡(烏—I)2an "T" "=ian+\收斂.解：(1)由HnH>2(等號不成立)，得到dn>1,且易證@n<2從而有：- 7 <。.an 2”)因為單調(diào)有界數(shù)列收斂，故為存在極限(2)由(1)得liman=1;n—>8另外，(Efj-luGL所以lim￡L=°〈l；由柯西正項級數(shù)判別法知該級數(shù)收斂。4“ 《+1 I8%+12.設(shè)正項級數(shù)也｝單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)￡(二一)"是否收n=l n=l4+1斂？并說明理由.解：由于正項級數(shù)｛解：由于正項級數(shù)｛a“｝單調(diào)減少,且發(fā)散，萊布尼茨判別法可知,n=lTOC\o"1-5"\h\zf1 1 _ 8 1 ,,,lim?n*0>則lim{777=lim777<i'所以/丁/是收斂的。n->00V1+1J”T84〃+1 lim?n*0>.設(shè)a,=Ftan"xdx.(1)求+?！?2)的值；(2)試證：對任意的常數(shù)4>0,J0 M=i〃級數(shù)收斂.”=i〃工y/2, —7t(1)解：4=-ln|cosx||q=-ln-y-,6z2=(tanx-x)|q=1--;(2)證明：由(1)得：an=———?！╛2?」一且。〃>0.n-\n-1所以34彳f，又白?Jr，由正項級數(shù)收斂a>。)，得正項nn nn(〃-1) n級數(shù)z「J、收斂，從而命題得證。f(〃-1)

.求基級數(shù)次丁J一.主的收斂區(qū)間，并討論級數(shù)在該區(qū)間端點處的收斂?=|3+(-2)n性.解：記4=n1 ,則Hm4叢='，故收斂半徑R=3,收斂區(qū)間為(一3,3)；3+(-2)n"T8| |38 1 (—3)”當x=—8 1 (—3)”當x=—3時，基級數(shù)為X 七3〃+(-2)n=X(-D"n1+i-2級數(shù)lim一n—>oo.1+一27=1且f且匚收斂,

?=|〃則Zn=l小子N平所以工二一3時收斂;當x=3時，基級數(shù)為Zn=\1當x=3時，基級數(shù)為Zn=\13n3"+(-2)"n=z”=1n1+級數(shù)lim一〃T8?1+一=1且發(fā)散，則x=3時發(fā)散?！癐"6.設(shè)函數(shù)f(x)=6.設(shè)函數(shù)f(x)=<14-X2 arctanxx1““°，試將/(x)展開成x的塞級數(shù)，并求級數(shù)x=0(-1)"〃=]1—4m〒的和(-1)"〃=]1—4m〒的和.解：由于arctanx=xdt。1+產(chǎn)y2n-\=y—則當xho時,￡2〃-1]+2 1 ]8 r2n-l 8 2n-\f(x)= arctanx=—arctanx+xarctanx=—> +xV(-l)rt-1 x x x± 2n-\ tf 2n-\工㈠嚴n=\2n-22n—1工㈠嚴n=\2n-22n—1(產(chǎn)

x2nx2n2n-\2n-12m2n2〃+l2n-l

-arctanl-1)=生4M2 _1-arctanl-1)=生4自中一5嗚()K—d弓丁J_

2解：因為/“'1sin"xcosxdx=^-0 〃+lsin'川- 4n+1?n+1冗8sinJ_

2解：因為/“'1sin"xcosxdx=^-0 〃+lsin'川- 4n+1?n+1冗8sin則”z房n=0 n=0 〃十]且ln(l-x)=一￡—,令x=sin工，則＞/”=_ln(l-sin—)=ln(2+V2)

