空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系課件

2.3空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系

(Relationshipsofpoints、planesandstraightlinesinspace)2.3.1

點(diǎn)與平面的位置關(guān)系2.3.2

點(diǎn)與直線的位置關(guān)系2.3.3

兩平面的位置關(guān)系2.3.4

空間兩直線的相關(guān)位置2.3.5

直線與平面的相關(guān)位置2.3空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系

(Relationship12.3.1點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

(Mutualpositionofpointsandplanes)1)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

點(diǎn)與平面的位置關(guān)系,有2種情形,就是點(diǎn)在平面上和點(diǎn)不在平面上.前者的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足平面方程.點(diǎn)不在平面上時(shí),一般要求點(diǎn)到平面的距離,并用離差反映點(diǎn)在曲面的哪一側(cè).2)點(diǎn)到平面的距離

定義1自點(diǎn)P0向平面

引垂線,垂足為P1.向量在平面的單位法向量n0上的射影稱為P0與平面之間的離差,記作

(2.3-1)

2.3.1點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

(Mutualpositi2

當(dāng)與n0同向時(shí),離差δ>0；當(dāng)與n0反向時(shí),離差δ<0.當(dāng)P0在平面上時(shí),離差δ=0.

顯然,離差的絕對(duì)值就是點(diǎn)P0到平面

的距離,由此可以推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式.當(dāng)與n0同向時(shí),離差δ>0；當(dāng)3設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),求P0到平面的距離.任取平面上一點(diǎn)P1(x1,y1,z1),則而，所以因?yàn)辄c(diǎn)P1在平面Ax+By+Cz+D=0上,故Ax1+By1+Cz1+D=0,即(Ax1+By1+Cz1)=-D,所以設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By4從而得點(diǎn)到平面的距離為：

(2.3-2)

公式(2.3-2)稱為點(diǎn)到平面的距離公式.顯然,當(dāng)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)在平面上時(shí),公式亦成立.

例1求點(diǎn)(1,2,-3)到平面2x-y+2z+3=0的距離.

解由點(diǎn)到平面的距離公式(2.3-2),得3)平面劃分空間問題設(shè)平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D=0,則空間中任一點(diǎn)P(x,y,z)與平面的離差為

從而得點(diǎn)到平面的距離為：5式中λ為平面的法化因子，因此有

(2.3-3)

對(duì)于平面同側(cè)的點(diǎn),δ的符號(hào)相同；對(duì)于在平面的異側(cè)的點(diǎn),δ有不同的符號(hào),而λ一經(jīng)取定,符號(hào)就是固定的.因此,平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空間劃分為兩部分,對(duì)于平面某一側(cè)的點(diǎn)P(x,y,z),有Ax＋By＋Cz＋D>0；而對(duì)于平面另一側(cè)的點(diǎn),則有Ax＋By＋Cz＋D<0,在平面上的點(diǎn)有Ax＋By＋Cz＋D=0.

例2判別點(diǎn)M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由平面與所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是在對(duì)頂?shù)亩娼莾?nèi)？

解：記將點(diǎn)M(2,-1,1)代入上式，得＞0，同理，對(duì)于點(diǎn)N(1,2,-3)得

＜0.故點(diǎn)M和N在由平面1與2所構(gòu)成的相鄰二面角內(nèi).式中λ為平面的法化因子，因此有62.3.2點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(Mutualpositionofpointsandstraightlines)1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系任給一條直線L的方程和一點(diǎn)P0,則L和P0的位置關(guān)系只有2種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上.從代數(shù)上,這兩種情況對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線方程.2)點(diǎn)到直線的距離設(shè)空間中有一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)和一條直線

此處P1(x1,y1,z1)是L上的一點(diǎn),v=(X,Y,Z)是L的方向向量.以v和

2.3.2點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(Mutualposit7為鄰邊作一平行四邊形,則其面積為,點(diǎn)P0到直線L的距離d就是此平行四邊形的對(duì)應(yīng)于底|v|的高,所以有

(2.3-4)

在實(shí)際計(jì)算中,記憶上式的第二個(gè)等號(hào)后面的部分是沒有實(shí)際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計(jì)算即可.

也可以先求出過點(diǎn)P0且與直線L垂直的平面

,再求出L與

的交點(diǎn)P0,由兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)到直線的距離.為鄰邊作一平行四邊形,則其面積為,點(diǎn)P0到直線L8

例3求點(diǎn)(5,4,2)到直線的距離d.

