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Page26直角三角形的邊角關(guān)系【本檢測題滿分:120分,時間:120分鐘】一、選擇題(每小題3分,共30分)1.計算:tanA.2B.C.D.2.在△ABC中,若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,則cosB=()A.B. C.D.3.(2015·浙江麗水中考)如圖,點A為∠α邊上的任意一點,作AC⊥BC于點C,CD⊥AB于點D,下列用線段比表示cosα的值,錯誤的是()A.BDBCB.BCAB C.ADAC第3題圖第4題圖第5題圖4.(2015?湖北荊門中考)如圖,在△ABC中,∠BAC=90゜,AB=AC,點D為邊AC的中點,DE⊥BC于點E,連接BD,則tan∠DBC的值為()A.13 B.2-1 C.2-3 D.5.(2015·山西中考)如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則∠ABC的正切值是()
A.2 B.255 C.6.已知在中,,則的值為()A.B. C. D.7.如圖,一個小球由地面沿著坡度i=1∶2的坡面向上前進了10m,此時小球距離地面的高度為()第7題圖A.5mB.2mC.4mD.m第7題圖8.如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,,BE=2,則tan∠A.B.2C.D.9.直角三角形兩直角邊和為7,面積為6,則斜邊長為()A.5B.37C.7D.3810.(2015·哈爾濱中考)如圖,某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C,此時飛行高度AC=1200m,從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°,則飛機A與指揮臺B的距離為()A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m第10題圖二、填空題(每小題3分,共24分)11.(2014·山東東營中考)如圖,有兩棵樹,一棵高12米,另一棵高6米,兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行_________米.12.(2015·陜西中考)如圖,有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米,鉛直高度BC為2.8米,則∠A的度數(shù)約為________.(用科學計算器計算,結(jié)果精確到0.1°)第12題圖13.如圖,小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂,測得仰角為30°,再往塔的方向前進50m至B處,測得仰角為60°,那么塔高約為_________m.(小蘭身高忽略不計,)14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為1,則它的底角等于________.15.如圖,已知Rt△ABC中,斜邊BC上的高AD=4,cosB=416.如圖,△ABC的頂點都在方格紙的格點上,則sinA17.(2015·江西中考)如圖①是小志同學書桌上的一個電子相框,將其側(cè)面抽象為如圖②所示的幾何圖形,已知BC=BD=15cm,∠CBD=40°,則點B到CD的距離為___________cm(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,結(jié)果精確到0.1cm,可用科學計算器). ①②第17題圖18.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D三、解答題(共66分)19.(8分)計算下列各題:(1);(2).20.(7分)在數(shù)學活動課上,九年級(1)班數(shù)學興趣小組的同學們測量校園內(nèi)一棵大樹的高度,設(shè)計的方案及測量數(shù)據(jù)如下:(1)在大樹前的平地上選擇一點A,測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°;(2)在點A和大樹之間選擇一點B(A,B,D在同一直線上),測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°;(3)量出A,B兩點間的距離為4.5m.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.(精確到0.1m)21.(7分)每年的5月15日是“世界助殘日”.某商場門前的臺階共高出地面1.2米,為幫助殘疾人便于輪椅行走,準備拆除臺階換成斜坡,又考慮安全,輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°,已知此商場門前的人行道距商場門的水平距離為8米(斜坡不能修在人行道上),問此商場能否把臺階換成斜坡?(參考數(shù)據(jù):sin9°≈0.1564,22.(8分)如圖,為了測量某建筑物CD的高度,先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前進了100m,此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°.已知測角儀的高度是1.5m,請你計算出該建筑物的高度.(取≈1.732,結(jié)果精確到1m)23.(8分)已知:如圖,在山腳的C處測得山頂A的仰角為45°,沿著坡度為30°的斜坡前進400米到D處(即∠DCB=30°,CD=400米),測得A的仰角為,求山的高度AB.24.(8分)一段路基的橫斷面是直角梯形,如左下圖所示,已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6,現(xiàn)不改變土石方量,全部充分利用原有土石方進行坡面改造,使坡度變小,達到如右下圖所示的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少?25.