n=l〃 4 n=0 4.求函數(shù)y=2、的麥克勞林公式中爐項的系數(shù).解：由于y=/(x)=/(0)+f(0)+*+…+中+...=]+.2+/邛+--+/號2! fr! 2! n!則父項的系數(shù)為魚n\9求基級數(shù)1+￡(-1)"匚的和函數(shù)/(x)及其極值.M2〃TOC\o"1-5"\h\z4 6 8 2”解：由于ln(l+x?)=廠 1 +…+(-1)"? F…1(無41)2 3 4 n00 丫2〃 1x 2n 1則〃x)=l+X(T)"丁=1=X(T產(chǎn)一=l-ln(l+x2),(_iwxWl)”=] 2〃 2zi=j n 2《，!吧導=3,試求事級數(shù)/'(x)=0得x=0為極極值點，則極大值《，!吧導=3,試求事級數(shù).設(shè)有基級數(shù)Za“x"與工",若lim^-="an的收斂半徑.bebjb2 abebj解：/?=lim-2LT=lim-2LT-〃T84+1 ATOO0〃+].設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［T,l］上具有三階連續(xù)微商，且f(-l)=0J⑴=1,

八0)=0.證明：在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)至少存在一點4，使八9=3.解：在x=0處的泰勒展開式為：/(力=/(0)+4^/+q1爐/在o與*之間/(-1)=/(o)+zi2).rm=o因 2 6 ，由第2式減去第1式,則命題得證。/(1)=/(o)+mrp=1.求函數(shù)/(x)=/ln(l+x)在x=0處的”階微商fw(0)(〃>3).解：該題就是找出函數(shù)/'(x)在x=0處的泰勒展開式的系數(shù)。由1-=1-X+Jr2H F(-l)nx"+---,^：ln(l+x)=x-—x2+—x3H J"x/1+---01+x '' ' ' 2 3 n+\因此，+…+上。/+3+ 比較系數(shù)立得：y(")(0)=(T)」!-23 m+1 v7 n-2.設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間[-a,a](a>0)上具有二階連續(xù)微商，/(0)=0,(1)寫出/(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；(2)證明在[-凡0上至少存在一點人使/〃(7)=3「'/(x)dx.J-a⑴解：/(x)=_f(O)x+4^x2,J在0與x之間.⑵證明：3[f(x)必=3[+ 公=3/⑶心可〃⑷/口=蘇/?第十章答案習題10-11.12 3 4-r1.12 3 4-r+-r—r-r324' 52625+7111-3 1-3-5 1-3-5-7 1-3-5-7-9—4 4 + H 1■…;22-42-4-62-4-6-824-6-810“、1! 2! 3! 4! 5!(4)-——+-——H—r+?,,.2' 324'546s(1)%』(2)""=(2”-(1)%』(2)""=(2”-；)(2”+3)；(3).（4）““2"n!（1）發(fā)散.（2）收斂.（3）收斂.（4）發(fā)散.（5）收斂.（6）發(fā)散.（7）收斂.（8）發(fā)散.（9）收斂.（10）發(fā)散4￡年鼻目.5.斂散性不定，發(fā)散.習題10-2（1（1）收斂.（2）發(fā)散.（3）收斂.（4）時發(fā)散.（6）收斂.（1）收斂.（2）發(fā)散.（3）收斂.（4）（1）收斂.（2）發(fā)散.⑶發(fā)散.（4）收斂.（5）當。>1時收斂；當0<。41收斂.（5）收斂.（6）發(fā)散.（7）收斂.發(fā)散.TOC\o"1-5"\h\z（5）當2<1,即b<a,該級數(shù)收斂；當"1,即b>“，該級數(shù)發(fā)散；當2=1,即6=a a a不能判斷.（6）1）當a=0時，發(fā)散，2）當0<a<8時，有當，1,即x<a,該級數(shù)收斂;a當2>1,即x>a,該級數(shù)發(fā)散；當±=1,即x=a,根值法不能判斷.a a4.（D收斂.（2）發(fā)散.⑶收斂.（4）收斂.（5）收斂.（6）收斂.（7）收斂.習題10-3（DC.（2）C. （3）C.（1）條件收斂.（2）絕對收斂.（3）絕對收斂.（4）條件收斂.（5）條件收斂.（6）條件收斂.（7）條件收斂.（8）條件收斂.（9）絕對收斂.（10）絕對收斂.收斂.4.略.習題10-41- (1) (—1,1)?(2)