解

P0(5,4,2),取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)則則，所以例3求點(diǎn)(5,4,2)到直線92.3.3兩平面的位置關(guān)系

(Mutualpositionoftwoplanes)1)兩平面的位置關(guān)系

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形,即相交、平行和重合.設(shè)兩平面

1與

2的方程分別是

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.則兩平面

1與

2相交、平行或是重合,就決定于由兩方程構(gòu)成的方程組是有解還是無解,或無數(shù)個(gè)解,它們與兩平面的法向量n1,n2,即方程的系數(shù)有密切關(guān)系,從而可得下面的定理.

2.3.3兩平面的位置關(guān)系

(Mutualpositi10

定理1空間兩平面相關(guān)位置,有下面的充要條件(1)相交:

(2.3-5)(2)平行:

(2.3-6)(3)重合:

(2.3-7)由于兩平面

1與

2的法向量分別為n1=(A1,B1,C1),

n2=(A2,B2,C2),當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時(shí)

1與

2相交,當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時(shí)

1與

2平行或重合,由此我們同樣能得到上面3個(gè)條件.定理1空間兩平面相關(guān)位置,有下面的充要條件112)兩平面間的夾角

設(shè)兩平面的夾角為θ,規(guī)定θ為銳角,那么顯然有(如圖)：θ和兩平面法向量n1與n2的夾角相等即,或者與兩平面法向量n1與n2的夾角互補(bǔ),即.

2)兩平面間的夾角12根據(jù)兩向量的夾角公式可得

(2.3-8)公式(2.3-8)稱為兩平面的夾角公式.由(2.3-8)可得：兩平面垂直的充要條件是

A1A2+B1B2+C1C2=0(2.3-9)

例4求兩平面

1:2x-3y+6z-12=0和

2:x+2y+2z-7=0的夾角.

解：,代入公式(2.3-8)得故所求兩平面之間的夾角為根據(jù)兩向量的夾角公式可得13

例5一平面過兩點(diǎn)P1(1,1,1)和P2(0,1,-1)且垂直于平面x＋y＋z=0,求它的方程.

解:設(shè)所求平面的法向量為,由于在所求平面上,有，即.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法向量n1=(1,1,1),故有.從而得

代入平面的點(diǎn)法式,得平面方程為：

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即 2x－y－z=0.例5一平面過兩點(diǎn)P1(1,1,1)和P2(0,114例6求過點(diǎn)A(1,1,-1)且與x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直的平面.

解設(shè)所求平面的法向量為n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于,故

，所以可取因?yàn)閯t取n=(2,3,1)，代入平面的點(diǎn)法式方程得所求平面方程為

2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即2x+3y+z-4=0.

例6求過點(diǎn)A(1,1,-1)且與x-y+z153)平面束

作為兩平面關(guān)系的更廣泛情形，下面討論平面束.

定義2通過一條定直線的所有平面的全體，稱為一個(gè)有軸平面束，定直線稱為平面束的軸。平行于一個(gè)定平面的所有平面的全體，稱為一個(gè)平行平面束。

定理2以二相交平面

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交線L為軸的有軸平面束的方程是

(2.3-10)這里λ,μ是不同時(shí)為零的任意實(shí)數(shù),稱為參數(shù).

證

先證明對(duì)于任意一組不同時(shí)為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示一個(gè)平面.

3)平面束16將方程(2.3-10)改寫為而上式中x,y,z的系數(shù)不同時(shí)為零,否則

設(shè),則有

而這與題設(shè)

1,

2相交矛盾,所以(2.3-10)確是三元一次方程,表示平面.

再證對(duì)于任意一組不同時(shí)為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示的平面過

1與

2

的交線L.

因?yàn)?/p>

1,

2交線L上任一點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足

1及

2的方程,因而也必滿足(2.3-10),從而L必在方程(2.3-10)所表示的平面上.

將方程(2.3-10)改寫為17

最后證明通過交線L的任一平面,都可以通過選取適當(dāng)?shù)?/p>

λ,μ值,用方程(2.3-10)表示.

設(shè)在平面上,但不在交線L上任取一點(diǎn)P(α,β,γ),因?yàn)镻不在L上,所以與不能同時(shí)為零.如果,可取把滿足這個(gè)關(guān)系的一組λ,μ值代入方程(2.3-10)得：顯然這個(gè)方程既通過了L,又通過了P點(diǎn),即為平面的方程.

