山東省聊城市茌平縣第二中學2023學年高考沖刺模擬數(shù)學試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．第24屆冬奧會將于2023年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為n個，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．2．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．193．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．5．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．28．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c9．已知的值域為，當正數(shù)a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．910．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．411．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．12．集合的真子集的個數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式中的系數(shù)為__14．已知雙曲線的左焦點為，、為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，的中點為，若，且直線的斜率為，則__________，雙曲線的離心率為__________．15．的展開式中的常數(shù)項為__________.16．在中，若，則的范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設(shè)計到最長，求的最大值．18．（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關(guān)于的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點，是上的點.（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值.【題目詳解】設(shè)會旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【答案點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.2．B【答案解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【題目詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【答案點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.3．A【答案解析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【題目詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項：【答案點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.4．D【答案解析】

設(shè)，，去絕對值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【題目詳解】因為實數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【答案點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5．A【答案解析】

由復數(shù)的運算法則計算．【題目詳解】因為，所以故選：A．【答案點睛】本題考查復數(shù)的運算．屬于簡單題．6．C【答案解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【題目詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【答案點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.7．D【答案解析】

由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【題目詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【答案點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標的和.8．A【答案解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【答案點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．A【答案解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【題目詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當且僅當時取等號,∴的最小值為.故選：A.【答案點睛】本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.10．A【答案解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【題目詳解】解：設(shè)雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11．A【答案解析】

依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據(jù)求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【題目詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設(shè)當時故選：【答案點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.12．A【答案解析】

計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【題目詳解】，故真子集個數(shù)為：.故選：.【答案點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1．【答案解析】

由題意求定積分得到的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中的系數(shù)．【題目詳解】∵已知，則，

它表示4個因式的乘積．

故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項．

故展開式中的系數(shù)．

故答案為：1．【答案點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題．14．【答案解析】

設(shè)，，根據(jù)中點坐標公式可得坐標，利用可得到點坐標所滿足的方程，結(jié)合直線斜率可求得，進而求得；將點坐標代入雙曲線方程，結(jié)合焦點坐標可求得，進而得到離心率.【題目詳解】左焦點為，雙曲線的半焦距．設(shè)，，，，，，即，，即，又直線斜率為，即，，，，在雙曲線上，，即，結(jié)合可解得：，，離心率.故答案為：；.【答案點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題，涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點的方式，結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.15．31【答案解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數(shù)項為：，得解.【題目詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：31.【答案點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導數(shù)，考查計算能力.16．【答案解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【題目詳解】，所以，.因為，所以，所以.故答案為:.【答案點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點考查學生的計算能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）米.【答案解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【題目詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當時,單調(diào)遞增；當時,單調(diào)遞減,又,當時,取最大值,此時,的最大值為米．【答案點睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進而求導分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.18．（1）作圖見解析；更適合（2）（3）預報值為245【答案解析】

（1）由散點圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，由計算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計算即可.【題目詳解】解：（1）繪出關(guān)于的散點圖，如圖所示：由散點圖可知，更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，即，由.∴，則關(guān)于的回歸方程為；（3）當時，計算可得；即溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為245.【答案點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應(yīng)用的問題，考查學生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力，是一道中檔題.19．（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點為線段的三等分點，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【題目詳解】證明：（1）因為為中點，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因為，所以，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線與平面所成的角，即.因為，所以，所以，所以，即點為線段的三等分點.解法一：過作于，則平面，所以，過作，垂足為，則為二面角的平面角,因為，，，則在中，有，所以二面角的平面角的正切值為.解法二：以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)點，由得：，即，，，點，平面的一個法向量，又，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則平面的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則，即，所以二面角的正切值為.【答案點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.20．（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）因為，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，標出點坐標，運用空間向量坐標運算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【題目詳解】（1）證明：因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以可設(shè)平面平面，又因為平面，所以.因為平面，平面，所以，從而得.因為底面，所以.因為，所以.因為，所以平面.綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取