(10分)如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,過點A作AE⊥CD,AE分別與CD,CB相交于點H,E,AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD=,求BE的值.26.(10分)如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A,B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船C的求救信號.已知A,B兩船相距100(+1)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測點D,測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.(1)分別求出A與C,A與D間的距離AC和AD(如果運算結(jié)果有根號,請保留根號).(2)已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁,若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測題參考答案一、選擇題1.C解析:2.C解析:設(shè),則,,則,所以△是直角三角形,且∠.所以在Rt△ABC中,.3.C解析:在Rt△BCD中,,故A項正確;在Rt△ABC中,,故B項正確;,,,,故D項正確;而,故C項錯誤.4.A解析:根據(jù)題意DE⊥BC,∠C=45°,得DE=CE,設(shè)DE=CE=x,則CD=x,AC=AB=2x,BC=4x,所以BE=BC-CE=3x.根據(jù)銳角三角函數(shù),在Rt△DBE中,tan∠DBE===,即tan∠DBC=.5.D解析:如圖所示,連接AC,則AC,2;AB2,8;BC,10.∵,∴△ABC是直角三角形,且∠BAC是直角,第5題答圖ABC第6題答圖ABC第6題答圖6.A解析:如圖,設(shè)則由勾股定理知,所以tanB.7.B解析:設(shè)小球距離地面的高度為則小球水平移動的距離為所以解得8.B解析:設(shè)又因為在菱形中,所以所以所以由勾股定理知所以29.A解析:設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為則所以斜邊長10.D解析:根據(jù)題意,得∠B==30°,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB=2AC.∵AC=1200m,∴AB=2400m.故選D.二、填空題11.10解析:如圖,過點A作AC⊥BC,則AC=8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根據(jù)勾股定理,得AB====10(米).12.27.8°解析:根據(jù)正切的定義可知,然后使用計算器求出的度數(shù)約為27.8°.13.43.3解析:因為,所以所以所以).14.15°或75°解析:如圖,.在圖①中,,所以∠∠;在圖②中,,所以∠∠.第第14題答圖BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①15.解析:在Rt△中,∵,∴sinB=,.在Rt△中,∵,sinB=,∴.在Rt△中,∵,∴.16.解析:設(shè)每個小方格的邊長為1,利用網(wǎng)格,從點向所在直線作垂線,利用勾股定理得,所以sinA=.17.14.1解析:如圖,過點B作BE⊥CD于點E,∵BC=BD,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),得∠CBE=∠CBD=20°.在Rt△BCE中,cos∠CBE=,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).第17題答圖18.解析:如圖,延長、交于點,∵∠,∴.∵,∴,∴.∵,∴.三、解答題19.解:(1)(2)20.解:∵∠90°,∠45°,∴∵,∴則m,∵∠35°,∴tan∠tan35°.整理,得≈10.5.故大樹的高約為10.521.解:因為所以斜坡的坡角小于,故此商場能把臺階換成斜坡.22.解:設(shè),則由題意可知,m.在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=,∴,即3x(x+100),解得x50+50.經(jīng)檢驗,50+50是原方程的解.∴故該建筑物的高度約為23.解:如圖,過點D分別作⊥于點,⊥于點,在Rt△中,∠,米,所以(米),(米).在Rt△ADE中,∠ADE=60°,設(shè)米,則(米).在矩形DEBF中,BE=DF=200米,在Rt△ACB中,∠,∴,即,∴,∴米.24.解:由原題左圖可知:BE⊥DC,m,.在Rt△BEC中,(m).由勾股定理得,m. 在不改變土石方量,全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造,使坡度變小,則梯形的面積=梯形的面積.,解得=80(m). ∴改造后坡面的坡度.25.分析:(1)根據(jù)已知條件得出∠B=∠DCB=∠CAE,可以在Rt△ACH中求出sinB的值.(2)通過解Rt△ABC求出AC與BC的長,解Rt△ACH求出CE的長,利用BE=BC-CE得到答案.解:(1)∵CD是斜邊AB上的中線,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB.∵∠ACB=90°,AE⊥CD,∴∠DCB=∠CAE,∴∠B=∠DCB=∠CAE.∵AH=2CH,∴sinB=sin∠CAE===.(2)∵CD=,∴AB=2.∴BC=2·cosB=4,AC=2·sinB=2,∴CE=AC·tan∠CAE=1,∴BE=BC-CE=3.點撥:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形.26.分析:(1)過點C作CE⊥AB于點E,構(gòu)造直角三角形.設(shè)AE=a海里,通過解直角三角形,用含a的代數(shù)式表示出CE,AC.在Rt△BCE中,根據(jù)BE=CE,列出方程,求出a,進而求出AC.(2)判斷巡邏船A在沿直線AC去營救船C的途中有無觸礁危險,只要求出觀測點D到AC的距離,然后與100海里比較即可.因此,過點D作DF⊥AC,構(gòu)造出Rt△ADF,求出DF,將DF與100海里進行比較.