最后證明通過交線L的任一平面,都可以通過選18

特別地，當(dāng)

=

1時(shí)，可以選?。划?dāng)

=

2時(shí),可以選取.

注：為了計(jì)算方便,有時(shí)也把上述平面束的方程寫成(2.3-11)

它只含有一個(gè)參數(shù),所以計(jì)算方便.但要注意,不管λ取何值,方程(2.3-11)都不能表示平面即(2.3-11)決定的平面的全體比(2.3-10)決定的平面束少了一個(gè)平面

2.

下面討論平行平面束,已給定平面的方程為

由于平行于的平面可看成與具有相同的法向,因而平行平面束的方程可寫成(2.3-12)其中λ為參數(shù).特別地，當(dāng)=1時(shí)，可以選取19

例7求過直線且與xy面垂直的平面.

解過二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交線的平面方程可看成有軸平面束,設(shè)為即該平面的法向量.由題設(shè)該平面與xy面垂直,得

,即.解得

取則由此可得所求平面方程

3x-y-6=0.

例7求過直線20

例8求與平面3x+y-z+4=0平行且在z軸上截距等于-2的平面方程.

解可設(shè)所求平面方程為因該平面在z軸上的截距為-2,所以該平面通過點(diǎn)(0,0,-2),由此得所以因此所求平面方程為：

例8求與平面3x+y-z+4=0平行且在z軸上21

2.3.4空間兩直線的相關(guān)位置

(Mutualpositionoftwolinesinspace)

1)空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的相關(guān)位置有異面與共面,共面時(shí)又有相交、平行和重合3種情形.設(shè)二直線的方程為

i=1,2.

直線L1上定點(diǎn)P1(x1,y1,z1)和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直線L2上定點(diǎn)P2(x2,y2,z2)和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由圖容易看出,兩直線的相關(guān)位置決定于三向量,v1,

2.3.4空間兩直線的相關(guān)位置

(Mutualposi22v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí),兩直線異面；當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量共面時(shí),兩直線共面.共面時(shí),若v1,v2不平行,則L1和L2相交;若v1∥v2但不與平行,則L1和L2平行;v1∥v2∥,則L1和L2重合.因此有

定理3空間兩直線L1和L2的相關(guān)位置,有下面的充要條件

(1)異面：

(2.3-13)

(2)相交：(2.3-14)(3)平行：(2.3-15)(4)重合：(2.3-16)

v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí),兩直線異面；當(dāng)且23

例9判定直線和的位置關(guān)系.

解因?yàn)橹本€L1過點(diǎn)P1(0,0,-1),方向向量為v1=(1,-1,0),而直線L2過點(diǎn)P2(1,1,1),方向向量為v2=(1,1,0),從而有

所以L1與L2是兩異面直線.

例9判定直線242)空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線L1,L2的兩向量間的夾角，稱為空間兩直線的夾角,規(guī)定θ為銳角.顯然，若兩直線間的夾角是θ，則也可認(rèn)為它們之間的夾角是

-θ.它們與兩直線方向向量v1,v2之間關(guān)系是或.根據(jù)兩向量之間的夾角公式可得

(2.3-17)由此得出兩直線L1與L2垂直的充要條件是

v1.v2=X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2=0.(2.3-18)

2)空間兩直線的夾角25

例10求以下兩條直線的夾角

解直線L1的方向向量為v1=(1,-4,1)，直線L2的方向向量為故

則兩直線的夾角為

例10求以下兩條直線的夾角263)異面直線間的距離與公垂線的方程空間兩直線的點(diǎn)之間的最短距離稱為這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點(diǎn)到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線稱為兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長(zhǎng).

設(shè)兩異面直線L1和L2的方程如前，L1和L2與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為N1和N2，則L1和L2之間的距離

3)異面直線間的距離與公垂線的方程27也就是

(2.3-19)它的幾何意義為：因?yàn)闉橛扇蛄繕?gòu)成的平行六面體的體積，而為由兩向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，也就是上述平行六面體的一個(gè)面的面積，因此，由公式容易知道，兩異面直線間的距離d恰為三向量構(gòu)成的平行六面體在兩向量構(gòu)成的平行四邊形底面上的高.

