2016年北大物理科學營資格賽試題及解答

2016年北京大學物理科學營資格賽試題1．將地面參考系處理為慣性系，蹲在水平地面上的少年猛地豎直向上跳起，過程中所受空氣阻力可略。（1）先寫山慣性系中的質(zhì)點系動能定理， 再回答： 少年跳起的過程中， 是哪些力在做正功，或在做負功？（ 2）先寫山慣性系中的質(zhì)點系質(zhì)心動能定理，再回答：少年跳起的過程中，是哪些力在做正功，或在做負功？【答案】（1）W內(nèi)＋W外＝ΔEK（內(nèi)力做功之和加上外力做功之和等于質(zhì)點系動能增量） 。過程中內(nèi)力做功之和為正功，外力即重力做功之和為負功。2） W合外－ C＝ ΔEKC（合外力對質(zhì)心做功等于質(zhì)心動能增量） 。過程中地面豎直向上支持力做正功，重力做負功。2．常說大氣有重力壓強，又說大氣有分子熱運動壓強，那么大氣對地面的壓強是否為這兩個壓強之和？為什么？【答案】不是。大氣分子受地球施予的向下重力之和， 即為大氣重力， 緊挨地面的大氣分子受地面分子的向上排斥力之和， 即為地面對大氣豎直向上的支持力； 反之，大氣分子對地面分子豎直向下的反作用力之和， 即為大氣對地面的正壓力。 單位面積地面所受正壓力， 即為地面受大氣的壓強。如果將大氣分子與地面分子間的一對作用力、 反作用力， 模型化為靜態(tài)的分子間相互作用力，則稱大氣壓強為重力壓強。 若將此對作用力、 反作用力， 模型化為動態(tài)的以氣體分子主動豎直向下的熱運動分運動， 形成的與地面靜態(tài)分子彈性碰撞產(chǎn)生的 “相互作用力 ”，則稱大氣壓強為分子熱運動壓強?？梢?，這兩種稱謂的壓強，其實是同一個壓強。（1）能否存在兩個彼此分離的靜止點電荷，使它們所在空間靜電場中出現(xiàn)一個電勢為零的球面等勢面？為什么？（ 2）能否存在三個彼此分離的靜止點電荷，使它們所在空間靜電場中出現(xiàn)一個電勢不為零的球面等勢面？為什么？【答案】（1）能。據(jù)靜電鏡像法。在半徑為 R的球面外，與球心相距 r> R處放一個靜止的 點電荷 q，再在球R2 R心與q電荷連線上，與球心相距 r處放一個靜止的點電荷 qq，則R球面便為rr電勢為零的球面等勢面。（ 2）能。在（1）問解答中的 R球面球心處，再放一個靜止的點電荷 q″≠0 ，R球面便是電勢不為零的球面等勢面。4．設(shè)太陽不動，一個行星僅受太陽引力，則其相對太陽的運動軌道曲線與該行星的軌道能

量（動能加勢能） E對應的關(guān)系為橢圓： E<0，拋物線： E＝0，雙曲線： E>0試據(jù)此判斷，在實驗室參考系中， α粒子散射軌道曲線為何種曲線?！敬鸢浮繛殡p曲線。α粒子散射中，大質(zhì)量原子核運動可略，處理為靜止。 α粒子受原子核的庫侖斥力，與萬有引力在數(shù)學上同構(gòu)，但差一正負號，其勢能為正。 α粒子軌道能量便為E＝EK＋ EP>0據(jù)此類比，可知 α粒子散射軌道曲線為雙曲線。二、計算題5．三個相同的勻質(zhì)小球放在光滑水平桌面上，用一根橡皮筋把三球約束起來。三個小球的質(zhì)量均為 m，半徑同為 R。再如圖所示，將一個質(zhì)量為 3m，半徑也為 R的勻質(zhì)小球放在原T。u。T。u。1）放置第四個小球后，橡皮筋張力增量（2）將橡皮筋剪斷后，第四個小球碰到桌面時的速度說明：答案中不必作數(shù)值的開方運算。2，3、4。球心為2，3、4。球心為O2、 O3、O4。（1）連接 O1、 O2、O3，O4，如圖所示，則有O1O2＝O2O3＝O3O4＝O4O1＝2R對圖中的 α內(nèi)，易知有cos設(shè)球1對下面每個小球壓力為 N，則球cos設(shè)球1對下面每個小球壓力為 N，則球63，sin2、 3、 4對球1反作用力的合力為3mg，即有球 2、3、4各自所受力N的水平分力為如圖所示，橡皮筋張力3Ncos3mgNNsinT的增量 ΔT應正好平衡2Tcos30NN6mg22mg球 2、3、4各自所受力N的水平分力為如圖所示，橡皮筋張力3Ncos3mgNNsinT的增量 ΔT應正好平衡2Tcos30NN6mg22mgN′。很易導得N

