數(shù)學(xué)建模 模糊數(shù)學(xué)課件

模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)FuzzyMathematics

實(shí)際生活中充滿(mǎn)了模糊概念，例如,要你某時(shí)到飛機(jī)場(chǎng)去迎接一個(gè)“大胡子高個(gè)子長(zhǎng)頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”.精確概念：時(shí)間、地點(diǎn)、男人模糊概念：大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、寬邊眼鏡、中年人模糊概念是存在的，也是必須的，更是重要的。人類(lèi)大腦對(duì)于模糊性概念具有較強(qiáng)的處理能力，模糊數(shù)學(xué)研究處理模糊概念的理論和方法，從而讓機(jī)器人具有人一樣的思維能力，是人工智能的重要學(xué)科之一。U的子集A的數(shù)學(xué)模型還可以用特征函數(shù)來(lái)表示

特征函數(shù)滿(mǎn)足：取大運(yùn)算,如2∨3=3取小運(yùn)算,如2∧3=2那么模糊概念呢？禿頭悖論：頭上掉一根頭發(fā)，不是禿頭；再掉一根，也不是禿頭……按照此邏輯下去當(dāng)禿頭出現(xiàn)的時(shí)候還不是禿頭。那么如何刻畫(huà)模糊概念呢？模糊子集與隸屬函數(shù)

設(shè)U是論域，稱(chēng)映射A(x)：U→[0,1]為U上的一個(gè)模糊子集A。

映射A(x)稱(chēng)為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.

例1

設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義一個(gè)模糊集：A=“質(zhì)量好的商品”。A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).

表示方法1表示方法2

例2

設(shè)論域U={1,2，...,100}(年齡集合)，在U上定義一個(gè)模糊集：A=“年輕人”。表示方法3模糊集的運(yùn)算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：AB

A(x)≤B(x)；并：A∪B的隸屬函數(shù)為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隸屬函數(shù)為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-

A(x).模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來(lái)的本質(zhì)特征.例3：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學(xué)生集)，他們的成績(jī)依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生”的隸屬度分0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，則A0.9={u5,u6}。2.模糊關(guān)系經(jīng)典關(guān)系，例如，父子關(guān)系，同桌關(guān)系；模糊關(guān)系，例如，兩人長(zhǎng)得很像，某某很喜歡某某；模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.

設(shè)有論域X，Y，XY的一個(gè)模糊子集R稱(chēng)為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.

模糊子集R的隸屬函數(shù)為映射R:XY[0,1].特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱(chēng)之為X上各元素之間的模糊關(guān)系.經(jīng)典關(guān)系是模糊關(guān)系的特例.模糊關(guān)系用模糊矩陣表示

設(shè)R，R1，R2均為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隸屬函數(shù)為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數(shù)為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-

R(x,y).模糊關(guān)系的合成當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成可以用其對(duì)應(yīng)模糊矩陣的乘法來(lái)實(shí)現(xiàn).只不過(guò)這里的模糊矩陣的乘法不同于常規(guī)矩陣的乘積，但模式是一樣的。

模糊關(guān)系的合成設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的模糊關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關(guān)系R1°

R2可表示為對(duì)應(yīng)模糊矩陣的乘積：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.原來(lái)的數(shù)字乘法變成了取小運(yùn)算原來(lái)的數(shù)字加法變成了取大運(yùn)算模糊關(guān)系的三大特性

(1)自反性：若X上的任何元素都有R(x,x)=1，則稱(chēng)關(guān)系R具有自反性；設(shè)R為X上的模糊關(guān)系

(2)對(duì)稱(chēng)性：若對(duì)于X上的任意兩個(gè)元素x,y，都有R(x,y)=R(y,x)，那么稱(chēng)R具有對(duì)稱(chēng)性。

設(shè)R為X上的模糊關(guān)系

(3)

R具有傳遞性當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)R為X上的模糊關(guān)系R2R.

這里R2是R和R本身的合成。注意包含關(guān)系：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)。模糊等價(jià)關(guān)系

若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿(mǎn)足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對(duì)稱(chēng)性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2R,

則稱(chēng)模糊關(guān)系R是X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.模糊等價(jià)關(guān)系是經(jīng)典等價(jià)關(guān)系的推廣

X上的經(jīng)典等價(jià)關(guān)系R滿(mǎn)足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對(duì)稱(chēng)性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：如果x和y有關(guān)系，y和z有關(guān)系，那么x和z一定也有關(guān)系

。模糊等價(jià)關(guān)系和經(jīng)典等價(jià)關(guān)系的聯(lián)系

定理1R是模糊等價(jià)關(guān)系當(dāng)且經(jīng)當(dāng)R的任意-截集都是經(jīng)典等價(jià)關(guān)系。3.模糊聚類(lèi)U上的一個(gè)分類(lèi)C可以誘導(dǎo)一個(gè)U上的等價(jià)關(guān)系R，R(a,b)=1當(dāng)且僅當(dāng)a和b在一類(lèi)。U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R可以誘導(dǎo)一個(gè)U上的分類(lèi)C，a和b在一類(lèi)當(dāng)且僅當(dāng)R(a,b)=1。聚類(lèi)的前提條件在某一方面的相似關(guān)系模糊相似關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，若R滿(mǎn)足：對(duì)于任意的x，y，

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對(duì)稱(chēng)性：R(x,y)=R(y,x)

，則稱(chēng)模糊關(guān)系R是X上的一個(gè)模糊相似關(guān)系.當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí)，X上的一個(gè)模糊相似關(guān)系R誘導(dǎo)的模糊矩陣稱(chēng)為模糊相似矩陣，即R滿(mǎn)足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對(duì)稱(chēng)性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似關(guān)系未必是模糊等價(jià)關(guān)系模糊聚類(lèi)的關(guān)鍵得到模糊相似關(guān)系。由模糊相似關(guān)系出發(fā)得到模糊等價(jià)關(guān)系。由模糊等價(jià)關(guān)系的-截集得到等價(jià)關(guān)系，從而分類(lèi)。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}為被分類(lèi)對(duì)象,每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為平移?標(biāo)準(zhǔn)差變換其中平移?極差變換模糊相似矩陣建立方法相似系數(shù)法----夾角余弦法相似系數(shù)法----相關(guān)系數(shù)法距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為適當(dāng)選取的參數(shù).海明距離歐氏距離切比雪夫距離d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}由模糊相似矩陣誘導(dǎo)模糊等價(jià)矩陣

定理2

若R是模糊相似矩陣，則對(duì)任意的自然數(shù)k，Rk也是模糊相似矩陣.

要借助模糊相似矩陣的性質(zhì)模糊相似矩陣的性質(zhì)定理3

若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù)k(k≤n)，對(duì)于一切大于k的自然數(shù)l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價(jià)矩陣(R2k=Rk).此時(shí)稱(chēng)Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

模糊相似矩陣的性質(zhì)上述定理表明，任一個(gè)模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個(gè)模糊等價(jià)矩陣.有限步之內(nèi)可以求出平方法求傳遞閉包t(R)：RR2R4R8R16…最后由模糊等價(jià)關(guān)系的-截集得到等價(jià)關(guān)系，從而分類(lèi)。不同的得到的分類(lèi)可能是不一樣的。