也就是28公垂線L0的方向向量可取作v1×v2=(X,Y,Z),而公垂線可看作兩個(gè)平面的交線，這兩個(gè)平面一個(gè)通過點(diǎn)M1,以v1和v1v2為方位向量，另一個(gè)平面通過點(diǎn)M2,

以v2和v1v2為方位向量.由平面的點(diǎn)位式方程可得公垂線L0的一般方程為

(2.3-20)其中(X,Y,Z)是向量v1v2的坐標(biāo)，即L0的方向數(shù).

現(xiàn)在求兩異面直線L1和L2的公垂線的方程.公垂線L0的方向向量可取作v1×v2=(29

例11判定兩直線和是異面直線,并求公垂線方程及其距離.解直線L1上點(diǎn)P1(3,0，-1),方位向量v1=(2,1,0);直線L2上點(diǎn)P2(-1,-2,0),方位向量v2=(1,0,1)，由故直線L1與L2為異面直線.又因?yàn)長(zhǎng)1與L2的公垂線L0的方向向量可取為v1×v2=(1,-2,-1)

所以L1與L2之間的距離為例11判定兩直線30根據(jù)(2.3-20)得公垂線L0的方程為即根據(jù)(2.3-20)得公垂線L0的方程為31

例12求過點(diǎn)P0(1,1,1)且與兩直線都相交的直線的方程.

解設(shè)所求直線的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直線L的方程可寫成：因?yàn)長(zhǎng)與L1，L2都相交,而且L1過點(diǎn)P1(0,0,0),方向向量為v1=(1,2,3),L2過點(diǎn)P2(1,2,3),方向向量為v2=(2,1,4).所以有即例12求過點(diǎn)P0(1,1,1)且與兩直線32即由上兩式得：

v=(1,-2,1)×(1,2,-1)=2(0,1,2).

v不平行于v1,v不平行于v2，符合相交條件，所以所求直線L的方程為空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系課件332.3.5直線與平面的相關(guān)位置

(Mutualpositionoflinesandplanes)1)直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置有3種情形：直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上.設(shè)直線L與平面的方程分別為

：Ax＋By＋Cz＋D=0.將直線方程寫成參數(shù)式

2.3.5直線與平面的相關(guān)位置

(Mutualposit34代入平面方程,整理可得

(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D).

當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時(shí),上式有唯一解這時(shí)直線L與平面有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時(shí),上式無解,直線L與平面沒有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0時(shí),上式有無數(shù)多解,直線L在平面上.于是有

定理4直線L與平面

的相關(guān)位置,有下面的充要條件：(1)相交：AX＋BY＋CZ≠0;(2.3-21)(2)平行：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0；(2.3-22)(3)直線在平面上：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0.(2.3-23)代入平面方程,整理可得35以上條件的幾何解釋：就是直線L的方向向量v與平面的法向量n之間關(guān)系.(1)表示v與n不垂直；(2)表示v與n垂直,且直線L上的點(diǎn)(x0,y0,z0)不在平面上；(3)表示v與n垂直,且直線L上的點(diǎn)(x0,y0,z0)在平面上.2)直線與平面的夾角當(dāng)直線L與平面相交時(shí),可求它們的夾角.當(dāng)直線不與平面垂直時(shí),直線與平面的交角是指直線和它在平面上的射影所構(gòu)成的銳角；垂直時(shí)規(guī)定是直角.設(shè)v=(X,Y,Z)是直線L的方向向量,n=(A,B,C)是平面的法向量,則令∠(L,)=,∠(v,n)=,就有以上條件的幾何解釋：就是直線L的方向向量v與平36

,

或

(為鈍角),

因而

sin=∣cos∣=(2.3-24)從這個(gè)公式也可直接得到定理4中的條件.顯然,直線L垂直于平面

的充要條件是v∥n,即

(2.3-25)

附注1直線與平面的位置關(guān)系，是點(diǎn)、直線和平面關(guān)系的紐帶,是求直線、平面方程的基礎(chǔ).

附注2當(dāng)直線和平面平行時(shí)，直線和平面間的距離d等于P0到平面的距離.

,或37

附注3當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，可取直線方向向量v作為平面法向量n,反之亦然.

附注4直線與平面的夾角公式,與平面間、直線間的夾角公式不同,尤應(yīng)引為注意.

例13設(shè)直線平面求直線與平面的夾角.

解所以為所求夾角.