2cos3066mg（2）橡皮筋剪斷后，球動一段時間后，可能與球2、3、4分離，分離的條件是相互間作用力 N＝0。球1與三個小球分離后，將在重力作用下作勻加速運動。根據(jù)系統(tǒng)水平方向動量守恒和對稱性，可知球 2、3、4運動速率相同，速度方向沿 △O1O2O3中心到各個頂點 Oi（i＝2、3、4）連線的延長方向。如圖所示， 設(shè)O1向下速度為 v1，O2沿OO2方向的速度為 v2，直角三角形 O1O2O中的∠O1O2O用θ標記，其初始值 θ0應滿足6sin0 3而后θ角減小。假設(shè) θ角小到某值時，球 1與其余三個小球間的正壓力 N為零，則彼此將分離。此時隨 O2一起運動的參考系為慣性系， O1相對 O2的速度為rururvv1 v2 vv1cos v2sin球1與球2尚未分離，故仍有v1sinθ＝v2cosθN1＝0的條件為球 1相對球2運動的向心力恰好為球 1所受重力的分力，即有2v1cos v2sin3m2R3mgsin

3m2R與上式聯(lián)立，可解得v12＝2Rgsincos2θ，v22＝2Rgsin3θ此時球1下降高度為 2R（sinθ0－sinθ），據(jù)機械能守恒，有TOC\o"1-5"\h\z1 2 123mv13mv2 3mg2Rsin0sin22 0將v12、 v22表述式代入，可解得72643726436Rg1與桌面相遇時的速度u與初速度 v1sin v191球1與下面三個小球分離后，即作自由落體運動，球u2－v12＝2gh，h＝2Rsinθ可得球1碰到桌面時的速度為（1）均勻?qū)岚舻拇⒙?lián)兩根粗細均勻的金屬棒 A、B尺寸相同， A的導熱系數(shù) κ1是B的導熱系數(shù) κ2的兩倍。用它們來導熱，設(shè)高溫端和低溫端溫度恒定，試求 A、 B并聯(lián)使用與串聯(lián)使用的能流 j并與j串之比。設(shè)棒側(cè)面是絕熱的，能流 j是單位時間通過金屬棒整個橫截面所傳遞的能量（即熱量） 。（2）熵增如圖所示，將一與外界絕熱的長方體容器，用固定的絕熱隔板分為體積同為 V0的左、右兩室。左室內(nèi)存有 1摩爾等體摩爾熱容量為 CmV1常量的某種理想氣體，已達壓強為 p1的平衡態(tài)。右室內(nèi)存有 1摩爾等體摩爾熱容量為 CmV2常量的另一種理想氣體，也已達到壓強為 p2的平衡態(tài)?，F(xiàn)將隔板打開，兩種氣體混合后，最終達到平衡態(tài)，其體積 V＝2V0，i）試求最終平衡態(tài)的溫度 T和壓強p。ii）取理想氣體熵增公式為SvRlnVevCmVlnTe：下標 i、e，分別標識初、末平衡態(tài)再求混合過程產(chǎn)生的系統(tǒng)熵Vi mV Ti增量 ΔS。【答案】（1）均勻?qū)岚舻拇⒙?lián)概述：傅里葉熱傳導定律：熱平衡時， j處處相同，必有為均勻?qū)岚粢雂QdTdsdt，