解:(1)如圖,過點C作CE⊥AB于點E,設(shè)AE=a海里,則BE=AB-AE=100(+1)-a(海里).在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠EAC=60°,∴AC===2a(海里),CE=AE·tan60°=a(海里).在Rt△BCE中,BE=CE,∴100(+1)-a=a,∴a=100(海里).∴AC=2a=200(海里).在△ACD和△ABC中,∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴=,即=.∴AD=200(-1)(海里).答:A與C間的距離為200海里,A與D間的距離為200(-1)海里.(2)如圖,過點D作DF⊥AC于點F.在Rt△ADF中,∠DAF=60°,∴DF=AD·sin60°=200(-1)×=100(3-)≈127>100.∴船A沿直線AC航行,前往船C處途中無觸礁危險.點撥:(1)解斜三角形的問題時,一般通過作高構(gòu)造直角三角形求解;(2)已知兩個直角三角形邊長的和或邊長的差,常通過列方程的方法解直角三角形.第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測題參考答案一、選擇題1.C解析:tan452.C解析:設(shè)BC=5x,則CA=12x,AB=13x所以△ABC是直角三角形,且∠C=90所以在Rt△ABC中,cosB=.3.C解析:在Rt△BCD中,,故A項正確;在Rt△ABC中,,故B項正確;,,,,故D項正確;而,故C項錯誤.4.A解析:根據(jù)題意DE⊥BC,∠C=45°,得DE=CE,設(shè)DE=CE=x,則CD=x,AC=AB=2x,BC=4x,所以BE=BC-CE=3x.根據(jù)銳角三角函數(shù),在Rt△DBE中,tan∠DBE===,即tan∠DBC=13.5.D解析:如圖所示,連接AC,則AC=12+12=2,AC2=2;AB=∵AC2+AB2=BC2,∴△ABC第6題答圖∴tan∠ABC第6題答圖6.A解析:如圖,設(shè)AB=5x,則由勾股定理知,AC=4x.所以tanBACBC=7.B解析:設(shè)小球距離地面的高度為xm,則小球水平移動的距離為2x8.B解析:設(shè)AD=5x,則AE=3x.又因為在菱形ABCD中,AD=AB,所以AB=AE+BE=3x+2=5x,所以x=1,所以AD=5,9.A解析:設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,則10.D解析:根據(jù)題意,得∠B=α=30°,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB=2AC.∵AC=1200m,∴AB=2400m.故選D.二、填空題11.10解析:如圖,過點A作AC⊥BC,則AC=8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根據(jù)勾股定理,得AB====10(米).12.27.8°解析:根據(jù)正切的定義可知,然后使用計算器求出的度數(shù)約為27.8°.13.43.3解析:因為∠BAD=30o,∠DBC=6014.15°或75°解析:如圖,BD⊥在圖①中,∠A=30o,所以∠ABC=在圖②中,∠BAD=30o,所以∠ABC=第14題答圖第14題答圖BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①15.5解析:在Rt△ABC中,∵cosB=45,∴sinB=在Rt△ABD中,∵AD=4,sinB=35,∴在Rt△ABC中,∵tanB=34,AB=16.解析:設(shè)每個小方格的邊長為1,利用網(wǎng)格,從C點向AB所在直線作垂線,利用勾股定理得AC=,所以sinA=.17.14.1解析:如圖,過點B作BE⊥CD于點E,∵BC=BD,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),得∠CBE=∠CBD=20°.在Rt△BCE中,cos∠CBE=,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).第17題答圖18.83解析:如圖,延長AD、BC交于E∵∠A=60°,∴∵CD=9,∴CE=9×∴BE=6+18=24.∵tanE∴AB=三、解答題19.解:(1)(2)20.解:∵∠CDB=90°,∠CBD=45°,∴CD=BD∵AB=4.5m,∴設(shè)高CD為xm,則∵∠CAD=35°,∴tan∠CAD=tan35°=.整理,得≈10.5.故大樹CD的高約為10.5m.21.解:因為1.28=0.15<故此商場能把臺階換成斜坡.22.解:設(shè)CE=xm,則由題意可知在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=,∴,即3x=(x+100),解得x=50+50.經(jīng)檢驗,x=50+50是原方程的解.∴CD=故該建筑物的高度約為138m.23.解:如圖,過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,在Rt△CDF中,∠DCF=30°,CD所以DF=CD?CF=CD?在Rt△ADE中,∠ADE=60°,設(shè)DE=則AE=tan60在矩形DEBF中,BE=DF=200米,在Rt△ACB中,∠ACB=45°,∴AB即,∴x=200,∴24.解:由原題左圖可知:BE⊥DC,BE=30m,在Rt△BEC中,(m).由勾股定理得,EC=在不改變土石方量,全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造,使坡度變小,則梯形ABCD的面積=梯形A1,解得EC∴改造后坡面的坡度.25.分析:(1)根據(jù)已知條件得出∠B=∠DCB=∠CAE,可以在Rt△ACH中求出sinB的值.(2)通過解Rt△ABC求出AC與BC的長,解Rt△ACH求出CE的長,利用BE=BC-CE得到答案.解:(1)∵CD是斜邊AB上的中線,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB.∵∠ACB=90°,AE⊥CD,∴∠DCB=∠CAE,∴
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