附注3當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，可取直線方向向量v38

例14求空間一點(diǎn)P(5,2,-1)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解法1過P(5,2,-1)作平面π的垂線L的方程為化為參數(shù)式將上式代入的方程得t=-2,以t=-2代入上式得L與的交點(diǎn)坐標(biāo)Q(1,4,-7).求R(x,y,z)使線段PR的中點(diǎn)為Q，則解之得P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)R坐標(biāo)為(-3,6,-13).

例14求空間一點(diǎn)P(5,2,-1)關(guān)于平面39

解法2設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為R(x,y,z),則有PR∥n,且PR的中點(diǎn)在上,即聯(lián)立求解,得R(-3,6,-13).

例15平面垂直于平面并通過從點(diǎn)P0(5,1,-1)到直線的垂直相交線，求平面的方程.

解設(shè)平面的法向量n=(A,B,C),方程為

A(x-5)+B(y-1)+C(z+1)=0.因?yàn)椋琻.n1=0,所以有A+B+C=0.

過P0(5,1,-1)作L的垂面2，則2的方程為

2(x-5)+3(y-1)+2(z+1)=0,

解法2設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為R(x,y,z),則有P40求出2與L的交點(diǎn)Q(2,1,2),所求平面過Q,即,得A(2-5)+B(1-1)+C(2+1)=-3A+3C=0,

從而代入平面的方程為x-2y+z-2=0.

例16求通過點(diǎn)P(1,0,-2)而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線方程.

解設(shè)所求直線L的方向向量v=(X,Y,Z),方程為

因?yàn)長(zhǎng)與L1相交，L1過P0(1,3,0)，方向向量v1=(4,-2,1)，L過P(1,0,-2),方向向量v=(X,Y,Z),所以

求出2與L的交點(diǎn)Q(2,1,2),所求平面過Q,即41即7X+8Y-12Z=0.又所求直線與平面3x-y+2z-1=0平行，所以,即3X-Y+2Z=0.從而得所求直線方程為End即7X+8Y-12Z=0.End422.3空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系

(Relationshipsofpoints、planesandstraightlinesinspace)2.3.1

點(diǎn)與平面的位置關(guān)系2.3.2

點(diǎn)與直線的位置關(guān)系2.3.3

兩平面的位置關(guān)系2.3.4

空間兩直線的相關(guān)位置2.3.5

直線與平面的相關(guān)位置2.3空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系

(Relationship432.3.1點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

(Mutualpositionofpointsandplanes)1)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

點(diǎn)與平面的位置關(guān)系,有2種情形,就是點(diǎn)在平面上和點(diǎn)不在平面上.前者的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足平面方程.點(diǎn)不在平面上時(shí),一般要求點(diǎn)到平面的距離,并用離差反映點(diǎn)在曲面的哪一側(cè).2)點(diǎn)到平面的距離

定義1自點(diǎn)P0向平面

引垂線,垂足為P1.向量在平面的單位法向量n0上的射影稱為P0與平面之間的離差,記作

(2.3-1)

2.3.1點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

(Mutualpositi44

當(dāng)與n0同向時(shí),離差δ>0；當(dāng)與n0反向時(shí),離差δ<0.當(dāng)P0在平面上時(shí),離差δ=0.

顯然,離差的絕對(duì)值就是點(diǎn)P0到平面

的距離,由此可以推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式.當(dāng)與n0同向時(shí),離差δ>0；當(dāng)45設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),求P0到平面的距離.任取平面上一點(diǎn)P1(x1,y1,z1),則而，所以因?yàn)辄c(diǎn)P1在平面Ax+By+Cz+D=0上,故Ax1+By1+Cz1+D=0,即(Ax1+By1+Cz1)=-D,所以設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By46從而得點(diǎn)到平面的距離為：

(2.3-2)

公式(2.3-2)稱為點(diǎn)到平面的距離公式.顯然,當(dāng)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)在平面上時(shí),公式亦成立.

例1求點(diǎn)(1,2,-3)到平面2x-y+2z+3=0的距離.

解由點(diǎn)到平面的距離公式(2.3-2),得3)平面劃分空間問題設(shè)平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D=0,則空間中任一點(diǎn)P(x,y,z)與平面的離差為

從而得點(diǎn)到平面的距離為：47式中λ為平面的法化因子，因此有

(2.3-3)

對(duì)于平面同側(cè)的點(diǎn),δ的符號(hào)相同；對(duì)于在平面的異側(cè)的點(diǎn),δ有不同的符號(hào),而λ一經(jīng)取定,符號(hào)就是固定的.因此,平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空間劃分為兩部分,對(duì)于平面某一側(cè)的點(diǎn)P(x,y,z),有Ax＋By＋Cz＋D>0；而對(duì)于平面另一側(cè)的點(diǎn),則有Ax＋By＋Cz＋D<0,在平面上的點(diǎn)有Ax＋By＋Cz＋D=0.