dl；導熱系數(shù)均勻?qū)岚簦篸Q dTsdt dldT常量dl棒導熱系數(shù) ”T:棒兩端溫差l:棒長lsT則有j＝KΔT類比關(guān)系：j與 Q（電容電量） 、I（電阻電流）類比T與 ΔU（電容電壓） ，ΔU（電阻電壓）類比K與C（電容）即有、R－1（電導）類比K串1KK與C（電容）即有、R－1（電導）類比K串1Ki1Kii本題具體解答：兩金屬棒線度相同，s相同，l相同K1s1ls2l并聯(lián)時： ΔT相同，j并＝j1＋j2j1＝K1Δt，j2＝K2ΔTj并＝j1＋j2＝( K1＋K2)ΔT＝K并ΔTK并j串j串相同，T＝ΔT1＋ΔT2j串j串T1K1j串T2K2T＝j串T＝j串(K1－1＋ K2－1)＝ j串ΔK串－1j串＝K串ΔT1 11K串 K11K211s

l121 2l將κ1＝2κ2代入，得j并:j串K并K串j并:j串212122）熵增i）由狀態(tài)方程和熱力學第一定律，有T p1V0 T p2V0CmV1T1＋CmV2CmV1T1＋CmV2T2＝( CmV1＋ CmV2)T1R2RCmV1p1CmV1CmV2p2CmV2V0Rv2RT

CmV1p1

CmV2p22V0CmV1CmV2ⅱ）將平衡態(tài)混合氣體， 按如圖所示， 在物質(zhì)結(jié)構(gòu)方面 （不是體結(jié)構(gòu)方面） 分為1摩爾{CmV1、p1*、2V0、T}子系統(tǒng)平衡態(tài)，和 1摩爾 {CmV2、p2*、2V0、T}子系統(tǒng)平衡態(tài)，其中 p1*、p2*分別為平衡態(tài)混合氣體中兩個系統(tǒng)的分壓。子系統(tǒng)1：初態(tài)即為左圖中平衡態(tài)，其熵增為S12V0 S12V0 TRlnV CmV1lnTRln2CmV1lnCmV1p1CmV1CmV2p2V0 RCmV2 Rp1V0S1 Rln2CmV1lnCmV1p1CmV2p2CmV11CmV2p1子系統(tǒng) 2子系統(tǒng) 2：初態(tài)即為右圖平衡態(tài)，其熵增為SS22V0 TRln CmV2lnV0mV2T2系統(tǒng)熵增為Rln2S2S S1CmV2CmV1p1 CmV2系統(tǒng)熵增為Rln2S2S S1CmV2CmV1p1 CmV2p2V0 RlnCmV1 CmV2 Rp2V0Rln2S2CmV1p1CmV2p2CmV2lnCmV11 CmV2p22RlnCmV1lnCmV1p1 CmV2p2CmV1CmV2p1CmV1p1 CmV2p2CmV2lnCmV1 CmV1p2側(cè)小立方體改放在后左側(cè)小立方體的正上方，結(jié)構(gòu)如圖和場強大小 E。（1）電場電勢、場強疊加如圖1所示，4個每邊長相同，帶電量也相同的均勻帶正電絕緣小立方體，并排放在一起。在上表面 4個角頂點相聚的 O點處，測得電勢和場強大小分別為 U0和 E0。將圖1中的前右2所示，試求此時 O點處的電勢 U2）磁場力ur如圖所示， 在O—xy平面上有場強E如圖所示， 在O—xy平面上有場強磁感應強度大小僅隨 x變化，即有B＝B（ x）坐標原點 O處有一個質(zhì)量為 m、電量 q>0的質(zhì)點 P，初始時刻 P靜止。將 P自由釋放后，2x在圖平面上的運動軌跡為 yxA0的拋物線。Ai）應用運動學知識導出拋物線曲率半徑表達式 ρ＝ρ（x）。ii）導出 B＝ B（x）表達式。

【答案】（1）電場電勢、場強疊加每一個小立方體在每一個角頂點（包括圖 1、2中的O點）的電勢貢獻相同，記為 U*。圖1中4個U*標量合成 U0，圖 2中也是 4個U*標量合成 U，即得U＝4U*＝U0U＝U0每一個小立方體在每一個角頂點的場強， 可示意地、 對稱地正交分解成題解圖 1所示的個大小均為 E*的分量。 4個小立方體按圖 1所示在O點合成， 只有在向上的方向上作非零疊加，另外兩個方向上的疊加均得零，故有1E04E*E* E04個小立方體按圖 2結(jié)構(gòu)所示在 O點合成場強，則可參考題解圖 2。3個朝上的與 1個朝下的 E*合成2個向上的，即E上＝2E*3個朝右的與 1個朝左的合成 2個朝右的，即E右＝2E3個朝前的與 1個朝后的合成 2個朝前的，即E前＝2EururururE右、E前合成場強（題解圖中未給出）大小即為ur參考題解圖 3，在圖2所示的O點E上、（2）磁場力?。│眩溅眩?x）的導出22設(shè) x＝ v0t，則 y0，有A4x24x22A2v0TOC\o"1-5"\h\z2v0t2v0x 2 2 2vx＝v0，vy ，v vxvyyAA xy2v02v02A參考題解圖 4，有3v2 A24x222a心 2A2ii）B＝B（x）的導出P在（ x， y）處有參考題解圖 5，有tan21mvqvqE0sin8．一塊玻璃平板放置在一個玻璃長方體上，兩者之間有一層平行的空氣隙，如圖所示。波2mqE0x12