例2判別點(diǎn)M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由平面與所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是在對(duì)頂?shù)亩娼莾?nèi)？

解：記將點(diǎn)M(2,-1,1)代入上式，得＞0，同理，對(duì)于點(diǎn)N(1,2,-3)得

＜0.故點(diǎn)M和N在由平面1與2所構(gòu)成的相鄰二面角內(nèi).式中λ為平面的法化因子，因此有482.3.2點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(Mutualpositionofpointsandstraightlines)1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系任給一條直線L的方程和一點(diǎn)P0,則L和P0的位置關(guān)系只有2種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上.從代數(shù)上,這兩種情況對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線方程.2)點(diǎn)到直線的距離設(shè)空間中有一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)和一條直線

此處P1(x1,y1,z1)是L上的一點(diǎn),v=(X,Y,Z)是L的方向向量.以v和

2.3.2點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(Mutualposit49為鄰邊作一平行四邊形,則其面積為,點(diǎn)P0到直線L的距離d就是此平行四邊形的對(duì)應(yīng)于底|v|的高,所以有

(2.3-4)

在實(shí)際計(jì)算中,記憶上式的第二個(gè)等號(hào)后面的部分是沒有實(shí)際意義的.只需根據(jù)公式的前半部分計(jì)算即可.

也可以先求出過點(diǎn)P0且與直線L垂直的平面

,再求出L與

的交點(diǎn)P0,由兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)到直線的距離.為鄰邊作一平行四邊形,則其面積為,點(diǎn)P0到直線L50

例3求點(diǎn)(5,4,2)到直線的距離d.

解

P0(5,4,2),取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)則則，所以例3求點(diǎn)(5,4,2)到直線512.3.3兩平面的位置關(guān)系

(Mutualpositionoftwoplanes)1)兩平面的位置關(guān)系

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形,即相交、平行和重合.設(shè)兩平面

1與

2的方程分別是

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.則兩平面

1與

2相交、平行或是重合,就決定于由兩方程構(gòu)成的方程組是有解還是無解,或無數(shù)個(gè)解,它們與兩平面的法向量n1,n2,即方程的系數(shù)有密切關(guān)系,從而可得下面的定理.

2.3.3兩平面的位置關(guān)系

(Mutualpositi52

定理1空間兩平面相關(guān)位置,有下面的充要條件(1)相交:

(2.3-5)(2)平行:

(2.3-6)(3)重合:

(2.3-7)由于兩平面

1與

2的法向量分別為n1=(A1,B1,C1),

n2=(A2,B2,C2),當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時(shí)

1與

2相交,當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時(shí)

1與

2平行或重合,由此我們同樣能得到上面3個(gè)條件.定理1空間兩平面相關(guān)位置,有下面的充要條件532)兩平面間的夾角

設(shè)兩平面的夾角為θ,規(guī)定θ為銳角,那么顯然有(如圖)：θ和兩平面法向量n1與n2的夾角相等即,或者與兩平面法向量n1與n2的夾角互補(bǔ),即.

2)兩平面間的夾角54根據(jù)兩向量的夾角公式可得

(2.3-8)公式(2.3-8)稱為兩平面的夾角公式.由(2.3-8)可得：兩平面垂直的充要條件是

A1A2+B1B2+C1C2=0(2.3-9)

例4求兩平面

1:2x-3y+6z-12=0和

2:x+2y+2z-7=0的夾角.

解：,代入公式(2.3-8)得故所求兩平面之間的夾角為根據(jù)兩向量的夾角公式可得55

例5一平面過兩點(diǎn)P1(1,1,1)和P2(0,1,-1)且垂直于平面x＋y＋z=0,求它的方程.

解:設(shè)所求平面的法向量為,由于在所求平面上,有，即.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法向量n1=(1,1,1),故有.從而得

代入平面的點(diǎn)法式,得平面方程為：

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即 2x－y－z=0.例5一平面過兩點(diǎn)P1(1,1,1)和P2(0,156例6求過點(diǎn)A(1,1,-1)且與x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直的平面.

解設(shè)所求平面的法向量為n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于,故

，所以可取因?yàn)閯t取n=(2,3,1)，代入平面的點(diǎn)法式方程得所求平面方程為

2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即2x+3y+z-4=0.

例6求過點(diǎn)A(1,1,-1)且與x-y+z573)平面束

作為兩平面關(guān)系的更廣泛情形，下面討論平面束.

定義2通過一條定直線的所有平面的全體，稱為一個(gè)有軸平面束，定直線稱為平面束的軸。平行于一個(gè)定平面的所有平面的全體，稱為一個(gè)平行平面束。

定理2以二相交平面

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交線L為軸的有軸平面束的方程是

(2.3-10)這里λ,μ是不同時(shí)為零的任意實(shí)數(shù),稱為參數(shù).

證

先證明對(duì)于任意一組不同時(shí)為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示一個(gè)平面.

3)平面束58將方程(2.3-10)改寫為而上式中x,y,z的系數(shù)不同時(shí)為零,否則

設(shè),則有

而這與題設(shè)

1,

2相交矛盾,所以(2.3-10)確是三元一次方程,表示平面.

再證對(duì)于任意一組不同時(shí)為零的參數(shù)值λ,μ,方程(2.3-10)表示的平面過

1與

2

的交線L.

因?yàn)?/p>

1,

2交線L上任一點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足

1及

2的方程,因而也必滿足(2.3-10),從而L必在方程(2.3-10)所表示的平面上.

將方程(2.3-10)改寫為59

最后證明通過交線L的任一平面,都可以通過選取適當(dāng)?shù)?/p>

λ,μ值,用方程(2.3-10)表示.

設(shè)在平面上,但不在交線L上任取一點(diǎn)P(α,β,γ),因?yàn)镻不在L上,所以與不能同時(shí)為零.如果,可取把滿足這個(gè)關(guān)系的一組λ,μ值代入方程(2.3-10)得：顯然這個(gè)方程既通過了L,又通過了P點(diǎn),即為平面的方程.

最后證明通過交線L的任一平面,都可以通過選60

特別地，當(dāng)

=

1時(shí)，可以選?。划?dāng)

=

2時(shí),可以選取.

注：為了計(jì)算方便,有時(shí)也把上述平面束的方程寫成(2.3-11)

它只含有一個(gè)參數(shù),所以計(jì)算方便.但要注意,不管λ取何值,方程(2.3-11)都不能表示平面即(2.3-11)決定的平面的全體比(2.3-10)決定的平面束少了一個(gè)平面

2.

下面討論平行平面束,已給定平面的方程為

由于平行于的平面可看成與具有相同的法向,因而平行平面束的方程可寫成(2.3-12)其中λ為參數(shù).特別地，當(dāng)=1時(shí)，可以選取61

例7求過直線且與xy面垂直的平面.

解過二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交線的平面方程可看成有軸平面束,設(shè)為即該平面的法向量.由題設(shè)該平面與xy面垂直,得

,即.解得

取則由此可得所求平面方程

3x-y-6=0.

例7求過直線62

例8求與平面3x+y-z+4=0平行且在z軸上截距等于-2的平面方程.

解可設(shè)所求平面方程為因該平面在z軸上的截距為-2,所以該平面通過點(diǎn)(0,0,-2),由此得所以因此所求平面方程為：

例8求與平面3x+y-z+4=0平行且在z軸上63

2.3.4空間兩直線的相關(guān)位置

(Mutualpositionoftwolinesinspace)

1)空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的相關(guān)位置有異面與共面,共面時(shí)又有相交、平行和重合3種情形.設(shè)二直線的方程為

i=1,2.

直線L1上定點(diǎn)P1(x1,y1,z1)和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直線L2上定點(diǎn)P2(x2,y2,z2)和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由圖容易看出,兩直線的相關(guān)位置決定于三向量,v1,

2.3.4空間兩直線的相關(guān)位置

(Mutualposi64v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí),兩直線異面；當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量共面時(shí),兩直線共面.共面時(shí),若v1,v2不平行,則L1和L2相交;若v1∥v2但不與平行,則L1和L2平行;v1∥v2∥,則L1和L2重合.因此有

定理3空間兩直線L1和L2的相關(guān)位置,有下面的充要條件

(1)異面：

(2.3-13)

(2)相交：(2.3-14)(3)平行：(2.3-15)(4)重合：(2.3-16)

v2的相互關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)向量異面時(shí),兩直線異面；當(dāng)且65

例9判定直線和的位置關(guān)系.