mv22mvdy

dxqE0x2qE0x

mF心2xA1q2qE0xm2A2A24x2qvBsinqE0sin2xA24x22qE0x3A24x222A2qA24x22qE0xA24x2長在0.4μm到1.15μm之間的電磁波垂直入射平板玻璃上，經(jīng)空氣隙上、下兩界面的反射而發(fā)生干涉，在反射區(qū)域中共有三種波長獲得極大增強，其中之一為的厚度d的所有可能取值。0.4μm，試求空氣隙【答案】相干疊加獲得極大增強的條件為2d2d k ，k＝ 1、2??2 k12因d是相同的， λ越小，k越大；λ越大，k越小。設(shè)有 n個λ滿足極大增強，它們依次為λmin＝λ1<λ2?λn＝λmax它們對應的 k可捧列為kmax＝k1>k2?kn＝kmin任意一對 λi<λj的比值滿足：1又因1.15μm2.8750.4μm2ki12kj1所以12ki1將i、ki>kj列表如下：2kj12ki12kj12.875，ki>kj表中凡滿足（ 1）式的，均用越線框入。據(jù)題意應取 n＝3，從表中可以查出，只有兩組解，即k1＝ 4， k2＝ 3， k3＝ 2或k1＝5， k2＝ 4， k3＝ 3 （ 2）或（ 3）1＝λ1＝λmin＝0.4k1k12所以?。?）式時有取（3）式時有d 12k1d?。?）式時有?。?）式時有d 12k1d1d2k10.40.40.4μmm0.7μmm0.9μm9．如圖所示，靜長同為 L的A1A2桿和 B1B2桿在慣性系 S中緊挨著 x軸，分別沿著 x軸正、反方向，以相同的速度大小 v勻速運動。 S系 t＝ 0時刻。A1端、B1端同時位于 x軸原點O處，此時 A1A2桿和 B1B2桿都把自己的時鐘撥到零點。（ 1）試求 A1 端與 B2 端相遇時， A1端時鐘讀數(shù) tA1和 B2端時鐘讀數(shù) tB2；（ 2）再求 B1 端與 A2 端相遇時， B1端時鐘讀數(shù) tB1和 A2端時鐘讀數(shù) tA2；（3）最后求 A2端與 B2端相遇時， A2端時鐘讀數(shù) tA22和B2端時鐘讀數(shù) tB22。A（A1A2桿）參考系測得uxB桿相對其速度即A認為B相對其左行，速度大小為uxvv2ux

c2v2，vAB2v12B認為A相對其右行，速度大小 vBA與 vAB相同。或者說， A、B間相對速度大小，統(tǒng)記為引入vABABcvAB1 A2B2v222（過程略）（1）S系中點事件： A1、 B1、O相遇{0，0}點事件： A1、B2相遇 L1 2,1 2L2 2vtA1的求解：方法1：S系認為本系用兩個靜鐘測得上述兩個點事件界定的物理過程所經(jīng)時間間隔為1 2L02vS系認為相對 S系一個運動的時鐘 A1，測得該過程所經(jīng)時間間隔為TA動＝ tA1－ 0，因TA動 1 2T1 2L2v2vtA1tA11 2LvL12vc22121 2L2v方法 2： AtA11 2LvL12vc22121 2L2vtB2的求解：方法1：B系認為本系用兩個靜鐘，測得上述兩個點事件界定的物理過程所經(jīng)時間間隔為TB靜＝ tB2－0B系認為相對 B系的一個運動的時鐘 A1，測得該過程所經(jīng)時間間隔為TA動＝tA1－TA動＝tA1－0，因 T