解因?yàn)橹本€L1過點(diǎn)P1(0,0,-1),方向向量為v1=(1,-1,0),而直線L2過點(diǎn)P2(1,1,1),方向向量為v2=(1,1,0),從而有

所以L1與L2是兩異面直線.

例9判定直線662)空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線L1,L2的兩向量間的夾角，稱為空間兩直線的夾角,規(guī)定θ為銳角.顯然，若兩直線間的夾角是θ，則也可認(rèn)為它們之間的夾角是

-θ.它們與兩直線方向向量v1,v2之間關(guān)系是或.根據(jù)兩向量之間的夾角公式可得

(2.3-17)由此得出兩直線L1與L2垂直的充要條件是

v1.v2=X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2=0.(2.3-18)

2)空間兩直線的夾角67

例10求以下兩條直線的夾角

解直線L1的方向向量為v1=(1,-4,1)，直線L2的方向向量為故

則兩直線的夾角為

例10求以下兩條直線的夾角683)異面直線間的距離與公垂線的方程空間兩直線的點(diǎn)之間的最短距離稱為這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點(diǎn)到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線稱為兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長(zhǎng).

設(shè)兩異面直線L1和L2的方程如前，L1和L2與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為N1和N2，則L1和L2之間的距離

3)異面直線間的距離與公垂線的方程69也就是

(2.3-19)它的幾何意義為：因?yàn)闉橛扇蛄繕?gòu)成的平行六面體的體積，而為由兩向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，也就是上述平行六面體的一個(gè)面的面積，因此，由公式容易知道，兩異面直線間的距離d恰為三向量構(gòu)成的平行六面體在兩向量構(gòu)成的平行四邊形底面上的高.

也就是70公垂線L0的方向向量可取作v1×v2=(X,Y,Z),而公垂線可看作兩個(gè)平面的交線，這兩個(gè)平面一個(gè)通過點(diǎn)M1,以v1和v1v2為方位向量，另一個(gè)平面通過點(diǎn)M2,

以v2和v1v2為方位向量.由平面的點(diǎn)位式方程可得公垂線L0的一般方程為

(2.3-20)其中(X,Y,Z)是向量v1v2的坐標(biāo)，即L0的方向數(shù).

現(xiàn)在求兩異面直線L1和L2的公垂線的方程.公垂線L0的方向向量可取作v1×v2=(71

例11判定兩直線和是異面直線,并求公垂線方程及其距離.解直線L1上點(diǎn)P1(3,0，-1),方位向量v1=(2,1,0);直線L2上點(diǎn)P2(-1,-2,0),方位向量v2=(1,0,1)，由故直線L1與L2為異面直線.又因?yàn)長(zhǎng)1與L2的公垂線L0的方向向量可取為v1×v2=(1,-2,-1)

所以L1與L2之間的距離為例11判定兩直線72根據(jù)(2.3-20)得公垂線L0的方程為即根據(jù)(2.3-20)得公垂線L0的方程為73

例12求過點(diǎn)P0(1,1,1)且與兩直線都相交的直線的方程.

解設(shè)所求直線的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直線L的方程可寫成：因?yàn)長(zhǎng)與L1，L2都相交,而且L1過點(diǎn)P1(0,0,0),方向向量為v1=(1,2,3),L2過點(diǎn)P2(1,2,3),方向向量為v2=(2,1,4).所以有即例12求過點(diǎn)P0(1,1,1)且與兩直線74即由上兩式得：

v=(1,-2,1)×(1,2,-1)=2(0,1,2).

v不平行于v1,v不平行于v2，符合相交條件，所以所求直線L的方程為空間點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系課件752.3.5直線與平面的相關(guān)位置

(Mutualpositionoflinesandplanes)1)直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置有3種情形：直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上.設(shè)直線L與平面的方程分別為

：Ax＋By＋Cz＋D=0.將直線方程寫成參數(shù)式

2.3.5直線與平面的相關(guān)位置

(Mutualposit76代入平面方程,整理可得

(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D).

當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時(shí),上式有唯一解這時(shí)直線L與平面有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時(shí),上式無解,直線L與平面沒有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0時(shí),上式有無數(shù)多解,直線L在平面上.于是有

定理4直線L與平面

的相關(guān)位置,有下面的充要條件：(1)相交：AX＋BY＋CZ≠0;(2.3-21)(2)平行：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0